固定効果のあるロジットモデルにおける 重み付 LS 推定値の漸近特性

固定効果のあるロジットモデルにおける 重み付 LS 推定値の漸近特性

片 岡 佑 作

要   旨

ある確率pititは0<p_itit<1によって制限を受けるが、それが説明変数x_itit^mに依存するとしよう。多くの場 合、そのもっとも簡単な表現方法は

（１） p_itit expexp(x^m )/[)/[1 expexp(x^m )])]

itit itit

= i + i

（２） 1 p_itit 1/[/[1 expexp(x^m )])]

- = + ititi

と書くことである。ここでx_itit^mは既知の変数の行ベクタ、iは未知パラメタの列ベクタである。この（１）、

（２）は

（３） f_itit loglog(p_itit/(/(1 p_itit)))) x^m

= - = ititi

あるいはTNTN個(i=1,g,N t; =1,g,T)を集めて

（４） f x= mi と書くことができる。

ここでf_itit=loglog(p_itit/(/(1-p_itit))))を確率pititのロジスティック変換、（４）を線形ロジスティックモデルと よぶ。

もし

（５） U_itit=loglog(pt_itit/(/(1-pt_itit))))

とすれば、以下のように表現できるであろう。つまり、

（６） U x

x

itit ititm itit

i t itit itit

e

e

= +

= + + + +

i

a n d b

c_in_i=0

!

ct^ld_t=0

!

( /(/( )))) ( /(/( )))) ( /(/( )))) ( )

log log log

log p p p p

p p p p

1 1

1

itit itit itit itit itit

itit itit 1 itit itit

e ,

- - -

- -

=

-

t t

t

ここでeititはたがいに独立、近似的にN( ,0 /n )

itit itit

v2 にしたがう。これは本質的に正規回帰モデルである pit pit

pit pit

p_it

1 序

 ロジットと固定効果のあるパネルが重なる回帰モデルを

（１.1）  Uit=a+ni+dt+blXit+eit

     i=1,g, ;N t=1,g,T

と書こう。ここでUit,Xit,eit はそれぞれ対数オッズ。説明変数、誤差項、そうしてa n d b, _i, _t, _がデー タから推定したい未知パラメタ。eitは近似的に

（１.2）  e_it+ M^0,~_ith,e_it:i t, _{について独立、}~it!~js

である。Uitを構成するには第i地点、第t期においてnit個の観測が必要である（佐和［６］を見る）。 またパラメタn d_i, _tには適当な制約をおかないとモデルを識別できない。例えば

（１.3）  c_t 0, c 0

t T

t i

i N

= i=

d n

! !

^l

とするのがのちの計算には都合がよい。

 以上のモデルを想定して［４］であたえた点は（１.1）の LS（最小２乗）推定、WLS（重み付最小２乗）

推定の方法、および、みちびかれる２通りの推定値がともに一致性をもつということであった。そこ での仮定はNT、 n it（＝ncit 、cit：くいちがいを補正する項）がともに大きいというものである。

 ところで以下この論文で LS 推定値、WLS 推定値の漸近的な意味での分散−共分散をみちびく。

これらの推定値はともに漸近的正規だから母数検定にはこの分散−共分散に再度分散−共分散の推定 値を代入して検定量を作ればよい。結果は

が、eititの分散は不均一、かつ未知のパラメタに依存する。もしv_it²が既知であれば、（６）を

（７） U wit/ it=(a+ni+dt+xitb)/wit+e^lit

と書くことができる。ただしwit=vit nit、そうして ^l

eitは独立かつN( , )0 1 にしたがう。

この論文の目的は２通りある。第１に、witをその最尤推定値wt_it=vt_it n_it=(pt_it/(1-pt_it))^{-1 2/} n_itに おきかえ、（７）に最小２乗法を適用することである。第２にその結果としてみちびかれるbの推定値 bu T N nit

Uit=a+ni+dt+blxit+eit

U logqp

it it

= tit

t

pp qp

it it it

it it

e = t -

eit

q_it=1-p_it, ptit pit

Uit xit eit a n_i d_t b

,

0 0

i t

t

in =

!

d =

!

