低えん堤下の傾斜止水壁が浸透流に及ぼす影影について（Ⅲ）　－下方有限地盤内の浸透流量について－

低えん堤下の傾斜止水壁が浸透流に及ぼす影影について（Ⅲ）

一下方有限地盤内の浸透流量にっ.いでｰ

中 崎 昭 人 ●・篠…… 和'‥夫

(農学部構築工学研究室)

   On the Percolating Flow under the Dam with Inclined     Sheet Piling （Ⅲ）    …………ごごご………

On the Quantity of Seepage through Permeable ･Layer of Finite Depth

        Akito Nakazaki and Kazuo Shino

(Ｌａｂｏｒａtｏｒｙ ｏｆ Ｃｏｎｓtｒｕｃtｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｉ･ｉｎｇ Ｆａｃｕltｙ ｏｆ Ａｇｒicｕltｕｒｅ)

 Abstract : Formerly, the authors have examined about ａ percolating flow problem under the floating-type dam with the inclined sheet I)ilings built on ａ permeable layer of infinite depth. This paper describes the case of the dam built on ａ permeable layer of finitedepth. In particular, the influence of the situation and the angle of the inclined sheet pilings on the quantity of seepage under the dam are examined.･Numerical computations are done about two examples of angle. Results are compared with the case of no sheet pilings.’ Optimal situation and the angle of the inclined sheet pilings about the quantity of seepage are pointed out.

       Ｉ．ま え が き  透水性地盤上の低えん堤下を流れる浸透流の問題は，浸透流量，パイピングj，堤体に働く揚圧力 等に大別されよう。浸透流量とパイピ゜ングとは密接な関係にあるか，これらを抑制する目的で低え ん堤下部に止氷壁を設置することが多い。筆者等は，以前から透水性地盤上の低えん堤下を流れる 浸透流について検討を加えてきた1'･2Jが，ここでは，１列の止水壁が傾斜して設置された場合の浸 透流に及ぼす影響を調べようとするものである。傾斜止氷壁のある場合の浸透流について，半無限 透水性地盤上の問題を解析的に論究したものにＰｏ】ubarinova-Kochina"の研究がある。本研究で は，止，下流方向に無限で下方に有限な透水性地盤上に設けた低えん堤に，下流側水平面とπ/3ま たは2π/3の傾斜をなす止水壁が設置された場合の，写像関数による解析解を求め，その数値計算 を行って，傾斜止水壁の設置位置や透水層の深さか地盤内の浸透流に与える影響を調べようとする ものである。       ｎ．理●論的解析  上，下流方向に無限で下方に有限な透水性地盤上に設けた低えん堤底面に，下流側水平面とπ/3 の傾斜を為す止氷壁を設置した場合について考察する。  図一１の実平面を複素平面で表わしたｚ一平面（図一2(1))をｔ一平面（図一2（2））に写像する と，その関係はSchwarz-Christoffelの変換により。     普＝c1（z＋1）“1（z−α）（z−1）￣晋（z−β）-1………（1） となる。いま，t＝Ｓ十μ゛9とおき. (1)式に代入し，ρ一〇とすれば，

58 ■ ･ b 高知大学学術研究報告 12’8巻よ‥自然科学  ；    ←→→「 ／ ly 剛 ｚ一平面 図一１  実 平 面 α 1 >"f β (2) t一平面 (3) t'一平面 図一２  写 像 平･面 i φ ｄ （4）ω一平面 IV      iCi(β−α）      ●.， 必゜￣ｊ￣♀￣1）１（β−1）晋ｊ∂゜ これを積分すれば， (5) ^ひ一平面    CI(β−α)一一- ………ﾚﾑl…ﾐ.j……….…･･･(2) ｊ°ﾏβ＋１)１(β−１)吾゜     フ   尚     ／  また, t = pe*^とおき，同様にｐ−・・とすれば，       ｄｚ ＝iC＼ｄ∂ となり，結局， ゞ･●●……･………･●'…j●‥…･(3) Ａ Ｈ Ｇ φ

いま とすれば， (4) ･･………(4) (5) ･(6) ･(8) 39 ＋ ３＋４ ３−４ 狗十靭2)十(3 + 4ソ３η＋4η2)2 となる。これを(2)式に代入すれば。 ａ＝β-(β71)(jﾐyF)!‘．………… となり，これらを(1)式に代入すれば， dz= 3C1 １−ａ 十(１十 (β−１)(こ3−1)(ぐ3−

