有限変形非線形粘弾性体における非線形波動伝播

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[:ftUDC:N}550.

347

Journat of Strvctura] a]d CenstiuctionEngineering

(Transactionsof AIJ)No.401,'July,1989

N"eee#ftzzva$ncRwg,ff

eg4Olg' ･19g9." 7 fi'

NONLINEAR

WAVES

PROPAGATION

IN

FINITE

'

NONLINEAR

VISCOELASTIC

MATERIALS

by

MASANORI

IZUMI

and

SONG-TAO

XUE

Members of A.I.

J.

1.Introduction

To investigatethe response of soil-structure interactionduringgreatearthquake, itisimportanttostudy the

nonlipear behaviorof soil. We have_presenteda FiniteNonlinearViscoelasticConstitutiveLaw forsoil where soiL .wasconsidered as viscoelastic continuous media with fadingmemory･ and we havegiven out some examples. in

reference

O.

As ithasbeen_pointed,the constitutive law iscorrect fola lotof cases. For the reaspn that itis

importanttostudy thebehaviorof wave _propagation insoil innonlinear soil-structure interaction_problem during

great earthquake, inthispaper, as thefollpvying step of the previous work, we will study thepropagation of

acceleration wave anclshock wave inFiniteNonlinearViscoelasticMateTial. '

Si"guLar surface theoryhasbeen very well developeclduringthelastthreedecades ap.d hasbeen used to study nonlinear elastic acceleration wave ancl shock wave inreferences 2). 3),4), 5). NonlLnearviscoelastic wave

propagation has also beeh studied in references 6),7),8}. In reterences'9), 10),

Jeffrey

used thb concePt '

"intensity"

tostudy the acceleration waves in_generalnonlinear elastic inaterialand hasachieyed thesame results with thatin'references2),3). Arrangement

_Qn

these results tells us thatthewavefroht propagation of acceleration wave will followtheBernoullidifferentialequation while the wavefront of sfiock wave is very difficil.lttobe under$togdi

AS ispointed above, singular surface theory has achieved a lot of successes, btithasbeenintroauced into earthquake engineering Iittleor nothing. The reason why a wave clan _propagate,forexample an earthquake wave, is dueto the _propagationof singular su4ace. Especiallythe propagation of a discontinuous wave, for example an '

'

earthquake wave, can beconsidered as the_propagationof many singular surfaces, becausediscontinuitymeans there

'

are discontinuouselements, and singular surface isbasedon the discontinuityof strain or acceleration. Inother words, an earthquake wave can

be

regarded as many singular surfaces _propagateeverywhere and everytimei

On

the

contrary, ifwe can make itclear thatthe earthquake wave isan acceleration singular surface, a shock singular

.t ' '

surface er a mixed one, then _greatsuccess we wi[l achieve. _. '

'

Inthis_pape[,. we will firstlyintroducethefundamental consideration ofsingular surface theory.Making use of the foundamentalkinematictheory, we will deriveout thebasicwayefront propagatingequations forbothacceLeratlon wave and shock wave.

Inthe third section, basedon the constLtutive law_presentedinreference ])and basic_propagating equations of acceleration w4ve intreducedinsection two, speed _propagatingequation and wavefront p'ropagqting equation wil1 be deriyedferacceleration wave. Itistrtte,as we hadexpected, thatthewavefront propagatingequation isof Bernoulli

type. To understand the behaviorof acceleration wave better,we will also derive the speed and wavefront

propagatingequations forinfinitesimallinearviscoelastic materiql. Aswe expected, speed and wavefront inlinear '

case are the same ･withthat in references 5},11). '

Inthefour[h section, basedon theconstituLive law _presentedin Fe.feTence 1} and/ basic_propagating equations of

shock wave introclucedin section two, speed propagating equation and

'wavefront

propagating equation will be

derivedforshock wave. We can findout, that the wavefr6nt will

foltow

the

differential

equation

{4.10).

To

" _{Prefessor,Tohoku Univ.,Dr.Eng.} ** _{Graduate St'udentTohoku Univ}

i

(Manuscript recelvcd Novernbert

.1,

198S/Paper Accepled April26,]989)

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understand the

behavior

of shock wave better,we will also deriveequatiens forinflnitesimallinearviscoeiastic material. Aswe expectecl, speed and wavefront insuch a case are thesame with thatinreferences 11)and thesame with thatof acceleration wave.

Throughoutallthispaper,

for

simplicity, we laydown only to

finish

our study inofie

dimension.

2. PROPAGATtON OF SINGULAR SURFACE INCONTINUOUS MEDIA

Singularsurface theoryhasbeenwell developedtostudy wave propagationincontlnuov.s media du.ringthelast

three

decades.

Inthissection, we will not want to_ptttourselves tothe

detail

study ofthistheory,butonly summarize the main one dimensional equations which will be very useful after next section.

2.1. Fundamental kinematictheory and singutar surface

Considera one dimensionbody B, identifiedwith a region inEuctldeanspace. The motion of the body is

describedby a functionx _giving the _position

x=x(X,t)･---･--r--･---･-･･---･---･-･-･-･---･---･---･---･---･---･(2.1)

at time tof each materiaL _pointof the bodywho$e _positioninthe reference configuration isX. Followingthe current

terminology,we shall call X thematerial coordinate and x thespatial coordinate. Themotion or deformationof the

body carries variolis material _pointsthrough varieus spatial _positions.

From thismotion function,we can obtain the followingbasickinematicequations a.

Deformationgradient F isdefinedas F(X, t)=

X(X, t)---･--･---･---

(2.

2)

ax a

Velocityof each _point X at time t isdefinedas th{X,t)=at xCX.t)''-''''''H''''-'''''''''''''''''''''''''(2･3)

where ' means differentiationwith respect to time t.

a!

Accelerationof each _pointX at time tisdefinedasX(X, t>=

ot

, X(X, t)----･---･---･-･-･･

(2,

4)

where " means two orders differentiationwith respect to time _t.

