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基礎科目 ◎ 問題は ５題 ある

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Academic year: 2021

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(1)

平成２５年度 京都大学大学院理学研究科修士課程 （数学・数理解析専攻 数理解析系）

入学試験問題

基礎科目

◎ 問題は ５題 ある

.

５題 とも解答せよ

.

◎ 解答時間は  ３時間  である

.

◎ 参考書・ノート類・電卓・携帯電話・情報機器等は

,

指定された荷物置場に置くこと

.

［注意］

1

 指示のあるまで問題冊子を開かないこと

.

2

 解答用紙・下書き用紙のすべてに

,

受験番号・氏名を記入せよ

.

3

 解答は問題ごとに別の解答用紙を用い

,

問題番号を各解答用紙の枠内に記入せよ

.

一 問を二枚以上にわたって解答するときは

,

つづきのあることを用紙下端に明示して次 の用紙に移ること

.

4

 提出の際は

,

解答用紙を問題番号順に重ね

,

下書き用紙をその下に揃え

,

記入した面 を外にして

,

一括して二つ折りにして提出すること

.

5

 この問題冊子は持ち帰ってもよい

.

［記号について］

 設問中のZ,Q,R,Cは

,

それぞれ

,

整数

,

有理数

,

実数

,

複素数の集合を表す

.

1

(2)

1

次の

(i), (ii)

に解答せよ．

(i)

次の

3

次正方行列

A

i

(i = 1, 2, 3)

に対して，

A

2012i を求めよ．

A

1

=

 

0 1 1 0 0 1 0 0 0

  , A

2

=

 

1 1 1 0 1 1 0 0 1

  , A

3

=

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1

  .

(ii)

行列式

b

1

E

n

.. . b

n

a

1

· · · a

n

0

を求めよ．ただし，

n

は正整数，

E

n は

n

次単位行列，

a

i

, b

j

(1 ≤ i, j ≤ n)

は実数とする．

2 m

と

n

は正整数で，

m ≤ n

とする．

A

と

A

k

(k = 1, 2, . . . )

は

m

行

n

列の実行列であって，

k → ∞

のとき

A

k の各成分が，対応する

A

の各成分に収束するものとする．さらに，

A

の階数 が

m

であると仮定する．このとき，十分大きな

k

について，

A

k の階数が

m

であることを証明 せよ．

3

次の

(i), (ii)

に解答せよ．

(i)

実数

x

に対して，

ε

lim

→0

(

Arctan x + Arctan x x

2

+ ε

2

)

を求めよ．ただし，

Arctan

は

tan

の逆関数で，

− π/2 < Arctan x < π/2

とする．

(ii)

定積分

∫

2π

0

sin nx sin x dx

を求めよ．ただし，

n

は正整数とする．

2

(3)

4

実数

x > 0

に対して，

f (x) =

∫

1

0

cos πy x + y dy

とおく．このとき，次の

(i), (ii)

に解答せよ．

(i) g(x) = f (x) − 2

π

2

x(x + 1)

とおくとき，すべての

x > 2

に対して，

|g(x)| ≤ C x

3 となる定数

C

が存在することを証明せよ．

(ii)

極限値

x→

lim

+∞

x

∑

∞ k=1

f (x + k)

を求めよ．

5

実正方行列

A

に対して，非負整数列

R(A)

を

R(A) = (

rank(A), rank(A

2

), rank(A

3

), . . . )

で定める．ただし，

rank(B)

は行列

B

の階数を表す．正整数

n

に対して，

Sn

= {

R(A) A

は

n

次実正方行列

}

とおくとき，次の

(i), (ii)

に解答せよ．

(i)

S2 を決定せよ．

(ii)

任意の正整数

n

に対して，Sn は有限集合であることを証明せよ．

3

参照

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