(づ斗)≒

とおき> (4)式をも用いて, (6)式は， jぐ 2ﾆ￣cl∫首十clf￣？Vと↓･Ｔぶ:ふclf･ど￣ざ5i￣￣ｃづぐ1ﾆゐijﾄ132が………(7) また，こ＝ξ十iri, t = r十むとすると, (4)'式から，

1＋≒=〔{{け萍=岫2＋レ言舞ｼﾞ}ツ(・・･千十八i1千)

ここに，∂=tan"≒ｊごにyFで−ｚ≦∂≦ｏである。  よって， ξ⊃〔〔り(r-1ｿに2y2〕１ ｃｏs子 づ守肩響判臨手 J ぐ＝ξ十励を用いて(7)式を実行し，整理すれば， 十孚丿1{(ξ2Tη2十ξ＋1)2十(２ξη十η)1}

＋‘孚tan"･ｒ厚誌‰

十iC、孚In ２ _{＋１ ４＋２ ２ぐ＋1}

40  高知大学学術研究報告 第28巻 自然科学 一一 ￣ 孚1”{(ξ2￣η2十斑＋32)2十(2o十か)2}￣￡孚tan-1 -ji二-V'+B^ + B･ fc1プIn _{(2ξ十召)4＋2(2ξ十S)'(3S'+4}    (２ξ十が)４＋2(２ξ十j ３ 3B'+ 4 ＋ ３召2−4 ＋４が)十(3B'+4 →-・1孚tan"' -―r謡石ｸ離召‰ドＣ･。 ３ )2 η＋4が)2 (9)  点Ｃの境界条件ｚ＝０，ｚ＝−Ｉ即ち, r=- 1 ，ｊ＝０から, f=0, V=0oこれを(7)式に用 いれば， Ｇ＝０ を得る。また，点￡)ではｚ＝÷十ｉブ である。よって， であり， ･㈲ らZ＝αであるから，ｒ＝α,5=0, - 1<αく１ ∂ニt゛￣1￣jﾓj!T￣゜tan‘1 −行色α2「゜￣!゛ ら＝        恥゜ となる。ここで(べ 十(寸讐)1  犬 一孚(十皆)1 毎)心とおき. _{?7>. Vdを用いて, (9)式に適用すれば，} z＝÷十f孚εから，

士＝一句十Iい証白雨

２（Ａ４十Ａs十Ａ＋1４十Ａs召十Ａ召3十ｊ

 十ソヱ(1゛￣1一万2ﾆ1￣1゛￣1ぎ⊇JSi)}'

匹=寺{孚い告尚‰貼昌幄遡4}

＋2 tan-' ￣ぶ⊇ﾚ4 −1゛不一￣jぐ洙72ﾔこと−2 tan"≫ニうとｽjyj    ..，−1/ア(/ｐ十Å３)｜ ＋tａｎ ￣二Å2十AB+ 2召2 ° 以上の２式に(3)式を代入すると次式の様になる。

今=十汗い脳貼昌夫回祭器囲）

  ＋1/ごＦ(t311￣l一万石1￣t“11￣心土ｲjJﾔﾌF)}………m 今=言乱孚い告諭=醤谷聯回路)   ＋2 tａｎ-1二回でｸﾞいし-tａｎ'1ﾆｦjl?しyでy≠?)−2tａｎ‘1う1-2B

一万=証盛芋皆}．‥………

いま，β（＞１）の値を仮定すると, (4)式によってαの値か定まり， 絆

ら＝ ここで，￡＝ 如 41 ｜

−（

トベ伺ず

1 = ( 女 子 ) 1 I ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ･ ﾄ ﾞ ＝ ( 子 仲  (蜃=月総屑蝉=タトヅドリ庇=背百？ In  (ξ・−Ｓ)2(ξ。2十ξ。＋1)十ヱ ゛ −(２ξ。＋1)2＋3 − ３召（ 一 行十 ２ξ }〕 。

