問題

全文

(1)物理（工学部・ロボティクス＆デザイン工学部・情報科学部）物 Ⅰ. 空所を埋め，問いに答えよ。（配点. 図. 理）. のように，なめらかな水平面に対して. °をなす斜面をもつ台が固定されており，水平面. から台の最高点までの高さを h とする。斜面はなめらかで，斜面と水平面はなめらかに接続されているものとする。また，台車の質量を m とし，大きさは無視できるとする。重力加速度の大きさを g とする。. 45°. 水平面. 図. （. ）斜面の最高点にある台車を静かにはなすと，台車は斜面に沿って下に動き始めた。. 問. 斜面上における台車の運動を考える。斜面に沿って下向きを正とし，その加速度の大きさを a として斜面に沿った方向での運動方程式を書け。. 問. 台車が動き始めてから斜面をすべりおりて水平面に達するまでの時間を求めよ。. 問. 図. のように台車が水平面に達した後の台車の速さ v を g，h を用いて表せ。. 45° 図. （. ）図. のように，水平面に固定された壁にばね定数が k の軽いばねの一端を取りつける。. ばねの他端には軽い板が取りつけられている。板に台車を接触させ，ばねの長さを自然長より x だけ縮める。このとき，ばねがもつ弾性エネルギーは. ア. である。いま，台車を. 静かにはなすと，台車は斜面に向かって水平面上を動き始める。ばねが自然長に戻ったときの台車の速さを v とすると，v は，m，k，x を用いて. イ. と表せる。台車が斜面の. 最高点の高さ h まで到達するためには，v ≧ v をみたせばよい。この条件をみたすばねの縮みの最小値を x とおくと，x は m，g，h，k を用いて. ―. ウ. と表すことができる。. ― （１６.

(2) 45°. 45° 自然長図（. ）次に，（. ）と同様にばね定数 k のばねを用いて，図. のように斜面の最高点から斜面に. 沿って速さ v で台車を投射する場合を考える。. 問. 重力の位置エネルギーの基準を水平面とする。斜面の最高点において，台車がもつ運動エネルギーと位置エネルギーを m，g，h，v のうち必要な文字を用いてそれぞれ答えよ。. 問. このとき，台車を投射するためにばねをどれだけ縮める必要があるか。m，k，v ，g， h を用いて答えよ。また，力学的エネルギー保存の法則を用いた導出過程を示せ。. 45°. 水平面. 図（. ）図. のように，斜面に沿って上向きに速さ v で斜面の最高点から台車が投射された。投. 射後，台車は放物運動し，高さ H の最高到達点まで到達した後，水平面上に落下した。そのときの水平方向の到達距離を L とする。. 問. 投射後から最高到達点に達するまでの時間を g，v を用いて表せ。. 問. 到達距離 L を g，v ，H を用いて表せ。. 45°. 図 ―. ― （１６.

(3) Ⅱ. 空所を埋め，問いに答えよ。空所に選択肢があるときはその中から選んで答えよ。クトルを表す。（配点. （. ! はゼロベ. ）. ）電気量 q の荷電粒子を考える。. "!. !. 荷電粒子の位置における電界（電場）が E であるとき，荷電粒子が電界から受ける力 FE. !. "!. は q と E を用いて FE ＝. ア. と表される。. "!. 磁界（磁場）中を運動する荷電粒子が磁界から受けるローレンツ力 FL を考える。図ように直交座標軸を設定する。図. の. の右図は z 軸の正の側から見た図である。. 図. 荷電粒子の位置における磁界は z 軸の正の向き（図き）であり，その磁束密度の大きさは B （＞. 右図で紙面の裏から表に向かう向. !. ）であるとする。また，荷電粒子の速度 v. !. は x 軸に平行であり，その x 成分を vx とする。v の y 成分と z 成分はゼロである。 q＞. かつ vx ＞. "!. である場合には，FL の大きさは. イ. で，向きは. ウ（x 軸の正・x 軸の負・y 軸の正・y 軸の負・z 軸の正・z 軸の負）の向きである。. 問. "!. "!. q と vx の正負によらずに，FL の成分を表す式は同じになる。FL の x 成分，y 成分，z 成分をそれぞれ記せ。. （. ）図. のように直方体の形をした導体を置き，外部電源により電極間に電圧をかけ，導体内. に大きさ E （＞. ）の一様な電界を x 軸の正の向きに発生させる。電極間の距離を l とす. ると電極間の電位差の大きさ V は V ＝. エ. である。. 電極導体. 導体. 電極図. ―. ― （１６.

