On Martin boundaries for doubles of open Riemann surfaces constructed by finite analytic Jordan closed curves

(1)

ཁࢫ

༗ݶݸͷղੳతJordanดۂઢʹΑͬͯߏ੒͞ΕΔ։ϦʔϚϯ໘ͷμϒϧͷϚϧνϯڥքΛߟ࡯

͢Δɻ

Ωʔϫʔυ: μϒϧɺղੳۂઢɺϚϧνϯڥքɺ։ϦʔϚϯ໘ɺௐ࿨ؔ਺

ॳΊʹ

͜ͷখ࿦Ͱ͸,༗ݶݸͷղੳతJordanดۂઢʹΑͬͯߏ੒͞ΕΔ։ϦʔϚϯ໘ͷμϒϧͷϚϧ νϯڥքΛܾఆ͢Δ͜ͱΛ໨తͱ͢Δɻ͜ͷ͜ͱ͸,͢Ͱʹ஌ΒΕ͍ͯΔ͜ͱͷΑ͏ʹࢥΘΕΔ

͕,۩ମతͳهࡌ͸ͳ͍ɻ͜ͷখ࿦Ͱ͸,Ϛϧνϯ֩ͷରԠΛৄࡉʹௐ΂Δํ๏Λ࠾༻͢Δ͜ͱʹ ΑΓ͜ͷࣄ࣮ͱϛχϚϧϚϧνϯڥքʹؔ͢Δࣄ࣮Λࣔ͢ɻ

1. ه߸.

RΛ։ϦʔϚϯ໘ͱ͢ΔɻҎԼͷ༻ޠ͸ೇ[2, p.16-p.18]ΛࢀরͤΑɻR্Ͱ,nݸͷޓ͍ʹަΘ Βͳ͍ղੳతJordanดۂઢℓ₁,· · ·, ℓ_nΛͱΔɻ֤ℓ_j(j= 1,· · ·, n)͸ͦΕʹΑΓ,R͸૬ରίϯύΫ τͳྖҬ(ℓj͕ғΉྖҬ)ͱඇ૬ରίϯύΫτͳྖҬʹ෼ׂ͞ΕΔ΋ͷͱ͢Δɻ֤ℓj(j= 1,· · ·, n)

͕ғΉྖҬΛU_j (j = 1,· · ·, n)ʹΑͬͯ,͋ΒΘ͢ɻF =R− ∪ⁿj=1U_jͱ͓͘ɻF͸ℓ₁,· · ·, ℓ_nΛڥ քʹ΋ͭڥքͷ͋ΔϦʔϚϯ໘Ͱ͋ΔɻF^∗ΛFͷίϐʔͱ͢ΔɻFͱF^∗ΛͦͷڥքʹԊͬͯష Γ߹Θͤͯ͑ΒΕΔ໘ΛFˆͰ͋ΒΘ͢ɻFˆ͸։ϦʔϚϯ໘ʹͳΔ͜ͱ͕Θ͔ΔɻFˆ͸Fͷμϒϧ ͱ͍ΘΕΔɻ

∆^R,∆^F,∆^F^ˆΛͦΕͧΕ,R, F,FˆͷϚϧνϯڥքͱ͢Δɻ∆^R₁,∆^F₁,∆^F₁^ˆʹΑͬͯ,ͦΕͧΕ,R, F,Fˆ ͷϛχϚϧϚϧνϯڥքΛ͋ΒΘ͢ɻζ∈∆^R, ζ^′∈∆^F,ζ˜∈∆^F^ˆʹରͯ͠,k_ζ^R, k^F_ζ′, k^F_˜^ˆ

ζ ʹΑͬͯ,ͦΕ

ͧΕ,R, F,Fˆ্ͷζ, ζ^′,ζ˜ʹۃΛ΋ͭϚϧνϯ֩Λ͋ΒΘ͢ɻϚϧνϯͷཧ࿦ʹ͍ͭͯ͸, [1], [3]Λ

ࢀরͯ͠΄͍͠ɻ·ͨ,ҎԼͷٞ࿦Ͱ࢖༻͞ΕΔϦʔϚϯ໘্ͷϙςϯγϟϧ࿦ʹ͍ͭͯ͸, [1,0 ষ–5ষ]Λࢀরͯ͠΄͍͠ɻ

2. ४උ.

有限個の解析的 Jordan 閉曲線によって構成される開リーマン面のダブルのマルチン境界について

故米谷文男先生に捧ぐ

正岡弘照

要　旨

ॳΊʹ

1. ه߸.