Historyof deformation_gradient Ft{X.s)= F{X, t-s) OSs<oo･･･････-･･･-････-･･･

(2.5)

Now consider a surface X==Y

(

t)which dividesthe body_B intothe regions B'and B- and fornisa common boundarybetweenthem, Let _g(X, t)beascalar-valued functionsuch thatg<X, t)isacontinuous functic)nexcept at X=Y(t).

If:[st==gL-g'iO--･･--･--･･････-･･-･･･････････-･･･-･--･･--･･･-･･･-･･･････-････-･-･･--･--･･････-･･･-･･-･･････････-････---･･･--(2.6)

then surface X=Y(t) issaid tobea singular surface

(References

2), 3)).

where :g'==g(V(t)', t)= lim_g(X, t}･･-･･････････-･･･--･･:････････-･･･････-････-･････････････-･･････-･･････-･･-･･･-･･-･･-･･-

(2.

7)

xln4

g=g(Y(t)', t)= 1img(X. t)･･･････-･-･･･-････････････-･････････････････-･････････-････････-･･-･････････････････-･･(2.s)

xTM4

Therefore,the

jump

[gt

isa functionof Y

(

t)and t.HereX!=Y

(

t)means thatX isat thesingular sttrface.

Thespeed of _propagationof wavefront hasb'eendefinedas the speed of _propagationof singular surface vihich has

the follewing

form

dY(t)

V(t)== dt

.."H-."H".""".""-H"".""",.h,",,"-".--.---･･･HH･･-･-･･･---･---･---(2,9)

A very famousequation called kinematicalcondition of cornpatibility at the singular surface can bewritten out

directlyfromreferences 2), 3) without any derivations.

dd[gt]=[g]+v[aexg]･--･---･-･･-･-･-･---･---･･---･----･---･---･--(z.io)

Balanceof rnomentum asserts thatfoTeach_partof the bodyboundedbythe _pairof _pointsX.,X,and fora]1times _t

ddt .Cb pR

(X)

th

{X,

t) dX=T(x,, t)-T(x., t) ･･-･----･---･･･---･---･---･･-･-･(2.11) where we had tacitly _presllmedthatthere isno external body forceand where

T

means stress, _pRmeans deRsityin

reference configuration.

Ifwe make assumption thatthe densitythroughout thisbody isconstant inthe reference configuration, then

balance of momentum at singular surface X= Y(t) _gives

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[T]=-thV[ab]-･---･---･･-･--･---･･---･----･･-･--･---･--L--･-･･-(2,IZ)

'

[g:]-p,[x]-･--･･'-I-i-:-･-･･---･---･---･-･,--･･-･･-,･-L--:----･･-･(2,i3)

' '

[oat2oTx

]=th

[x]

---･･･---･･･--･---･--- -L･c2. i4)

Based on allthese equations-we can now _pTesentthedefinitionsof acceleration wave and shock wave, and _present

thegeneral prbpqgFting equations ipthe

following

secViens.

2.2 Acce'lefation singular surface

A propagatingsingular surface issaid to be an acceleration wave ifthe followingcondition holds _:

x(.X,t},'･dr(X,t)and F(X, t)are continuous functionseverywhere;- ,

x{x, t), _{eOx F}

(x,

t},

P

(x,

t), Oa'xF,

(x,

t), _aa.'

gt

{x,

t) and

F(x.

t)

have

_jump

discQntinuitiesacross X= Y

(

t>butare continuous functionseyerywhere else. Inthiscase, the

jump

in

' a6c,eleration iscalled the amplitude of the aqceleration wave and isnoted as a(t)..

a(t)=={X](Y(t),t)-`･--･---･･-･---･---･--･---･.----･---･---･(2,15)

The compatibility condition

(2.10)

of acceleration singular surface with_{g(X,t)=ith(X,t),} F{j(,t), and

bo(X,t) means

[x]=-v[F]=v![gFx]-･--･･･-･-r--･--･-･--･---･-･･;･･-･･-･-･-･-･･-･･･---･;･･･---･--(2.i6)

gf=[x].v[F]---･-･-･---L--･---･---･-･･---･-･･-･-･---:'----･-･･(2.i7)

t .t ' '

Formula

_(2.12)

of acceleration singular su[face means , , _.

'

[T]=O･････t･･･････,･････････････････････,･････-･･･-･.･-･･･--････････････････････････････････････････:･-･･･････････,1･････-･･･-･･･--･,(2.18)

Considering

equation

(Z.13)

togetherwith compatibility equation.

{2,10)

w.ith g=T(X, t),'we have

[b]=-pRV[X]･-･---･-･--･･-･･---･･-･･-･･---･･-･-･･---v(2.19)

As we had assumed that _linisa constant inthe reference configuration, then substitution

(2.

₁₉₎ and

(Z.

₁₄₎ into .

(2.

10) with _{g=T(t) gives}

[x]--,,i,

[);]-SII

-g dd",

:･･-･････-･---･-･･-･-･･--･-･---･･---･-･･--････----･---･-･<2,

2o) '

' '

Atlast, we obtain thatthe ampLitude a(t)' of acceleratien wave must obey the equation'

2da

eli,

t>=-p,lv

[T]-a(xv･

t)ddVt

+v[iF]･...･･････････････････････････-:･.･･･-･･････････････-･･･-････-･-･--･･(z. 2o

'

2.3 Shock.singular surface . , ,. .

A propagatingsingular surface issaid to bea shock Wave ifthefollowingcondition holds:

' '

x{x,t) is a continuous functioneverywhere;x(x,t) and F(x.t)x(x,t),

gFx

(x,t)

'and

F(x,t),

have_]ump discontinuitiesacross X= Y

(

t)butare continuou$ functionseverywhere else. Inthiscase, we definethe

jump

in stiain as the amplitude

6f

the shock wave ancl be noted as b(t), .

b(t)=[e](Y(t),t)･"-'"'''H･-･-･-･---･"HH"HH''H--･-･----･""M-'''-H"H.---･---"-'(Z.22)

Thecompatibility conclition

(2.

11)of shock singular surface _}viththe followingassumptions mean respectively the

followingequation . .' '- ' if_g=x, we have V[E]=-[ab]･･-･-･---･･-･-･---･---r-･･-･-･--'""-H-H''HH"H"H(2.23) '

if g=e, we have ddt

[El=[E]+v[aexe]---･-･---･-:･---･･-･-･･･----･---･--{2.24)

. .tt

if_g=th, we have

ddt

[th]i[x]+v[e]-･---･---･-･-･--:-･-･･l･---･--･:<2.

