修士論文

修 士 学 位 論 文

題 名

3波相互作用のある非線形シュレディンガー方程式系に現れる変分問題の解析

指 導 教 員 倉 田 和 浩 教 授

20 20 年 1 月 10日 提 出

首都大学東京大学院

理 学 研 究 科 数 理 科 学 専 攻 学修番号 18843406

氏 名 長 田 祐 輝

学位論文要旨(修士(理学))

論文著者名 長田 祐輝 論文題名: 3波相互作用のある非線形シュレディンガー方程式系に現れる変分問題の解析

Colin-Colin-Ohta (2009)は次の3波相互作用のある非線形シュレディンガー方程式系を導入した:











i∂_tu₁+ ∆u₁+|u₁|^p−1u₁=−αu₃u₂,

i∂_tu₂+ ∆u₂+|u₂|^p−1u₂=−αu₃u₁ inR×R^N, i∂_tu₃+ ∆u₃+|u₃|^p−1u₃=−αu₁u₂.

(1)

ここでu₁, u₂, u₃は (t, x)∈R×R^N を変数とする複素数値関数であり, u_j は u_j の複素共役である.さらに N = 1,2,3, 1< p <1 + 4/N,α >0である.αは3波引力相互作用の強さを表すパラメーターである. この モデルは準線形Zakharov方程式系の簡易モデルでありColin-Colin (2004,2006)で研究されたプラズマの中 でのラマン増幅と関係がある.

方程式 (1)に対するエネルギー汎関数は次式で与えられる:

E(⃗u) := 1 2

∑3 j=1

∫

R^N|∇uj|²dx− 1 p+ 1

∑3 j=1

∫

R^N|uj|^p+1dx−αRe

∫

R^N

u1u2u3dx, ⃗u∈H¹(R^N;C³).

ここで⃗u:= (u1, u2, u3)である. Ardila [1]では空間1次元でL²ノルム制限付き最小化問題の解の存在およ び安定性について解析されていた. 本論文では[1]の結果の拡張(空間N 次元に拡張してさらにポテンシャ ルをつけた点)および漸近挙動について考察した.

本論文では,ポテンシャルの効果を考慮した次の汎関数を考える:

Eα(⃗u) := 1 2

∑3 j=1

∫

R^N|∇uj|²dx+1 2

∑3 j=1

∫

R^N

Vj(x)|uj|²dx− 1 p+ 1

∑3 j=1

∫

R^N|uj|^p+1dx−αRe

∫

R^N

u1u2u3dx.

N,p,αに対する仮定は(1)と同じであり,ポテンシャルVj に対して以下を仮定する:

(V1) 各 j= 1,2,3に対しVj ∈L^∞(R^N;R).

(V2) 各 j= 1,2,3に対しVj(x)≤ lim

|y|→∞Vj(y) = 0 (a.e. x∈R^N).

(V3) 各 j= 1,2,3に対し

Vj(−x1, x^′) =Vj(x1, x^′) a.e. x1∈R, x^′∈R^N−1,

Vj(s, x^′)≤Vj(t, x^′) a.e. s, t∈Rwith 0≤s < t, a.e. x^′ ∈R^N−1. このとき次のL² ノルム制限付き変分問題を考える: γ, µ, s >0 に対して

I_α(γ, µ, s) := inf{E_α(⃗u)|⃗u∈H¹(R^N;C³), ∥u₁∥²2=γ, ∥u₂∥²2=µ, ∥u₃∥²2=s}, J(γ, µ) := inf{Eα(⃗u)|⃗u∈H¹(R^N;C³), ∥u1∥²2+∥u3∥²2=γ, ∥u2∥²2+∥u3∥²2=µ}.

本論文ではこれらの変分問題の解の存在,安定性および漸近挙動について考察した.この要旨ではいくつかの 主結果について述べる.