RΛ։ϦʔϚϯ໘ͱ͢ΔɻҎԼͷ༻ޠ͸ೇ[2, p.16-p.18]ΛࢀরͤΑɻR্Ͱ,nݸͷޓ͍ʹަΘ Βͳ͍ղੳతJordanดۂઢℓ₁,· · ·, ℓ_nΛͱΔɻ֤ℓ_j(j= 1,· · ·, n)͸ͦΕʹΑΓ,R͸૬ରίϯύΫ τͳྖҬ(ℓ_j͕ғΉྖҬ)ͱඇ૬ରίϯύΫτͳྖҬʹ෼ׂ͞ΕΔ΋ͷͱ͢Δɻ֤ℓ_j(j= 1,· · ·, n)

͕ғΉྖҬΛUj (j = 1,· · ·, n)ʹΑͬͯ,͋ΒΘ͢ɻF =R− ∪ⁿj=1Ujͱ͓͘ɻF͸ℓ1,· · ·, ℓnΛڥ քʹ΋ͭڥքͷ͋ΔϦʔϚϯ໘Ͱ͋ΔɻF^∗ΛFͷίϐʔͱ͢ΔɻFͱF^∗ΛͦͷڥքʹԊͬͯష Γ߹Θͤͯ͑ΒΕΔ໘ΛFˆͰ͋ΒΘ͢ɻFˆ͸։ϦʔϚϯ໘ʹͳΔ͜ͱ͕Θ͔ΔɻFˆ͸Fͷμϒϧ ͱ͍ΘΕΔɻ

∆^R,∆^F,∆^F^ˆΛͦΕͧΕ,R, F,FˆͷϚϧνϯڥքͱ͢Δɻ∆^R₁,∆^F₁,∆^F₁^ˆʹΑͬͯ,ͦΕͧΕ,R, F,Fˆ ͷϛχϚϧϚϧνϯڥքΛ͋ΒΘ͢ɻζ∈∆^R, ζ^′∈∆^F,ζ˜∈∆^F^ˆʹରͯ͠,k_ζ^R, k^F_ζ′, k^F_˜^ˆ

ζ ʹΑͬͯ,ͦΕ

ͧΕ,R, F,Fˆ্ͷζ, ζ^′,ζ˜ʹۃΛ΋ͭϚϧνϯ֩Λ͋ΒΘ͢ɻϚϧνϯͷཧ࿦ʹ͍ͭͯ͸, [1], [3]Λ

2. ४උ. ॳΊʹ

1.ه߸.

RΛ։ϦʔϚϯ໘ͱ͢ΔɻҎԼͷ༻ޠ͸ೇ[2, p.16-p.18]ΛࢀরͤΑɻR্Ͱ,nݸͷޓ͍ʹަΘ

Βͳ͍ղੳతJordanดۂઢℓ1,· · ·, ℓnΛͱΔɻ֤ℓj(j= 1,· · ·, n)͸ͦΕʹΑΓ,R͸૬ରίϯύΫ τͳྖҬ(ℓj͕ғΉྖҬ)ͱඇ૬ରίϯύΫτͳྖҬʹ෼ׂ͞ΕΔ΋ͷͱ͢Δɻ֤ℓj(j= 1,· · ·, n)

͕ғΉྖҬΛUj(j= 1,· · ·, n)ʹΑͬͯ,͋ΒΘ͢ɻF=R− ∪ⁿj=1Ujͱ͓͘ɻF͸ℓ1,· · ·, ℓnΛڥ քʹ΋ͭڥքͷ͋ΔϦʔϚϯ໘Ͱ͋ΔɻF^∗ΛFͷίϐʔͱ͢ΔɻFͱF^∗ΛͦͷڥքʹԊͬͯష Γ߹Θͤͯ͑ΒΕΔ໘ΛFˆͰ͋ΒΘ͢ɻFˆ͸։ϦʔϚϯ໘ʹͳΔ͜ͱ͕Θ͔ΔɻFˆ͸Fͷμϒϧ ͱ͍ΘΕΔɻ

∆^R,∆^F,∆^F^ˆΛͦΕͧΕ,R, F,FˆͷϚϧνϯڥքͱ͢Δɻ∆^R₁,∆^F₁,∆^F₁^ˆʹΑͬͯ,ͦΕͧΕ,R, F,Fˆ ͷϛχϚϧϚϧνϯڥքΛ͋ΒΘ͢ɻζ∈∆^R, ζ^′∈∆^F,ζ˜∈∆^F^ˆʹରͯ͠,k_ζ^R, k_ζ^F′, k^F_ζ_˜^ˆʹΑͬͯ,ͦΕ

ͧΕ,R, F,Fˆ্ͷζ, ζ^′,ζ˜ʹۃΛ΋ͭϚϧνϯ֩Λ͋ΒΘ͢ɻϚϧνϯͷཧ࿦ʹ͍ͭͯ͸, [1], [3]Λ

2.४උ.

