特性類と可微分多様体の構造について

(1)

特性類と可微分多様体の構造について

On characteristic classes and the structure of defferentiable manifolds

数学専攻井上雅美子

Inoue Mamiko

0 はじめに

この論文の主題は，特性類を用いて可微分多様体の構造を調べることである．特性類とは，ベクトル束の不変量である．特に可微分多様体に対して，その接束の特性類のことをその多様体の特性類という．特性類により基本ホモロジーで値をとったものをその多様体の特性数といい，特性数を計算することでその多様体の特徴を調べることが出来る．本論文では，まず特性類の一般的な定義を与え，各特性類の特徴を述べる．そして，その中でも向き付けられた可微分多様体が，境界を持つ向き付けられたある可微分多様体の境界となり得るかを見極めることに用いられる

Pontrjagin

類と

Pontrjagin

数に焦点を当て，

Whitney

の埋め込み定理と

Thom

の横断性定理を用いてわかる有向同境群の構造を紹介する．

1 特性類

定義

1.1 (

特性類

).

任意のベクトル束

ξ = (E, π, B)

に対して，可換群

A

を係数とする底空間

B

のコホモロジー類

α(ξ) ∈ H

^k

(B; A)

が定義され，次の束写像に対する自然性が成り立つとき，

α(ξ)

を

ξ

の

A

係数の

k

次特性類という．

自然性：

任意の二つのベクトル束

ξ

_i

= (E

_i

, π

_i

, B

_i

)(i = 1, 2)

の間の束写像

E

₁

−−−−→

^f^˜

E

₂

π1

  y

^π²

B

₁

−−−−→

^f

B

₂ に対して，

α(ξ

₁

) = f

^∗

(α(ξ

₂

))

が成り立つ．

同じ底空間

B

上の二つのベクトル束

ξ

と

η

が同型のとき，上の

f

^∗は恒等写像になり，

α(ξ) = α(η)

となる．よって，この自然性を使って定義をすることで，特性類はベクトル束の不変量となる．

定義

1.2 (

特性数

).

M

を，実

n

次元のコンパクト可微分多様体とする．このとき，

n

の分割

I = (i

₁

, ..., i

_r

)

に対して，

w

_I

[M ] = w

_i₁

· · · w

_i_r

[M ] := hw

_i₁

(τ

_M

) · · · w

_i_r

(τ

_M

), µ

_M

i

1

(2)

を，

I

次

Stifel-Whitney

数という．これは

Z/2

に値をもつ．ここで，

w

_i_j

(τ

_M

)

は

M

の接束

τ

_M の

i

_j次

Stiefel-

Whitney

類，

µ

_M は

M

の基本ホモロジー類を表す．

K

ⁿを，複素次元

n

のコンパクト複素多様体とする．このとき，

n

の分割

I = (i

₁

, . . . , i

_r

)

に対して，

c

_I

[K

ⁿ

] = c

_i₁

· · · c

_i_r

[K

ⁿ

] := hc

_i₁

(τ

ⁿ

) · · · c

_i_r

(τ

ⁿ

), µ

_2n

i

を

I

次

Chern

Z

c

_i_j

(τ

ⁿ

)

は

K

ⁿの接束

τ

ⁿの

i

_j次

Chern

類，

µ

_2nは

M n

の複素構造による向きから決まる基本ホモロジー類を表す．

M

⁴ⁿを，実

4n

次元のコンパクトで向きづけられた可微分多様体とする．このとき，

n

の分割

I = (i

₁

, ..., i

_r

)

に対して，

p

_I

[M

⁴ⁿ

] = p

_i₁

· · · p

_i_r

[M

⁴ⁿ

] := hp

_i₁

(τ

⁴ⁿ

) · · · p

_i_r

(τ

⁴ⁿ

), µ

_4n

i

を，

I

次

Pontrjagin

Z

p

_i_j

(τ

⁴ⁿ

)

は

M

⁴ⁿの接束

τ

⁴ⁿの

i

_j次

Pontrjagin

類，

µ

_4nは

M

⁴ⁿの基本ホモロジー類を表す．

補題

1.3.