ωit ωit

ωit

 第 2 にT、N、nitが大きい場合、その結果としてみちびかれる LS 推定値の漸近的分散−共分散をあたえる ことである。

キーワード：ロジットアプローチ、固定効果、パネルデータモデル、最小２乗、漸近的分散−共分散

内容目次：

  第１章 序   第２章 展開

p_it p_it e^″_it

e″_it

ω

t it

ωit

１）計算された分散−共分散は LS の場合でさえも［３］にあたえるものよりもいく分複雑な形をとる。

その理由はe_itの分散がすべてi、tに依存して~it!~jsとなっているからである。

２）WLS 推定値の分散については紙面の関係もあってbの次数を 1 × 1 にとどめ、a、bの WLS 推 定値のみに対象をしぼった。分散−共分散の最終的な形は簡単であるが、計算過程はやっかいである。

［４］ではプロセスをすべて直接計算に頼ったが、この論文ではe_it（誤差項）、e e.t . r

i

r （誤差項につ いての部分的加重平均）をすべてe e( _itのNT× 1 ベクタ）で書くことによって、全体の計算量をか なり少なくおさえた（これが本論文の利点でもある）。

 ［４］にも述べたが固定効果のあるパネルデータモデルについては畠中［２］、Stock-Watson［１］

に簡単な説明がある。また、北村のサーベイ［５」にはパネルデータとロジットの重なるケースが出 てくるが、簡単な推定値についてさえもそこでの議論は十分ではない。この論文はそうした空白の部 分をうめる点に意味がある。

2 展   開  以下の回帰式を考えよう。

（２.1）

 

e

e , ,

log

U X

U p

p

p q

p p

q p q p

1

1 1

it i t it it

it

it it

it it it

it it

it it it it

= + + + +

= -

= -

= - = -

a n d bl t t

t t t

（２.2）

   

e e ( )

( )

Var n p q

E 0

1

it

it it it it

it

=

=

=~

  eit -normal（-は近似をあらわす）

ここでa n d b, _i, _t, が推定したいパラメタ、また

（２.3） 

 

0 0

i i

t t T

=

= n

d

!

!

の制約がある。

 ［３］から（２.1）を以下のように変形することができる。

（２.4） 

   

 

e

e e e e e

( )

U U U U

X X X X

. . ..

..

. . ..

it t i

it t i

. .

it t i it

it

it

- - +

= - - + +

= - - +

!

^{l l l l} b ^m

m  

ただし

  e e , e e

T N

1 1

. .

i it t it

t i

=

!

=

!

などである。

 ［３，p.20］と同一の表現を用いて（２.4）を

（２.5）  zit x^l e^m

, it it

i t

=

!

b+

と書く。さらにt、iをプールした表現は

（２.6）

 

e

( , , , , , , ) ,

, dim

dim z x

z z z z z

x x x

x T m

x x x

x 1 m

T N NT

N

i

i i

iT

11 1 1

1

1

it

#

#

g g g

h

h

= +

=

= =

= =

b

l m

l J

L KK K J

L KK K

^

_ N

P OO O N

P OO O

h

i

l l

l

である。このとき、bのOLS 推定値は

（２.7）  b

    e

( ) ( ) x x x z

x x x

1

1

=

=b+

-

-

l l

l l m

となる。bのモーメントは

（２.8） 

  e e

( )