2s) ' Equati6ns

_(2.13},

_(2;23),

<2.24)

and

{2,25)

directly_give the basic_propagation equation of shock wave

''2v ,d,b{t)+ d,V,

b{t)-

v21,O.E

]-il,7[g.']

･-･--･-･----･-･-･---･--r---･---;-･(2. 26)

L'

4g

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3,ACCELERATION WAVE

Basedon constitutiye equation inreference 1)and singular surface theory,we will

clerive

thepropagating equation of acceleiation wave inthis section.

3.1. Equations based on FiniteNonlinear ViscoelasticMaterial

The ene dimensionalformof constitutive equation _ptesentedinreference 1)forFiniteNon.tinearYiscoelastic

Materialcan be_presentedin the following

T- _,a.x

I

g

+fk ,(t-,) aE

sli･

s) d,+fz

f2

.(t-.,, t-.,)aE,ifDoE,,{;2)d,,d.,..,....l

"-.-."-",-"H-..-,".-"-..-...-.-"..H.-".",-,,-.H-H",.-",b--･---･･-･-･-･-(3.1)

Where T:the stress, which isthe same with that inequation

(2.12)

E :Lagrangian Strain.

Z :elastic strain potential.

M{t-S), n{t-st, t-s,)-･-･･-arememery functiens,

gradientF inthe above equation. Thatis,we can use

1

to make equation

(3.1}

become

T-

gi

+ _,a.x

(.]CL

,{t-.)S aF

'Sl･ _s)

d.+f:

f:

.(t-.s,, t-s,)

_zJ

Inorder tobe identicaLwith the_generalsymbolic cilstom, we replace Lagrangian strain tenso[ _E bydeformation

E=2[F2(x,t)-1]･･･--･･･-･･---･---･--･-･-･･---･･-･-･-･･----･-･････--････-････(3.2)

i aFa's(,S')aFa2s(i') ds,dst+"'''`1

"H".",,-.""-""H.H..",-,,-.H-H..HH-.HH-H"H"HH.,.H,.-"H---･･･-･--･････-･(3.3)

ThefirStand second totaldiffeTentialof constitutive equation

(3.

3)with time tcan besimply obtained, we list them and equations havingrelation with them as follows

T=C

(X,

t}F

(X,

t)+M (X,t)-･-･-･---･･---･･-･-･･-･･---･--･-･-･････-･-･･-････-･

{3.

4) T=A(X, t)F{X, t)+B(X, t)F!(X,t)+C(X, t)F(X, t)+D(X, t)･--･---･-･----･-･･-････-･

(3.

5} where: '

A-=[fL ,O,x(t-s) eFZ

£

･ s)

d,+tJiZ.[: ,a, "(t-,,, t-,,) OF

5:li

sJ aF'Sg:st2d,,d,,...,.]

+[fZe

aat

7,(t-.)

eF!gi'S)

ds+･-i･･]F2(x,t)+[aat 7o-s>

..,

.fkg _,a,

_7,

(,-,)

aFesi;･s} d,+"H"] --- -･ ---･･-･-･-･-･･･--･-･-･--･･････-･- (3.6)

B=[2 x

(o)+g

_.IC:h(t-,} eF 25g･ s) d,+---] F _(x, t)+[7,

(o)+---]

Fs (x. t)+eaSFX-,･--･･･････-･

(3.

7)

c-:[

O,'.£,+e.L: x{t-s) aF:5gl' S)

ds+t

Jf:

_.Li:no-s,. t-s" OF,',{,S')aF,',<,S2) ds,ds,+････-]

+[,,

(o)+Sf:

,-,(t-,) aF!5g･s} d,+---] F:{x, t)･---･--･････････--･･･-････--･-･--････-

(3.s)

D==[i:

X]L

_{aai 7,}

(t-s}

OF!il:l'S) _{ds+t.Li: .LL aai,}n(t-si, t-s2}

. aF !Sg.,, Si)aF '5g,, Sz)

ds,ds,+.,..,,]F

(x,

t) ..,...,...･････････････- ････････-･････-･････-･･･････････････････

(3.

g)

M-[-,l_-ICk,O, x(t-s) OF

2Sl' _S}

ds+ui

_JCZ

_JCL

'i;l, n(t-si･ t-s2)

.aFo'iSi)OFo2,(,S2}_{ds,ds,+---･]F}

_(x,

_{t)-･--･"''h''""'''"'H''HH'''-'-""H'"'-'''''H'HH'''H(3.10)}

7,(t-s)="(t-s,O)+h(O,t-s)･---･--･-･･--･-･-･･--･----･----･---･----･･-･---･･-･-(3.11)

Aswe aTe only concerning with acceleration wave inthis_paper,fordemonstratingthe

jurnps

[T]

and

[T]

across singular surface, we would initially_prove that _thecoefficients A(X, _t), B(X, _t), C{X, _{t), D(X, t)}and

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M{X, t) inequations

(3.4)

and

(3.5}

are allcontinuous across the acceleration singular surface.

Becausewe have the followingequations _, '

2JC: _{eOi,7(t-s)F(x,s)} aF51'S) _{ds=(F2(x,s) eet 7(t-s)i}

1.-JC:

_{Fe(x,s}bla/gs7(t-s)ds}

' ･-･--･･･---･-･--･--･--･--･･-･--･･-･･･---･-･--･･･-･--･･･{3.12) '

f:

f:

4 aOt2,n(tLs,, t-s!)F

(x,

sn F

(x,

s:) aFaiii)aFas(;:) dsids,

=(F!(x,s,)F'(x,s,) oat n(t-s,,t-s,) t.m fors,l `.. fors, '

-.L2 _{F'{x,s,)FZ(X.st)otaa's, h(t-si,t-sDdst}

[m

_fors2

,

2F'(x,s,)Ft(x,

sD _otae's,h(t-si.t-sDds:

i.