ACTA HUMANISTICA ET SCIENTIFICA UNIVERSITATIS SANGIO KYOTIENSIS

NATURAL SCIENCE SERIES No. 48 MARCH 2021

(2)

2

ิ୊2.1. ξ^′ΛF\ ∪ⁿ_j=1ℓjͷ఺ͱ͢Δɻξ^′͸Fˆ্ͷ఺ξ˜͓ΑͼR্ͷ఺ξͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ g^F_˜^ˆ

ξ, g_ξ^R͸ͦΕͧΕ, ˜ξ, ξͰۃΛ΋ͭF , Rˆ ্ͷάϦʔϯؔ਺Ͱ͋Δͱ͢ΔɻU =∪ⁿj=1(U_j∪ℓ_j)ͱ͓

͘ɻͦΕͧΕ,u^F_ξ′=g_ξ^F_˜^ˆ−R^F^∗

g_ξ^F_˜^ˆ, v_ξ^F′=g^R_ξ −R^U_gR

ξ ͱ͓͘ɻ͜͜Ͱ,R^U_gR

ξ ͸Uʹؔ͢Δg^R_ξ ͷ૟ࢄͱ͢

Δɻ͜ͷͱ͖,u^F_ξ′=v_ξ^F′͸ξ^′ͰۃΛ΋ͭF্ͷάϦʔϯؔ਺Ͱ͋Δɻ

ূ໌. άϦʔϯؔ਺ͷఆ͔ٛΒ,F্,u^F_ξ′≥g^F_ξ′, v^F_ξ′≥g_ξ^F′͕ͳΓͨͭɻ u^F_ξ_′−g^F_ξ_′͓Αͼv^F_ξ_′−g^F_ξ_′͸F্ͷௐ࿨ؔ਺Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻ U্ͷ͢΂ͯͷ఺zʹରͯ͠, lim

x→zu^F_ξ′(x)−g_ξ^F′(x) = 0͓Αͼlim

x→zv^F_ξ′(x)−g^F_ξ′(x) = 0ͱ͍͏ࣄ࣮ʹ Αͬͯ,࠷େ஋ݪཧΛ༻͍Δͱ,F্,u^F_ξ_′=v^F_ξ_′=g_ξ^F_′͕ͳΓͨͭɻ

ิ୊2.2. ζ˜Λ∆^F^ˆͷ೚ҙͷ఺ͱ͢Δɻz˜₀∈FˆͰ,Fͷ఺z₀ͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ఺ͱ͠,ݻఆ

͓ͯ͘͠ɻ͜ͷͱ͖, ∆^F \ ∪ⁿj=1ℓjͷ఺ζ^′͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F্, k^F_ζ′=

k^F_˜^ˆ

ζ −R^F^∗

k^F_ζ_˜^ˆ

1−R^F^∗

k_ζ^F_˜^ˆ(˜z0)

͕ͳΓ͔ͨͭ·ͨ͸, ∆^F^∗\ ∪ⁿ_j=1ℓjͷ఺ζ^′∗͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F^∗্, k_ζ^F′∗^∗=

k^F_˜^ˆ

ζ −R^F

k^F_˜_ζ^ˆ

1−R^F

k^F_ζ_˜^ˆ(˜z0)

͕ͳΓͨͭɻ

ূ໌. ζ˜Λ∆^F^ˆͷ೚ҙͷ఺ͱ͢Δɻ{ξ˜_l}^∞_l=1(⊂Fˆ)Λlim

l→∞

ξ˜_l= ˜ζΛΈͨ͢೚ҙͷ఺ྻͱ͢Δɻ͜ͷ ͱ͖, lim

l→∞

g^F_˜^ˆ

ξl

g^F_˜^ˆ

ξl(˜z₀)=k^F_˜^ˆ

ζ ͕ͳΓͨͭɻF∪F^∗= ˆF , F∩F^∗=∪ⁿ_j=1ℓ_jͰ,∪ⁿ_j=1ℓ_j͸FˆͷίϯύΫτ෦

෼ू߹Ͱ͋ΔͷͰ,ద౰ͳn₀∈N͕ଘࡏͯ͠,{ξ˜_l}^∞_l=n₀ ⊂F·ͨ͸{ξ˜_l}^∞_l=n₀ ⊂F^∗͕ͳΓͨͭɻҎ ԼͰ͸,લऀ͕ͳΓͨͭͱԾఆͯ͠,ٞ࿦Λ͢͢ΊΔɻn0= 1ͱͯ͠,ٞ࿦ͯ͠Α͍ɻ