定理1. N ≤3, 1< p <1 + 4/N,α >0とし, (V1)–(V3)を仮定する.このとき,任意のγ, µ, s >0に対し て,Iα(γ, µ, s)はminimizerをもつ.ここでIα(γ, µ, s)のminimizerとは∥u1∥²2=γ,∥u2∥²2=µ,∥u3∥²2=s, Eα(⃗u) =Iα(γ, µ, s)となるものである.

注意1. 本論文ではJ(γ, µ)のminimizerの存在およびその安定性についても考察した.

Σ0(γ, µ, s) := inf{E⁰(⃗u)|⃗u∈H¹(R^N;C³), ∥u1∥²2=γ, ∥u2∥²2=µ, ∥u3∥²2=s}, E⁰(⃗u) :=1

2

∑3 j=1

∫

R^N|∇uj|²dx−Re

∫

R^N

u1u2u3dx.

定理2. N ≤2とし,γ, µ, s >0 とする.さらに{⃗un}^∞n=1 をΣ0(γ, µ, s)のminimizing sequenceとする.こ のとき部分列をとって(部分列も同じ記号で表す)

∃{y_n}^∞n=1⊂R^N, ∃⃗u∈H¹(R^N;C³) s.t. ∥u_j,n(·+y_n)−u_j∥H¹ →0 (j= 1,2,3, n→ ∞) が成り立つ. さらに ⃗u は Σ0(γ, µ, s) の minimizer である. ここで Σ0(γ, µ, s) の minimizing sequence と は ∥u1,n∥²2 → γ, ∥u2,n∥²2 → µ, ∥u3,n∥²2 → s, E⁰(⃗un) → Σ0(γ, µ, s) (n → ∞) となるものである. 但し,

⃗

un= (u1,n, u2,n, u3,n)である.

さらに Iα(γ, µ, s)およびそのminimizerのα→ ∞における漸近挙動に関して次の結果を得た.

定理 3. {α_n}^∞n=1 ⊂(0,∞) を α_n → ∞ (n → ∞) となる数列とし, N ≤2, 1 < p <1 + 4/N, α > 0, γ, µ, s >0 とする.さらに (V1)–(V3)を仮定し,⃗u_n を I_αn(γ, µ, s)の minimizerとする. このとき次が成り 立つ:

(i) I_α(γ, µ, s) = Σ₀(γ, µ, s)α^4/(4−N)+o(α^4/(4−N)) (asα→ ∞).

(ii) 部分列をとれば(部分列も同じ記号で表す)

∃{y_n}^∞n=1⊂R^N, ∃⃗v: Σ₀(γ, µ, s)のminimizer s.t.

uj,n(x) =α^N/(4_n ^−N)vj(α^2/(4_n ^−N)x−yn) +gj,n(x) (j= 1,2,3),

∇uj,n(x) =α^(N_n ^+2)/(4−N)(∇vj)(α^2/(4_n ^−N)x−yn) +kj,n(x) (j= 1,2,3)

が成り立つ. ここで gj,n は ∥gj,n∥2 = o(1) (as n → ∞) となるものであり kj,n は ∥kj,n∥2 = o(α^2/(4n ^−N)) (asn→ ∞)となるものである.

注意2. 定理3の (i)はN = 3でも成り立つ.またポテンシャルの条件を(V1),(V2)にしても成り立つ.

定理1の証明のポイントは minimizing sequenceの弱極限が制約条件をみたすことを示すためにShibata [2]で導入されたcoupled rearrangementという手法を用いることである.またcoupled rearrangementのポ テンシャル付きの問題への適用において, (V3) のある1変数方向への対称性と単調性があればよいことを見 出したこともポイントである.ポテンシャル付きで空間高次元への拡張となっている点で新しい結果である.

定理2 の証明のポイントは 定理 1のポイントに加えてエネルギー Σ0 の狭義単調減少性を示すことであ る. 技術的にN = 3ではこの狭義単調減少性が未解決のため,N ≤2なる制限がついている.