_fors,

-f

+.L: _{.L: F2}

(X,

Si) _F2

(X,

SD _{ataOs', as, n(t-sh} t- s:) _{dsids2.'"m"''h'-'''''"'m""'-'"--'"''(3.}13) '

then alltermsinequatien

(3.4)

and

(3.

_s) except

faCX,

_t),

P(X,

_t) and

[P{X,

t)]'are continuous across the '

acceleration singular surface.

From these reasons, we can _writeout the

_jumps

_[T]

and

[T]

across the singular surface.

[T]=c(x.

t)[F･

(x,

t)]---･-.-･-･･･-･-･--･;----･---･･---･--･---1---･-･(3. 14)

[i]=A

(X,

t)[Fi

(X,

t)]+B

(X,

t)

[Iit

(X,

t}]+C

(X,

t)[F

{X,

t)]･･･････--･･････-･･････････t･･･････････････:･････(3,15)

ifwe use.(2.16), we obtain

[T]=-c(x,t)-V{x(x,t)]･-･･･-･･-･･-･-･-･･-･----･-･-･--･--･--･---･-･--･･-･---･-(3.16)

'

'

3.2

Speed

and wavefront _propagating equation of acceleration wave

Comparisonof equation

(2.19)

with equation

(3.I6)

givesthe speed of wave _propagatien V

' '

v:= c

(x,

t) th

=kl[ aa'FE,+i

Jf:

_7,

(t-s)

OF 25g･ _s) ds+t

f:

_Jf:

h(t-,,, t-s,)aFa2,(,SDOFo2.(iDd.,d,,+･-･･･-

]

'

+[x

(o)+;

JC:

_7,(t-s)

OF 25g' _S) ds+･---]F2(x, t)]---･--･--･･･-･-･-･---･-･･-･(3, i7)

Equation

_(3.

17) means thatthe speed of acceleration wave _propagatinginFiniteNonlinearViscoelasticMateriti1

not only dependson the material constitution butalso dependson the deformation _gradientF

(X,

t) inthat

instantaneoustime tand instantaneous.positionX the wave isinvestigated. '

We can also write out

'

[F2

(x,

t)]=[F

(x,

t)]2+2

S+

(x,

t)[F

(x,

t)]･--･･-･･-･･･---･･---･---･-･-･･･-{3. 18)

Substituting equation

(3.

18)into equation

(3,

15), and taking equations

(2,

9),and

(3.

17)into account, we can obtain the following_propagating equhtion forthe amplitude of acceleratien wave

2 ddat=(

[}+2

{}

F'

{x,

t)--lr

SVt

)a-cBvat･････････････:････････････････････････････････-････････････････････････(3. ig) Formula

(3.

19)isadifferentialequation ofBemoulli type.In_general,ifthecoefficients are not zero, the solution

of

(3.19)

can be obtained by integratingit ' ,

'

a

(o)

exp

(.(te

[{}

+2{} F'(x,

g)-

-lf

ZV,

]ds1

_.

a=

i+a

(o)X'

_{, ,B.} exp

l.L'Si

[{}+2

{I

F'

(x,

h)--l7

gV,

]dh

lds

'

Tillnow, we havedeve!opedthedistinctwavefront propagating equation foTacceleration wave followsthe BernoulliLype differentialequation. We can immediately obtain

directlyby using equation

(3.20)

forFiniteNonlinear Viscoe[asti6 material

3.3 Linearspeed and wavefront propagat'ingequations of acceLeration

for tlme t OSt<oo -･･･-(3.20>

and findthatit'

the _{acceleration amplitude variavion}

theoreticalty.

wave

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Because itisdifficulttounderstand thevariation of speed directlyfromequation

(3,

17),and itisalso dif'Eicultto

understand the _growth or decayof wavefront of acceleration wave fromequation

(3.

20),we wi11doan instanceto

make the concept of speed and wavefront clear bycalculating that of infinitesimallinearviscoelastic material.

DisplacementU isrelated with spatial coordinate x and material coordinate X as follows

U=x-X----･---･-･---･---･･･--･---･･･-････-･---･･----･-･--(3.21)

Substitutienof thisintoconstitutive equation

(3.

1)_givesthe constitutive equation of infinitesimalviscoelastic material.

T=a+(a+s) aaxU+.L:r(t-s) ae _aUx(gkS) ds･-･---･----･---,"-H."-""HH".H.".(3. 22)

where a,

fi

are elastic constants and we hadused theinfinitesimalstrain theoryforbothelastic partand viscous part.

DiffeTentiatethis with time _t, we have

T=[a+fi+7

(o)]

_aa.2aUt+f: _aat r{t-s) aZ _aUigs S) ds････-････････-･--･-･･-･････-･･････-･･-･･･････････...",･･<3, 23)

then

jump

[T]=[a+B+r(o)][aai}gt]･-･･････-･･-･･････-･･････--･･･-･･･-･･-･･･-････････-･-･･････-･･･-･･････t･･-･･t･･r･-･･･････-･(3.24)

From equation

(3.21),

we have

[oOiaUt]=[F]-'lr[to]"''''''''''''''''''''H'''''''''H'''''''H''''''''''-''''''''''H''''''''''H'''''''''H'''''"'''''"''(3.2s)

Finally,cornparison of

(3.24)

with

(Z.19)

_gives

vt=a+B+7{O),-."-".""..""vHH.",.".-H,H",-".""-.-"".,"･---･-･---･-･･-･-･---d[3,26)

th

This isthe speed of infinitesimalviscoelastic material and as we expected that ithasthesame form with that in

lineartheory inreference 5>and 11).