֤ξ˜_l(l∈N)͸Fͷ఺ξ_l(l∈N)ͱΈͳͯ͠Α͍ɻ͋Δ∆^Fͷ఺ζ^′ͱ{ξ_l}^∞_l=1ͷ෦෼ྻ{ξ_l_k}^∞_k=1͕ଘ ࡏͯ͠, lim

k→∞

g^F_ξ

lk

g^F_ξ

lk(z0)=k^F_ζ′ΛΈͨ͢ɻิ୊2.1ʹΑͬͯ,F্,ҎԼ͕ͳΓͨͭɻ k_ζ^F′= lim

k→∞

g^F_˜^ˆ

ξ_lk−R^F^∗

g^F_˜^ˆ ξlk

g^F_˜^ˆ

ξ_lk(˜z₀)−R^F_gˆF^∗ ξl˜k

(˜z₀)= k^F_˜^ˆ

ζ −R^F^∗

k^F_ζ_˜^ˆ

1−R^F^∗

k_ζ^F_˜^ˆ(˜z₀). Αͬͯ, ∆^F\ ∪ⁿ_j=1ℓ_jͷ఺ζ^′͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F্,

k^F_ζ′= k^F_˜^ˆ

ζ −R^F^∗

k^F_ζ_˜^ˆ

1−R^F^∗

k_ζ^F_˜^ˆ(˜z₀)

͕ͳΓͨͭɻ

{ξ˜l}^∞_l=n₀ ⊂F^∗͕ͳΓͨͭ৔߹΋ɺ্ͷٞ࿦ͱಉ༷ͷٞ࿦Λߦ͏͜ͱʹΑΓ, ∆^F^∗\ ∪ⁿ_j=1ℓjͷ఺

ζ^′∗͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F^∗্,

k_ζ^F′∗^∗= k^F_˜^ˆ

ζ −R^F

k^F_˜_ζ^ˆ

1−R^F

k^F_ζ_˜^ˆ(˜z₀)

͕ͳΓͨͭ͜ͱ͕Θ͔Δɻ

ิ୊2.2^′.ζ˜Λ∆^F₁^ˆͷ೚ҙͷ఺ͱ͢Δɻ ͜ͷͱ͖, ∆^F₁ \ ∪ⁿ_j=1ℓ_jͷ఺ζ^′͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F্,

(3)

k^F_ζ′= k^F_˜^ˆ

ζ −R^F^∗

k^F_ζ_˜^ˆ

1−R^F^∗

k_ζ^F_˜^ˆ(˜z₀)

͕ͳΓ͔ͨͭ·ͨ͸, ∆^F₁^∗\ ∪ⁿj=1ℓ_jͷ఺ζ^′∗͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F^∗্, k_ζ^F′∗^∗=

k^F_˜^ˆ

ζ −R^F

k^F_˜_ζ^ˆ

1−R^F

k^F_ζ_˜^ˆ(˜z₀)

͕ͳΓͨͭɻ

ূ໌.ζ˜Λ∆^F₁^ˆͷ೚ҙͷ఺ͱ͢Δɻิ୊2.2ʹΑͬͯ,͜ͷͱ͖, ∆^F\ ∪ⁿ_j=1ℓ_jͷ఺ζ^′͕ͨͩ1ͭଘ ࡏͯ͠,F্,

k^F_ζ′=

k^F_ζ_˜^ˆ−R^F^∗

k^F_ζ_˜^ˆ

1−R^F^∗

k_ζ^F_˜^ˆ(˜z₀)

͕ͳΓ͔ͨͭ·ͨ͸, ∆^F^∗\ ∪ⁿj=1ℓjͷ఺ζ^′∗͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F^∗্, k_ζ^F′∗^∗=

k^F_˜^ˆ

ζ −R^F

k^F_˜_ζ^ˆ

1−R^F

k^F_ζ_˜^ˆ(˜z0)

͕ͳΓͨͭɻ

·ͣ,લऀ͕ͳΓͨͭͱԾఆ͢ΔɻF্ͷඇෛ஋ௐ࿨ؔ਺u͕ଘࡏͯ͠,F্Ͱ,u≤k_ζ^F′· · ·⃝¹ ͕ ͳΓͨͭͱԾఆ͢Δɻ⃝¹ ΑΓ,͢΂ͯͷ∪ⁿ_j=1ℓ_jͷ఺ξʹରͯ͠, lim