定理3の証明のポイントは適切なスケール変換を見つけ, minimizerをスケール変換し,スケール変換後の 世界で極限を捕まえることである. スケール変換したminimizerの列がΣ0(γ, µ, s)の minimizing sequence になることを示し,定理 2 を用いることにより極限が捕まえられる.相互作用の強さを表すパラメーター α の効果を取り出せた研究はこれまでになく,その点で新しいと思われる.

注意3. 本論文ではI_α(γ, s, s)およびそのminimizerの s→+0における漸近挙動についても考察した.

参考文献

[1] A. H. Ardila, Orbital stability of standing waves for a system of nonlinear Schr¨odinger equations with three wave interaction, Nonlinear Anal.,167(2018), 1–20.

[2] M. Shibata, A new rearrangement inequality and its application for L²–constraint minimizing prob- lems, Math. Z.287(2017), 341–359.

2019年度

首都大学東京 理学研究科 数理科学専攻

修士論文

3 波相互作用のある非線形シュレディ ンガー方程式系に現れる変分問題の

解析

18843406

お さ だ

長田

祐輝

指導教員： 倉田 和浩 教授

現在までに,様々な研究者によって非線形シュレディンガー方程式に対する定在 波解の存在, 安定性・不安定性等の研究が活発に行われている. ポテンシャルの項 を付け加えたり,さらにシステムの場合で Bose–Einstein 凝縮モデルや3波相互作 用のある非線形シュレディンガー方程式系に対する定在波解の存在, L² ノルム制 限付き最小化問題の解の存在, 安定性・不安定性の研究等も活発に行われている.

非線形シュレディンガー方程式に対する研究は様々あるが今回はその中でも3波 相互作用のある非線形シュレディンガー方程式系に焦点を当てる.

Colin–Colin [5],[6] の研究によって3波相互作用のモデルとなったラマン増幅と いう物理現象の枠組が整備された. この現象の物理的な状況は次のとおりである.

入射レーザー場がプラズマに入ると, ラマン型プロセスによって後方散乱される. これら2つの波は相互作用して電子プラズマ波を生成する. これら3つの波が組み 合わさって, 3つの先行波に影響を与えるイオンの密度の変化を作り出す.

さらに Colin–Colin–Ohta [8] によって3波相互作用のある非線形シュレディン ガー方程式系が導入された.近年この3波相互作用のある非線形シュレディンガー 方程式系に対する基底状態の存在(Pomponio [13]),L² ノルム制限付きの最小化問 題の解の存在および安定性(Ardila [1]),相互作用の強さによる定在波解の安定性・

不安定性(Colin–Colin–Ohta [7],[8]) 等の研究が活発に行われている.

そこで本論文ではポテンシャル項のついた3波相互作用のある非線形シュレディ ンガー方程式系に現れる L² ノルム制限付き最小化問題の解の存在, 安定性および 漸近挙動について考察する. 存在性, 安定性の部分については [1]の結果の拡張に なっている.ポテンシャル項の影響や相互作用項の強さの影響等を調べることを目 的とする.

第 1 章では Gagliardo–Nirenberg の不等式, Steiner rearrangement, coupled re-

arrangement 等の基本的なテクニックについてまとめた.

第 2章ではポテンシャルなしでの空間 N 次元でのL² ノルム制限付き変分問題 の解の存在おおびその minimizing sequence の compactness について調べること を目的とする.

第 3章ではポテンシャルありでの空間 N 次元でのL² ノルム制限付き変分問題 の解の存在おおびその minimizing sequence の compactness について調べること を目的とする.

第 4 章では第 2 章, 3 章で調べた L² ノルム制限付き変分問題 I^∞(γ, µ, s) およ びI(γ, µ, s)の制約条件を保存量に変え,解の存在およびその minimizing sequence

の compactness, さらには, その安定性についても考察した.

