：古典的結び目のカンドルホモトピー不変量

(1)

曲面結び目のカンドルホモトピー不変量とレギュラーアレクサンダーカンドルについて

野坂武史

(

京都大学数理解析研究所博士課程

)

概要

有限なカンドルに対し,まず曲面結び目のカンドルホモトピー不変量を定式化した. その不変量は,カンドルの分類空間の３次ホモトピー群に値を持ち,またカンドルコサイクル不変量の普遍不変量である. 本研究ではまずその空間の有理ホモトピー群を決定した. 次に,レギュラーアレクサンダーカンドルに対し,或る条件下で３次ホモトピー群を決定付けた. 系として,カンドルコサイクル不変量やカンドルホモロジー群に応用を得た. またこの手法を使い,２次ホモトピー群をも計算した. この報告書の詳細はプレプリント[N3]をご参照ください.

1 Introduction

：古典的結び目のカンドルホモトピー不変量

カンドルとは

,

分配側を満たす或る代数系の事である

.

カンドルとはおおよそ

,

群より弱い演算で

,

「等質空間」に入る二項演算のことであって

,

カンドルは結び目理論への応用が多い

.

今

回は

Fenn-Rourke-Sanderson[FRS]

によって導入されたカンドルホモトピー不変量という古典

的絡み目の不変量に注目する

.

その不変量は

,

ラック空間

BX

の２次ホモトピー群

π₂(BX)

に値を持つのであった

.

以前

,

筆者はその不変量を調べていた

[N1].

一方で

,

論文

[CJKLS]

において

,

その空間

BX

の

(

コ

)

ホモロジー群を改良したカンドル

(

コ

)

ホモロジー群が導入された

.

さらにその

3-

コサイクルを使い

,

曲面結び目のカンドルコサイクル不変量が導入された

.

この不変量は

,

任意の局所系係数の３次コホモロジー群に対しても拡張された

[CEGS].

そのカンドルコサイクル不変量は

,

いくつかの論文で計算されている

.

本講演の趣旨の

1

つは

,

古典絡み目のカンドルホモトピー不変量を曲面絡み目へ拡張・適用させ

,

その基でのカンドルコサイクル不変量を研究していくものである

.

2

復習：カンドルと

X-

カラリング

まずはカンドルから復習する

.

カンドルとは

,

集合

X

と二項演算

∗ : X² → X

の組で

,

∀x, y, z ∈X, x∗x=x, (x∗z)∗(y∗z) = (x∗y)∗z

を満たし

,∀x, y ∈X, ^∃^!w∈X,w∗x=y

を満たすものである

.

例えば

, Z[T^±]-

加群に

,

二項演算を

x∗y =T x+ (1−T)y

と入れたものをアレクサンダーカンドルという

.

カラリングを復習する

.

有向古典的絡み目に対し

,

その１つの絡み目図式

D

を選ぶ

.

カンドル

X

に対し

,D

の

X-

カラリングとは

D

のアークの集合から

X

への写像であり

,

各交点で左下図のような関係式を満たすものとする

.

また同様に

,

有向曲面結び目

Σ_g ,→S⁴

に対し

,

その１つの結び目図式を

D ⊂S³

をとる

. D

の

X-

カラリングとは

, D

のシートの集合から

X

への写像であり

,

各々の二重線で右下図のような関係を満たすものとする

.

曲面絡み目の図式

D

に関して

, Col_X(D)

を

X-

カラリングの集合とかく

.

同じ絡み目の別の

図式

D^′

をとると

,

自然な一対一対応

Col_X(D) ←→^1:1 Col_X(D^′)

がある事はよく知られている

. (

これは

1

次元絡み目においても同様である

).

よって

, Col_X(D)

は絡み目不変量になるが

,

古

典的な対象物である

.

例えば

D

を結び目図式とし

X

をアレクサンダーカンドルとするとき

, Col_X(D)

はアレクサンダー加群で表される事が知られている

[Ino].

そこで

,

次にこの不変量

ColX(D)

に重みを課して細かい不変量を作っていく

.

(2)

α β

γ

C(α)∗C(β) =C(γ)

α

β

γ

3

定義：曲面結び目のカンドルホモトピー不変量

この節では

,

曲面結び目のカンドルホモトピー不変量の定義

[N2, §2.2]

を解説する

.