z→ξu(z) = 0͕ͳΓͨͭ͜ͱʹ஫

ҙ͢Δɻ

u=

F ্Ͱ, u

F^∗্Ͱ, 0 ͱ͓͘ɻ͜ͷͱ͖,u͸Fˆ্ͷྼௐ࿨ؔ਺Ͱ͋Δɻ

U= inf{s|s͸Fˆ্ͷਖ਼஋༏ௐ࿨ؔ਺Ͱ͋Γ, ˆF ্Ͱ, s≥uΛΈͨ͢ɻ}

ͱ͓͘ɻϖϩϯͷํ๏ʹΑͬͯ,U ͸Fˆ্ͷਖ਼஋ௐ࿨ؔ਺Ͱ͋Γ, ˆF্Ͱ,U≥uΛΈͨ͢ɻ

c0= 1

1−R^∪

n j=1ℓj k^F^ˆ

ζ

(˜z₀)· · ·⃝² ͱ͓͘ɻ͜ͷͱ͖,

k_ζ^F′=c0

k^F^ˆ

ζ −R^∪

nj=1ℓj k^F_ζ^ˆ

͕ͳΓͨͭɻ⃝¹ʹΑͬͯ, ˆF্Ͱ,u≤c0k^F^ˆ

ζ ͕ͳΓͨͭɻUͷఆٛʹΑͬͯ, ˆF্Ͱ,U ≤c0k^F_ζ^ˆ

͕ͳΓͨͭɻϛχϚϧੑʹΑͬͯ, ˆF্Ͱ,ఆ਺c͕ଘࡏͯ͠,U=c k^F^ˆ

ζ · · ·⃝³ ͕ͳΓͨͭɻ U−u͸Fˆͷਖ਼஋༏ௐ࿨ؔ਺Ͱ,∪ⁿ_j=1ℓj্Ͱ,U−u=U ͕ͳΓͨͭͷͰ,

R^∪

nj=1ℓj

U ͷఆٛʹΑͬͯ, ˆF্Ͱ,U−u≥R^∪

nj=1ℓj

U · · ·⃝⁴ ͕ͳΓͨͭɻ ଞํ,u+R^∪

nj=1ℓj

U ͸Fˆ্Ͱ,࿈ଓͰ,༏ௐ࿨Ͱ͋Δɻͱ͍͏ͷ͸,໌Β͔ʹ,u+R^∪

nj=1ℓj

U ͸Fˆ্Ͱ

࿈ଓͰ, ˆF\ ∪j=1ℓ_j্ͷௐ࿨ؔ਺Ͱ͋ΔͷͰ,͢΂ͯͷ∪ⁿ_j=1ℓ_jͷ఺zʹରͯ͠,

u(z) +R^∪

n j=1ℓj

U (z)≥

∂V(z)

u+R^∪

n j=1ℓj U

dm,

͕ͳΓͨͭ͜ͱΛௐ΂Ε͹Α͍ɻ͜͜Ͱ,V(z)͸ہॴԁ൘Ͱ,dm͸1࣍ݩϧϕʔάଌ౓Ͱ͋Δɻ

⃝4 ʹΑͬͯ,͢΂ͯͷ∪ⁿj=1ℓ_jͷ఺zʹରͯ͠,

u(z) +R^∪

nj=1ℓj

U (z) =U(z) =

∂V(z)

U dm≥

∂V(z)

u+R^∪

nj=1ℓj U

dm

͕ͳΓͨͭɻUͷఆٛʹΑͬͯ, ˆF্Ͱ, u+R^∪

n j=1ℓj

U ≥U· · ·⃝⁵

͕ͳΓͨͭɻ

ACTA HUMANISTICA ET SCIENTIFICA NATURAL SCIENCE SERIES No. 48

(4)

4

⃝4 ͓Αͼ⃝⁵ ʹΑͬͯ, ˆF্Ͱ,u+R^∪

nj=1ℓj

U =U· · ·⃝⁶ ͕ͳΓͨͭɻ͕ͨͬͯ͠,⃝,² ⃝³͓Αͼ⃝⁶ ʹΑͬͯ,F্Ͱ,

u=u=U−R^∪

nj=1ℓj U =ck^F^ˆ

ζ −R^∪

nj=1ℓj ck^F^ˆ

ζ

= c c0 c0

k^F^ˆ

ζ −R^∪

nj=1ℓj k^F^ˆ

ζ

= c c0 k_ζ^F′

͕ͳΓͨͭɻΑͬͯ,ζ^′͕∆^F₁ʹଐ͢Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻ

∆^F^∗\ ∪ⁿ_j=1ℓ_jͷ఺ζ^′∗͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F^∗্, k^F_ζ′∗^∗=

k^F_˜^ˆ

ζ −R^F

k^F_ζ_˜^ˆ

1−R^F

k^F_˜_ζ^ˆ(˜z₀)

͕ͳΓͨͭ৔߹΋,্ͷٞ࿦ͱಉ༷ͷٞ࿦Λߦ͏͜ͱʹΑΓ,ٻΊΔ݁ՌΛ͏Δɻ

ิ୊2.3.(1)ζ^′Λ೚ҙͷ∆^F\∪ⁿ_j=1ℓjͷ఺ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖, ∆^F^ˆ∩F^F^ˆ^∪∆

Fˆ

(͜͜Ͱ, F^F^ˆ^∪∆

Fˆ

͸F ͷFˆ∪

∆^F^ˆดแΛද͢)ͷ఺ζ˜͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F্Ͱ, k_ζ^F′=

k^F_˜^ˆ

ζ −R^∪

n j=1ℓj k^F_ζ_˜^ˆ

1−R^∪

nj=1ℓj k^F_˜_ζ^ˆ (˜z₀)

