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Microsoft PowerPoint - 回る卵の研究物語

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Academic year: 2021

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全文

(1)

「回る卵の研究物語」

慶應義塾大学法学部教授 下村 裕

講義内容

回る卵の研究物語

1. 回転卵?

2. 立ち上がりの解明

3. ジャンプの発見

4. まとめ

• 回転卵

– テーブル上で十分速く回転させると

ゆで

卵は立ち

上がる

• 重心が上昇する

• 生卵は?

– 碁石も立ち上がる

– 逆立ちゴマの重心も上昇する(機構は解明済み)

Hugenholtz, N. M. “On tops rising by friction” Physica 18(1952)515-527.

1. 回転卵?

4

逆立ちゴマ(

the tippe top)

おもちゃに興じる

ノーベル賞受賞者二人

« How wonderful that we

have met with a paradox.

Now we have some hope

of making progress! »

Wolfgang Pauli and Niels Bohr, demonstrating 'tippe top' toy at the inauguration of the new Institute of Physics at Lund; Sweden in 1954 http://photos.aip.org/

回転ゴマは立ち上がる

:重心上昇

1. 回転ゴマではn>>Ωなので、ほぼ 角運動量 ∥z軸。 2. また、コマは接触点Pに おいて+Y方向に滑っている。 3. 従って、摩擦力は-Y方向を 向いている。 4. よって、重心Oのまわりの 摩擦力による力のモーメント は図の向きとなる。 5. 角運動量 は 方向の成分 が増す。 6. 1.の結果、 が小さくなる のでコマは立つ。 ⃗ Z X x z O h( ) P ⃗

回転卵は?

1. 回転卵では、Ω n なので、 角運動量 ∥z軸ではない。 2. また、少なくとも初めはΩ>n なので、コマは接触点Pに おいて-Y方向に滑っている。 3. 従って、摩擦力は+Y方向を 向いている。 4. よって、重心Oのまわりの 摩擦力による力のモーメント は図の向きとなる。 5. 角運動量 は 方向の成分 が増す。 6. しかし1.のため、 変化は不明。 ≈ Z X x z O h( ) P ⃗

(2)

Keith Moffatt & Y. S.

背景

• 1982:

回転卵に関する記事

– 「コマの科学」戸田盛和著

• 1984:

モファット先生の教科書で流体

力学を学ぶ

– モファット渦等

• 1986: モファット先生の論文を引用

– 私にとって伝説的な大先生

• 2000~2002:

ケンブリッジ大学訪問教

– 工学部CFD研究室、ホプキンソン

研究室にて燃焼乱流のモデル化

を研究

• 2001.3:

燃焼乱流のモデル化研究が

行き詰る

An Open Question

• 2001.3:

モファット教授による「

オイラーディスク

」に関する

講演(CMS, Cambridge)

– 回転ゆで卵の運動は定期数学試験の良い問題?

– しかし回転生卵の運動は未解決の問題

An Open Question

– 回転生卵の問題を解いてみよう!

• 2002.3:

生卵の問題にとりかかる前に、より簡単なゆで卵

の問題についてモファット先生の結果を確かめるべき

– (線形)安定性理論

• 2002.4:

立ち上がりにつながる不安定性が理論的に示せ

ず、行き詰る

– 回転する回転楕円体は中立安定

(テーブルとの接触点で摩擦を受けず滑る場合、ある

いは転がる場合)

共同研究

• 2001.3:

記念コンサートにおけるモファッ

ト先生との出会い

David Crighton Memorial Concert

– 接触条件の手短な議論

– 共同研究のオファー

2001.5:

共同研究開始

2. 立ち上がりの解明

• 2001.6-9: ニュートン研究所で週一回の会合 – 多忙なニュートン研究所所長モファット先生 • オイラー方程式におけるモファット先生の誤り • ゆで卵問題は解けていなかった! 数学試験問題には適さない • 弘法も筆の誤り ? • 伝説的な先生も人間 – 回転する回転楕円体は立ち上がらない (テーブルとの接触点で摩擦を受けず滑る場合、あるいは転が る場合) – 立ち上がり条件の模索 • 重心位置のずれ? • 形?