この為に

,

カンドル

X

に関し

,

ラック空間

BX

を或るコーン

(

錐

)

を取る事で改良し

,

カンドル空間

B^QX

を紹介する

.

テクニカルな議論のため定義

3.1

を一瞥し

,

次節を先に読まれても支障はない

.

まず準備としてラック空間

BX

の３スケルトンを説明する

.

まず

,

１スケルトンは

, a ∈ X

でラベルされた円達の一点和である

.

次に２スケルトンは

,

左下図のように

, 1

スケルトン

に

(a, b) ∈ X²

でラベルした正方形らを貼り付けたものである

;

ここで各辺のラベルに適合

するように

,

正方形を貼合せている

.

次に３スケルトンは

,

下中図のように

,

２スケルトンに

(a, b, c)∈X²

でラベルした立方体らを張り合わせたものである

.

次に

,

カンドル空間

B^QX

の３スケルトンは

,

ラック空間

BX

の３スケルトンに

, (a, a)-

セルのコーンをとったもの達を貼り付けたものとして定義する

(

右下図

).

a

b b

a∗b

a b

b a∗b

c c c

c a∗c b∗c

b∗c

(a∗b)∗c a a

a a

図1 (a, a)でラベルされた2-セルと, (a, b, c)でラベルされた3-セルと,コーン.

次に

,

有向曲面絡み目

L

に対し

,

不変量を構成する

.

その為にセル写像

S³ → BX

を構成していこう

.

まず

D

を図式とし

, D

を有向曲面から

S³

への正則横断的な嵌め込みと見なすことで

,

その双対分割を

S³

が得られる

.

先ず

, a ∈ X

でカラーされたシートを横断する

1-

セルを

, BX

の

a ∈ X

でラベルされた

1-

セルに送る

.

次に

, (a, b) ∈ X²

でカラーされた２重線に双対な

2-

セルを

, BX

の

(a, b) ∈ X

でラベルされた

2-

セルに送る

.

次に

, (a, b, c) ∈ X³

でカラーされた３重点付近の

3-

セルを

, BX

の

(a, b, c)∈ X

でラベルされた

3-

セルに送る

(

図

2

を見よ

).

最後に

, (a, a) ∈ X²

でカラーされた

branch point

の周りを

B^QX

の

(a, a) ∈ X²

付のコーンへ移すことにする

(

ただし

,

厳密には

branch point

の周りのセル分割を改良する必要があり詳細は

[N3,§2.2]

にまわす

).

とにもかくにも

,

これらの構成は全体的に貼り合い

,

セル写像

ξ_D,C : S³ → B^QX

が構成される

.

そのホモトピー類を

Ξ_X(D;C) ∈π₃^Q(BX)

とおく

,

実は

,

カンドル空間の

4-cell

の定義から

, Ξ_X(D;C)

は図式

D

の取り方に因らない

(

詳細

[N3, §2.2]).

ここで

,

実は

, ΞX(D;C)∈π3(B^QX)

が

,

或る部分群に入る事を見よう

.

それには

,

我々は

D

(3)

a∗b b

a

c

ξ_D,C

(a∗b)∗c b∗c

a∗c

a b a∗b

b

c

c b∗c

a∗c (a∗b)∗c b∗c

図2 (a, b, c)でカラーされた３重点から, (a, b, c)でラベルされた3-セルへ

として

branch point

を持たない図式として取る

[CS].

すると上のセル写像は

ξ_D,C :S³ →BX

へと制限される

.

入射

ι : BX →B^QX

をおき

,

部分群

π₃^Q(BX)⊂ π₃(B^QX)

をその誘導射

ι_∗

による像とする

.

すると

,

結論は

Ξ_X(D;C)∈π^Q₃(BX)

となる

.

定義

3.1. L⊂ S⁴

を曲面絡み目とし

, D ⊂S³

をその図式とする

. X

を有限カンドルとする

.

カンドルホモトピー不変量とは

Ξ_X(L) = ∑

C∈ColX(D)

Ξ_X(D;C) ∈Z[π^Q₃(BX)]. (1)

この不変量はホモトピー群に値を持つので

,

一見解り辛い

.

そこでこの不変量の「ココロ」を節

8

で簡単に述べておいた

.

然しながら次のように定量的な話に還元できる

.

注意

3.2.

この不変量は

, generalized

カンドルコサイクル不変量に普遍的である事を見よう

(

下式

(2)

がそれを意味する

).