͕ͳΓͨͭɻ

(2)ζ^′ Λ೚ҙͷ∆^F^∗\ ∪ⁿ_j=1ℓjͷ఺ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖, ∆^F^ˆ∩F^∗^F^ˆ^∪∆

Fˆ

ͷ఺ζ˜^∗͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠, F^∗্,

k^F_ζ′^∗= k^F_˜^ˆ

ζ^∗−R^∪

nj=1ℓj k^F_ζ∗_˜^ˆ

1−R^∪

n j=1ℓj k_ζ∗^F_˜^ˆ (˜z₀)

͕ͳΓͨͭɻ

ূ໌. (2)͸(1)ͱಉ༷ͷ࿦๏Ͱࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔͷͰ, (1)ͷΈࣔ͢ɻ{ξ_l^′}^∞_l=1(⊂F)Λ೚ҙͷ఺

ྻͰ, lim

l→∞ξ^′_l=ζ^′ΛΈͨ͢ͱ͢Δɻ͕ͨͬͯ͠, lim

l→∞

g_ξ^F_′

l

g_ξ^F_′

l(z0)=k^F_ζ′͕ͳΓͨͭɻ

ξ_l^′ΛFˆͷ఺ξ˜_lͱΈͳͯ͠Α͍ɻ ͕ͨͬͯ͠, ∆^F^ˆͷ఺ζ˜͓Αͼ{ξ˜_l}^∞_l=1^{ͷ෦෼఺ྻ}{ξ˜_l_k}^∞_k=1^͕ଘࡏ

ͯ͠, lim

k→∞

g^F_˜^ˆ

ξ_lk

g^F_˜^ˆ

ξ_lk(z0)=k^F_ζ_˜^ˆ ΛΈͨ͢ɻิ୊2.1ΑΓ,F্Ͱ, k^F_ζ′= lim

k→∞

g^F_˜^ˆ

ξ_lk−R^∪

n j=1ℓj g^F_˜^ˆ

ξlk

g^F_˜^ˆ

ξ_lk(˜z0)−R^∪

nj=1ℓj g^F_˜^ˆ

ξlk

(˜z0)

= k^F_˜^ˆ

ζ −R^∪

nj=1ℓj k^F_˜_ζ^ˆ

1−R^∪

nj=1ℓj k^F_ζ_˜^ˆ (˜z0)

͕ͳΓͨͭɻ

∆^F^ˆͷ΋͏1ͭͷ఺ζ˜₁͕ଘࡏͯ͠,F্Ͱ, k_ζ^F′=

k^F_˜^ˆ

ζ1−R^∪

nj=1ℓj k^F_ζ_˜^ˆ

1

1−R^∪

n j=1ℓj k^F_˜_ζ^ˆ

1

(˜z₀)

͕ͳΓͨͭͱԾఆ͢Δɻ

c=c(z0) = 1 1−R^∪

n j=1ℓj k^F_ζ_˜^ˆ (˜z₀)

͓Αͼ

c₁=c₁(z₀) = 1 1−R^∪

n j=1ℓj k^F_ζ_˜^ˆ

1

(˜z₀)

(5)

5 ͱ͓͘ɻԾఆʹΑͬͯ,

c

k_ζ^F_˜^ˆ−R^∪

nj=1ℓj k_ζ^F_˜^ˆ

=c₁

k^F_ζ_˜^ˆ

1−R^∪

1

͕ͳΓͨͭɻ

∪ⁿj=1ℓ_j͕FˆͷίϯύΫτ෦෼ू߹Ͱ͋Γ,R^∪

n j=1ℓj

k^F_ζ_˜^ˆ ͓ΑͼR^∪

n j=1ℓj k_ζ^F_˜^ˆ

1

͕Fˆ্ͷάϦʔϯϙςϯγϟ ϧͰ͋ΔͷͰ,Ϧʔεͷ෼ղఆཧ(cf. [1, Satz 4.6])ʹΑͬͯ,ck^F_˜^ˆ

ζ =c₁k^F_˜^ˆ

ζ1͕ͳΓͨͭɻ k^F_˜^ˆ

ζ(˜z₀) =k^F_˜^ˆ

ζ1(˜z₀) = 1Ͱ͋ΔͷͰ,c=c₁ͱͳΓ,͕ͨͬͯ͠,k^F_˜^ˆ

ζ =k^F_˜^ˆ

ζ1 ͕ͳΓͨͭɻ͕ͨͬͯ͠, ζ˜= ˜ζ1͕ͳΓͨͭɻ

ิ୊ 2.3^′.(1)ζ^′Λ೚ҙͷ∆^F₁ \ ∪ⁿ_j=1ℓjͷ఺ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖, ∆^F₁^ˆ∩F^F^ˆ^∪∆