二つの立ち上がる条件

試行錯誤の

検証

• 数値シミュレーションで初めて立ち上がる

重心のずれた回転楕円体が摩擦を受けて滑

る場合

重心がずれていなくても

OK

• 発見的仮説:

初期の回転数が

70

rad/sで不安定

(3)

二つの立ち上がる条件

• 速く回すこと

• 小さな摩擦を受けながら滑ること

• 弱いエネルギー散逸

• 卵型の回転楕円体は

Ω>(5g/b)

1/2

で不安定

G=980 cm/s

2

, b=1の場合、

(5g/b)

1/2

=√4900=

70

• 四つの定常状態

鉛直回転、水平回転、中間回転、純粋転がり

• 2001.11:

モファット先生イタリアへ出張

パネッティーフェラーリ国際賞受賞

金メダル

イタリアへ向かう列車の中で計算

• 2001.11.16:

(「ハリーポッターと賢者の石」一般公開日)

トリニティコレッジでの会合

– 金メダルのモファット先生 – “ジャイロスコピック バランス”条件 のものとで、通常は解けない方程式の解 を得たという!

• 地衡流近似

(圧力勾配=コリオリ力)からの発想

ジャイロスコピック バランス

Cn

A cos

• エネルギー散逸非線形における断熱不変量の存在

ジェレット定数(

Jellett constant)

– 逆立ちゴマのような球形物体に対しては厳密な運

動定数

– 他の軸対象物体に対しては近似的な運動定数

• 断熱

= 時間的にゆっくり変化する運動のみに注目

解の鍵

ジェレット定数:

const.

~

h

r

L

J

立ち上がる機構

h Ω h Ω Ω h Ω h

const.

~

h

J

摩擦によって徐々に

Ω が減る.

• これは、 Ω・h ~ const. により、h

が徐々に増加することを意味する.

• つまり重心が上昇する!

ジェレット定数:歴史

逆立ちゴマのような球形物体に対するジェレット定数

– ジェレット (1872)が初めて近似的に発見(滑り条件の場

合)

– ラウス (1905)が初めて厳密に証明

(滑り条件と転がり条件両方の場合について)

• 1854年の数学試験でラウスが1番、かのマクスウェル

は2番

– ホプキンソンはラウスにコーチされて1871年の試験で1番

となる

• 私の所属していた研究室はホプキンソン研究室

回転卵は立ち上がる

1. 回転卵ではΩ n >>1 だから、 ほぼ、角運動量 ∥Z軸。 ∵ 時間変化を考えている座標系は で回転する座標系なので回転効果 が働く:コリオリ効果 × が働く。 ここで、Ωが非常に大きいので、 の時間変化においてコリオリ効果 が小さいはず。よって、 と は 平行でZ方向。 2. は 方向の成分が増す。 3. 1と2を両立させるために、 が小さくなる。つまり、卵が立つ。 回転軸に平行なベクトルには 回転効果が働かない! ≈ Z X x z O h( ) P ⃗ はほぼY方向。 よってジェレット定数が存在する。 = ⃗⁄ =− ⁄ ⃗ ⁄ − ⃗⁄ = − ⃗⁄ ≈0 ∵ ⃗⁄

(4)

パリ

• 2001.12:

モファット先生はケンブリッジを後に、パリ

のエコールノルマルスーペリウールへ旅立つ

• 一人ケンブリッジに残された私

– ジョンソン教授に摩擦の形を質問

• ジャンプに気づく!

• 2002.1: モファット先生からパリへの招待

– ネイチャーに投稿する論文を仕上げるため – ホテルに置かれていたモファット先生のメモ • 理論が一般化され、任意の軸対称物体に適用可能となる – タイユバンでの共同研究成功祝い – モファット先生は親友に!

• 2002.3.28:

イースターの時期にネイチャーに

発表!

