「回る卵の研究物語」
慶應義塾大学法学部教授 下村 裕講義内容
回る卵の研究物語
1. 回転卵?
2. 立ち上がりの解明
3. ジャンプの発見
4. まとめ
• 回転卵
– テーブル上で十分速く回転させると
ゆで
卵は立ち
上がる
• 重心が上昇する
• 生卵は?
– 碁石も立ち上がる
– 逆立ちゴマの重心も上昇する(機構は解明済み)
Hugenholtz, N. M. “On tops rising by friction” Physica 18(1952)515-527.1. 回転卵?
4
逆立ちゴマ(
the tippe top)
おもちゃに興じる
ノーベル賞受賞者二人
« How wonderful that we
have met with a paradox.
Now we have some hope
of making progress! »
Wolfgang Pauli and Niels Bohr, demonstrating 'tippe top' toy at the inauguration of the new Institute of Physics at Lund; Sweden in 1954 http://photos.aip.org/
回転ゴマは立ち上がる
:重心上昇
1. 回転ゴマではn>>Ωなので、ほぼ 角運動量 ∥z軸。 2. また、コマは接触点Pに おいて+Y方向に滑っている。 3. 従って、摩擦力は-Y方向を 向いている。 4. よって、重心Oのまわりの 摩擦力による力のモーメント は図の向きとなる。 5. 角運動量 は 方向の成分 が増す。 6. 1.の結果、 が小さくなる のでコマは立つ。 ⃗ Z X x z O h( ) P ⃗回転卵は?
1. 回転卵では、Ω n なので、 角運動量 ∥z軸ではない。 2. また、少なくとも初めはΩ>n なので、コマは接触点Pに おいて-Y方向に滑っている。 3. 従って、摩擦力は+Y方向を 向いている。 4. よって、重心Oのまわりの 摩擦力による力のモーメント は図の向きとなる。 5. 角運動量 は 方向の成分 が増す。 6. しかし1.のため、 変化は不明。 ≈ Z X x z O h( ) P ⃗Keith Moffatt & Y. S.
背景
• 1982:
回転卵に関する記事
– 「コマの科学」戸田盛和著
• 1984:
モファット先生の教科書で流体
力学を学ぶ
– モファット渦等
• 1986: モファット先生の論文を引用
– 私にとって伝説的な大先生
• 2000~2002:
ケンブリッジ大学訪問教
授
– 工学部CFD研究室、ホプキンソン
研究室にて燃焼乱流のモデル化
を研究
• 2001.3:
燃焼乱流のモデル化研究が
行き詰る
An Open Question
• 2001.3:
モファット教授による「
オイラーディスク
」に関する
講演(CMS, Cambridge)
– 回転ゆで卵の運動は定期数学試験の良い問題?
– しかし回転生卵の運動は未解決の問題
An Open Question
– 回転生卵の問題を解いてみよう!
• 2002.3:
生卵の問題にとりかかる前に、より簡単なゆで卵
の問題についてモファット先生の結果を確かめるべき
– (線形)安定性理論• 2002.4:
立ち上がりにつながる不安定性が理論的に示せ
ず、行き詰る
– 回転する回転楕円体は中立安定
(テーブルとの接触点で摩擦を受けず滑る場合、ある
いは転がる場合)
共同研究
• 2001.3:
記念コンサートにおけるモファッ
ト先生との出会い
David Crighton Memorial Concert
– 接触条件の手短な議論
– 共同研究のオファー
•2001.5:
共同研究開始
2. 立ち上がりの解明
• 2001.6-9: ニュートン研究所で週一回の会合 – 多忙なニュートン研究所所長モファット先生 • オイラー方程式におけるモファット先生の誤り • ゆで卵問題は解けていなかった! 数学試験問題には適さない • 弘法も筆の誤り ? • 伝説的な先生も人間 – 回転する回転楕円体は立ち上がらない (テーブルとの接触点で摩擦を受けず滑る場合、あるいは転が る場合) – 立ち上がり条件の模索 • 重心位置のずれ? • 形?二つの立ち上がる条件
試行錯誤の
検証
• 数値シミュレーションで初めて立ち上がる
重心のずれた回転楕円体が摩擦を受けて滑
る場合
重心がずれていなくても
OK
• 発見的仮説:
初期の回転数が
70
rad/sで不安定
二つの立ち上がる条件
• 速く回すこと
• 小さな摩擦を受けながら滑ること
• 弱いエネルギー散逸
• 卵型の回転楕円体は
Ω>(5g/b)
1/2
で不安定
•
G=980 cm/s
2, b=1の場合、
(5g/b)
1/2=√4900=
70
!
