第３学年３組 数学科学習指導案 １．単元名 「三平方の定理」 ２．指導観 ○ 三平方の定理の起源を文献などで調べると、その多くが測量に関することで記述されている。特 に有名なのが、エジプトの話である。毎年ナイル川の氾濫によって失われた農地を復元するために 測量の技術が研究され、経験的に三平方の定理を求めていった。また、１５世紀の大航海の時代は、 実用数学が要求され、三平方の定理を利用した三角測量を必要とした。人類が三平方の定理を見い だしたことで、現在立ち並ぶ超高層ビルや高速道路のような大きな建造物をつくることを可能にし たといえるだろう。三平方の定理なくして、現代社会の発展や、各分野での進歩は見られなかった といっても過言ではない。子どもたちにとっても、三平方の定理を知ることにより、今まで求めら れなかった線分の長さを計算によって求めることが可能になり、図形の面積や立体の体積などの計 量もできるようになる。そして、図形のもつ性質を、三平方の定理を使って論理的に考察できるよ うになる。よって、三平方の定理の学習は、学習したことが役に立つと強く実感できる単元の一つ であると考える。また、三平方の定理は、直角三角形の３辺の関係を１つの等式で簡潔に表現でき る美しさをもつ定理である。その証明の方法は、２００以上あると言われているが、中学生の段階 でも、等積変形の操作による方法や直角三角形の相似の関係を利用した方法を用いて証明でき、三 平方の定理の証明がもつ魅力を十分に味わうことが可能になる。以上のことから、本単元は、子ど もたちに数学を学習する楽しさを味わわせるとともに、図形に対する洞察力を高め、論理的に考察 する力を養っていく上でも大変有効であると考える。 ○ 本学級の生徒は、男子１９名、女子１９名、計３８名からなっている。数学の授業では、教師が 提示する課題には前向きに取り組むが、考えの交流などには消極的になる傾向にある。２０年４月 に実施された全国学力・学習状況調査の結果を見ると、［数学A：主として知識］［数学 B：主とし て活用］の各領域で概ね全国平均を上回っているものの、図形領域においては、特に、「証明の方 針を立てる際に根拠となる事柄を筋道立てて考えることができる」などの証明・説明の能力を問う 設問で苦手な傾向がみられた。つまり、証明をする際に、筋道を立てて考える、などの論理的思考 力を高めていくことが必要であるといえる。以上のことにより、本単元の指導にあたっては、生徒 相互の交流活動をあらゆる場面で仕組み、他者に説明する活動を通して、数学における論理的思考 力を育てていきたい。 ○ 指導にあたっては、子どもたちに三平方の定理のよさや美しさを感じとらせ、三平方の定理を活 用して線分の長さを求めたり、論理的な考察をおこなったりしていくことをねらいとする。第１次 では、直角三角形の辺の長さの平方と面積の関係が、三平方の定理 a２＋ｂ２＝ｃ２で表現できるこ とを知り、今まで別々に学習してきた図形の性質と代数の性質を関係づけて見ることができること をねらいとする。第２次では、三平方の定理を用いて平面図形や空間図形の中の計量を行わせる。 それは、図の中に直角三角形を見いだすことで、三平方の定理が活用できることを実感させる。本 単元をとおして、班やペアでの交流の場を多く設け、自分の考えと他者との考えを比較・検討させ ることで、思考力を高めていきたい。そして、他者に説明をするためには、論理的な説明が必要で あることを感じとらせたい。
３，目標 ○ 観察・操作を通し、三平方の定理が成り立つことを見いだす。 ○ 三平方の定理を利用して、論理的に考えることができる。 ○ 三平方の定理を利用して、図形の長さや面積などを求めることができる。 ○ 図形の計量において、三平方の定理が用いられることを理解する。 ４，本単元における評価規準 ア、数学への関心・意欲・態度 イ、数学的な見方や考え方 ウ、数学的な表現・処理 エ、数量・図形についての知識・理解 １，いろいろな直角三角形に ついて、各辺を１辺とする正 方形をつくって三平方の定 理を見いだし、どんな直角三 角形についても成り立つか どうか、意欲的に調べようと する。 ２，図形の計量について、三 平方の定理を利用すれば求 められることに関心を持ち、 定理を活用しようとする。 １，面積の間に成り立 つ関係を一般的に示 し、辺の長さの関係と してとらえなおすこ とができる。 ２，三平方の定理が適 用できるように、長さ を求める線分を１辺 にもつ直角三角形を 見いだすことができ る。 １，三平方の定理を使 って辺の長さを求め たり、三平方の定理の 逆を使って直角三角 形を指摘したりする ことができる。 ２，平面図形・空間図 形において、三平方の 定理を使って求める ことができる。 １，三平方の定理と そ の 逆 の 意 味 を 理 解している。 ２，平面図形・空間 図形において、三平 方 の 定 理 を 用 い て 長 さ が 求 め ら れ る 場 面 を 理 解 し て い る。 ５，単元指導計画 次 配時 学習活動・内容 指導上の留意点 評価規準 第 １ 次 ３ 時 間 ２ 本時 （２／２） １ １、三平方の定理を操作活動 によって証明する。 ２、三平方の定理の逆を知 る。 ・三平方の定理を知るために、直角三角形 の各辺を１辺とする３つの正方形をつく り、それらの面積の関係に気づかせる。 ・三平方の定理を使って、２辺の長さがわ かっている直角三角形の残りの辺の長さ を求めさせる。 アー１ イー１ エー１ イー２ ウー１ 第 ２ 次 ６ 時 間 ３ ３ １，三平方の定理を用いて、 平面図形の計量をする。 ２，三平方の定理を用いて、 空間図形の計量をする。 ・図形の計量をさせるために、直角三角形 を図中から見つけさせ、三平方の定理を活 用させる。 ウー２ エー２ アー２
６，本時 平成２０年１１月 日（ ） （１）本時の指導観 生徒はこれまでに、図形の性質として、１年の平面図形や空間図形での考察や、２年での図形 の論証によって明らかにした図形の性質を学習してきている。そこで前時では、まず、古代ギリ シャのピタゴラスが床の幾何学模様から三平方の定理を発見したことを知らせ、本単元への興味 を持たせる。また、任意の直角三角形を各個人で作成し、直角をはさむ２辺上の正方形を内部の 線にそって切り取り、５個のピースを用いて、斜辺上の正方形にぴったりとはめこませる。そこ で班を構成し、それぞれ違った任意の直角三角形でも、同じようにはめこむことができることを 班で互いに確認しあう。直角三角形の直角をはさむ辺をa,b、斜辺をｃとすると、a２＋ｂ２＝ｃ２ が成り立つことを確認させ、ピタゴラスが証明した定理であることを知らせる。本時では、この 三平方の定理 a２＋ｂ２＝ｃ２の証明を、４つの直角三角形を用いて証明させる。４つの合同な直 角三角形を使って１つの正方形を作らせ、正方形の面積ｃ２と直角三角形の２辺a,b との関係を幾 何的な考えから代数的な考えに移行して導くことによって三平方の定理の証明をさせる。その際、 正方形の作り方は１つではないし、説明の仕方も様々であることが予想されるので、各班の中で 操作の仕方や定理の導き方の説明を交流させたい。 （２）本実践における交流活動 班ではめ込みの操作活動をさせる際、互いに助言し合いながら活動するように伝えておく。ま た、定理となる公式を導き出す際に、自分たちが操作した図を使って、そこに至る過程を他者に 説明する活動を設ける。図を操作し、それを言葉にし、さらに、記号化することによって他者に 伝えることがより考えを整理できることに気づかせるとともに、三平方の定理という新しい公式 を自分のものとしてとらえることができるようにしたい。ピタゴラスが行ったとされる証明の考 察でも同様に、班や学級で交流する場を設ける。他の意見を聞くことによって自分の考えと比 較・検討することで、もう一度自分の考えをさらに振り返らせていきたい。その中で他者への説 明をわかりやすくするためにはどうしたらいいのか工夫させ、三平方の定理を理解し利用できる 力の定着へとつなげていきたい。 （３）本時の主眼 実際の操作活動によって、三平方の定理 a２＋ｂ２＝ｃ２を証明し、その方法について説明する ことができる。 （４）準備 ①学習プリント ②発表用模型 ③ホワイトボード ④提示資料
（５）本時の展開 学習活動・内容 指導上の留意点 形態 評価規準 配時 １ 前時の学習内容についてふりか えり、めあてを確認する。 ２ 操作活動を通して、三平方の定 理を証明する。 （１）合同な４枚の直角三角形を組 み合わせ、正方形をつくり証明す る。 （２）証明したことについて班で 説明しあう。 （３）発表する。 ３ まとめをする。 ○直角三角形の各辺の関係について学習 したことを想起させる。 ○敷き詰めによって確認した三平方の定 理を、一般化して証明するために、必要 なキーワードを確認させる。 ・直角三角形 ・辺の長さ ・正方形 ・面積 など。 ○正方形は作れても証明までいきついて いない生徒には、直角三角形の各辺の長 さや、直角三角形・正三角形の面積に着 目するとよいことを助言する。 ○正方形の作り方にはA,B２つの方法が あるが、自分の気がついたほうのみでよ いことを知らせる。 ○生徒が相互に同じ考え方・違う考え方を 比較・検討させるために、各自考えた証 明をもとに説明するように指示する。 ○三平方の定理の証明を他者に分かりや すく説明するためには、論理的・機能的 な表現の工夫が必要であることに気づ かせる。 ○今日の授業でわかったこと、ためになっ たことを確認させる。 ○三平方の定理は、２００もの証明方法が あることを知らせ、今日までにこの定理 を使って数多くの技術革新がもたらさ れたことを知らせる。 一斉 個 班 一斉 個 アー１ イー１ ５ １０ １５ １５ ５ 三平方の定理a２＋ｂ２＝ｃ２を証明しよう。 〈めあて〉