第 5 章では第 2 章で考察したモデルから非線形項を除いたエネルギー汎関数 に対する L² ノルム制限付き変分問題の解の存在および minimizing sequence の compactnessを考察した.この事実は後に第10章で I_αn(γ, µ, s)の漸近挙動を調べ るときに活躍する.

第6章では第3章で考察したモデルから非線形項と第1成分を除き,相互作用項 にある意味ポテンシャルを含ませたエネルギー汎関数を考え,それに対する L² ノ ルム制限付き変分問題の解の存在およびその minimizing sequenceのcompactness について考察した.この事実は後に第 9章で I(γ, s_n, s_n)の minimizer の漸近挙動 を調べるときに活躍する.

第 7章ではポテンシャルに対して弱い仮定の下でさらに N ≤3で I(γ, s, s) の s →+0 におけるエネルギーの漸近挙動について調べる.

第 8 章では第 7 章同様, ポテンシャルに対する仮定が弱い状況で N ≤ 3 で

I_α(γ, µ, s) の α → ∞ におけるエネルギーの漸近挙動を調べることを目的とする.

第 7 章, 8 章ともにI(γ, s, s)および I_α(γ, µ, s) 自体のminimizer の存在や付随す る極限問題の minimizer の存在を仮定しなくて良いのが利点である.

第 9 章ではポテンシャルに対して少し強い仮定をおき, N = 1 とした場合に第 7 章で調べたエネルギー I(γ, s_n, s_n) の漸近挙動に加え, そのminimizer の漸近挙 動について考察した.

第10章ではポテンシャルに対して少し強い仮定をおき, N ≤2とした場合に第 8 章で調べたエネルギー I_αn(γ, µ, s) の漸近挙動に加え, その minimizer の漸近挙 動について考察した.

付録 A では単独のシュレディンガー方程式に付随する変分問題の解の存在や minimizing sequence の compactness や種々の変分問題に対する minimizer の性 質について述べた.

記号: N ∈N.

H¹(R^N) := H¹(R^N;C).

H¹(R^N;C³) :=H¹(R^N)×H¹(R^N)×H¹(R^N).

∫

R^N

f(x)dx を

∫

R^N

f dx と書いたり

∫

R^N

f と書いたりする.

∥u∥q =∥u∥L^q :=

(∫

R^N |u|^q )1/q

(q∈[1,∞)).

∥u∥_∞ =∥u∥L^∞ := ess sup

R^N |u|:= inf{M ≥0| |u(x)| ≤M (a.e. x∈R^N)}. ess inf

R^N u:= sup{M ∈R|u(x)≥M (a.e. x∈R^N)}.

∥u∥H¹ :=

(∫

R^N|∇u|²+|u|² )1/2

.

∥u∥L^∞(Ω) := ess sup Ω Ω

|u|:= inf{M ≥0| |u(x)| ≤M (a.e. x∈Ω)}. ess inf

Ω u:= inf{M ∈R|u(x)≥M (a.e. x∈Ω)}.

∥u∥H¹(Ω):=

(∫

Ω

|∇u|²+|u|² )1/2

.

k = (k₁, . . . , k_N)∈L²(R^N)^N に対して ∥k∥2 :=

( _N

∑

j=1

∥k_j∥²₂ )1/2

と定義する. また部分列の記号は特に断らない限りもとの記号を使用する.

目 次

はじめに i

第1章 Preliminaries 1

第2章 I^∞(γ, µ, s) の minimizing sequence の compactness 16

2.1 Introduction . . . . 16

2.2 S_∞(γ) の性質 . . . . 17

2.3 Basic estimates . . . . 18

2.4 Theorem 2.1の証明で用いる Lemma . . . . 33

2.5 Theorem 2.1の証明 . . . . 33

第3章 I(γ, µ, s) の minimizing sequence の compactness 42 3.1 Introduction . . . . 42