Differentiateequation

(3.23)

with time _t

i"-[a+B+r(o)]

aexSaUt,+oa,r(t-s) .!,

ataUx(git)

ds+fZ oai,7(t-s) ateUx(ggS) ,els---･-･t(3. 27)

Calculatingthe

_jump

of

(3.27)

and substituting itinto

(2.Zl),

we can obtain

[T]=[a+fl+7(o)]{F]-"}i'

8t

7(t"s) ,!,[x]''''''''"'''''''''''''''''''''''''''''''''''-'-''"'''"''-''''H'''<3･2s) and da 1a

2dt=` thv2 at7(t+S) .=,aH""-"'"-""'''HH'''H-"H"""H"-""'･･"'-'---･･･--･----･---(3. 2g) Solutionof (3.29)is

NONLINEAR VISCeELAST]C ' NONLINEAR VTSCOELASIT]C

---L[NEAR VISCeELASTtC ---･---LINEAR VISCOELASTIC

---L[NEAR ELASTIC ･･･---LINEAR ELAST[C

t.5 12.0 T o 1.0?gl osal: a.o -O.5 'M/'_Ss. "' g. _H.L, -.-.h.'s. e.e O.5 ?uzramm( 10 a. 6. 4, 2, p.-2 eooooo s.N,s,xx.S.X.N.li.N.--!.h.ss.N.s.h. ss s-.･ g.-.L.. s

1.0 1.5 2,O O,O O.5 1.0

rlME(t) ' T[ME(t)

Fig.1 Propagation of Amptitude of AccelerationWaves.

"-1.5

2.e

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a=aoexp(2[.+fl1+7(o)] _{eOt r(t-s)}

..,tl'-H"H"H''-''""'"HH'''-'-H"'m""-H'"H"""'H"(3,30)

Thisequation means {hattheamplitude of acceleration wave of infinitesimallinearviscoelastic m･aterial decay

exponentially. Thisresult iscertainly the same with that of linearviscoelastic theory in,references_s)and _10.

Figure1 gives the comparisons of amplitude with respect to time forlinearelastic, linearviscoelastic and

nonlinear viscoelastic material, Itis clear that the nonlinearity makes the amplitucle decay_quickly.

4, SHPCK WAVE

Basedon aspecial type of FiniteNonlinearConstituti,veLaw and s]ngular surface theorywe will study the shock

wave'ih,this section. ･

4,1 Equationsbasedon speciaL FiniteNonlinear VisceelasticMaterial ,

As iti.svery difficulttostudy the _behaviorofshock wave ifusing thecpnstitutive law

(3.

_1),herewe will make use of a special. type of equation

(3.

1}.Let theelastic _partof

(3,

]

)

bematerial linearwhile theviscous _partbe until a

doubleintegrals

t t

T=F

(x,

t}

[a+t

fi

[F'

cx,

t)-i]+fZ 7e-s)S OF

!5ill･ _S) ds t , ' '

+.[:

JC:.(t-.,,

t-.,)t aF '5gi Si)OFtSg,･ S2) d,,d,,l ,.,,...,...i...,,,.,,.,,,...,.

(4.1)

where :a,

B

are elastic constants. '

7(t),

b(ti,

tt)are memory functions '

Inorder to make thefollowingequations more simple and clear, itisnecessary torewrite the constrtutrve equation

(4.1)

instram formby usi-g the relation F(X, t)=E(X, t)+1 .

T=aU+E

(x,

t)]+liB[e3

{x,

t)+3e2

{x,

t)+2,(x, t}]+(i+,) _.LZ7o :- s}t e[i+ggX, s)]'d. '

+(1+c)f:

f:

"(t-s. t-sDi _eas,

[1+E{x,

s,)]t _aas,

[1+E(x,

sDiZ d,s,ds,-･･-･L--･---･-･･

(4.

₂₎ '

'

The differential of constitutive equation

(4.2)

with,matenal coordinate X can be sirnply obtained

gf

-[a+tR[3 _E2

{x,

t)+6 _,(x, t)+2]+fk _r(t-,); a[1+sgX･ s}]id,

'

+f:f:"(t-sh tJs2)t _oa,,

[1+c(x,

s,)]:_ea.,

[1+e(x,

s,)]tds,ds,l _oOxE

.

+{i+e).[k7(tLs)t02[ig,Ee(l'S)]'ds+o+e)fi.[k'"<tTsi,t-si) , '

'

't

aax

(

oOs,

[1+e(X,

sD]' _eas,

[1+e(X,

s,)]2]ds,ds,･････････････-･･･--･････････････････-･･････････････････

(4.

₃₎

'

4.2 Speed and wavefront of shock wave , ･

We will firstlymake an importantassumption thatthebodybeforethecoming of theshock wavefront isunstrained,

that means the followingequations ' ,. _,

･ x'=X', FT'(X,t)=1, e'(X･,t)=O, T'(X,t)=a"'-'-'-'m'-r'--';'"'r'""''"'H-''"'"''<4.4)

The

jump

of stress T across the singular surface is

-,. .

'

'

[T]=aE'(x,

t)+Sp[Es

(x-,

t)+3 e(x-, t)i2 e(x-, _t)]+a+E-)

JC:

_7(t-s) aE-5f' S} ds

' '

+a+,of:

f:#(t-s,,

t-s,)aE

(gs-f

sO eE

(oXs-i

s2)

ds,ds,,.,,H･,..,...,.,,,-,,.,.".,.-,.H,,,..,.

(4.

s)

Comparingof equation

(2,13)

with

(2.16)

_gives , , , '

'

phve--

[[Ii

--

[,T-]

･･-･･･J･-････--･--･･････-･･･-････････････････-･--･･-･･-･･-･･･-･･･--･････--････････-･･･････････-･･･-･･････

(4.

6)

then we can obtain thtispeed of shock ' ･ . ･

pRv'=a'(x, t)+}B[e'(x-. t)+3s(x-. t)+2]+(i+-t.r).LZr(t-s) ae-5i\,S} ds

' '

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.(,.f,.

)fL

f:.(,-,,,

,-,,) eE

(g.-i

si) aE

(g,-;

sn ,,,,,,.H,.M,".."..H,..,.H...H...;....

(,.

,)

The

_jump

of equation

(4.3)

is

[g{

l=(a+i

fi

[3

e(x;

t)+6 e-

(x,

t)+2]+lg r(t- ,)t a

[i+

EoU.(X, s)]2

d.