た2∇し＿二2二＝心_.ｊ二を

十−ｏ￣ここ7￣゜耳石゜

 Ｚ−ｒ。 β-rp-一一一 ￣ t-r^  β−ｒ刀ｏ とおき，また，１−ゐ2＝が2であることから，上式は， １＋α -１−α からA, Bが定まるので，これを図式ある｡いは瞭式に代入するとｃ７ｄか求まる。従って，所要の ｅｌｄになるようなβを求めることかできる。 また, z=x十印であるから, (9)式を用いて, X, y はξ，ηの関数として表わすことができる。  次に, z=―a, b―aに対応するz一平面の点Ｂ，Ｆの座標ｒ。，ｒ。を求める。  α≒Ｏのとき，lｒ。I>1, b-a≒Oのとき，ｒ。＞1である。従ってで，      ら＝tａｎ-１７７こjiぎ二万＝tａｎ'ITFjyyＦ＝0      ∂’｀゜1゛‘1刄斥じら1 °tan-'―テ≒￣゜Ｏ・  よって，(8)式より，η。，伽はともに｡0であり，ら，ξ。は次の様になる○     '    Ｉ ・

{(娘十)2}

     １十ら3 ｒ。＝一丁二汐-  ｒ。＝一丁二汐-  ξ 。 3 ＋ 1 ｒ 。 ＝ 一 罵 ｙ 二 万 − 。 ゛ ゜ ゛ ゜ ゛ ゜ ゜ ● ● ● ● ゛ ゛ ｀ ゜ ･ ゛ ゜ ゛ ゜ ● ● ● ● ｀ ･ ゛ ゛ ゜ ゜ ゜ ･ ゛ ゛ ｀ ゜ ･ ゛ ゜ ゛ ｀ ゜ ゜ l ゛ ● ● ● ● ･ ゛ ゛ ゜ ゜ ゛ ゛ ゛ ゜ ● “ ･ ゜ ゛ ゛ ･ ゛ ゛ ゛ ゛ ● ● ● ● ゛ ● ゛ ? 吻 また，（9）式を用いて，  ＝子ﾄﾄ当ジ畿あ憎=際・＼{ -'一三屁抄出 ￣“￣ｚ 〔 ２ １１ (乱一召)2(ら2十ら＋1) ヱ   こ(2ら＋1)2＋3   -t -1 2ソ了j3(2ら＋３)}〕    an  −(2ξｓ十By+ 3B'        ･｀ ＆一α＝封土      ｡｡_-1 2       ………(14  図式を満足するら，ξ。を求めれば，卵，吻式よりｆＲ．  -Ｔｆを求めることができる。  ここで，z一平面の点A, B, F, Gの４点がど一平面の点A, B, F, Gの４点に対応する ように変換すれば，次式が成り立つ。 ― oo ― -― oo ―

べべ尚こ。

また，Z一平面とが一平面の関係は，      −し−１_{だ−Ｏ  ゐ2} ￣Ｆ二了￣゛二      ￣ｉＦ￣０ β−ｒ。 -β−り

42        −高知大学学術研究報告 鋤8巻……自I然科学   ぼ々二KLe}}LがｒJ･………'‥･コ｡……… z°￣￣てk"-E)が十￡   ゜ さて，ｚ一平面に対応するaj一平面は図一2(4)のようである６ の一平面とが一平面との関係は, Schwarz-christofTelの変換により， 一一ｊが ￣yが(が−１)(が一子) となる。ここで媒介平面として図一2(5)の如くｕJ一平面をとり， ･叫 ･叫 とおいて，両辺をｚむで微分し，これを図式に代入すると， 。’      da)= 2C3・ｋｄｌむ となる。これを積分して， w= 2C3・ゐ・■ｗ十C4 。  ここで，点B, F, Gの境界条件を用いる。 点Ｂで，ａ》＝φ1十i軋ｕ･＝Ｏより， φ1十師1＝Ｃ ･叫 叫 叫 ･剛 点Ｆで，ω＝φ1十iφi2, ■w=Kより，      φ,十iφ!=2C3・辺 点Ｇで，ω＝φ2十iφ･2, w=K十iｒより，      φ2十i(p2= 2Csk・（尺十iｒ）十Ｃ4 となる。これらを用いてC3，φ2を求めれば， C3=- iづZｒ，ここにjφ＝φl−φ2     φ,＝ｊφテ となり，結局妁式は，     (0=―i・ｊφ等十iφ1 ＝−i・ｊゆ毎十iφ1十jφ・jﾄ。 よって，ω＝φ十iφより， φ＝φ1−(φl−φ2)を＝(１−を)φ1十をφ21   ゆ＝４を また，が＝丿十is', <'=sn'tf, ■w=u十匈であるから，

r/ ず＝   -    - -sn' z4 ・ dn' v ―cn^ z4・ dn' z乙・sn27ﾉ・ｃｎ２り   ｰ   -  (Ｃｎ２７ﾉ十ゐ2 sn' u ・ sn' vy      -一一

