• 空間フィルタリング

画像処理工学

画像からの特徴抽出：フィルタリング処理

空間フィルタを用いた画質改善

• 空間フィルタリング

– ある性質を持った信号だけを抽出する操作 – 空間領域（画像データ空間）で行われる

– 局所処理（近傍処理）により実現される

• 局所処理（近傍処理）

– 注目している画素の値を，その近傍の画素との 重み付け加算を行って求める処理

– 重み付けに用いる値を加重マトリックス，フィルタ

係数，オペレータなどという

空間フィルタを用いた画質改善

• 大きさ３×３の局所処理

[ 1][ 1] [ 1][ ] [ 1][ 1]

[ ][ 1] [ ][ ] [ ][ 1]

[ 1][ 1] [ 1][ ] [ 1][ 1]

f i j f i j f i j

f i j f i j f i j

f i j f i j f i j

− − − − +

− +

+ − + + +

[0][0] [0][1] [0][2]

[1][0] [1][1] [1][2]

[2][0] [2][1] [2][2]

a a a

a a a

a a a

積和

処理対象の画像の濃度値 オペレータ

2 2

0 0

[ ][ ] [ 1][ 1] [ ][ ]

k l

g i j f i k j l a k l

= =

= ∑∑ + − + − ⋅

[ ][ ]

f i j を注目画素とし，処理した結果を g i j [ ][ ] とする

空間フィルタを用いた画質改善

• 大きさ３×３の局所処理のアルゴリズム

３×３の局所処理 1:

2:

3:

4:

5:

6:

7:

8:

9:

10:

11:

12:

13:

14:

入力画像：img[N][M]

結果画像：res_img[N][M]

入力画像img[][]の入力

for(y = 1; y < N – 1; y++){

for(x = 1; x < M – 1; x++){

img[y-1][x-1]～img[y+1][x+1]の3×3画素領域 に対する畳み込み計算結果を

res_img[y][x]に格納する }

}

結果画像res_img[][]の出力

空間フィルタを用いた画質改善

• 空間フィルタリングにより行える画質改善

– 平滑化

• ランダムなノイズを除去したり，濃度値の細かい変化を 少なくして見やすい画像にしたりする

– 鮮鋭化

• ぼやけた画像を鮮明にする

• 空間フィルタリングにより行える特徴抽出

– エッジ検出

• 輪郭など濃度値が急激に変化している箇所を検出する

空間フィルタによる画像の平滑化

• 平滑化

– 細かい濃度変化を滑らかな変化に変換する – ローパスフィルタ

• 低周波成分のみを取り出すフィルタ

– 移動平均フィルタ

• 近傍領域内の濃度値の平均値を利用

– 加重平均フィルタ

• 単純に平均するだけでなく，注目する画素の濃度値の重 み大きくして平均した値を利用

– メディアンフィルタ

• エッジを保存しながら平滑化が行える

空間フィルタによる画像の平滑化

• 移動平均フィルタ

– ある画素を中心とした近傍領域内の濃度値の平均 値を，その中心画素の値とする

1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9

2 7 5 6 2 5 3 4 2 7 3 6 5 6 1 7 5 4

1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9

2 7 5 3 4 2 5 6 1

4

1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9

積和 積和

6 2 5 7 5 4 3 6 7

4

＝ ^＝

5

5

移動平均フィルタ

（３×３の場合）

原画像 処理結果画像

空間フィルタによる画像の平滑化

• 大きさ３×３の移動平均アルゴリズム

３×３の移動平均 1:

2:

3:

4:

5:

6:

7:

8:

9:

10:

11:

12:

13:

入力画像：img[N][M]

結果画像：res_img[N][M]