これを見る為に

,

まず局所系係数の

3-

コサイクル

ψ ∈H³(B^QX;A)

を固定する

. HA: π₃(B^QX)→ H₃(B^QX;A)

を

,

その局所系のフルヴィッツ準同型とする

.

す

ると

ψ

の

generalized

カンドルコサイクル不変量とは次で定義される

:

Ψψ(L) = ∑

C∈ColX(D)

⟨ψ,HA

(ΞX(D;C))

⟩ ∈Z[A]. (2)

この空間のホモロジー群

H₃(B^QX;A)

は

, [CJKLS, CEGS]

で定義されたカンドルコホモロジー群

H₃^Q(X;A)

と一致する事を注記する

.

するとフルヴィッツ準同型の定義より

, [CEGS]

で導入された

Ψ_ψ(L)

の組合せ的定義と

(2)

とは一致する事がわかる

.

この式

(2)

の意義を述べる

:

即ち

,

カンドルホモトピー不変量は定義からほぼ計算不可能なものであるが

,

もし

3-

コサイクル

ψ

の具体的表示が解れば

,

カンドルコサイクル不変量を通じて計算可能にするともいえる

.

注意

3.3.

重要な局所系の一例を述べる

.

まず随伴群

As(X)

の定義を思い出す

:

即ち

As(X) =

⟨ x ∈ X | a·b = b·(a∗b) ⟩

という群表示で定義する

.

ここで上のセル分割より

As(X) = π1(BX) = π1(B^QX)

に留意する

.

任意の

a∈X

に対して

,

全単写

(• ∗a) :X →X (x7→x∗a)

を考える

.

全ての

a ∈ X

を考えると

,

これは作用

π1(BX) y X

を誘導する

.

そこで

X

で

貼る自由加群

Z⟨X⟩

^を

, Z[π₁(BX)]-

加群と見なす

.

すると複体の形から

H₃(BX;Z⟨X⟩)

は

自明係数の

H₄(BX;Z)

に同型となる

[FRS2, Prop. 5.1].

するとこの同型を通じ

, 4-cocycle ϕ ∈ H⁴(B^QX;A)

を局所系係数の

3-cocycle

と見なす事が出来る

.

これによるカンドルコサイ

クル不変量は

, [CKS]

で導入されたシャドーコサイクル不変量と呼ばれる

.

(4)

4

結果：

π₃^Q(BX)

と

π₂(BX)

の計算

我々は定義

3.1

で

, Abel

群

π^Q₃(BX)

を使った不変量を構成した

.

そこで２つ問題を考えよう

:

問題

(i)

不変量の器である

π₃^Q(BX)

を調べ

,

カンドルホモトピー不変量を計算できるか？

(ii) π₃^Q(BX)

を調べる暁に

,

非自明な

generalized

カンドルコサイクル不変量を抽出する局所系係数を決定せよ

.

(i)

に応えるために

,

まず

π₃^Q(BX)

の自由部分群

(

有理ホモトピー群

)

を決定した：

定理

4.1. X

を

“

連結成分

”

が

l

である有限カンドルとするとき

, π₃^Q(BX)

は有限生成である

.

さらに

, π₃^Q(BX)⊗Q∼=Ql(l−1)(l−2)

3 .

特に

, l = 1

の時

, π₃^Q(BX)

は有限である

.

注意

4.2. l-

成分絡み目のボルディズム群を有理数でテンソルしたものは

Q^l(l⁻^1)(l³ ⁻²⁾

^{である事が} 知られている

. π₃^Q(BX)⊗Q

^は自然に

,

その群へ同型を作れる事がわかった

.

これの云わんとする事は

,

この自由部分群はカンドル

X

から連結成分の情報しか取り出せない事を意味する

.

次に

,

連結成分が

l = 1

のとき

, π^Q₃(BX)

の捩れ部分群を決定しよう

.

だが一般の空間ではホモトピー群の計算が難しいため

,

定理

4.3

では条件を課し議論した

.

まず

,

アレクサンダーカンドル

X

がレギュラーとは

, Z[T^±]-

加群として

(1−T)X = X

を満たし

, (T^e−1)X = 0

を満たす最小数

e

が

|X|

と互いに素となる事をいう

.

例として

,

有限体

Fq

と

ω ∈ Fq

に対し

, x∗y:=ωx+ (1−ω)y

とした

Fq

上のカンドル構造は

,

レギュラーである

,

但し

ω ̸= 0,1

とする

.