2 ・sn u・en u・dn u・sｎり・ｃｎり・dnり ｰ   -   -  (Ｃｎ２ｔﾉ十ゐ2 sn'ｕ. ・ sn' vY ｜ Ｆ ｊ (22 4ろ となる。従って，ｇ一平面上の多角形ABFGH内の任意点のu.Ｖの値を与えれば. (21), (22) 式によってφ，φ及び戸，ｙが求められ，この戸，ダから(14)式によってｒ，ｊが求められ る。さらにこのｒ。iを用いて(8)式からξ，ηを求め，これから(9)式を用いてぶ，jyを求めること かできる。即ち，叩一平面を媒介として，ｚ一平面上の,ｚ;，jy，の一平面上のφ，φを求めることが でき，ポテンシャル線と流線が描けることになる。        Ⅲ。計算結果とその考察  低えん堤の底面幅b =1.0,止氷壁の長さc =0.25,止水壁と下流側水平面とのなす角をTtc, 透水性地盤の深さをｄ，止水壁設置位置と低えん堤底面上流端との距離をａとし，7‘＝％，％の場 合についてd/b及びａ/bの種々の値の組合せについて計算を行った。  １．流･線 網

 a/b=O.O, d/b=0.5のとき, r=M, Kのそれぞれの場合の流線網を図- 3(a), (b)に, a/b =

0.5, d/b=O. 5, r=Mの場合について図一3(ｃ)に示す。  上流端に止水壁がある場合の図一3(ａ)，(b)より，止水壁が上流側に傾斜している場合の方が下流 側に傾斜している場合よりも流線網が粗になる傾向にある。 また，この図からわかることである が，止水壁が下流端にある場合には，逆に下流側に傾斜している方が上流側に傾斜している場合よ りも流線網が粗になる傾向にある。どちらの傾斜の場合にも，止水壁か中央にある場合に，流線網 が最も密になる。  ２．浸透流量  止水壁の無い場合，γ＝％，％，％の場合について，単位幅当りの浸透流量qo. Qi. q2. q3を求 め，鉛直，傾斜止水壁の場合の浸透流量の，止氷壁の無い場合の浸透量に対する比, qi/q。qj/qo. ｑ3/ｑoを計算した。ここではd/bを0.5, 1.0, 2.0, 3.0, 4 0の'5通りにつて示したのが図一４ である。また，傾斜止水壁の場合の浸透流量の，鉛直止氷壁の場合の浸透流量に対する比qz/qi, qs/qiを示したのが図一５である。  これらの図より，以下のことが指摘され｡る。  ①止氷壁の無い場合との比較

 γ＝％では, a/b=0.5において流量比が最大となり, a/b=0.5を対称軸として, a/b=O.O, 1.0におけるql/qoが最小となるような変化をしている。 即ち，鉛直止水壁を浸透流量抑制に用 いるなら，上，下流端いずれかに設置するのが良い。  γ＝％では，ａ/b＝0.4においてｑ2/qoが最大となり, a/b=0.8∼1.0で急激に減少している。 流量か最小となるのは，下流端に設置した場合である。  γ＝％では, a/b=0.6においてｑ3/qoが最大となり, a/b=0.0∼0.2で急激に減少している。 流量か最小となるのは，上流端に設置した場合である。

44 _{高知大学学術研究報告 第28巻  自然科学} (a) y=yz d/b=0.5 a/b=0.0 剛 y=% d/b=0.5 a/b=0.0 （ｃ）y＝％ d/b=0.5. a/b=0.5 図一３ ’流  線 網 流 線 一一一一一等ポテンシャル線

９   ８   ７   ６   ５   ４   ３   ２   １   ０ ８   ８   ８   ８   ８   ８   ８   ８   ８   只 ｖ ０ ０ ０ 一 一 一 一 一 一 -45 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0       .a/b         （ａ） d/b=0.5 7＝％ ｙ＝％ ｙ＝％ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.? 0.8 0.9 1.0        a/b （ｅ）･ d/b = 2.0 0.95   ' 0.94    0.93    0.92 q/q°0.91 0.90 0.89 0.88 0.87 0.86 0.85 0.84 0.83  0 q/qo

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１ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.1        a/b (b) d/b=1.0 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 0.93 0.92 0.91 0.90 0.89

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／ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1        a/b          （d） d/b=3.0

46 高知大学学術研究報告 第28巻 一自然科学 0.98 0.97 <)/qo 0.96 0.95 0.94 0.93 0.92 0.91 0.90   0

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／ _Ｘ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ･0.6 0.7 0.8 0.9 1.0       a/b        (e) d/b=4.0   ｡’ 図一4  qi/qo, q2/qO) qs/qoとa/bの関係

