1995年定日本オペレーションズ。リサーチ学会 秋季研究発表会 2−G−1
財（彪）ズ／α／1／Ⅳ起α耳／財（勉）y／1／Ⅳの系例数分布内周
浩一十さ．丁∵−○：・−∵一つ・モーこ、、
01504450 横浜国立大学教育学部馬場 裕 BABAYutaka
1．はじめに 任意の状態に依存した到着率をもつ集団到着 待ち行列財（た）∬／C／1／Ⅳの定常系内数分布を 求めるアルゴリズムを導出する．また状態に依 存したサービス率をもつある種の集団サービス 待ち行列CJ／財（た）y／1／Ⅳの定常系内数分布を， CJ／財（りり皿／Ⅳと財（た）ズ／C／りⅣ＋1との関係 より導く． このモデルは，状態に依存した到着率やサービ ス率をもつ，単一到着および単一サービス待ち行 列モデルの系内数分布を扱った【2jやr3】を拡張 したものになっており，また特別な場合として川 の結果を含んでいる．2．〟（虎）∬／C／1／Ⅳの系内数分布
Ⅳ：最大系内数 人h：系内数がmのときサイズたの集団が系 に入る率（0≦れ≦Ⅳ−1，1≦た≦Ⅳ−m） ∑だごÅ戒＝A托（0≦乃≦Ⅳ−1） む（ヱ）：サービス時間分布の確率密度関数 ∫（り：時刻Ⅰにおける系内数 打（り：時刻fにおける残りサービス時間土！忠P（坤）＝m，−▲≦叩）＜Ⅶ＋叫
＝P（ぶ＝町≠≦U＜≠＋血） ＝恥（髄）血 （1≦れ≦Ⅳ） 拘：任意時点において系が空である確率 とすると Aopo＝pl（0） （2≦叩≦Ⅳ−1） 一＝ 」Ⅴ一1＿ 重坦入0欄嘲＋∑入岬一都何 血 た1 となる． 上∞e ∞上e
￣仙釣（也）血＝ギ（β）（1≦豆≦Ⅳ）， 一肌Ⅶ（≠）血＝βヰ（β）とおき，（1）の両辺の L．T．をとると Ao堵（0）＝pl（0）（ただし帯（0）ニpo） （Al−β）ぢ（5）＝入olfぢ（0）β＊（β）＋m（0）βヰ（5） −才）l（0）（A，l−∫）罵（β）＝入肋堵（0）j㌢（β）
（2） †1−11−∑入電，花一盲ギ（β）＋p刷（0）βさ（β）
i＝1 一恥（0）（2≦れ≦Ⅳ−1） −β瑞（β）＝入0〃鍔（0）βヰ（β） JV−1 ＋∑入岬−iギ（β卜抑（0） i＝l を得る． memma皿 †l−1恥（0）＝∑克た世た堵（0）（れ＝1，2，…，呵
た＝0（たたし，Åた陀＝∑た兜入たi）
memm血盟 平均サービス時間を1ルとすると， 1V jV 〃∑だ（0）＝∑恥（？） れ＝1 几＝1 Lemmal，2を使って，（2）式の恥（0）（1≦ れ≦Ⅳ）を消去した式を導くことができる． 卸1（Ⅷ） 血 d恥（触） d％ ＝−Alpl（↑▲）＋入01拘む（視）＋鍍（0）む（u） ＝−A几pれ（≠）＋入肋拘ら（≠） （1） †l−1 ＋∑入i世ipi（祝）＋恥＋l（0）あ（≠） i＝1 一皿92− © 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.3・CJ／〃（た）y／1／〃の系内数分布 〃人までサービスに入ることができ，到着し
た客は現在サービス中のサービスに入る．
杵戒：れ人サービス中のとき，た人同時にサー ビスを終了する率 ∑苫＝1仙＝帆（1≦m≦Ⅳ） α（可：到着時開閉隔分布の確率痘度関数 ∫（f）：時刻￡における系内数 Ⅴ（り：時刻tにおける残り到着時間IimP（∫（り＝れ，−↓≦V（f）＜u＋血） t→00
＝P（β＝れ，u≦V＜≠＋血） ＝恥（u）血 （0≦m≦Ⅳ）とすると，
廻 ノV 一＝ 血 ∑刷（≠） た1 ） ＝ 1 一喝19n（髄）（1≦れ≦∧「−1） 句Ⅳ（−1）・ −−＝9〃（0）α（可1一恥−1（0）α（眈） −〟〃9〃（祝） となる． LemIna4 平均到着間隔を1／入とおくと Ⅳ 入去∑恥（0） n＝O Lemma5 〃一1 〃 i−1 帥（0）＝入−∑恥（0）＝入−∑Q；（0）∑毎−れ几＝O i＝1 †l＝O
Lemma3，4，5を使って，（4）式の恥（0）（0≦ m≦Ⅳ）を消去した式を導くことができる． Theorem6 GI／M（k）Y／1／Nの定常系内数分 布をQニ（0）（0≦m≦Ⅳ）とすると 筍＿叫1（0） Qニ（0）＝ （0≦れ≦〃）（5） 1−f苛（0） となる．ただし，f㍍（0）（0≦れ≦Ⅳ＋
〟（た）ズ／C／1／Ⅳ＋1の定常系内数分布で，
はニ ︶ ヽ∧ l 佑人血 ＝〃〃＋1→埴（1≦れ≦Ⅳ；1≦た≦Ⅳ＋1一犯），A几＝〟〃十トn（1≦m≦Ⅳ），入肋＝
0（2≦●m≦Ⅳ），Ao＝入01は任意の正の数，サー
ビス時間分布のLSTがA●（β）としたものである．4．系内数分布の計算アルゴリズム
3節の議論より，〟（りズ／C／1／Ⅳの定常系内 数分布を求めることができれば，．GJ／〟（た）y／1／Ⅳ についても計算できる．系内数分布を求めるアル ゴリズムは紙面の関係により省略する． 上∞ 上00 e￣川恥（祝）血＝Q；（β）（0≦壷≦〃）， e●川α（≠）血＝A＊（β）とおき，（3）の両辺の L．T．をとると 〃 −βQ岩（β）＝∑裾聞（β）一恥（0） i＝1 JV （吼−β）Qニ（β）＝∑叫一花Q；（β） i＝几＋1 ＋恥＿1（0）A＊（β）−恥（0） （1≦れ≦Ⅳ−1） 参考文献 【1】Baba，Y．，“The MX／G／1queuewith丘nite Waitingroom’’，JORSJ，27（1984）261−273． 【2］’Kijima，M．andMakimoto，N．，“Aunifiedap− proachtoGI／M（n）／1／KandM（n）／G／1／Kqueu飴 via 且nite quasi−birth−death pro− C飴S鵡’’，∫わ亡ん鮎揖c〟odeb，8（1992）269−288．
【3】Yang，P・，“A unified algorithmfor comput− 1ngthestationaryqueuelengthdistributions inM（k）／G／1／NandGI／M（k）／1／Nqueues”， Quel▲eれタ∫yざfemJ，17（1994）383−401． （4） （〃Ⅳ−β）Qん（β）＝■恥（0）Aヰ（β）1−9Ⅳ＿1（0）A●（β） −9〃（0） を得る． Lemma3 ノV