+Jf:

f:

U(t-Sh t-Sz)t _aa.,

[1+E-

{X,

si)]2

aO,,

[1+e-(X,

st)]2

ds,ds,]

OaEx'

+(i+e-)1: 7(t-s)i a:

[i

+a.e

-o(xX'_S)]'

ds+a+EL)

12

f:

g(t-s,, t- s,)

･t

oex

(

aas,

[1+E-

(x,

sn]tae.,

[1+e"

(x,

s,)]t]

ds,ds,･---･---･---<4.

s) As we areonly concerning with shock wave, and byusing equation

(2.

23),

_<4.4)

and

(4,

7),we can simplify the

jump

(4.8)

as follews,

[gf

]=(th

ve+efi

[2

c-

{x,

t)+3],-

(x,

_t)-

i.

f:

_r(t-,) aETSf,S) _d,

-'ti-

fi

f:

pt

(t-si,

t-s:)_oOs,E'

(x,

sJ

aOs,s-

(x,

s,)ds,ds,]]

+a+,-)f: _r(t-,)

[

aE-5xX･s) es'51･ s) + e:s',(oXx･s}] ds

+a+E-)f:

f:

.(t-.,, t-.,)

I

aeu5Xx･

sO eE'sli si)aE'gg,･sn

a'e-(X.s,) ee-(X,s!) ee-(X,si> ee-(X,s2) ae'(X,sD

+ + Substitutionof 2VP,b(t) where

,--1:

Q=f:7(t-s)[

'f:f: eE'(x,s,> + as, 4.3 Linear speed + oxas, as, as, ex as, aE-(X,s,) a2e-

(x,

os, oxes

<4.'8)

into

(2.26)

gives the finalwavefront _propagating

dl}it)+Bai.'

bs(t)+[p,

d,", +3,P O,e.T

r(t-s) ae-51. S) ds-f:

1:u(t-si,

_{t-si> aOs,}E'

eE-

(x,

s) ae-

(x,

s)

+ a't-

(X,

s)] ds

i')lds,ds,---･-･----･･---･-･-･--･-･･･---(4,g)

equation of shock wave

+Q(t)]

bt(t)+Q<t>

b(t)=-P(t) Oaex'-････････-･-･･i[4.10)

o

e'

(X,

si)dsidst･･･････J･(4,11>

(X,

Si)

OS2

ax as, as, + axas, as,

aE=gxx,s2)eeL5illsD+ aE-gliSi) a!Ea'iili}3iz)l

ds,ds,-･････-･････････-･･----･･･--･---･･{4･12)

and wavefront _propagating equation of shock wave

Becauseitisdifficultto understand thevariation of speed directlyfromequation

(4.

7}, and itisaltio difficultte understand the_growth or decayof wavefront of acceleration wave fromequation

(4.

10),we will doan instanceto make the concept of speed and wavefront clear byclaculating thatof infinitesimallinearviscoelastic material using

the methed describedinthe thirdsection, The constitutive equation isthe same with equation

(3.22)

The

jump

of stress of equation

(3.22)

across X=Y(t) is

[T]=={a+s)[gSi]+./f:r(t-s)la',U.`il3S)]ds

..(.+B)[aoxU

]+7{o)[aU51,

t)]･----･･･-･･-･･･-･････--･--･-･-･--･････-･･････････-･-････-･---･･････-･･････････<4. 13)

Comparisonof

(4.13)

with

<2,12)

_gives the speed of infLnitesirnalviscoelastic material.

vz..a+B+r(O)",".H"H""--.--.HH-",,-H-".H."".""m.mHH""."-".HH"H".-,-,",,","･･･(4.14)

PR '

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Eqttation

_(4.

14)hasthe same formwith that of lineartheory in references 3)and 5).

Again using

(3.22),

We can .immediatelyobtain

'

gf.=-(a+fl)

O,!.U,+f: _r(t-s) a:,U.<,X,kS) _{ds･･･････-･･･-L･･--･･･:････'''''''`'''''''''''''''･･･'''''"･''"'''''''-(4. i5)}

' ' '

and .

'

[gf

]-[.+B+7

(o)]

aE'5xX't)+f: _aO, 7(t-s) Oe-51' S) ds ･･････-････････････-････-･-････---･･････-･-･･･(4,i6)

Substitute

_(4.16)

into,(2.26), we have

2v ddt b(t)=

_±

fZ

aes r(t-s) aE-51'S) _{ds=p,iv aat} 7{t-s)

,z,E'{x, t)･･-･････L-1･･-･･-･･･････(4.i7) then '

b(t)=b(O)exp[2iv, aOtr(t-s) ..,t]･-･-･---･---･---･---･---･･---(4.18) ' ' '

Thewavefront _propagatingequation

{4.

Ig),as we expected, isthe same with thatinreferences _5),and 11),and '

the same with that of acceler.atiop,wave.

5. CONCLUSION and FUTURE STUDY .

' Inthispaper;we have studied the acceleration wave and shock _wave inFlniteNonlinearVi.scoelasticMaterial.

Using singular surlace theory, _speed prepagating _{equatlon and} wqvefront propagating _equation in _{such a material} and ininfinitesimalviscoelastic material have

been

_presented.Theresult can be_presentedas follows'.Thespeecl ancl '

wavefront are all dependent on the _pointX and the time _twhere and when the wave isinvestigatedforfinite '

nonlinear viscoelastic materlal. On the other hand the speeds forshock and acceleration wave are same and the

amplitudes havesimilarity in infinitesimallinearmateriaL ' _.