• 四つの定常状態
鉛直回転、水平回転、中間回転、純粋転がり
• 2001.11:
モファット先生イタリアへ出張
パネッティーフェラーリ国際賞受賞
金メダル
イタリアへ向かう列車の中で計算
• 2001.11.16:
(「ハリーポッターと賢者の石」一般公開日)トリニティコレッジでの会合
– 金メダルのモファット先生 – “ジャイロスコピック バランス”条件 のものとで、通常は解けない方程式の解 を得たという!• 地衡流近似
(圧力勾配=コリオリ力)からの発想
ジャイロスコピック バランス
Cn
A cos
• エネルギー散逸非線形における断熱不変量の存在
ジェレット定数(
Jellett constant)
– 逆立ちゴマのような球形物体に対しては厳密な運
動定数
– 他の軸対象物体に対しては近似的な運動定数
• 断熱
= 時間的にゆっくり変化する運動のみに注目
解の鍵
ジェレット定数:
const.
~
h
r
L
J
立ち上がる機構
h Ω h Ω Ω h Ω hconst.
~
h
J
•摩擦によって徐々に
Ω が減る.
• これは、 Ω・h ~ const. により、h
が徐々に増加することを意味する.
• つまり重心が上昇する!
ジェレット定数:歴史
逆立ちゴマのような球形物体に対するジェレット定数
– ジェレット (1872)が初めて近似的に発見(滑り条件の場
合)
– ラウス (1905)が初めて厳密に証明
(滑り条件と転がり条件両方の場合について)
• 1854年の数学試験でラウスが1番、かのマクスウェル
は2番
– ホプキンソンはラウスにコーチされて1871年の試験で1番
となる
• 私の所属していた研究室はホプキンソン研究室
回転卵は立ち上がる
1. 回転卵ではΩ n >>1 だから、 ほぼ、角運動量 ∥Z軸。 ∵ 時間変化を考えている座標系は で回転する座標系なので回転効果 が働く:コリオリ効果 × が働く。 ここで、Ωが非常に大きいので、 の時間変化においてコリオリ効果 が小さいはず。よって、 と は 平行でZ方向。 2. は 方向の成分が増す。 3. 1と2を両立させるために、 が小さくなる。つまり、卵が立つ。 回転軸に平行なベクトルには 回転効果が働かない! ≈ Z X x z O h( ) P ⃗ はほぼY方向。 よってジェレット定数が存在する。 = ⃗⁄ =− ⁄ ⃗ ⁄ − ⃗⁄ = − ⃗⁄ ≈0 ∵ ⃗⁄パリ
• 2001.12:
モファット先生はケンブリッジを後に、パリ
のエコールノルマルスーペリウールへ旅立つ
• 一人ケンブリッジに残された私
– ジョンソン教授に摩擦の形を質問• ジャンプに気づく!
• 2002.1: モファット先生からパリへの招待
– ネイチャーに投稿する論文を仕上げるため – ホテルに置かれていたモファット先生のメモ • 理論が一般化され、任意の軸対称物体に適用可能となる – タイユバンでの共同研究成功祝い – モファット先生は親友に!• 2002.3.28:
イースターの時期にネイチャーに
発表!
