第 5 章三角関数 ( その 1)

(1)

第

5

^章 ^三角関数

(

^その

1)

三角関数は工学の分野ではよく用いられる．特に電気電子工学では非常によく用いられ，これを理解しておくことは必須条件である．

5.1

一般角と角度の表示法

(1)

一般角

y

O x θ P

P +

−

図

5.1:

^{動径と一般角} 図

5.1

のように，

x

軸上にある半直線

OP

が点

O

を中心として回転するとき，回転する半直線

OP

^を動径という．動径の回転において，時計の針の回転と逆の向きを正の向き，時計の針の回転と同じ向きを負の向きといい，角の大きさに符号をつけて表す．ここで，動径が回転する量を考えると，

360

^◦ より大きい角や，負の角も考えることができる．このように，角の大きさを制限しないで，正負の符号も含めて考えた角を一般角という．

(2)

角度の表示法

角度の大きさの表し方には度数法と弧度法がある．弧度法は，半径

r

^の円において，弧の長さを

l

，中心角の大きさを

θ

としたとき，

θ =

_r^l で角の大きさを表し，

単位として

[rad](

ラジアン

)

を用いる．とくに，

l

が半円周のとき，

l = πr

であるから，中心角の大きさは，^πr

r

= π

である．一方，これは度数法では

180

^◦^であるから，次の関係が成り立つ．

180

^◦

= π[rad]

(2)

6 6 π

5.2

三角関数の定義

(1)

三角比

r

x θ y

図

5.2:

直角三角関数直角三角形の鋭角

(0 < θ <

^π₂

)

の

1

つを

θ

とし，

斜辺の長さを

r

^{，他の辺の長さを図}

5.2

^のように

x

^，

y

^{とするとき，正弦}

(

^サイン

)

^，^余弦

(

^コサイン

)

^，正接

(

^{タンジェント}

)

を次のように定義する．

sin θ = y

r ,

cos θ = x

r ,

tan θ = y x

(2)

三角関数

三角比

sin θ

，

cos θ

，

tan θ

における

θ

を一般角

(

鋭角に限らない

)θ

に拡張する．図

5.3

で示した座標平面上で，角

θ

の動径と原点を中心とする半径

r

の円との交点

P

の座標を

(x

^，

y)

とする．このとき，三角比と同様に，

sin θ

^，

cos θ

^，

tan θ

^を次のように定める．

sin θ = y

r ,

cos θ = x

r ,

tan θ = y

x ,

^ただし

x ̸ = 0 (5.1)

これらを，一般角

θ

の正弦，余弦，正接といい，まとめて三角関数という．ただし，

tan θ

は

x = 0

となるような

θ

に対しては定義されない．

r = 1

^のとき

(

このような円を単位円という

)

^，図

5.4

^{に示すように，}

y

^座標が

sin θ

の値となり，

x

^座標が

cos θ

^{の値となる．}

角度

θ

が

0 < = θ < =

^π2 の場合の三角関数の主な値は表

5.1

の通りである．この表の値は，非常によく用いられる．また，

θ

がこれらの倍数，その負の値も次節の三角関数の基本公式を利用して求めることができる．

三角関数の値の符号は，

θ

^{のとる象限により表}

5.2

^{のようになる．}

(3)

y

O

x r P( ) x, y

θ -r r

-r r

x y

図

5.3:

三角関数の定義のための座標平面

y

O

x θ cos

1 sin θ

−1

1 θ 1 P

図

5.4:

^{単位円の場合} 表

5.1:

^{三角関数の主な値}

θ

0 π

6 (30

^◦

)

π

4 (45

^◦

)

π

3 (60

^◦

)

π

2 (90

^◦

)

sin θ 0 1

2 √ 1 2

√ 3

2

1 cos θ 1

√ 3 2

√ 1 2

1

2

0 tan θ 0 1

√ 3 1 √

3 (

注

)

(

注

) 90

^◦より小さい値から限りなく

90

^◦に近づいたときは

+ ∞

^となり，

90

^◦より大きい値から限りなく

90

^◦に近づいたときは

−∞

^となる．

θ = 90

^◦のときは解を持たない．

5.3

三角関数の基本公式

(1)

三角関数の相互関係

式

(5.1)

より，三角関数には次のような関係が成り立ち，

θ

^{の象限と，}

sin θ

^，

cos θ

^，

tan θ

のいずれか

1

つの値がわかれば他の三角関数の値がわかる．

tan θ = sin θ

cos θ (5.2)

sin

²

θ + cos

²

θ = 1 (5.3)

式

(5.3)

^{は三平方の定理}

x

²

+ y

²

= r

²より容易に求められる．

(4)

y

O x θ

1 P

−θ P'

=

= 1

y

O x θ

1 P

θ+π

P'

1

y

O x θ

1 P

θ+ −π2 P'

1

(a) (b) (c)

図

5.5:

いろいろな角の三角関数

図

5.5(a)

^{に示すように，角}

θ

^{の動径と角}

−θ

^の動径は

x

軸に対して対称であるか

ら，次の公式が得られる．

sin(−θ) = − sin θ cos( − θ) = cos θ tan( − θ) = − tan θ











(5.5)

図

5.5(b)

θ

^{の動径と角}

θ + π

の動径は原点に対して対称である

表

5.2:

三角関数の符号

θ

^の象限

1

2

3

4 sin θ + + − −

cos θ + − − +

tan θ + − + −

(5)

から，次の公式が得られる．

sin(θ + π) = − sin θ cos(θ + π) = − cos θ tan(θ + π) = tan θ











(5.6)

図

5.5(c)

θ

^{の動径と角}

θ +

^π₂ の動径を考えると，次の公式が得られる．

sin(θ +

^π₂

) = cos θ cos(θ +

^π₂

) = − sin θ tan(θ +

^π₂

) = −

_tan¹_θ











(5.7)

[

^例

2]

^式

(5.4)

^〜

(5.7)

を用いて，大きい角度の三角関数の値を求める．

(1) sin( −

⁵₃

π) = − sin(

⁵₃

π) = − sin(2π −

^π₃

) = − sin( −

^π₃

) = sin(

^π₃

) = √ 3/2 (2) cos(

¹⁰₃

π) = cos(4π −

²₃

π) = cos( −

²₃

π) = − cos( −

²₃

π +π) = − cos(

^π₃

) = − 1/2 (3) tan( −

¹³₃

π) = − tan(

¹³₃

π) = − tan(4π +

^π₃

) = − tan

^π₃

= − √

3 (3)

加法定理

2

^つの角

α

^と

β

^の和

α + β

^や差

α − β

の三角関数は，次のように，

α

^，

β

^の三角関数で表すことができる．これを加法定理という．

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β [

^複合同順

]

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β [

^複合同順

] (5.8) tan(α ± β ) = tan α ± tan β

1 ∓ tan α tan β [

複合同順

]

1これらの関係式が成り立つことは，ホームページ

****

で示している．

【例題

1

】加法定理を用いて，

sin 75

^◦，

cos 15

^◦，

tan( − 15

^◦

)

の値を求めよ．

【解】

sin 75

^◦

= sin(45

^◦

+ 30

^◦

) = sin 45

^◦

cos 30

^◦

+ cos 45

^◦

sin 30

^◦

= 1

√ 2 ·

√ 3 2 + 1

√ 2 · 1 2 =

√ 3 + 1 2 √

2 cos 15

^◦

= cos(45

^◦

− 30

^◦

) = cos 45

^◦

cos 30

^◦

+ sin 45

^◦

sin 30

^◦

1複合同順：＋/−の記号は，左辺の上段の記号は右辺の上段の記号に対応し，左辺の下段の記号は右辺の下段の記号に対応していることを意味している．

(6)

加法定理で

α = β

とおくと，次のように倍角の公式が得られる．

sin 2α = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α (5.9) cos 2α = cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α = cos

²

α − sin

²

α (5.10)

式

(5.10)

^{の右辺に式}

(6.5)

^を用いて

cos

²

α = 1 − sin

²

α

^{を代入すると，}

cos 2α = (1 − sin

²

α) − sin

²

α = 1 − 2 sin

²

α (5.11)

同様にして，式

(5.10)

の右辺に

sin

²

α = 1 − cos

²

α

を代入すると次式となる．

cos 2α = cos

²

α − (1 − cos

²

α) = 2 cos

²

α − 1 (5.12)

式

(5.11)

，

(5.12)

は余弦の倍角の公式と呼ばれる．これらの式を変形した次式は積

分計算などでよく使われる．

sin

²

α = 1 − cos 2α

2 , cos

²

α = 1 + cos 2α

2 (5.13)

[

^例

3]

^{次の値を求めよ．}

cos

²

π

8 = 1 + cos

^π₄

2 = 1 +

√¹ 2

2 =

√ 2 + 1 2 √

2 = 2 + √ 2 4

【例題

2

^】

cos α =

³₅ ^で，

0 < α <

^π₂ ^のとき，

sin α

^，

tan α

^，

sin 2α

^，

cos 2α

^{を求めよ．}

【解】

sin

²

α + cos

²

α = 1

より，

sin

²

α = 1 − cos

²

α = 1 −

₂₅⁹

=

¹⁶₂₅

. α

は鋭角で第

1

象限にあるから，

sin α =

⁴₅^，

tan α =

^sin_cos^α_α

=

⁴₃^，

sin 2α = 2 sin α cos α = 2 ×

⁴₅

×

³₅

=

²⁴₂₅^，

cos 2α = cos

²

α − sin

²

α = −

₂₅⁷

.

(7)

(5)

積→和または差

三角関数の積は次のように，和または差で表すことができる．

sin α cos β = 1

2 { sin(α + β ) + sin(α − β) } cos α sin β = 1

2 { sin(α + β ) − sin(α − β) } cos α cos β = 1

2 { cos(α + β) + cos(α − β ) } sin α sin β = − 1

2 { cos(α + β) − cos(α − β ) }

(5.14)

【例題

3

】式

(5.8)

の加法定理を用いて式

(5.14)

を証明せよ．

【解】第

1

式の右辺に加法定理を適用すると，

(

^右辺

) = 1

2 { sin(α + β) + sin(α − β) }

= 1

2 { (sin α cos β + cos α sin β) + (sin α cos β − cos α sin β) }

= sin α cos β (

左辺）

したがって，第

1

式が成り立つ．他の式も同様にして，右辺に加法定理を適用すれば，左辺となることが証明できる．