• 検索結果がありません。

The Effect of the Metal Combinations on Wearand Friction in Ultra-High Vacuum Condition

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

シェア "The Effect of the Metal Combinations on Wearand Friction in Ultra-High Vacuum Condition"

Copied!
9
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

ftL[lblJ)ktli2]tl;ggKlillIN$NilliiL rg20g eg34‑SlilL SIZEIZ2,tEI!LIH 7

The Effect of the Metal Combinations on Wear and Friction in Ultra‑High Vacuum Condition

      by

Akira URA and Akira NAKASHIMA

   Many studies on the friction and adhesion phenomena under a high‑vacuum condition have been done and being continued steadily since the advanced development followed the improvement of the research method.

   At present studies many types of metal alloys such as bearing steel, stainless steel and phosphor bronze chosen as the test pieces with a few single metals Iike nickel and tin.

   Though in the ultra high vacuum condition a lot experiments have been done on friction phenom‑

ena, the wear phenomena have not been enough clarified in such condition because of being in itself complicated.

   As it is most desirable that the change of the worn surface during wear process can be limited within certain extents, the ultra high‑vacuum condition are most suitable to clarify the wear mecha‑

nism on which a clear explanation has not been made.

   The experimental results under such condition can clarify the effect of the compatibility among the material combinations, and of difference of the contact shape, furthermore can make clear also experimentally the larger adhesive force than the ploughing term.

  INTRODUCTION

      We mainly introduce a few typical examples of the friction and wear on metal surfaces in the ultra   high vacuum condition (10‑6 Pa) as the basic research for the study on wear under the extreme   clrcumstances.

      At present studies a lot of types of metal alloys such as bearing steel, stainless steel and phosphor

       '   bronze were chosen as the test pieces with a few single metals like nickel and tin. '       Though in the ultra high vacuum condition also fairly many things have been well studied on   friction phenomena (1) (2), the wear phenomena have not been always clarified in such condition for   being in itself complicated.

      As it is most desirable that the change of the wear surface during wear process can be reduced   within an extent, the ultra high vacuum conditions are most suitable to clarify the wear mechanism on   which a clear explanation has not been made.

       '       The present paper reports a few interesting results which we could confirm experimentally,        '   especially about the effects of a compatibility and a hardness between each material combination on   the adhesive wear.

      The experimental results under such condition can make clear the effect of the compatibility

SiZEIefiitili 9 n 30 H illmp

*Mechanical Engineering

(2)

8

'

       Akira URA ・ Akira NAKASHIMA

among the material combinations, and of the difference of the contact shape occurred by the difference of hardness between both surfaces on friction and wear, furthermore we can observe also an existence of much larger adhesion than ploughing.

EXPERIMENTAL

   The test apparatus for friction and wear has been installed in a chamber (Bell Jar) so as to do experiments under a high and an ultra high vacuum condition. The equipment enclosed with a broken line shown in Fig.1 is set up in the Bell Jar. The lower test pieces3 are formed of three spheres so that experiments can be done on the each surface of a sphere by means of changing the contact point        '

with adjustable part 8. ' '

   The upper test piece is attached to the holder 2. The contact loads are added through the stem 6 and lever 4 by the weights placed on plate 7.

   The friction force during sliding can be measured by the strain gauge 5 attached aside lever.

7]2st Aeces

   In the wear and friction test under the condition at 10‑̀ Pa, three types of hollow cylinder are used as upper test pieces shown in the fig. 2. In order to continue the experiments wihtout exposing in the air after having got a vacuum condition the both test pieces are shaped like such forms. Furthermore another shapes of test pieces are used in the experiments at 10‑6 Pa.

712st Procedure

   The schematic system of evacuation to get

ultra high vacuum is shown in fig. 3. Each experi‑ Table 1 Dimension of Test Pieces ment has been done after the degree of vacuum has

reached to IO‑6 Pa at the end of baking the equipe‑

ment at 130 OC.

   The contact condition in these experiments is point contact between sphere and flat surface.

The sliding velocity is constant at 1 m/min. and the total distance slid is I5 m as a standard. Both test pieces are set up after having been rinsed in the bath with ultrasonic cleaning for 15 minutes, and the amounts of wear are weighed after taking

SXOtOf t..t ie.eg :r.aei,n Ue 3 Lower test iec 7 Lood

4 Be"ows 8 Distance ad'uster

:

,

,

3@.5

(!)