定理

4.3. X

をレギュラーアレクサンダーカンドルとする

.

また

|X|

が奇数であり

, H₂^Q(X;Z)∼= 0

と仮定する

.

このとき

, π^Q₃(BX)∼=H₄^Q(X;Z)

となる

.

注意

4.4.

この定理で多くの仮定をおいたが

,

そこそこ広いクラスである

.

例えば

,

奇数次の拡大体

Fq

に入る上述のカンドルではこの条件を見たす

,

ただし標数は２を除く

.

証明は

§7

で解説する

.

ここでは

,

問題

(ii)

に応える系を紹介したい：

系

4.5.

定理

4.3

内の

X

に対し

,

任意のカンドルコサイクル不変量は

, H_Q⁴(X;A)

のコサイクルによるカンドルコサイクル不変量の線形和となる

.

ここで注意

3.3

より

H_Q⁴(X;A)

を局所系係数コホモロジー群と思っている

.

Proof.

定理

4.3

での同型が

, Hurewicz

準同型を通じて得られる事による

.

詳細略

.

さらに

,

奇素数位数の連結なカンドルに関して

,

カンドルコサイクル不変量を決定した：

系

4.6. X = Z[T]/(p, T −ω)

とする

. ω ̸= ±1

のとき

, π₃^Q(BX) ∼= 0. ω = −1

のとき

π₃^Q(BX) ∼=Z/pZ

^であり

,

さらにその

X

の任意のカンドルコサイクルは

,

望月３コサイクル不

変量の定数倍である

.

ここで望月３コサイクルとは

H³(B^QX;Fp)∼=Zp

の生成元をいう

. Proof. H₂^Q(X;Z) = 0

は知られている

.

また

ω ̸= ±1

のとき

, H₄^Q(X;Z) = 0

であり

, ω = −1

のとき

, H₄^Q(X;Z) =Z/pZ

となる事を著者は示した

([N2]).

また望月３コサイクルを使った不

変量は

,

非自明である事が知られている

.

後は定理

4.3

から得られる

.

(5)

5

結果：

π2(BX)

の計算

さらに今回の計算手法を使い

, π₂(B^QX)

を計算した

.

これは一次元結び目のカンドルホモトピー不変量の容れ物であった

(

定義は

[N1, §2]

を見よ

).

或る

X

のクラスに関し

, π₂(B^QX)

を次のように決定付けた：

定理

5.1.

奇数位数のレギュラーアレクサンダーカンドル

X

に対し

,

次の分裂完全列を与える：

0−→π₂(B^QX)−→H₃^Q(X;Z)−→H₂^Q(X;Z)∧ZH₂^Q(X;Z)−→0.

この定理の証明は

§7

で後述する

.

以下

,

この定理の完全列がどう強力であるかを述べたい

.

まず

H₂^Q(X;Z)

と

H₃^Q(X;Z)

から

,

位数の

9

以下のレギュラーアレクサンダーカンドル

X

に関し

,

捩れ込みで

π₂(B^QX)

をすべて決定した

.

位数の

6

以下は

, [N1]

で調べたので

, 7≤ |X| ≤ 9

の場合に下表のようにまとめた

.

ここで

H₂^Q(X;Z)

と

H₃^Q(X;Z)

の計算は

Litherland-Nelson[LN]

による

.

X H₂^Q(X;Z) H₃^Q(X;Z) π₂(B^QX)

Z[T]/(7, T + 1) 0 Z/7Z Z/7Z

Z[T]/(7, T −ω) 0 0 0

Z[T]/(2, T³+T²+ 1) 0 Z/2Z Z/2Z

Z[T]/(9, T + 1) 0 Z/9Z Z/9Z

Z[T]/(3, T²+ 1) Z/3Z (Z/3Z)³ (Z/3Z)³

Z[T]/(3, T²+T −1) 0 0 0

Z[T]/(3, T²−T −1) 0 0 0

表1 H₂^Q(X;Z)とH₃^Q(X;Z)から得られるπ2(B^QX)たち. ここでω̸=−1とした.

さらに有限体上に入るアレクサンダーカンドルに関しては

,

その

Fq

係数

2,3

次コホモロジー群は

,

望月拓郎先生に決定されている

[M1].