Fˆ

ͷ఺ζ˜͕ͨͩ1ͭଘ ࡏͯ͠,F্Ͱ,

k_ζ^F′= k^F_˜^ˆ

ζ −R^∪

1−R^∪

n j=1ℓj k^F_˜_ζ^ˆ (˜z₀)

͕ͳΓͨͭɻ

(2)ζ^′ Λ೚ҙͷ∆^F₁^∗\ ∪ⁿ_j=1ℓjͷ఺ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖, ∆^F₁^ˆ∩F^∗^F^ˆ^∪∆

Fˆ

ͷ఺ζ˜^∗͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠, F^∗্,

k^F_ζ′^∗= k^F_˜^ˆ

ζ^∗−R^∪

nj=1ℓj k^F_ζ∗_˜^ˆ

1−R^∪

n j=1ℓj k_ζ∗^F_˜^ˆ (˜z₀)

͕ͳΓͨͭɻ

ূ໌. (2)͸(1)ͱಉ༷ͷ࿦๏Ͱࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔͷͰ, (1)ͷΈࣔ͢ɻิ୊2.3ΑΓ,೚ҙͷ఺

ζ^′(∈∆^F \ ∪ⁿ_j=1ℓ_j)ʹରͯ͠, ˆFͷ఺ζ͕ͨͩ1ͭͷଘࡏͯ͠,F্Ͱ, k_ζ^F′=

k_ζ^F_˜^ˆ−R^∪

1−R^∪

n j=1ℓj k^F_˜_ζ^ˆ (˜z₀)

͕ͳΓͨͭɻ ζ^′∈∆^F₁ΛԾఆ͢Δɻ

u͕Fˆ্ͷඇෛ஋ௐ࿨ؔ਺Ͱ, ˆF্Ͱ,u≤k^F_˜^ˆ

ζ ΛΈͨ͢ͱԾఆ͢Δɻ͜ͷͱ͖, ˆF্Ͱ, u−R^∪

nj=1ℓj u ≤k^F_˜^ˆ

ζ −R^∪

nj=1ℓj k^F_ζ_˜^ˆ · · ·⃝¹

͕ͳΓͨͭɻ

c0= 1

1−R^∪

n j=1ℓj k^F_ζ^ˆ (˜z₀) ͱ͓͘ɻ

͜ͷͱ͖,F্Ͱ,

k^F_ζ′=c₀

k^F_ζ_˜^ˆ−R^∪

n j=1ℓj k^W_ζ_˜

͕ͳΓͨͭɻ u−R^∪_uⁿ^j=1^ℓ^j ͓Αͼk^F_˜^ˆ

ζ −R^∪ⁿ^j=1^ℓ^j

k_ζ^F_˜^ˆ ΛF্ͷඇෛ஋ௐ࿨ؔ਺ͱΈͳ͢ɻ ϛχϚϧੑͱ⃝¹ ʹΑͬͯ,F্Ͱ,u−R^∪

nj=1ℓj

u =c

k^F_˜^ˆ

ζ −R^∪

nj=1ℓj k^F_˜_ζ^ˆ

͕ͳΓͨͭɻ࿈ଓੑͱ૟ࢄ

ͷఆٛʹΑͬͯ, ˆF্Ͱ,u−R^F_u^∗=c

k^F_ζ^ˆ−R^F^∗

k^F_ζ^ˆ

͕ͳΓͨͭɻ

͕ͨͬͯ͠, ˆF্Ͱ,u+cR^F^∗

k_ζ^F_˜^ˆ =ck^F_˜^ˆ

ζ +R^F_u^∗͕ͳΓͨͪ,R^F^∗

k_ζ^F_˜^ˆ ̸=k^F_˜^ˆ

ζ Ͱ͋ΔͷͰ,R^F^∗

k^F_˜_ζ^ˆ͕Fˆ্ͷά

ACTA HUMANISTICA ET SCIENTIFICA NATURAL SCIENCE SERIES No. 48

(6)

6 ϦʔϯϙςϯγϟϧͰ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δ(cf. [1,ิ୊11.2])ɻͱ͜ΖͰ, ˆF্Ͱ,u≤k^F_˜^ˆ

ζ Ͱ͋Δͷ

Ͱ,R_u^F^∗≤R^F^∗

k^F_ζ_˜^ˆͰ͋Δɻ͜ΕΑΓ,R^F_u^∗͸Fˆ্ͷάϦʔϯϙςϯγϟϧͰ͋Δ͜ͱͰ͋Δ͜ͱ͕Θ

͔ΔɻΑͬͯ,u+cR^F^∗

k^F_ζ_˜^ˆ =ck^F_˜^ˆ

ζ +R^F_u^∗ʹରͯ͠,Ϧʔεͷ෼ղఆཧ(cf. [1, Satz 4.6])Λ༻͍Δͱ, ˆF

্Ͱ,u=ck^F_˜^ˆ

ζ ͕ͳΓͨͭɻΑͬͯ,ζ∈∆^F₁^ˆ͕ͳΓͨͭɻ

ิ୊2.4. (1)ζΛ೚ҙͷ∆^Rͷ఺ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖, ∆^F\ ∪ⁿ_j=1ℓjͷ఺ζ^′͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F

