多重ガンマ関数の単項関係式とその応用

多重ガンマ関数の単項関係式とその応用

東京理科大学理工学部加塩朋和

坂内研究室プロジェクト研究集会

K., Fermat curves and a refinement of the reciprocity law on cyclotomic units, to appear in J. Reine Angew. Math.

K., On the algebraicity of some products of special values of Barnes’

multiple gamma function, to appear in Amer. J. Math.

H. Yoshida, Absolute CM-Periods, Math. Surveys Monogr.

Amer. Math. Soc., 2003.

(Euler’s Γ-function) Γ(s) :=

dt (Re(s) > 0

(Bohr-Mollerup

Γ(1) = 1, sΓ(s) = Γ(s + 1).

Γ(n) = (n − 1)! (n ∈

(Lerch’s formula)

Hurwitz zeta function: ζ (s , x) :=

(Re(s ) > 1, x > 0)

(Euler’s reflection formula)

Γ(z )Γ(1 − z) = π sin(πz ) .

^Γ(^√^n−a_2πⁿ ⁾

_{2 sin(}¹πa

ζ_2n^a−ζ_2n⁻^a ≒

^基礎体が Q^の場合の

Stark Conjecture.

√2π の超越数部分は？

Chowla-Selberg formula

(Chowla-Selberg formula)

以下の同値な定義で定める

+ ax + b (a, b ∈

(τ ) (Im(τ ) > 0), η(τ ) := e

超越数部分は一旦おいておく

^Γ(^√^n−a_2πⁿ ⁾

Euler’s Γ-function ⇒ Barnes’ multiple Γ-function.

超越数部分に関する吉田予想の紹介

Archimedean case + p-adic case ⇒

Barnes’ multiple zeta function: r ∈

m=(m1,...,mr)∈Z^r_≥0

(Re(s) > r ).

m=(m1,...,mr)∈Z^r_≥0

𝜻𝟏(𝒔, 𝝎 , 𝒙) 𝜻(𝒔, 𝒙)

𝜻𝟐(𝒔, 𝝎𝟏, 𝝎𝟐, 𝒙) 𝟏 𝒙

𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟒

𝒙 + 𝝎 𝒙 + 𝟐𝝎 𝒙 + 𝟑𝝎

Barnes’ multiple zeta function: r ∈

m=(m1,...,mr)∈Z^r_≥0

(Re(s) > r ).

(modified) Barnes’ multiple gamma function:

ω) := exp

) . c.f., Lerch’s formula:

(s, (1), x) |

:= { α ∈ F | ∀ ι ∈ S

, ι(α) > 0 } . α ∈ F

(Dirichlet’s unit theorem

Z^[F^:^Q^]⁻¹

= { (3 + 2 √

:= { (α) ∈ I

f ^{を法とする}^狭義 ^{イデアル類群} a

_f ^{の属するイデアル類を}

(Re(s ) > 1, c ∈ C

(Z/nZ)^{× ∼}→⁼ C(n),amodn7→[(a)] (a>0).

ζ(s,[(a)]) = (a)⁻^s + (a+n)⁻^s+ (a+ 2n)⁻^s+· · ·=n⁻^sζ(s,_n^a) (0<a<n).

L(s , χ) = ∑

χ(c)ζ(s , c ) (χ ∈ C ˆ

): Hecke L-function,

⇒ ζ(s , c ) =

^{イデアル類の代表元}

exp(X (c , ι)) mod ι(E

^Q はデータの選び方によらない

exp(X (c , ι)) exp(X (c

) > 0 (ι ̸ = ι

⊂ K , ˜ ι: K , →

^˜^ι^∗ Aut(C

[Y] ([F : Q ] = 2), [K2], ([F : Q ] > 2))

⇒ exp(X (c, ι)) exp(X (cs

(rank 1 abelian Stark conjecture, w.r.t. real place)

(0, c )) exp(ζ

exp(X (c , ι)) exp(X (cs

”, “abelian condition”

R − uR ( ∃ R = R

⊂ F , ∃ u ∈ E

⇒ X (c , ι) + X (cs

(0, R) log(ι(u)).

^{吉田の類不変量の定義}

新谷氏による部分ゼータ関数

ζ (s , c) = ∑

⁻^s の記述まで戻る必要がある

] = π(c) ∈ C

∈ c ⇒ [a] = [a

, α ⊗ r 7→ (ι

(α)r , . . . , ι

Rⁿ ^においてRⁿ₊ ^{に対応する部分を}

の非交和として書けるものが取れる

(j ∈ J , 1 ≤ i ≤ r(j ), | J | < ∞ , r(j ) ∈

^を^{新谷の基本領域} ^{と呼ぶことにする}

∃ ϵ = a + b √

⇒ D = C (1) ⨿

C (1, ϵ), F ⊗

𝑎 + 𝑏 𝑑 𝑎 − 𝑏 𝑑

𝐶(𝜖², 𝜖³) 𝐶(𝜖⁻¹, 1)

𝑫 = 𝑪 𝟏 ∐ 𝑪(𝟏, 𝝐) 𝐶(𝜖⁻¹)

ζ(s, c ) = N(a

z∈a⁻c¹∩C(v_j),zac∈c

⇒ ζ(s, c) = N(a

m∈Z^r(j)_≥₀

ζ (s , c ) = N(a

[Y]) X (c , ι) := ∑

x∈R(c,v_j)

^{補正項の上手い分割}

⇒ exp(X (c , ι)) mod ι(E

イデアル類の代表元 ac の取り方によらない

ζ (s , c ) = N(a

z∈a⁻c¹∩D,zac∈c

m∈Z^r(j)_≥0

X (c , ι) := ∑

(s , R) := ∑

[F : Q ] = 2 の場合の証明

簡単のため以下を仮定する

証明のポイントは以下の領域を考えることである

[F : Q ] = 2 の場合の証明

[F : Q ] = 2 の場合の証明

Key fact: D ⨿

⇒ 2(X (c , ι

Z (0, R ) log ϵ.

⇒ exp(X (c, ι

)) exp(X (cs

次総実体では以下が成り立つ

, ∃ ν ∈ F , ∃ X

i = 1, . . . , n − 1

i = 1, . . . , n − 1

(ν), . . . , ι

(ν) < 0 (D ⨿

multiset sum.

具体例 [Y, Chapter III, Example 6.3]

:= [(6 + √ 5)] } .

(1, ϵ)(4) = (1 + 4ϵ) ∈ c

, (1, ϵ)) = { (

, (1, ϵ)) = {(

, (1)) = ∅ , R(c

, (1, ϵ)) = { (

, (1)) = ∅ , R(c

, (1, ϵ)) = { (

具体例 [Y, Chapter III, Example 6.3]

:= [(6 + √ 5)] } . ι

)), exp(X (c

)), exp(X (c

)), exp(X (c

具体例 [Y, Chapter III, Example 6.3]

具体例 [Y, Chapter III, Example 6.3]

:= [(6 + √ 5)] } . s

主結果 ⇒ E_F^Q_,+ の元

Stark 予想⇒ E_F^Q₍√ϵ0),+ の元

^{)) = 80} ⁾

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