 ②r＝％と％の場合との比較      ニ  d/b=0.5のとき，ql/ｑoとｑ2/qoが一致するのはa/b=0.84であり, a/b=0.84∼1.0では γ＝％の場合の流量比q2/qoの方がql/qoより小さい。d/bが大きくなるに従い，両者の流量比 の一致する点は上流側へ移動して行くが, d/b-3.5以上では，−･致する位置に変化が無くなり， そのときのa/b=0.71である。  ③γ＝％と％の場合の比較  γ＝％の場合は, r=Kの場合と対称的になる。 d/b=0.5で，ql/qoとqs/qoが一致するのは， a/b=0.16である。 ａ/b＝0.0∼0.16では，γ＝％の流量比qs/qoめ方がqi/qoより小さい。 d/b が大きくなるに従い，流ｍ比の一致する点は下流側へ移動するか, d/b = 3.5以上では変化が無く なり，流量一致点はa/b=0.29となる。・  ④γ==％と％の場合の比較        ゛  d/bの値の如何にかかわらず, d/b=0.0∼0.5ではr=K. a/b=0.5∼1.0ではγ＝％の場合 の流量か小さくなる。  ⑤d/bによる流量比の変化      ・ダ  d/bが大なる程，止氷壁の設置位置にかかわらず，流量比が1.0に近づいて行く。 また，止水 壁の設置位置の変化による流量比変動の範囲もd/bが大なる程小さIぐなって行く。例えば，d/b＝ 4.0のとき，流量比の変化する範囲はほぼ90∼97％であるか, d/b=0.5では78∼89％となる。 即ち，止氷壁の傾斜の仕方に関わりなく, d/bが小なる程，止水壁設置位置により浸透流量に及ぼ す影響か大となる。       ●’

1.08 1.07 1.06 1.05 1.04 1.03 1.02 1.01 1.00 5.99 [].98 0 . 0 1.06 1.05 1.04 1.03 1.02 1.01 1.00 0.99 0.98 0.97   0 47

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／ ＼ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0       a/b （ａ）d/b＝0.5

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／ ＼ ／ ＼ ＼ / 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0        a/b （b） d/b=1.0 y＝％ ｙ＝％ q/qi q/qi 1.04 1.03 1.02 1.01 1.00 0.99 0.98   0 1.04 1.03 1.02 ､1.01 1.00 0.99 0.9.8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9       a/b       （ｃ） d/b=2.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1       a/b       （d）d/b＝3.0    1.03    1.02 q/qi 1.01    1.00 0.99 0.98 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 a9 】        a/b         （ｅ） d/b=4.0 図一5  q2/qij Qs/qiとａ/bの関係 - 一 一

48 高知大学学術研究報告 第28巻 自然科学       IV.結     論  上，下流方向に無限で，下方に有限な透水性地盤上に設けられた低えん堤底面に傾斜止水壁かあ る場合の浸透流量について，止水壁の設置位置，透水性地盤の深さ，止氷壁の傾斜角をパラメータ として，数値計算を行った。ここで行った計算は，止水壁の長さC=0.25の１例ではあるが，この 結果を要約すれば次の様である。  浸透流量の抑制を目的として傾斜止水壁を設ける場合，本研究例からは，  ①γ＝％の傾斜止水壁を，低えん堤底面の下流端に設ける。  ②γ＝％の傾斜止水壁を，低えん堤底面の上流端に設ける。  のいずれかが有効である。  本研究は，現在四国土木の宮本博次君に多大の労をとらせた。記して謝意を表する。  なお，本研究では止水壁の長さを堤体幅の％に限定して行なった,ぢのであり，止水壁の長さによ る浸透流への影響は今後の課題としたい。本計算は，高知大学計算センターの FACOM 270-30 を使用した。 参 考 文 献 1）中崎，篠：止水壁が浸透流に及ぼす影響について 農土学会論文集No. 65 pp. 27-32, '76 2）中崎，篠：低えん堤下の傾斜止水壁が浸透流に及ぼす影響について（ｉ） 高知大学研報Vol. 24 N0.  自然科学11, pp. 93-104 ’75

3) Polubarinova-Kochina Ｐ. Ｙ.:Theory of Ground Water Movement, Princeton Univ. Press  ’62

(昭和54年９月19日受理) (昭和54年12月21日発行)