入力画像img[][]の入力

for(y = 1; y < N – 1; y++){

for(x = 1; x < M – 1; x++){

img[y-1][x-1]～img[y+1][x+1]の3×3画素領域 平均値をres_img[y][x]に格納する

} }

結果画像res_img[][]の出力

空間フィルタによる画像の平滑化

• 加重平均フィルタ

– 移動平均では，近傍領域内についてすべて同じ 重みであるため，エッジもぼけてしまう

– 少しでもぼけるのを防ぐために中心付近の重みを 大きくして処理を行う

1/10 1/10 1/10 1/10 2/10 1/10 1/10 1/10 1/10

加重平均フィルタの例

1/16 2/16 1/16 2/16 4/16 2/16 1/16 2/16 1/16

1/36 1/36 1/36 1/36 2/36 2/36 1/36 2/36 4/36

1/36

1/36 2/36

2/36

2/36 2/36 2/36

1/36 1/36

1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

1/36

空間フィルタによる画像の平滑化

• メディアンフィルタ

– 平均値ではなく，近傍領域内の画素の濃度値のうち 中央値（メディアン）の濃度値を中心画素の濃度値と する

０，１，０，１，６，５，６，６

０，０，１，２，４，６，６，６

０，０，１，１，５，６，６，６

原画像

移動平均フィルタの結果

メディアンフィルタの結果 エッジ

エッジがぼけてる

エッジが保存されてる

空間フィルタによる画像の平滑化

• メディアンフィルタの処理アルゴリズム

原画像 処理結果画像

1 3 2 3 4 2 1 2 0

2

1 3 2 3 4 2 1 2 0

1 1 2 2 2 3 3 4

0

並べ替え 中央値

空間フィルタによる画像の平滑化

• 大きさ３×３のメディアンフィルタ処理アルゴリズム

３×３のメディアンフィルタ処理 1:

2:

3:

4:

5:

6:

7:

8:

9:

10:

11:

12:

13:

14:

入力画像：img[N][M]

結果画像：res_img[N][M]

入力画像img[][]の入力

for(y = 1; y < N – 1; y++){

for(x = 1; x < M – 1; x++){

img[y-1][x-1]～img[y+1][x+1]の3×3画素領域 の値を並べ替えたときの中央値を

res_img[y][x]に格納する }

}

結果画像res_img[][]の出力

空間フィルタによる画像の平滑化

• 平滑化の処理結果

原画像 移動平均フィルタ（３×３）

の処理結果

メディアンフィルタ（３×３）

の処理結果

エッジもぼけて しまっている

エッジがいくらか 保存されている

空間フィルタによるエッジの検出

• エッジの検出方法

– エッジとは，対象物の輪郭など濃度値が急激に変化 しているところ

– 画像に対して１次微分を施すと，それが変化の度合 いを示すことになる

– １次微分は差分により近似する

[ ][ ] f i j f i j [ ][ 1] +

[ ][ ] [ 1][ ]

f i j f i + j

[ ][ ] [ ][ 1] [ ][ ] f i j

= f i j + − f i j

[ ][ ] f i j

[ ][ ] f i j

[ ][ ] [ 1][ ] [ ][ ] f i j

= f i + j − f i j x

y

2 2

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ] f i j f i j f i j

∇ = +

微分強度（エッジ強度）

空間フィルタによるエッジの検出

• エッジの検出方法（１次微分の適用）

– １次微分（差分）の計算をオペレータで表現

– 微分強度（エッジ強度）の計算の簡単化

[ ][ ] _x [ ][ ] _y [ ][ ] f i j f i j f i j

∇ = +

ｰ１

ｰ１ １

x

y

( )

[ ][ ] max _x [ ][ ] , [ ][ ] _y

f i j f i j f i j

∇ =

空間フィルタによるエッジの検出

• エッジの検出方法（１次微分の適用）

– 斜め方向のエッジ検出（ Roberts オペレータ）

ｰ１ ０ ０ １

０ １ ｰ１ ０

{ } { ² } ²

[ ][ ] [ 1][ 1] [ ][ ] [ ][ 1] [ 1][ ]

f i j f i j f i j f i j f i j

∇ = + + − + + − +

[ ][ ] [ 1][ 1] [ ][ ] [ ][ 1] [ 1][ ]

f i j f i j f i j f i j f i j

∇ = + + − + + − +

( )