( ) ( ) ( ) ( ) Cov

E

x x x E x x x 0

=

= b

b l l m n l

t t b

b ^{-1 -1}

ここでE^{^}e em n^h_{を考える。［３］にあるように}

（２.9）

 

e e

e I N1 l l I T1l l

N

N N N 7 T T T

h = - -

J

L KK K

b b

N

P OO O

l l

m

l m

1 l

     ＝Je

  dim]eg=TN#1,dim^e_ih=T#1

 

e e eN

1

h

= J

L KK K

N

P OO O 

e_itは近似的に

（２.10）  e N 0,n p q1

it+ ^c it it it^m 

であり、e_i]T#1g _{は以下のようになる。}

 

e ,

, ,

, ,

dim

diag diag

T N

o o

n c p q

T T

1 0

1

i

i

i i

iT

it it it

1

1

#

#

g

g g

+

=

=

=

=

~

~

~ ~

X X

X

-

] ^

^ e

^

^

`

g h

h

o h

h j

i

i

i1 iT

  

ここでnc_it＝n_itと書く。そうすると

（２.11） 

      

 

 

   

i

e e ee

ee ee

e e

e e

( ) ( )

( ) ,

( ) ( , ,

, , diag

dim

E JE J

JE J J J

E E

o o

T T

N

N

N

N

i 1

1

1

1

#

h g

g

=

= =

=

=

=

=

= X

X X X X

X

)

m n l l

l l

l J

L KK K

e

^

^

N

P OO

O h

o h

h

したがってbの LS 推定値bの covariance 行列は

（２.12） 

 

Cov x x x J J x x x O n N T

1

1 1 1

=

=

b X)

-

- - -

l l l l

`t ^ ^

^

j h h

h

b ^-1

となる。X)が等分散であれば  

      , , , ; , Cov x x x Jx x x

i 1 N t 1

it

1 1

g g

=

= = =

b ~

~ ~

- -

l l l

`btj ^ h ^ h

T , となる。これは［３，（２.11）］の表現に等しい。

 つぎにa n d, _i, _tの LS 推定の形式は［３］と同様である。ちがいはeitが不等分散をもつだけである。

（２.13） 

 

NT U X

NT U

U 1 1

,

,

..

it it

i t

i t it

= -

=

= a

)

)

t

!

^ h

!

lb

 さらに

  U_i⁾_.Z a+ni

から

（２.14） 

   

 

( )

U

U U

U X U X

U U X X

.

. ..

. ..

. .. . ..

i i

i

i

i i

= -

= -

= - - -

= - - -

n ⁾ a

) )

^ h

t t

. i

lb b

l l

b

..

dtの LS 推定については   U_it⁾ Z a+dt

から

（２.15）

 

U

U U

U U X X

.

. ..

.. ..

t

t

it it

= -

= -

= - - -

d ⁾ a

) )

t t

^ ^{l l}h_b

期待値の計算も［３,（２.14）］と同様である。

（２.16）

 

E E E

t t

i i

=

=

=

a a

d d

n n

t t t

^

` _

h j i

2 次モーメントについては結果はいく分異なるが計算プロセスはほぼ［３］と同じである。

（２.17）  E NT1 E X e

, it it

i t

2 2 2

- = - +

at a b b

^ h b l _&

!

_` ^l_{_} ^t_{i j0}

ここで Xit x x x Xit

- ^ lh^-1 l= - u^l と書いて、また e_it^m=e_it-e_.t-e_i.+e_..から

 

le e

e e X e e e e

NT E E X

E X X

,

, , , js js

it it

i t

it it js it

i t j s

2 2 2

g

- = - +

+ -

a a m

m n m

t u

u u u

] ^ b _

_

g h il

i

!

!

^{l - l}

 

ここで先の結果（２.11）から

（２.18）  E^{^}e em n^h=JX)Jl

要素ワイズで書くと  

 

e e

e e

e e

e e

e e

E _{it js} e e e e

it iN

t T

js jN

s T

i N

t T

j N

s T

7 7

7 7

=

=

= X)

l l

l l

l l

^ _

_ ^ _

h i

i h i

またE_e eit^m jsiの部分は 

 

e e ee

ee

E JE

JE e e

J e e

js

j N

s T

N s T js

7 7

=

=

= X)

m

l

_ _

_

` _

i i

ij

j i  したがって

（２.19）  X E^l e e X J e e

, , it js , it

j s j

N s T i t

-u _{_} m i= - u X)_ 7 i

! ! !