্Ͱ,

k^F_ζ′=

k^R_ζ −R^U

k^R_ζ

1−R^U_kR ζ(z0)

͕ͳΓͨͭɻ

(2)ζΛ೚ҙͷ∆^Rͷ఺ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖, ∆^F^∗\ ∪ⁿ_j=1ℓ_jͷ఺ζ^′͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F^∗্Ͱ, k_ζ^F′^∗=

k^R_ζ −R^U_kR ζ

1−R^U_kR ζ(z0)

͕ͳΓͨͭɻ

ূ໌. (2)͸(1)ͱಉ༷ͷ࿦๏Ͱࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔͷͰ, (1)ͷΈࣔ͢ɻ{ξ_l}^∞_l=1 Λ೚ҙͷRͷ఺

ྻͰ, lim

l→∞ξ_l=ζ ͕ͳΓͨͭͱ͢Δɻ͕ͨͬͯ͠, lim

l→∞

g^R_ξ_l g^R_ξ

l(˜z₀) =k^R_ζ ͕ͳΓͨͭɻU͸Rͷίϯύ Ϋτ෦෼ू߹Ͱ͋ΔͷͰ,{ξ_l}^∞l=1 ⊂FͱԾఆͯ͠Α͍ɻΑͬͯ,֤ξ_l (l∈N)͸Fͷ఺ξ_l^′(l∈N) ͱΈͳͯ͠Α͍ɻΑͬͯ,͋Δ∆^F\ ∪ⁿ_l=1ℓ_lͷ఺ζ^′͓Αͼ{ξ_l}^∞_l=1ͷ෦෼఺ྻ{ξ^′_l_k}^∞_k=1͕ଘࡏͯ͠,

k→∞lim g^F_ξ

lk

g^D_ξ

lk(z₀)=k^F_ζ′͕ͳΓͨͭɻิ୊2.1ʹΑͬͯ,F্Ͱ, k_ζ^F′= lim

k→∞

g_ξ^R

lk−R^U

g^R_ξl k

g_ξ^R

lk(z₀)−R^U

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=

k^R_ζ −R^U_kR ζ

1−R^U

k^R_ζ(z₀)

͕ͳΓͨͭɻ

ิ୊2.4^′.(1)ζΛ೚ҙͷ∆^R₁ͷ఺ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖, ∆^F₁ \ ∪ⁿ_j=1ℓjͷ఺ζ^′͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F

্Ͱ,

k^F_ζ′=

k^R_ζ −R^U

k^R_ζ

1−R^U_kR ζ(z0)

͕ͳΓͨͭɻ

(2)ζΛ೚ҙͷ∆^R₁ͷ఺ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖, ∆^F₁^∗\ ∪ⁿ_j=1ℓ_jͷ఺ζ^′͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F^∗্Ͱ, k_ζ^F′^∗=

k^R_ζ −R^U

k^R_ζ

1−R^U_kR ζ(z0)

͕ͳΓͨͭɻ

ূ໌(2)͸(1)ͱಉ༷ͷ࿦๏Ͱࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔͷͰ, (1)ͷΈࣔ͢ɻζ∈∆^R₁ͱ͢Δɻิ୊2.4ʹ Αͬͯ, ∆^F\ ∪ⁿ_j=1ℓjͷ఺ζ^′͕ͨͩ1ͭଘࡏͯ͠,F্Ͱ,

k^F_ζ′=

k^R_ζ −R^U_kR ζ

1−R^U

k^R_ζ(z₀)

͕ͳΓͨͭɻF্ͷඇෛ஋ௐ࿨ؔ਺u͕ଘࡏͯ͠,F্Ͱ,u≤k^F_ζ_′· · ·⃝¹ ͕ͳΓͨͭͱ͢Δɻ⃝¹ ΑΓ,͢΂ͯͷ∪ⁿ_j=1ℓjͷ఺ξʹରͯ͠, lim

z→ξu(z) = 0͕ͳΓͨͭ͜ͱʹ஫ҙ͢Δɻ

On Martin boundaries for doubles of open Riemann surfaces constructed by finite analytic Jordan closed curves

有限個の解析的 Jordan 閉曲線によって構成される 開リーマン面のダブルのマルチン境界について

故米谷文男先生に捧ぐ

正 岡 弘 照

有限個の解析的 Jordan 閉曲線によって構成される開リーマン面のダブルのマルチン境界について

正岡弘照