(4) 導体中には電流の担い手である動ける荷電粒子（キャリア）が存在する。キャリアの電気量を q とし，単位体積当たりのキャリア数（キャリア数密度）を n とする。導体の性質は. !. !. 「導体中ではキャリアにその速度 v に比例する抵抗力 −k v（k は正の比例定数）がはたらく」というモデルでよく説明できる。以下ではこのモデルで考える。n と k は導体中で位置によらずに一定で，電界や磁界によっても変化しないとする。導体に外部電源による電圧をかけると，キャリアの運動は抵抗力により，すぐに速度一定の定常状態に落ち着く。そのときの電流の大きさを I とすると，この導体の電気抵抗 R は， V と I を用いて，R ＝. !. オ. と表される。定常状態でのキャリアの一定の速度を v と. する。そのときキャリアの加速度はゼロで，キャリアに作用する力はつり合っている。力のつり合いの条件式は. ! !. アである。いまは. ア. −k v ＝. !. !. は x 軸に平行であり，したがって v も x 軸に平行である。v の x. 成分 vx は，E ，q，k で表すと vx ＝. カ. となる。q が負のとき vx は. キ（正・負）. である。さらに図. の z 軸の正の向きに磁束密度の大きさ B の一様な磁界をかける。キャリアの. !. 運動は，再びすぐに一定の速度 v の定常状態になる。そのときに作用する力のつり合いの条件は. "!. ア. ! !. ＋ FL − k v ＝. ①. である。電流は y 軸や z 軸方向には流れないように，導体が電極で外部とつながっている。. !. "!. したがって v は x 成分 vx のみをもつ。FL は y 成分をもつから，式①が成立するためにはア. の y 成分が必要である。つまり，導体中には外部電源が作った x 軸に平行な電界. 以外に，y 軸に平行な電界が発生する。これをホール効果と呼ぶ。電界の y 成分を Ey とし，式①を成分に分けて計算すると，q，k，E ，B を用いて，vx ＝. カ. ，Ey ＝. ク. となる。ホール効果の実験により，原理的に，与えられた E と B のもとで，Ey と j ＝. I を決め S. ることができる。ただし，S は導体の断面積，j は電流密度の大きさである。 Ey の正負は q の正負に応じて変わるので，Ey でキャリアの電気量 q の正負を判定できる。また，. j j はモデル化で用いた定数 k を含まないので，からキャリア数密度 n がわかる。 Ey Ey. 問. Ey が正のとき，q は正か負か記せ。. 問. 導体中に Ey が発生する原因となる物理現象を説明せよ。. ―. ― （１６.

(5) Ⅲ （. 空所を埋めよ。. ）観測者が. ウ. ，. ケ. は語句で埋めよ。（配点. つの音を同時に聞く場合，その. ）. つの音の振動数がわずかに異なっていると，. つの音の合成により，音の大きさが周期的に変動するうなりが生じる。一方の音をＡ，他方の音をＢとして，観測者が聞くそれぞれの音の振動数を f ，f とする（ f ＜ f ）。Ａ，Ｂの振動（空気の圧力変化）を時刻 t についての関数として表すと，振幅が同じ p であり，時刻 t＝. でＡ，Ｂの変位が最大であるとして， A（t）＝ p × cos （ π f t），B（t）＝ p × cos （ π f t）. となる。図. に示すように，時刻 t ＝. では，. つの音の位相は等しいので，強め合って大. きな音を聞くが，振動数が異なるので時間とともに位相がずれていき，合成音はしだいに小さくなる。t ＝. の後に，はじめて. つの音の位相が π ずれる時刻を T とする。それぞれの. 位相を考えることにより，T を f ，f などを用いて表すと，T ＝. ア. となる。さらに. 時間が進んで t ＝ T の時に，ＡとＢの位相が π だけ異なるので合成音は再び最大になる。すなわち，うなりの周期は T で表される。うなりの振動数 F ＝. T. を f ，f で表すと，F ＝. イ. となる。. 図（. ）図. のようにスピーカーが単一の振動数 f の音を平面波として右向きに発している。ス. ピーカーの右側には壁があり，スピーカーからの音を反射している。反射音の大きさは，スピーカーからの音の大きさと同じである。また，反射音も平面波である。スピーカーと壁の間に，右向きに一定の速さで移動している観測者がいて，両方の音を同時に聞いている。スピーカーと壁の距離は音の波長よりも十分に長いものとする。. ―. ― （１６.

(6) 壁スピーカー. 観測者. 図観測者は，スピーカーおよび壁に対して動いているので，スピーカーからの音，壁からの反射音それぞれについて. ウ. 効果が起こり，f と異なった振動数の音を聞く。スピー. カーからの音をＡ，壁からの反射音をＢとする。観測者が聞く音で振動数が大きい音はＡ，Ｂのうち，. エ. である。. 観測者が聞く音Ａ，Ｂの振動数をそれぞれ，fA，fB とする。音Ａ，Ｂの速さを c，波長を λ，観測者の速さを v として，fA，fB を求める。v は c よりも十分に小さいものとする。観測者が音Ａの山を観測してから次の山を観測するまでの時間を τ とする。この時間に音Ａが進んだ距離と観測者が進んだ距離の関係から cτ ＝観測者が聞く音の振動数は. τ. と表される。. で示されるので，fA を c，v，λ で表すと，fA ＝. なる。c と λ と f の関係は λ ＝同様に，fB ＝. オ. キ. であるから，fA ＝. カ. と. c −v f となる。 c. c ＋v f となる。 c. 振動数がわずかに異なる音Ａと音Ｂを同時に聞くのでうなりを観測する。このうなりの振動数を c，v，f を用いて表すと，. （. ク. となる。. ）この現象を次のように見方を変えて考える。スピーカーからの音Ａと壁からの反射音 B は空間の各点で干渉するので，波はどちらにも進んでいないようにみえる。このように波形の進行しない波をコ. ケ. と言う。この. ケ. の隣り合う節と節（腹と腹）との距離 L は L ＝. である。観測者はこの. ケ. の中を速さ v で移動している。したがって，観測者が隣り合う節と節を移動する. 間に，音の大きさは最小から最大を経て再び最小になる。その時間を T として L と v で表すと，T ＝ f で表すと，. T. ＝. ク. となり，. T. は，（. サ. となる。したがって. T. を c，v，. ）で求めたうなりの振動数と等しいことが. わかる。. ―. ― （１６.

(7)