, ,

i t j s

ここで  e e e l l l

, j

N s T

j s j

N

T N T

j

7 = 7 = 7

_ i _ i

! !

だから（２.19）はまず  

X Jl l l

,

i t it N7 T

-

!

u X)^ h そうして

 

Xit Xitl x x x

= l ^-1 l u^l ^ h

 

dim dim

X m

x TN m

it 1#

#

=

=

^

^ h h

l

に気づいて X^l

, i t it

!

_{を計算すると、［３］から}

    

l

X X X

X X

X l X

l l X

X l X x x x

l X X JX x

,

, ,

N NT

it NT

i t

N T

i t it NT

i t

NT

1 11

1

1

7

h h

= =

=

=

=

=

-

-

l l

l l

u J

L KK K

J

L KK K

^

^

^ N

P OO O

N

P OO O

h h h

!

! !

l

l l

l l

l l

l J^l

ゆえに

（２.20） 

 

l

l

e X E

X J l l

X x x x J l l X x x x J l l X x Jx x J l 0

, , ,

,

, i t j s it

it N T

i t

it NT

i t

NT NT

NT NT

1

1

1

7

! -

= -

= -

= -

= -

X

X X

X

)

)

)

) -

-

-

m

l l

l l

l l

u

u

^

^

^

^

^ h

h h h

h

!

!

!

^l

l

l

e_js

（２.17）を展開した第 1 項の部分は

（２.21）

 

e e

E X X

X J J X

l X X JX X J J X X JX X l

, , ,

, , ,

i t j s it js

i t j s it js

NT NT

=

=

X X

)

)

m n l

l l l l l

u u

u u

b

^ ^

l

h h

!

!

l l

l

1

- -1

となる。したがってat の分散は以上を整理して

（２.22）  Var

NT1 l X X J X X J J X X JX X l

NT NT

2

1 1

a = )

- -

l l l l l

^th b l ^% _l g g X ^ g ^%

  ^l

l

ll JX X JX l

l l

NT NT

NT NT

- 1

+ X X

)

)

l - l

^ h

lNTX X JX X J lNT

- 1 X)

l - l

^ h

X

となる。ここでX)=~I_NTであれば（２.22）の第２、３項はおちて［３］の結果に一致する。

1 1

t #

dt ] gの２次モーメントは以下のようになる。［３］から

（２.23） 

 

E E U U

Z E Z

E U U Z

X X

2

. ..

. .

. .. .

. .. .

t t t t

t t

t t t

t t

2 2

- = - -

+

+ - -

= -

d d d

bb

d b

l t

t t

t

` _

` _

j i

j i

l l

l

l l

Z

（２.23）の右辺の計算も［３］と同様である。

（２.24）  E U_.t U_.. t X^l X^l E e.t e..

2 2 2

- -d = - b + -

_ i #^ _{.t ..}h - ^ h

この第 3 項は

 

l l

e e ee

E N E l e Tl l e T l

N l e T l l e T l

1 1 1

1 1 1

.t .. N iT

T N t

T T

N tT

T N t

T T 2

2

2

7 7

7 7

- = - -

= - X) -

l

l

l

^ b b

b b

h l l

l l

' ^{l l} 1 ' 1

ここでX)は対角である。つまり

   

ee

, , diag E

N

1 g

=

= X

X X l )

^

^

h

h

（２.23）の R.H.S. の第２項は   E`bbt tlj=Cov`btj+bbl

（２.23）の R.H.S. の第３項については

（２.25）

  e e

E U U Z

Z E Z

. ..

. . ..

t t t

t t it

2

- -

= - + -

d b

b b

t

t _

_ ^

i

i h

l

l l

.