The reason tbatwaves _,canpropagate,in _{other words a} bo,dyin _{static reference can} becomedynamic, fo.r _example,

' '

an earthquake wave _propagatesina soil has been shown inthis_paper, isdue to there are _prqpagationof singular surfaces, an acceleration singular surface or a shock singular surface. Ithasbeenpointedout inSolit,ontheory '

(Teference

l2})that the speed of nonlinear wave depends'onthe_pesitionand thetimewhere and when thewave is

taken, and we haveshown inthis_paperthatitisthe shme. Onlyininfinitesimalmaterial, the spged.for shock wave and for acceleration wave are same and are constants, and the amplitudes.of bothwaves

.have similarity. Forthis reason, study o'n 1,inearearthquake wave need not consider itas a shock wave of an acceleration wave. On _the centrary, ifwe can make clear thatan earthqu,ake wave isashock wave ornot, basedon itscharactefiStics, then more successful stlidy can beachieved. Thiscan

be

expected as _thefuture study inlinearearthquake engineering. '

References

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1

論 　 文】 UDC ：550 ．347 日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 第40 瓦号 ・上989 年 7 月

有限変形非線形粘弾性体

に お け る

非線形波動伝播 （

梗概 ）

正 会 員 正 会 員 和 薛 泉 正 松 哲＊ 濤＊ ＊ 　 1．序 　論 　 大地 震 時に お け る地 盤と構 造 物の相 互 作 用 挙 動 を 把 握 す るに は，地 盤の非 線 形 性につ い て の研 究が重 要と な る。 筆 者らは既に文 献1）で，土の構 成 則とし て用い る こと を考 慮して，有 限変 形 非 線 形 粘 弾 性 体の普 遍 的な構 成 方 程 式 を導い た。 これ はいか な る材 料に対しても適用可能 ・_{な もの であり，既往の多く}の粘 弾 性 体に 関 する構 成 方 程 式 に_関す る 理論を その_特殊な場 合と して包 含する もの で あ る。 本 論 文で は， こ の 構 成 則に 基づ き，さらに Singular　surface 理論を導入 して_，地 震 を研 究 する際に 重 要な波 動 伝 播 過 程で あ る加 速度波と シ ョ ック波にっ い て検 討を行う。 　 こ れまで に，Singular　surface 理論に_基づ い て，文 献 2），3），4），5），で非 線 形 弾 性 体につ い て，文献 6 ），7）， 8），で非 線 形 粘 弾 性 体につ い て の_{研 究}が行わ れてい る。 また文 献 9），10 ）で

Jeffrey

は，“lntensity” とい う 類 似の _{概 念}を用いて，弾 性体の_{非線形 加 速度波}につ い て研 究を行っ た。これ らの研究を整 理して総 合 的に述べ ると， 加 速 度 波の波 頭 伝 播は Bernoulli型 微 分 方程 式で表 現さ れ る が， シ ョ ック波の波 頭 伝 播につ い て は非 常に複 雑で あるとい うこと がで き る。 　Singular　surface _{理 論}につ い ては弾 性 体な どの_材料レ ベ ル で は数 多く の研 究 例が あるが，いま だに，地 震工学 に は ほと ん ど応 用されていない。 しか しな が ら，波が伝 播で きるた めに は Singtilar　surface が存 在 する と考えら れ る。 特に 不連続 波 （例え ば地 震 波 ）に は多 く の Singular　surface が存 在する と 考え るの は_妥当で あ ろ う。 なぜな らば，不連続波に はいくつ かの不連 続な要 素 が存 在し，一方 Singular　surface の基礎は ひずみ と加 速 度の不連 続 性で あ るか ら である。 本 論 文で は，Singular surface と地 震 波の波 頭の関 係につ いて考 察し，将 来の 研 究の可 能 性を探ろ うと す る もの である。 　本 論 文では_，第二 _節で，Singular　surface 理論お よび_， 基 礎 動力学理論を考 慮 し た最 も基本的な加 速 度 波と シ ョ ッ ク波の波 頭 伝播 方 程 式につ いて，簡単に ま とめ て 雫 東北大 学　教授・工博 ＊ ＊ 東 北 大 学 　 大 学 院生 　 〔1988年11月1日原稿 受 理，19S9 年 4 月26日採 用 決 定 ） い る。 　 次に_，第三，四節で，この_{波 頭 伝 播 方 程 式}に_{，文 献 1）} で提案し た構 成 則を組み合わ せて， 加 速 度 波と ショ ッ ク 波の，有限変 形 非 線 形 粘 弾 性 体にお け る速 度 伝 播 方 程 式 と波頭 伝播方程式を導出し て い る。_結果と して_， 加 速度 波の波 頭 伝 播 方 程 式はやは りBernoulli型の微 分 方 程 式 とな り，一方シ ョ _ッ ク波につ い て は，複 雑な形に な っ て い る。 　ま た，比 較のた めに通 常の_{微 小 変 形 線 形 粘 弾 性 体}にお ける加 速 度 波と ショ ッ ク波の速度 伝 播 式と波 頭 伝 播 方 程 式を導 出し た。こ れ ら の線形の場 合は_， 文 献 5｝， 11） の結 果 と一致して い る。 　 本 論 文で は簡 単のために，すべ て の検 討 を一次 元の仮 定の もと に_行っ てい る。 　2．連 続 体 中のSingular　surface _の伝 播 　2．1 基 礎 動 力 学 理 論と Singular　surface 　基 礎 動 力 学 理 論を （2．1）〜（2．5）式に示し た。Singu・ lar　surface の定 義は以 下の と お り で ある。 ある面 X − y （t）が物 体B をB＋ _と B 一_{の 二} つ の部 分に分けて い ると す る。 あ るス カラ関数 g （X ，診｝ がこ の面上で不 連

続であ る と き，面 X ＝y （t）をSinglllar　surface と呼ぶ。

波 動 伝 播 速 度 はSingular　surface の _伝播速 度 と して 〔2．9）式で定 義さ れ る。さ らに Singu且ar　surface 上の 動 力学 的適 合方程 式が （2．10 ）の ように_導か れ る。 最 後 に平 衡方程式 （2．U ）を考慮 して，　Singular　surface _上 の応力 と 速度，加速度 等の_関係 式 と して （2．12），（2．14 ） が導か れ る （文 献 2），3 ＞）。 　2．2 加 速 度

Singtilar

　surface 　上 述の ス カ ラ関 数 8（X，t）を加 速 度 α（t ）と設定 すれば，このと きの Singular　surface は加 速 度 波と定 義 さ れ る。Singular　surface 上の適合方 程 式 （2，10_）と_平 衡 方 程 式 か ら 導い た （2．12）一（2．14） を 用いて，最 も基 本的な加 速 度 波の波 頭 伝 播 方 程 式が （2．21｝で ある こと が簡 単に導か れ る。 　2．3 　ショ ッ ク Singular　surface 　同様にス カ ラ関 数 g （X ，t）をひずみ ε（t）と設定す れ ば，こ のと きの