– H. K. Moffatt & Y. Shimomura:

“Spinning eggs a paradox resolved

---Nature 416, 385-386 (2002)

• 世界中のメディアが報道

ネイチャー

Times

THE TIMES THURSDAY MARCH 28 2002 THE TIMES THURSDAY MARCH 28 2002

Things you didn’t know you need to know

ロンドン科学博物館への招待

3. ジャンプの発見

•Y. Shimomura, M. Branicki & H. K. Moffatt,

2005 Dynamics of an axisymmetric body spinning on a horizontal surface. Part II: Self-induced jumping. Proc. Roy. Soc. A 461, 1753-1774. (Theory)

• T. Mitsui, K. Aihara, C. Terayama, H. Kobayashi & Y. Shimomura, 2006 Can a spinning egg really jump? Proc. Roy. Soc. A 462, 2897- 2905. (Experiment)

(5)

高速回転する回転楕円体のジャンプ

Z X x z g n O h( )

自己誘導ジャンプ

ジャンプの仮説

• 2001.12: ジャンプ仮説 発見的仮説 – 高速回転のシミュレーションが異常終了 テーブルからの垂直抗力が消えていた! ジャンプの可能性! • 2002.4~: もう一人の共同研究者 – ミカール ブラニッキ

ジャンプの仮説

– 高速回転で計算不能

– なぜ?

– ゆらぎ

– 垂直抗力

Rの増幅振

R が0となる

– 速度が上向きなら

ジャンプ?

00 5 10 15 1 2 t R

0

R

Cf. エレベーター、スピニー

ジャンプする機構

スピニー

(Spinney Wind Up, 1998, Kikkerland) おもり重心の円運動

ジャンプする機構

おもり重心の円運動 ℎ̈ = −

2時間スケール理論

• 数値シミュレーション – ジャイロスコピック解(GS): 遅い時間スケールの平均運動 [Nature 416, 385-386 (2002)] – GSからのずれ: 速い時間スケールのゆらぎ運動 • 2時間スケール理論 – 乱流理論からの発想 – 非常に小さいジャンプ!

mm

1

.

0

~

高さ

s

01

.

0

~

滞空時間

(6)

慶應義塾大学での実験

• 2003.4: 実証するために慶應チームを組織 – 三井, 相原, 寺山, 小林, 下村 • 2006.4:実証論文の出版 (2005.6:理論論文の出版)

ジャンプの実証1

回転卵のジャンプを示す動画

ジャンプの実証2

Sound Capacitance Δmax

1.

不思議を感じる心

• 注意深い観察

2. 共同研究の力

• 他の人と交流

3. 正直であること

• 分かったふりをしない

4. 単純な説明

• 真の理解は簡単な言葉で表現される

4. まとめ

論文

• Moffatt, H. K. & Shimomura, Y., “Spinning eggs --- a paradox resolved.” Nature 417(2002)385 -386.

• Moffatt, H. K., Shimomura, Y. & Branicki, M., “Dynamics of an axisymmetric body spinning on a horizontal surface. Part I: Stability and the gyroscopic approximation.” Proc. Roy. Soc. A 460(2004)3643-3672.

• Shimomura, Y., Branicki, M. & Moffatt, H. K., “Dynamics of an axisymmetric body spinning on a horizontal surface. Part II: Self-induced jumping.”

Proc. Roy. Soc. A 461(2005)1753-1774.

• Branicki, M., Moffatt, H. K. & Shimomura, Y., “Dynamics of an axisymmetric body spinning on a horizontal surface. Part III: Geometry of steady state structures for convex bodies.”

Proc. Roy. Soc. A 462(2006)371-390.

• Mitsui, T., Aihara, K., , Terayama, C., Kobayashi, H. & Shimomura, Y., “Can a spinning egg really jump?”

Proc. Roy. Soc. A 462(2006)2897- 2905.

• Branicki, M. & Shimomura, Y., “Dynamics of an axisymmetric body spinning on a horizontal surface. Part IV: Stability of steady spin states and the ‘rising egg’ phenomenon for convex axisymmetric bodies.”

Proc. Roy. Soc. A 462(2006) 3253-3275.

『ケンブリッジの卵

---回る卵はなぜ立ち上がりジャンプするのか』

慶應義塾大学出版会(2007)

研究物語

「 ち ょ っ と 大 げ さ か も し れ な い が 、 私 は 回 転 卵 の 数 理 に 神 秘 を 感 じ た 。 こ の 問 題 は 奥 深 く 美 し い も の に 違 い な い 。 」

(7)

『卵が飛ぶまで考える

---物理学者が教える発想と思考の極意』

日本経済新聞出版社

(2013)

科学的思考法

『犬も歩けば物理にあたる

---解き明かされる日常の疑問』

慶應義塾大学出版会

(2014)

身近な不思議

参照

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