平成21年4月20日出題分
第2回レポート(解答例)
問1: 1318−4516 = ( )10
( )に入る数字はいくらか？
解答例:
全て10進数に直して計算すると、
1318 = 1×8210+ 3×8110+ 1×8010
= 6410+ 2410+ 110
= 8910
4516 = 4×16110+ 5×16010
= 6410+ 510
= 6910 よって
1318−4516 = 8910−6910
= 2010 従って、答えは20。
(他にも多数の方法がある。)
問2: ある自然数Xを2進数で表現すると、1と0が交互に並んだ2n桁の2進数1010· · ·10なった。こ のとき、Xに関して以下の式が成立する。その理由を述べなさい。
X+X
2 = 22n−1 解答例: 題意よりXを10進数に直すと
X = 22n−1+ 22n−3+ 22n−5+· · ·+ 21 よってX
2 も同様に
X
2 = 22n−2+ 22n−4+ 22n−6+· · ·+ 20 よって
X+X
2 = 22n−1+ 22n−2+ 22n−3+· · ·+ 21+ 20 (1)
(1)式右辺は初項が1、公比が2、項の数が2n個の等比数列の和になっているので、
X+ X
2 = 1·(22n−1) 2−1
= 22n−1 よって、与式は成り立つ。
(注：「等比数列の和」を使って理由を述べる場合、どんな等比数列か(初項、公比、項数)を記述するこ と。)
(注2：数学的帰納法を使う場合は、きちんと正確につかうこと。) 別解:
XがX = 101010· · ·102(2n桁)であるとき、2進数においては「2で割る」とは数字を1ビットだけ 右へずらす(シフトという)行為なので、
X
2 = 010101· · ·012 (2n桁) となる。よって
X = 101010· · ·102 (2n桁) X
2 = 010101· · ·012 (2n桁) +) X+ X
2 = 111111· · ·112 (2n桁) (2)
ここで22nを2進数で表すと
22n= 1000000· · ·002 (2n+1桁) なので、
22n−1 = 111111· · ·112 (2n桁) となり、(2)式と等しくなるので、与式は成り立つ。
問3: 8110−5410の計算を符号を含む8桁の2進数に直し、2の補数を用いた加算によって計算し、求め なさい。
(答えは符号を含む8桁の2進法によって書くこと) 解答例:
まず8110を符号を含む8桁の2進数に直す。
8110= 0101 00012
次に−5410を符号を含む8桁の2進数に直す(負の数なので符号以外は2の補数表現となる。)
−5410= 1100 10102
これを加算すると
8110 + −5410 2710
0101 00012 + 1100 10102 1 0001 10112 桁上がりは無視するので、答えは0001 10112 = 2710