実

(4n + 1)

次元のコンパクトで境界をもつ可微分多様体の境界

M

⁴ⁿに対し，全ての

Pontrjagin

数は零である．

Chern

数と

Pontrjagin

数のある有用な一次結合を定義しておく．この重要性は，命題

1.6

と例

1.7

が示して

いる．

定義

1.4. I = (i

₁

, . . . , i

_r

)

を非負整数

k

の分割とし，

n ≥ k

を，不定元

t

₁

, . . . , t

_nの基本対称式

σ

₁

, . . . , σ

_kが代数的に独立となるように選ぶ．このとき，

k

変数多項式

s

_I

(X

₁

, . . . , X

_k

)

を，

s

_I

(σ

₁

, . . . , σ

_k

) = X

t

ⁱ₁¹

· · · t

ⁱ_r^r

を満たす多項式として一意的に定まるものとする．ここで右辺は，

t

₁

, . . . , t

_nに関する単項式で

t

ⁱ₁¹

· · · t

ⁱ_r^r に対して

t

₁

, . . . , t

_nの入れ替えによって変換されるものすべての和を表す．

定義

1.5.

複素次元

n

のコンパクト複素多様体

K

ⁿと

n

の分割

I = (i

₁

, . . . i

_r

)

に対して，記号

s

_I

(c)[K

ⁿ

]

で，

hs

_I

(c(τ

ⁿ

)), µ

_2n

i = hs

_I

(c

₁

(τ

ⁿ

) · · · c

_r

(τ

ⁿ

)), µ

_2n

i ∈ Z

を表すとする．コンパクトで向きづけられた

4n

次元可微分多様体

M

⁴ⁿと

n

の分割

I

に対しても，記号

s

_I

(p)[M

⁴ⁿ

]

を同様に定義する．

命題

1.6. K

^mと

L

ⁿを，それぞれ複素次元

m,n

の複素多様体とする．このとき，

s

_m+n

(c)[K

^m

× L

ⁿ

] = 0

である．

例

1.7.

複素射影空間

P

ⁿ

(C)

に対して，

s

_k

(c)[P

ⁿ

(C)] = n + 1 6= 0

である．ゆえに，

P

ⁿ

(C)

はいかなる複素多様体の直積として表すことはできない．

2

(3)

2 有向同境群

定義

2.1.

二つのコンパクトで向きづけられた

n

次元可微分多様体

M

と

M

⁰に対して，あるコンパクトで向きづけられた境界をもつ可微分多様体

X

が存在して，誘導された向きをもつ

X

の境界

∂X

が，

M + (−M

⁰

)

に向きを保って微分同相になるとき，

M

と

M

⁰は有向同境であるという．ただし．記号

−

は逆の向きの多様体を表し，

記号

+

は非交和を表す．

有向同境という関係は，同値関係である．

定義

2.2. n

次元有向同境類全体からなる集合は，加法演算

+

（非交和）により可換群をなす．これを

Ω

_nと書き，有向同境群とよぶ．

有向同境群の列

Ω

_∗

:= (Ω

₀

, Ω

₁

, Ω

₂

, . . .)

は直積演算

×

により次数つき可換環の構造をもつ．これを有向同境環とよぶ．

有向同境群

Ω

_nにおける零元とは，空集合

∅

の同境類のことである．ある可微分多様体が，それ自身あるコンパクトで向きづけられた境界をもつ可微分多様体の境界となるときは，

∅

と有向同境となるので，零元となる．補題

1.3

より，

Pontrjagin

数は有向同境類の不変量である．

3 普遍 Thom 空間と有向同境群の関係

有向同境群の構造を知るため，まず

Pontrjagin

類を考えることでわかることからアプローチをしていく．

定理

3.1. M

⁴

, . . . , M

⁴ⁿを，各

k = 1, . . . , n

に対して

s

_k

(p)[M

^4k

] 6= 0

である向き付けられた多様体とすると，

p(n) × p(n)