であるので

,

上の完全列を使い

,

有限体上のアレクサンダーカンドルの

π₂(B^QX)⊗Z/pZ

は厳密に計算できるようにした

. 3

次拡大までの有限体に関しては

π₂(B^QX)⊗Z/pZ

^{全てを決定した}

(

詳細は

[N3, §6]

を見よ

).

その計算結果の中で

,

注目に値するものを紹介しよう

:

系

5.2. X

を二面体カンドルの

h

個直積とする

: X = (

Z[T]/(p, T + 1))h

.

この時

, dim(π₂(B^QX)⊗Fp) =h²(h²+ 11)/12.

h= 1

のとき

,

以前

,

畠中英里氏と著者は

π₂(BX)

と群ホモロジー

H₃(Z/pZ;Z)

との自然な同型を作った

[HN].

この同型は

Dijkgraaf-Witten

不変量とカンドルコサイクル不変量を繋げる有効な同型であった

.

しかし

h >1

の時

, dim(π2(B^QX)⊗Fp)

は４次の割合で増加するので

, (

３次的に増加する

)

群ホモロジーより豊富な量と期待される

.

さらに応用として

,

次のように或る

3

次カンドルホモロジー群を決定した

:

系

5.3. X

を奇数位数の二面体カンドルとする

.

即ち

, X = Z[T]/(m, T + 1).

この時

, H₃^Q(X;Z)∼=Z/mZ

^である

.

Proof.

畠中氏と著者

[HN]

は

, π₂(B^QX)∼=Z/mZ

^を示した

.

また

H₂^Q(X;Z)∼= 0

は知られてい

るので

,

定理

5.1

から直接結果を得る事が出来る

.

(6)

注意

5.4.

望月拓郎先生により

,

奇素数

p

に関し

H₃^Q(X;Z)⊗Z/pZ

を決定していた

[M2].

一方で

m

が奇素数のとき

, [NP, §3]

でホモロジー代数の手法で解決された

.

今回はホモトピー群から接近し

,

捩れ部分群こみで

m

の一般化を得る事が出来た事になる

.

また一方で

,

一次元結び目における問題

(ii)

の答えとして

,

強い主張が得られた

:

系

5.5. X

を奇数位数のレギュラーアレクサンダーカンドルとする

.

任意のカンドル

(

ホモトピー

)

コサイクル不変量は

, H_Q³(X;A)

の３コサイクルによるシャドーコサイクル不変量の線形和とかける

.

この事より

, H_Q³(X;A)

によるシャドーコサイクル不変量が

,

レギュラーアレクサンダーカンドルから出来上がる不変量の限界ともいえる

.

逆に言えば

,

今後の課題として

, H_Q³(X;A)

のシャドーコサイクル不変量を調べれば

,

不変量の意味が解っていくだろうと期待している

.

6

定理

4.1

の証明方針：

π₃^Q(BX)⊗Q

^と

π2(BX)⊗Q

^の計算

定理らの証明で一番鍵となるのは

, Clauwens[Cla]

により発見されたラック空間上の位相モノイド構造である

.

この構造を説明する為に

, [FRS, FRS2]

によるラック空間の抽象的な定義を思いおこそう

.

まず

Y

を

X-set

とする

,

即ち

As(X)

の作用付き集合とする

.

そのとき

BYX

を思い出そう

.

定義は次である：

X

と

Y

に離散位相をいれて

,

空間

∪

n≥0

(Y ×([0,1]×X)ⁿ)

を考える

.

そして次の同値関係を考える

:

(y;t1, x1, . . . , xj−1,1, xj, . . . , tn, xn)∼(y·xj;t1, x1∗xj, . . . , xj−1∗xj, tj+1, xj+1, . . . , tn, xn).

(y;t₁, x₁, . . . , x_j₋₁,0, x_j, t_j+1, . . . , t_n, x_n)∼(y;t₁, x₁, . . . t_j₋₁, x_j₋₁, t_j+1, x_j+1, . . . , t_n, x_n), (3)

この商空間を

B_YX

とかきラック空間と呼ぶ

. Y

が一点の時

, §2

の

BX

と一致する事がわかる

.

また次に

,

カンドル空間

B_Y^QX

を定義しよう

.

まず次の部分空間を考える

:

∪

n≥2

{(y;t₁, x₁, . . . , t_n, x_n)∈Y ×([0,1]×X)ⁿ |x_i =x_i+1 for some i∈Z, i≤n−1}. (4)

これを

X_Y^D

と書き

,

合成写像

:X_Y^D ,→∪

n≥0

(Y ×([0,1]×X)ⁿ)proj.