– H. K. Moffatt & Y. Shimomura:
“Spinning eggs a paradox resolved
---Nature 416, 385-386 (2002)
• 世界中のメディアが報道
ネイチャー
Times
THE TIMES THURSDAY MARCH 28 2002 THE TIMES THURSDAY MARCH 28 2002Things you didn’t know you need to know
ロンドン科学博物館への招待
3. ジャンプの発見
•Y. Shimomura, M. Branicki & H. K. Moffatt,
2005 Dynamics of an axisymmetric body spinning on a horizontal surface. Part II: Self-induced jumping. Proc. Roy. Soc. A 461, 1753-1774. (Theory)
• T. Mitsui, K. Aihara, C. Terayama, H. Kobayashi & Y. Shimomura, 2006 Can a spinning egg really jump? Proc. Roy. Soc. A 462, 2897- 2905. (Experiment)
高速回転する回転楕円体のジャンプ
Z X x z g n O h( )自己誘導ジャンプ
ジャンプの仮説
• 2001.12: ジャンプ仮説 発見的仮説 – 高速回転のシミュレーションが異常終了 テーブルからの垂直抗力が消えていた! ジャンプの可能性! • 2002.4~: もう一人の共同研究者 – ミカール ブラニッキジャンプの仮説
– 高速回転で計算不能
– なぜ?
– ゆらぎ
– 垂直抗力
Rの増幅振
動
–
R が0となる
– 速度が上向きなら
ジャンプ?
00 5 10 15 1 2 t R0
R
Cf. エレベーター、スピニージャンプする機構
スピニー(Spinney Wind Up, 1998, Kikkerland) おもり重心の円運動
ジャンプする機構
おもり重心の円運動 ℎ̈ = −2時間スケール理論
• 数値シミュレーション – ジャイロスコピック解(GS): 遅い時間スケールの平均運動 [Nature 416, 385-386 (2002)] – GSからのずれ: 速い時間スケールのゆらぎ運動 • 2時間スケール理論 – 乱流理論からの発想 – 非常に小さいジャンプ!mm
1
.
0
~
高さ
s
01
.
0
~
滞空時間
慶應義塾大学での実験
• 2003.4: 実証するために慶應チームを組織 – 三井, 相原, 寺山, 小林, 下村 • 2006.4:実証論文の出版 (2005.6:理論論文の出版)ジャンプの実証1
回転卵のジャンプを示す動画ジャンプの実証2
Sound Capacitance Δmax1.
不思議を感じる心
• 注意深い観察
2. 共同研究の力
• 他の人と交流
3. 正直であること
• 分かったふりをしない
4. 単純な説明
• 真の理解は簡単な言葉で表現される
4. まとめ
論文
• Moffatt, H. K. & Shimomura, Y., “Spinning eggs --- a paradox resolved.” Nature 417(2002)385 -386.
• Moffatt, H. K., Shimomura, Y. & Branicki, M., “Dynamics of an axisymmetric body spinning on a horizontal surface. Part I: Stability and the gyroscopic approximation.” Proc. Roy. Soc. A 460(2004)3643-3672.
• Shimomura, Y., Branicki, M. & Moffatt, H. K., “Dynamics of an axisymmetric body spinning on a horizontal surface. Part II: Self-induced jumping.”
Proc. Roy. Soc. A 461(2005)1753-1774.
• Branicki, M., Moffatt, H. K. & Shimomura, Y., “Dynamics of an axisymmetric body spinning on a horizontal surface. Part III: Geometry of steady state structures for convex bodies.”
Proc. Roy. Soc. A 462(2006)371-390.
• Mitsui, T., Aihara, K., , Terayama, C., Kobayashi, H. & Shimomura, Y., “Can a spinning egg really jump?”
Proc. Roy. Soc. A 462(2006)2897- 2905.
• Branicki, M. & Shimomura, Y., “Dynamics of an axisymmetric body spinning on a horizontal surface. Part IV: Stability of steady spin states and the ‘rising egg’ phenomenon for convex axisymmetric bodies.”
Proc. Roy. Soc. A 462(2006) 3253-3275.