ここで

 

   

 

l l l

e e

e e e

Z X X

Z Z x x x x

Z x x x

N1 l e T1l

. .. .

. .

.

. ..

t t

t t

t

t N t

T T 1

1

7

= -

= +

= +

- = -

b b

b

-

-

l l m

l l m

l

t _{^ _}

` ^ b c

h i

h j

lm

l l

l

l l

したがって（２.25）の R.H.S. の第２項は

（２.26）

 

l e e

E N1 Z x x x l e T l

.t t

T T

1 7

b+^{^} l ^- l m l

` h j c b lm

N

- 1

 

となる。

 けっきょく

 

e e ee

E JE

J

=

= X)

m l l

^ h ^ h

だから（２.26）は

  N1 Z x x x J l e T l

it N t

T T

1 X) 7 -

l - l

^ h c b 1 lm

l

そうするとdttの分散は次のようになる。

（２.27）

 

Var

Cov

N l e T l l e T l

Z Z

NZ x x x J l e T l

1 1 1

2

. .

.

t N tT

T N tT

T

t t

t t

T T 2

1

7 7

7

= - -

+ + d

b X

X

)

)

l - l

t l

t

` b b

`

^ c b

j l l

j

h lm

% /

l

l l

l

N -

1

（２.27）の R.H.S. の最後の項はスカラーであり、またX)=が等分散であれば、おちてそれは 0 になる。

 最後にntiについては以下のようになる。［３,（２.35）］から

（２.28） 

 

e e e e

Var Z Cov Z

E Z E

2 _. . ..

. ..

i

i i

i 2

=

+ - -

+ -

n b

b b

t t

t

_ `

`

a ^

^

i j

jk h

h

% /

l

l .

i i.

ここで

（２.29） 

 

l

l

e e e e e e e E

E x x x

x x x E T e l TN l l

x x x J T e Nl l

1 1

1 1

. ..

. ..

i

i

i N

T N T

i N

N T

1

1

1

7 7

7

- -

= -

=

- b b

X) -

-

-

l l m

l l m l

l l

`t ^

^ ^

^ _ ^

^ b

j h

h h

h i h

h l

%

$

&

' '

/ .

0 1 1

-

=

（２.28）の R.H.S. の第３項については

（２.30） 

 

l

l

e e

ee E

T e N

l l E

T e N

l l

1 1

. ..

i

i

N N

T

i

N N

T 2

7

7 -

= -

= - X)

l

^ c

d ^

c d

h

m n h

m n

) !

) !

3 +

3 +

したがって（２.28）から（２.30）によってnti_の分散は

（２.31） 

 

l

l l

Var Z Cov Z

Z x x x J J

J J

2

.

. .

i i i

i i

1

= + +

n b

X X

)

)

l - l

t t

_ `

^

i j

h

% /

.

i i.

.

となる。ただし J T e N

l L

1

.

i i

N N

7 T

= dc - m n _である。

以上で LS 推定値`b a d nt t t, , _t, t_ijの分散をすべて計算した。

 つづいて WLS を考える。（２.1）をもう一度書くと

（２.32）  Uit=a+ni+dt+blXit+eit

ここで［４」にあるようにwit（witは推定値を含む）を左からかけて

（２.33）  w Uit it=wita+witnit+witdt+blw Xit it+witeit

つづいて（２.33）を最小化すればよい。w U_{it it}-witeit の 2 乗和を微分した表現が［４,p.13］にある。

 簡単化のためにdim（b）= １×１としたとき、WLS 推定値､ au,cの表現は［４,p.18］から

（２.34）  M ₁ mm

20

= 10

b

a _-

uu

d n b l

  = +M 1 BA b

a _-

uu

d n a k

となる。ただし

（２.25）

 

e

e e e

M m

m w

m m w x

m w x x x x

A w

B w x

. .

