最大・最小の応用

10 練習問題１

数

５

数

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最大・最小の応用

解

AB＝3cm^，AD＝4cm^長方形 ABCD ^の辺 AB^，BC^，DA ^上 にそれぞれ点 P^，Q^，R ^をとり，AP＝2x^，CQ＝x^，DR＝3x  とする。x がいろいろな値をとって変化するとき，△PQR ^の 面積の最小値とそのときの x の値を求めなさい。 

A

B C

R D

P

Q

4 −3x

3x 2x

3−2x

4− x ^x

3

点 P^，Q^，R ^{はそれぞれ辺} AB^，BC^，DA ^{上にあるので，}

0 ≦ 2x ≦ 3, 0 ≦ x ≦ 4, 0 ≦ 3x ≦ 4

よって，

0 ≦ x ≦ 4 3

△PQR ^の面積を S ^{とおくと，}

S ^{＝（長方形}ABCD^）−（△APR^）−（△BQP^{）−（台形}CDRQ^）

= 3⋅ 4− 1

2 ⋅ 2x(4− 3x) − 1

2 ⋅(3−2x)(4−x) − 1

2 ⋅ (x + 3x) ⋅3

= 12− 1

2(8x − 6x²+ 12−11x + 2x²+ 12x)

= 12 + 2x²− 9

2 x −6

= 2x²− 9

2 x + 6

= 2(x − 9 8)

2+ 11132 x

S

O 4

3 9 8 1116

32

よって，

x = 98 ^で最小値 111 32