→ B_YX

を考える

.

そこでカンドル空間を合成写像の錐

(

コーン

)

と定義し

, B_Y^QX

とかく

. Y

が一点のとき

, §2

での

B^QX

と一致する事がわかる

.

X

をレギュラーなアレクサンダーカンドルとする

. Y =Z/eZoX

とする

. (ϵ, y)∈Z/eZoX

に対し

,

全単写

∗(ϵ, y) :X →X; x7→T^ϵy+ (1−T)x

をとると

, Y

の

X

への作用を誘導する

.

[Cla]

に基づいて

, B_YX

に位相モノイド構造を入れよう：

µ: (G×[0,1]ⁿ×Xⁿ)×(G×[0,1]^m×X^m)→G×[0,1]^n+m×X^n+m, µ([g;t₁, . . . , t_n, x₁, . . . , x_n],[h;t^′₁, . . . , t^′_m, x^′₁, . . . , x^′_m]) :=

[gh;t1, . . . , tn, t^′₁, . . . , t^′_m, x1·h, . . . , xn·h, x^′₁, . . . , x^′_m], B_YX

は弧状連結となる事も注記する

.

さらに写像

B_YX → BX

は主

Y

束になるので

π_r(B_YX)∼=π_r(BX)

に注意しよう

(r≥2).

(7)

定理

4.1

の概証

Y =Z/eZ oX

とする

.

まず

B_YX

のモノイド構造から

,H_∗(B_YX;Q)

にホップ代数構造を入れる

.

また

, BYX

は或る基点付ループ空間になる事も注意しよう

.

定義より

, BYX

は有限型の

CW

複体だから

,

ミルナー・ムーアの定理が適用できる

:

即ち

, Hurewicz

準同型

π_∗(BX)⊗Q → H_∗(B_YX;Q)

は単写であり

,

なおかつその像は原始的元の貼る部分空間に同型となる事になった

( [FHT]

を見よ

).

被覆

B_YX → BX

のトランスファーを使う事で，

H_∗(B_YX;Q) ∼= H_∗(BX;Q)

がすぐ解る

.

また

H_∗(BX;Q)

の構造はよく知られている

[EG]

ので，すぐ原始的元が何かわかる

.

とくに

π₃(BX)⊗Q ∼= Ql(l+1)(l+2)

3

がわかる

.

さらに入射

BX →B^QX

による誘導射

H_∗(BX;Q)→H_∗(B^QX;Q)

に着目する

.

この射による原始的元の行き先を確認する事

(

詳細略

)

で

,

目的の

π^Q₃(BX)⊗Q∼=Q^l(l⁻^1)(l³ ⁻²⁾

^{が得られる}

.

7

証明の方針：

π₃^Q(BX)

と

π2(BX)

の計算

定理

5.2

の概証

Y =Z/eZ oX

とする

.

まず

B_YX

は或る基点付ループ空間になるので

,

知られている事に

,

一次ポストニコフ不変量

k₃ ∈ H³(π₁(B_YX);π₂(B_YX))

は二倍で消える

[AP].

π₁(B_YX)

の捩れ部分群の位数は

|X|

^{で割り切れるので}

k₃ = 0

となる

(

下の補題

7.1

を見よ

).

これは次を即座に意味する

:

即ち

, Hurewicz

準同型

H: π₂(B_YX)→ H₂(B_YX;Z)

が単写であり

,

次の分裂完全列がある：

0→π₂(BX)−→^H H₂(B_YX;Z)−→H₂(π₁(B_YX);Z)−→0.

π₂(BX) ∼=π₂(B^QX)⊕Z

^{を思い起こす}

([N1, Proposition 3.12]).

そこで右ふたつの項を計算しよう

.

その際に

,

次の二つ補題を示す必要がある

(

これの証明は

[N3, §4

と

5]

を見よ

)

：補題

7.1. X

をレギュラーアレクサンダーカンドルとする

. π₁(B_YX)∼=Z⊕H₂^Q(X;Z).

補題

7.2. X

を同様とする

.

このとき

H₂(B_YX;Z)∼=Z⊕H₂^Q(X;Z)⊕H₃^Q(X;Z).