. .

ij

it

it it

it it it i

w t w

it it

it it it i

w t w 11

2

12 21

2

22

2

2

2 .

,

,

,

, i t

i t

i t

i t

i t

=

=

= - =

= - -

=

= - -

_

^

i

h

!

!

!

!

!

  xit : dim（b）= １×１のケースでbにかかる変数

 

x 1w w x

. i w

it

it it

t T 2

2

t

=

! !

また、 xi_.,e.,e. w

i w

t

_ wiの定義は xi.

wのそれと同様である（［４］）。  けっきょく（２.34）のau,cの漸近分散を計算するには

  - = -

i i a- b

a

u u b

eu o

として

（２.36） 

   

l

,

,

nE E M A

B A B M

E M A

B A B n M

1

1 1 1

- - =

=

i i i i ^-

- - - -

l l

l l

^u ^_ _{e ^}

^ e ^ ^{^}

h ⁱ _{o h}

h o h ^h

* ^{1 -1} 4

1

u -

n n

 

を考えればよい。さらに、n "+3_で n^-1M " _{定数だから}n "+3_でE n# ^-1^AA AB BBl, l, lh-_を 計算すれば十分である。

 n "+3 _のとき、wit/n rit

2 " _{、そうすると}

（２.37）

 

e

e e e e

e e e

E r

E r r x

E r x

,

. .

. .

it it

i t

it it js js js j

r s r

it it it i

r t r 2

2

, ,

,

i t j s

i t

- -

- -

b

b b _

^ l

l il

& h0

!

! !

!

を見るだけでよい。ただし

（２.38）

 

e e

r r

it r

it

it it

t

= t

!

!

そうして、以下e_itなどをすべてe]NT#1g_{で書くことを考える。}

 はじめに

（２.39） 

 

e e

e

e ,

e e

e N 0

it iN

t T

it NT

7

+

=

= X)

l l

l

^

^ h

h

# -

である。

（２.38）の  riteit

!

t については

  r_iteit ri^lei,dim ei T 1

t T

= ^ h= #

!

であるが、

 

   

e e e e

e e e , , , ,

e I

0 1 0

N

i

N

i N

T 1

1

7 h

g g h

=

=

= ^l J

L KK K

J

L KK

^ K

^ N

P OO O

N

P OO h O h

だから

（２.40）  riteit ri^lei r ei^l iN I e

t T T

= = ^ ^l7 h

!

これでeで書いたことになる。つづいて   r_it l r_T^l _i,dim r_i T 1

i

= ^ h= #

!

は^r1^l,g,rN^lh=rl と書くと r_i=^0,g,I_T,g,0hr=^e_i^Nl7I_Thr 、したがって（２.38）のe_i^r_{. は}  

   

   

l l

e e

e

e r

r

l r

r e I

l e I r

r e I e I

. i r

t it it it t T

T i

i i

N T

T iN

T i

N

T iN

T

7

7

7 7

=

=

= l

l

l l

^

^

_ ^

h

h

i h

!

!

l

ここで  

l , , , , l

l r r e I l

l r

r I l

l r 0 0 r l

1

T i

i i

N

T NT

T i

i T

T i

i T

7 g g

= = =

^ l h ^ h

l l

l ^N l

に気づくとよい。

（２.41）

 

e e

r r

.t r

it it it i

i

=

! !

についても同様に考えればよい。つまり   _ite_it ^l_t e_t,dim e_t N 1

i

= ^h ^h _ ^hi= #

!

^{r r}

ここでもしN=2 であれば

 

 

e e

e e e

e e

, , I 0 1 0

0

0 0 1 0 0 1 0

t t

t 1 2

1 2

2

1 2

7 g g

g g g g

=

=

e e e

^ e ^

o o o

h o h

# -

したがって、一般のNについて

 

e e I_N 0 1 0 e

N t 1

7 g g h = J

L KK K

^ _^

N

P OO O

h _h

# -

つまり

（２.42）  IN etT e e 7 ^l = ^ ht

" ,

である。

また、       については

   

l l

l

,

, ,

r l r dim r N

r I e r

r r r

it N t t 1

i N

t N t

T

N 1

# 7

g

= =

= l=

l

_

^

^ ^

^

i

h

h h

h " ,

!