[ ][ ] max [ 1][ 1] [ ][ ] , [ ][ 1] [ 1][ ]

f i j f i j f i j f i j f i j

∇ = + + − + − +

Roberts オペレータ

Roberts オペレータによる微分強度（エッジ強度）

空間フィルタによるエッジの検出

• エッジの検出方法（１次微分の適用）

– Prewitt オペレータ および Sobel オペレータ

• 差分値の位置が注目画素の位置と一致するように差分の とり方を変更

• 平滑化の効果

ｰ１

０ １ ０

ｰ１ ０

０

１

ｰ１ ０ ０

１ １ １ １ ｰ１ ｰ１ ｰ１

ｰ１

０ ２ ０

ｰ１ ０

０

１

ｰ２ ０ ０

１ １ ２ １ ｰ１ ｰ２ ｰ１

x

y

x

y

Prewitt オペレータ Sobel オペレータ

空間フィルタによるエッジの検出

• Prewitt オペレータによる縦方向エッジ（ x 方向の差分）の検出

Prewitt

1:

2:

3:

4:

5:

6:

7:

8:

9:

10:

11:

12:

13:

14:

15:

16:

入力画像：img[N][M]

結果画像：res_img[N][M]

入力画像img[][]の入力

for(y = 1; y < N - 1; y++){

for(x = 1; x < M - 1; x++){

img[y-1][x+1]+img[y][x+1]+img[y+1][x+1]

-(img[y-1][x-1]+img[y][x-1]+img[y+1][x-1])の絶対値を計算

その値が0より小さければ0と置き換える

res_img[y][x]にその値を代入する

} }

結果画像res_img[][]の出力

空間フィルタによるエッジの検出

• エッジの検出方法（２次微分の適用）

– ２次微分（差分の差分）を用いたエッジ検出

[ ][ 1] [ ][ ] [ ][ 1]

f i j − f i j f i j +

[ 1][ ] [ ][ ] [ 1][ ]

f i j

f i j

f i j

−

+

{ }

{ }

[ ][ ] [ ][ 1] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ 1]

[ ][ 1] 2 [ ][ ] [ ][ 1]

f i j

f i j f i j

f i j f i j f i j f i j f i j

= + −

− − −

= − − + +

[ ][ ] f i j

x

[ ][ 1]

f i j

−

[ ][ ] f i j

[ ][ ] f i j

[ 1][ ] f i

− j [ ][ ]

f i j

{ }

{ }

[ ][ ] [ 1][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ 1][ ] [ 1][ ] 2 [ ][ ] [ 1][ ]

f i j

f i j f i j

f i j f i j

f i j f i j f i j

= + −

− − −

= + − + −

y

空間フィルタによるエッジの検出

• エッジの検出方法（２次微分の適用）

– ラプラシアン（２次微分）オペレータ

– x 方向の２次微分と y 方向の２次微分を加える

2 [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ 1][ ] [ ][ 1] 4 [ ][ ] [ 1][ ] [ ][ 1]

xx yy

f i j f i j f i j

f i j f i j f i j f i j f i j

∇ = +

= − + − − + + + +

0 1 0

1

4 1

0 1 0

ラプラシアンフィルタ

空間フィルタによる画像の鮮鋭化

• 鮮鋭化

– エッジの部分は画素値が急に変化している – 急な変化がゆるやかになると輪郭がぼやける

– 画素値の変化を強調させることでぼやけた画像を 鮮明な画像にすることを鮮鋭化という

座標

x

濃度値

f ( x )

f ( x )

座標

x

値が急に変化 値が徐々に変化

変化の差が 少ない

エッジがはっきりしている エッジがぼやけている

• 画像の２次微分による鮮鋭化の概念

アンダーシュート オーバーシュート

空間フィルタによる画像の鮮鋭化

鮮鋭化

空間フィルタによる画像の鮮鋭化

• 鮮鋭化フィルタ

– ラプラシアン（２次微分）の結果を原画像から差し引く

[ ][ ] [ ][ ] 2 [ ][ ]

[ 1][ ] [ ][ 1] 5 [ ][ ] [ 1][ ] [ ][ 1]

g i j f i j f i j

f i j f i j f i j f i j f i j

= − ∇

= − − − − + − + − +

0

1 0

－

1 5

1 0

1 0

４近傍鮮鋭化フィルタ

－

1

1

1

－

1 9

1

－

1

1

1

８近傍鮮鋭化フィルタ

斜め方向の ２次微分も 加えたもの

空間フィルタによる画像の鮮鋭化

• 鮮鋭化の処理結果

原画像 移動平均フィルタ（３×３）

によりぼかした画像

８近傍鮮鋭化フィルタ による処理結果