Singular

　surface は ショ ック波と定 義 さ れ る。 Singular　surface 上の適合方程式 （2」0）と 平 一 56 一 N工 工一Eleotronio _Library

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衡 方 程 式か ら導い た （2．12）一（2．14） を 用い て，最 も基 本 的な ショ ック波の波 頭 伝 播 方 程 式が同様に （2．26）と 導かれる。 　3．加 速 度 波に つ いて 　3．ユ　 有 限 変 形 非 線 形 粘 弾 性 体に基づ く方 程 式 　 文献ユ_）で提 案 し た構 成 則を一次 元の形に_表す と（3．1） の ように書 ける。 これ らの時 間に 対す る一階と二階 微 分 は （3．4 ）と （3．5）式に な る。 この式の係数は Singu・ lar　surface 上で連 続で あ るこ と が一般 的に証 明で き るの

で_，一階と二 _階微分の Singular　surface 上の

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は

（3．14）と 〈3，15）式で あ ること が導か れ る。 　3．2　 加 速 度 波の 速 度 伝 播 方 程 式と波 頭 伝 播 方 程 式 　 〔2，19），（2．21）お よ び （3．14），（3．15）式に_基づい て， 加速度 波の速度 伝播 方程式が （3．17），波 頭伝播 方程式 が （3．19 ）と導か れ る。 この波頭伝播方 程 式は，多くの 文 献で さ ま ざ ま な構 成 方 程 式に対 し て導か れた もの と同 様に，Bernoulli型の微 分 方 程 式と なっ て いる。 　3．3　線形の場合にお け る加速度波の 速 反 伝播方 程 式 およ び波 頭 伝 播 方 程 式 　比較の た め，（3．1）式 に微 小ひずみ理論と材 料 線 形理 論 を 用い ると，微 小 変 形 線 形 粘 弾性 体の構 成 方程 式 とし て _（3．22 ）式が導か れ る。こ の式は一般に用い ら れ る線 形 粘 弾 性 体の構 成 方 程 式と一致し て お り，本 論 文で用い る有 限 変 形 非 線 形 粘 弾 性 体の構 成 則は線 形 理 論を その特 殊な場 合とし て含んで い る こと が分か る。 こ の式につ い て の速 度 伝 播 方 程 式 と波 頭 伝 播 方 程 式は（3．26）と（3．30） 式に なる。（3．　30_{＞ 式は波 頭}の振 幅の減 衰 現 象を表 現し て い る。こ れ らの式は当 然な が ら文 献5），11）の線 形 理 論 と一致す る。 　 図1に は式 （3．20） を理 解する ために線 形 弾 性 体，線 形 粘弾性 体お よ び非 線 形 粘 弾性 体に お け る波 頭 振 幅の時 間に対する変 化 図 を示し た。非 線 形の効 果は振 幅の減 衰 が大きい とい う点に現れて いる。 　4．ショ ッ ク波につい て 　4．1　特 殊な有 限 変 形 非 線 形 粘 弾 性 体に基づ く方程 式 　ショ ック波を扱う た め に，有限変形 非 線 形 粘 弾 性 体の 構成則の一次 元 式 （3．1）を，さ ら_に特 殊な 形に変 形し た （4．1） 式 を用いる。こ こで特殊とい う意 味は，粘 弾 性 体の弾 性 部分 を 材 料 線 形 化 し，その粘性 部分は二 _階積 分まで を残 しているこ とであ る。 （4．1）式の材 料 座 標に 対す る一階 微分 を （4．3）式の よ う に導出し た。 　 4．2　シ ョ ッ ク波の速 度 伝 播 方程 式 と 波 頭 伝 播 方程式 　こ こ で は まず （4，4 ）式で表され る_{重 要}な_{仮 定}を す る。 つ ま り，波 頭が伝 播して来 る前の物 体は変 形 して い ない とい うことであ る。こ の _{仮 定}と （2．23），（2．26）式に基 づ い て_， シ ョ ッ ク波の速度伝 播 方 程 式が （4．7＞式 と， さ らに波 頭伝 播 方 程 式が （4．10 ）式と導か れ る。 　 4．3 線 形の場 合にお け る ショ ック 波の速度 伝 播 方 程 式お よび波頭 伝 播 方程式 　微 小ひずみ理 論 を 材料線形理論を 適用 し た微 小 線 形 粘 弾 性 体の構 成 方 程式 （3．22）に 基づい て，シ ョ ッ ク波の 速 度 伝 播 方 程 式と波頭伝 播方 程 式が （4．14），（4，18）式 と導か れ る。これ ら の式は文 献5），11｝の線 形 理 論と 一_{致す る だ けで はな く，微 小} 線形粘 弾 性 体につ い て の_加 速 度 波の伝 播 速 度が一致 して お り， 波 頭の振 幅 も相 似し て い る。 　5．結 　 論 　有 限 変 形 非 線 形 粘 弾 性 体に お ける加 速度波と ショ _ック 波につ い て検 討 し，Singular　surface 理 論 を 用いて波 動 ．伝 播 方程式を導い た。 線 形 材 料に お い て は加 速度 波 と ショ ッ ク 波の速 度 は一致 し，振 幅も相 似で ある が_{， 有限} 変形非線形粘 弾性 体におい ては，波 を 観 測する位置 と時 間に依 存す る。 　地 震波の波頭の_{伝 播}は Singular　surface の伝 播と して と ら え る がで き，非 線 形 波の速 度が_{観 測 位 置 と時 間}に依 存す ることは Soliton波 動 理 論に よる文 献12 ）の_{結 果} と も一致して い る。 　 ショ ッ ク波と加 速 度 波の伝 播 速 度は線 形 材 料を仮 定し た と きの み一致す る もの であり，振 幅の相 似 性もこの仮 定の時の み成 り 立つ もので あ る。今後 地 震 工学に お い て_， 地 震 波 が 実 際は ショ ック波で あ る の か加速 度 波である の か さらに は両 者の混じっ k もの であ るの か が明ら か に な れば，一層の進展が期 待で き る。これ は_，線 形 地震工学 における今 後の課 題とい うことがで き よ う。 一 57 一 N工 工一Eleotronio _Library