π₂(BX)∼=Z⊕π₂(B^QX)

より

,

補題らを上の完全系列に代入すれば

,

定理の結果が得られる

定理

4.3

の概証次に

H₂^Q(X;Z) ∼= 0

の仮定の基で

π₃(BX)

を計算しよう

.

普遍被覆空間

BXg →BYX

をおく

. BXg

に位相モノイド構造を入れると

,

再び

[AP]

の結果より

,

２次ポストニコフ不変量

k4 ∈ H⁴(π2(BX);g π3(BXg))

は二倍で消える

.

よって

, Hurewicz

準同型を奇素数

p

で局所化することで

,

次の分裂完全系列を得る事になる

:

0−→π3(BX)g _(p) −→^H H3(BXg;Z)_(p)−→H3(π2(BXg);Z)_(p)−→0. (5)

ここで定理

5.2

から右項が

π₂(BX) ∼=H₃^Q(X;Z)

が即座にわかる

.

次に真ん中の項を計算するために

, BXg

を見ていこう

.

次のホモトピー同値を与える簡単な補題が有用である

:

補題

7.3. M

^を

,

弧状連結で

π₁(M)∼=Z

^{な位相モノイドとする}

.

このとき

M ×S¹ ≃Mf.

Proof. f : S¹ → M

を基本群の生成元として取る

. M

^{の二項演算}

µ

と

,

被覆

g : M → Mf

^を

取ると

,µ◦(f×g) :S¹×M → Mf

は弱ホモトピー同値を与える

.

また次に

, Y =Z/eZ oX

として

, BYX

を考える

.

補題

7.1

により

, π1(BYX) ∼= Z

^である

.

よって

,BXg ×S¹ ≃B_YX

である

.

：古典的結び目のカンドルホモトピー不変量

曲面結び目のカンドルホモトピー不変量と レギュラーアレクサンダーカンドルについて

野坂 武史

京都大学 数理解析研究所 博士課程

：古典的結び目のカンドルホモトピー不変量

カンドルとは

分配側を満たす或る代数系の事である

カンドルとはおおよそ

群より弱い演 算で

「等質空間」に入る二項演算のことであって

カンドルは結び目理論への応用が多い

今

回は

によって導入されたカンドルホモトピー不変量という古典

的絡み目の不変量に注目する

その不変量は

ラック空間

の２次ホモトピー群

に 値を持つのであった

以前

筆者はその不変量を調べていた

一方で

論文

において

その空間

の

コ

ホモロジー群を改良したカンドル

コ

ホモロジー群が導入された

さらにその

コサイクルを使い

曲面結び目のカンドルコサ イクル不変量が導入された

この不変量は

任意の局所系係数の３次コホモロジー群に対しても 拡張された

そのカンドルコサイクル不変量は

いくつかの論文で計算されている

本講演の趣旨の

つは

古典絡み目のカンドルホモトピー不変量を曲面絡み目へ拡張・適用 させ

その基でのカンドルコサイクル不変量を研究していくものである

復習：カンドルと

カラリング

まずはカンドルから復習する

カンドル とは

集合

と二項演算

の組で

を満たし

を満たすものである

例えば

加群に

二項演算を

と入れたもの をアレクサンダーカンドルという

カラリングを復習する

有向古典的絡み目に対し

その１つの絡み目図式

を選ぶ

カンド ル

に対し

の

カラリングとは

のアークの集合から

への写像であり

各交点で左下 図のような関係式を満たすものとする

また同様に

有向曲面結び目

に対し

その１ つの結び目図式を

をとる

の

カラリングとは

のシートの集合から

への写 像であり

各々の二重線で右下図のような関係を満たすものとする

曲面絡み目の図式

に関して

を

カラリングの集合とかく

同じ絡み目の別の

曲面結び目のカンドルホモトピー不変量とレギュラーアレクサンダーカンドルについて

野坂武史

京都大学数理解析研究所博士課程

群より弱い演算で

に値を持つのであった

曲面結び目のカンドルコサイクル不変量が導入された

任意の局所系係数の３次コホモロジー群に対しても拡張された

古典絡み目のカンドルホモトピー不変量を曲面絡み目へ拡張・適用させ

カンドルとは

と入れたものをアレクサンダーカンドルという

カンドル

各交点で左下図のような関係式を満たすものとする

その１つの結び目図式を

への写像であり

セルのコーンをとったもの達を貼り付けたものとして定義する

を構成していこう

への正則横断的な嵌め込みと見なすことで