3.2 種々の変分問題の諸性質 . . . . 43

3.3 Basic estimates . . . . 44

3.4 Theorem 3.1の証明で用いる Lemma . . . . 47

3.5 Theorem 3.1の証明 . . . . 48

第4章 Mγ,µ の安定性 53 4.1 Introduction . . . . 53

4.2 種々の変分問題の諸性質 . . . . 54

4.3 J(γ, µ)の minimizing sequence と I(γ−a, µ−a, a)の minimizing sequence との関係 . . . . 56

4.4 Theorem 4.2の証明 . . . . 64

第5章 Σ₀(γ, µ, s) の minimizing sequence の compactness 66 5.1 Introduction . . . . 66

5.2 Σ₀(γ, µ, s) およびその minimizing sequence の基本的性質 . . . . 67

5.3 Theorem 5.1の証明 . . . . 71

第6章 Σ_U1(µ, s) の minimizing sequence の compactness 76 6.1 Introduction . . . . 76

6.2 単独の変分問題 . . . . 77

第7章 I(γ, s, s) の s→+0 における漸近挙動 90

7.1 Introduction . . . . 90

7.2 I(γ, s_n, s_n) の upper bound. . . . 91

7.3 I(γ, s_n, s_n) の lower bound . . . . 92

7.4 Theorem 7.3の証明 . . . . 97

第8章 I_α(γ, µ, s) の α→ ∞ における漸近挙動 98 8.1 Introduction . . . . 98

8.2 Iα(γ, µ, s) の upper bound . . . . 99

8.3 I_α(γ, µ, s) の lower bound . . . . 100

8.4 Theorem 8.1の証明 . . . . 103

第9章 I(γ, s_n, s_n) の minimizer の漸近挙動について 104 9.1 Introduction . . . . 104

9.2 I(γ, s_n, s_n) の upper bound. . . . 106

9.3 I(γ, s_n, s_n) の lower bound . . . . 108

9.4 Theorem 9.2の証明で用いる Lemma . . . . 111

9.5 Theorem 9.2の証明 . . . . 111

第10章 Iαn(γ, µ, s) の minimizer の漸近挙動について 116 10.1 Introduction . . . . 116

10.2 I_α(γ, µ, s) の upper bound . . . . 117

10.3 Theorem 10.1の証明 . . . . 119

付 録A 本論文で用いた基礎的事項 125 A.1 S_∞(γ) の minimizing sequenceの compactness について . . . . 125

A.2 S_V(γ) の minimizing sequence の compactnessについて . . . . 135

A.3 Σ_U1(µ, s)の minimizer の 性質. . . . 142

A.4 I(γ, µ, s) の minimizer の性質 . . . . 144

謝辞 150

参考文献 151

以下,N ∈N とする.

Lemma 1.1. (Gagliardo–Nirenberg の不等式) 2< q ≤2 + 4/N とする.こ のとき

∃C(q, N)>0 s.t. ∥u∥^qq ≤C(q, N)∥∇u∥^N(q2 ^−2)/2∥u∥^q2^{−N(q−2)/2} (∀u∈H¹(R^N)) が成り立つ.

Lemma 1.2. R >0とし, 2< q ≤2 + 4/N とする.このときあるβ₁ =β₁(q, N), β₂ =β₂(q, N)>0 と C =C(R, q, N)>0 が存在して

∥u∥^qq ≤C (

sup

y∈R^N

∫

|y−x|<R

|u|²dx )β1

∥u∥^β_H²¹ ∀u∈H¹(R^N) が成り立つ.

証明. [4, Lemma 1.7.7]より q= 2 + 4/N のとき

∃C =C(q, N)>0 s.t.

∫

R^N|u|^2+4/Ndx ≤C (

sup

y∈R^N

∫

|y−x|<R

|u|²dx )2/N

∥u∥²H¹ ∀u∈H¹(R^N) (1.1) が成り立つ.