行列

[p

_i₁

· · · p

_i_r

[M

^j¹

× · · · × M

^j^s

]]

は，正則である．ただし，

(i

₁

, . . . , i

_r

)

と

(j

₁

, . . . , j

_s

)

は

k

のすべての分割をわたる．ここで，

p(n)

は

n

の分割の個数を表す．

この定理の中の適当な多様体

M

^4kとして，複素射影空間

P

^2k

(C)

を選ぶことができる．この事実と補題

1.3

より，次がわかる．

系

3.2. (i

₁

, . . . , i

_r

)

が

k

のすべての分割をわたるとき，同境群

Ω

_4kにおける

P

²ⁱ¹

(C) × · · · × P

²ⁱ^r

(C)

が代表する元は，一次独立である．ゆえに，

rank(Ω

_4k

) ≥ p(k)

である．ここで，

p(k)

は

k

実際，

Ω

_4kの

rank

がちょうど

p(k)

と等しいことがわかる．よって，

P

²ⁱ¹

(C) × · · · × P

²ⁱ^r

(C)

を代表する元は生成元となる．そのことを示すために，

Thom

空間を定義しておく．

3

(4)

定義

3.3.

ユークリッド計量をもつ

R

ⁿ束

ξ

に対して，

A ⊂ E(ξ)

を，全空間における

|v| ≥ 1

となるベクトル

v

全体からなる部分集合としたとき，

A

を

1

点につぶした商空間

E(ξ)/A

を

Thom

空間よび，

T (ξ)

，あるいは単に

T

とかく．

T (ξ)

の選ばれた基点

t

₀は，

A

をつぶした点である．

次の重要な定理が，埋め込み定理と横断性定理により示される．

定理

3.4 (Thom).

k > n + 2

のとき，普遍

Thom

空間のホモトピー群

π

_n+k

(T (˜ γ

^k

), t

₀

)

は，有向同境群

Ω

_nに標準的に同型である．

この定理の部分的な主張を用いることで，

Ω

_4nの構造を知ることができる．

定理

3.5 (Thom).

有向同境群

Ω

_nは，

・

n 6≡ 0 (mod 4)

のとき，有限群

・

n = 4r (r ∈ Z

_≥0

)

のとき，階数

p(r)

の有限生成群である．ここで，

p(r)

は

r

実際にいくつかの

Ω

_nの構造を挙げると，次のようになる．

・

Ω

₀

∼ = Z

コンパクトで向きづけられた

0

次元多様体は，符号づけられた点の有限集合である．よって，符号の和が同境不変量である．

・

Ω

₁

= 0

閉

1

次元多様体は円板の境界となる．

・

Ω

₂

= 0

任意の向きづけられた閉

2

次元多様体

M

は，球面か種数

g

の閉曲面であるから，明らかに境界となる．

・

Ω

₃

= 0

向きづけられた閉

3

次元多様体は，

3

次元球面

S

³内の絡み目の係数

±1

による

Dehn

手術により得られる

([W.B.R.Lickorish] [4])

．これは，

4

次元球体

D

⁴にいくつかの

2-

ハンドルを付けたものの境界となる．

・

Ω

₄

∼ = Z

系

3.2

と定理

3.5

より，これは複素射影平面

P

²

(C)

によって生成されることがわかる．

References

[1] J. Milnor and J. Stasheff, Characteristic Classes, Annals of Math. Stud., 76 (1974).

[2] N. Steenrod, The Topology of Fibre Bundles, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J.(1951).

[3] C. T. C. Wall, Determination of the Cobordism Ring, Annals of Math.72(1960), 292-311.

[4] W. B. R. Lickorish, A representation of orientable combinatorial 3-manifolds, Annals of Math.76(1962), 531-538.

[5]

足立正久

,

微分位相幾何学

,

共立出版

(1976).

4