そうすると（２.41）は

（２.43）

 

 

l l

l

e e

e

e

e r

r

l r r

l I e

r I e I e

l I e r

r I e e

.t r

it it it i N

N t

t t

N N tT

N t

T

N t

T

N N t

T

N t

T t T i

7

7 7

7 7

=

=

=

= l

l

l l

l l

^

_ ^

^ _

^

^ ^

h

i h

h i

h

h h

!

!

r

l

となる。

こうして（２.39）のE r^{^} le^h2については

（２.44） 

   

e ee E r

r E r r r

r r nr

n r

1 1

it it

it it

it 2

2

2 ,

,

, i t

i t

i t

=

=

=

=

=

~ X)

l

l l

l

^

^ h

h

!

!

!

となる。

 以上から（２.37）のe_it-e_i^r_.-e_.^r_tをe]NT#1g_{で書くとそれは}

（２.45） 

 

l l

e e e

e,dim

e e

l r

r e e I

l r

r I e e

g 1 NT

. .

it i

r t r

i N

t T

t t N

tN T

N

N t

T t T

it r

it r

7 7 7

#

- - = - -

= d =

l l

l l

^ _

_

_ _

_

h i

i

i i

i e

l l

の表現をもつ。（２.45）で例えば、右辺の第２項については

 

   

, , , ,

, , , ,

, , , , diag

diag e e

e e I I

0 1 0

0 1 0

0 1 0

0 0 0 0

i N

i N

i N

i N

T T

7 h

h

g g

g g

g g

=

=

=

l

l

J

L KK KK K

^

^

_ ^

N

P OO OO O

h

h

i h

である。

 そうすると（２.37）の 3 番目の表現を以下のように書くことができる。

（２.46） 

   

ただし

 

e

e ,

, ,

, , , , dim

diag diag

E r x g

E k k NT k r x g

k k

k k

n c p q

n r

1

1

1 0 0 0 0

it it it

r

it r

it r

it r

it it it

r

it r

js r

it r

js r

it it it

it 2

2

1

1 ,

,

, , ,

, ,

i t

i t

i t j s

i t j s

#

g g

g g

= = =

=

=

=

=

X X

X

)

)

)

-

- l

l

_

b b

^

`

_

i

l l

h j

i

&

&

0

0

!

!

!

! !

（２.46）の表現は複雑に見えるがそうでもない。例えば

（２.47） 

   

e ee ,dim

E r

E r r r TN

r r

1

it it

2 , t i

= = #

= X)

l l l b

^ ]

l

h g

!

であるが、クロネッカー積⊗をもちいる表現は次のようになる。

（２.48） 

 

e ee

E r e e

E r e e r e e

r e e r

r e _* e r

it iN

t T

it iN

t T

js jN

s T

it it NT

js NT

js

it it NT

js NT

js 2

,

, , ,

, , ,

, ,

t i

i t s j

t s i j

t i j s

7

7 7

=

=

=

X X

)

l

l l

l l l l

l

l

b ^

^ _

b

b b

h _l

h _il

l l

!

!

!

! !

ここで

  eit : i t,

NTl ^ h要素のみが１で、あとは０である

        

       

  ^{l l l}

, , , ,

, , ,

, , , ,

dim dim

r e r r

r

r r r

r r NT

r r r r T

1 0 0 0 1 0

0 1

1 1

it it NT

NT

NT

N i

11 12

11 12

1 , i t

#

#

g g

g g

g

g

= +

+ +

=

= =

= =

l l

l

l ^ ^

^

^

^

^ ^

h h

h h

h

h h

!