2< q <2 + 4/N とする. このとき

∃θ ∈(0,1) s.t. q = 2θ+ (

2 + 4 N

)

(1−θ) が成り立つ. H¨older の不等式と (1.1) より

∫

R^N|u|^qdx=

∫

R^N |u|^2θ|u|^{(2+4/N)(1−θ)}dx

H¨older≤ (∫

R^N|u|²dx )θ(∫

R^N|u|^2+4/Ndx )1−θ

≤

(1.1)

(∥u∥²H¹

)θ



C (

sup

y∈R^N

∫

|y−x|<R

|u|²dx )2/N

∥u∥²H¹





1−θ

≤C^1−θ (

sup

y∈R^N

∫

|y−x|<R

|u|²dx

)2(1−θ)/N

∥u∥²_H¹

が成り立つ.これより結論が従う. 2

Lemma 1.3. (Brezis–Lieb Lemma) 2 ≤ q ≤ 2 + 4/N とする. {u_n}^∞n=1 を L^q(R^N) の有界列で

u_n(x)→u(x) (a.e. x∈R^N, n→ ∞) となるものとする. このとき u∈L^q(R^N)となり

∫

R^N|un|^q=

∫

R^N|u|^q+

∫

R^N|un−u|^q+o(1) (as n→ ∞) が成り立つ.

証明. Brezis–Lieb [3] を参照. 2

Remark 1.1. 2≤q≤2 + 4/N のとき{u_n}^∞_n=1 がH¹(R^N) の有界列ならば部分 列をとることにより Brezis–Lieb Lemma の仮定はみたされる.

x ∈ R^N に対して x = (x₁, x^′) (x₁ ∈ R, x^′ ∈ R^N−1) と書くことにする. また i= 1, . . . , N に対して Lⁱ で i 次元Lebesgue 測度を表すことにする.

Definition 1.4. (cf. [14]) uは R^N 上定義された可測関数で

|xlim|→∞u(x) = 0

をみたしているとする. このとき u の Steiner rearrangement u^⋆ を次のように定 義する:

u^⋆(x₁, x^′) :=

∫ _∞

0

χ_{|u(·,x′)|>t}^⋆(x₁)dt.

但し, A⊂Rに対して

A^⋆ :=

(

−L¹(A)

2 ,L¹(A) 2

) である.

次は Steiner rearrangement のよく知られた性質である. Proposition 1.5. uは R^N 上定義された可測関数で

|xlim|→∞u(x) = 0

をみたしているとする. このとき u の Steiner rearrangement u^⋆ は次の性質をみ たす.

(i) u^⋆ ≥0 (a.e. inR^N).

(ii) u^⋆ は x₁ の関数として偶関数である. すなわち

u^⋆(−x₁, x^′) =u^⋆(x₁, x^′) (a.e. x₁ ∈R, a.e. x^′ ∈R^N−1).

(iii) u^⋆ は x₁ の関数として[0,∞)上で単調減少である.すなわち

u^⋆(s, x^′)≥u^⋆(t, x^′) (a.e. s, t ∈R with 0≤s < t, a.e. x^′ ∈R^N−1).

(iv)

L¹({x₁ ∈R| |u(x₁, x^′)|> t}) = L¹({x₁ ∈R|u^⋆(x₁, x^′)> t}) (a.e. x^′ ∈R^N−1, ∀t >0).

(v) u∈L^q(R^N) (1 ≤q <∞)なら u^⋆ ∈L^q(R^N) かつ

∫

R^N |u^⋆|^qdx =

∫

R^N|u|^qdx.

(vi) u∈H¹(R^N)なら u^⋆ ∈H¹(R^N)かつ

∫

R^N|∇u^⋆|²dx≤

∫

R^N|∇u|²dx.

Remark 1.2. 空間1次元のとき, 埋め込み H¹(R) ⊂ L^∞(R) は連続であるから f ∈H¹(R) なら

|xlim|→∞f(x) = 0 が従うことに注意する. [2, Chapter 8]を参照のこと.