‑‑

Ns'‑ @ :‑‑ :

Fig. 1 Schematic Outline of Apparatus

Materials Hardness'

Hv Remarks

S20C 185 CarbonSteel

SUS304 236 18‑8StainlessSteel

Sn 6.57 99.990/o

Ni 149 99.990/o

PB 180 Phos.Bronze

Pb 6.11 99.990/o

Bs 138 7:3Brass

SUJ 800 BearingSteelball

SUS304 196 18‑8Stainless

steelBall

Bs 180 7:3BrassBall

"N

‑‑‑

‑‑‑‑ ‑as

x:o ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑

g .‑‑t

‑‑‑‑‑‑‑

a) Upper Specimens        Fig. 2

ov

      3t8 Balt

       o

   b) Lower Spesimens Test Pieces

(3)

  The Effect of the Metal Combinations on Wear upper pieces out of the Bell‑Jar after sliding.

   The experiments are carried out at four steps of the contact loads of 20 N, 30 N, 40 N and 50 N.

TEST RESULTS AND DISCUSSION

71he of?ct of a nomaal load in friction under a high vacuum condition

   The adhesive forces under a high vacuum depend very much on the difference of the hardness between the combined metal surfaces, in other words the effect of the load on an adhesive force without sliding is very large. The adhesive force i$ usually estimated to be not so large even under a high vacuum except very mild metal because of a recovery of the elastic deformation on the adhesive part in a hard metal.

   The relation between a normal load and an adhesive force without sliding under an ultra high uacuum such as 10‑8 Pa has been reported well with fine results by professor D. Tabor et al.

 1 At present we could confirm the dependence of the Ioad on the adhesion force with sliding even at 10‑4

   The comparisons of the coefficient o figs. 4, 5, 6 and 7. As the normal loads shown in metais there is not a considera

even in the combination with good compatibility.

adhesion between two atmospheres in spite of their the adhesive parts (3) (4).

   In the case that the hardness of one of combine

and Friction in Ultra‑High Vacuum Con

Betl'ar Feed throu Vdcuum manifold S utter ion um

Titaniumeva oration um Oil‑sealedrotar um Sor tion ump lonization au

       @

   1 =Wl.N‑Nl

x

dition 9

    2 VLV3D

VLV3D ・

vuHIOA LV‑l;8

VULH‑25 3

{tll

ll t=ri

lPGT‑@

PST‑2CT

 VUH‑251 PSM‑10B

   @

pv‑*

PVD‑180@

  @

VK‑1

       @

      Fig.3 Schematic System of Evacuation Pa and also it depends very much on the combination of the materials related with their hardness.

      f friction between under high vacuum and air are shown in       fi'gs. 4 and 5 are not so large for the hardness of both        ble difference .of the friction due to adhesion between two atmospheres

In the combination of a non‑steel with a steel shown in fig. 5, there is a considerable difference of        large hardness owing to the elastic behaviour on       d metals is smaller than the other, the junction can

q1 .0 Cs .9 o.8

't

.:

L o.6 vo

1o.4

.9 .9

; O.2

uo8

  S20C‑S20C   o i o'4pa   e lo5pa

  o        e 08 eOeo2ogeee   ee

O 2 4 6 8 10 12 14 16

      Stiding Distance (m) The comparison of a coefficient of fric‑

tion between in air and in vacuum at comparablylowload,30N (bothspeci‑

mensflat) S20C;S20C

ql .O Cs

・‑‑o O.8

6・:

L o.6 'o

ZO.4

.9 .2 : O.2

uo8 o  PB‑S20C  o ia4pa

 elo5pa ‑

        ooOoooOOOOOoooooO      oo

  oo

:Oeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

      '

Fig. 4

o

Fig. 5

2 4 6 8 10 12 14 16

         Stiding Distance (m) The comparison of a coefficient of fric‑

tion between in air and in vacuum at

comparably low load, 30N (both specimens flat) Phos Bronze:S20C

(4)

10 Akira URA'・ Akira NAKASHIMA

q1 .0 Cs .9 o.8

6・:

L O.6 'o

1o.4

.9 .y t O.2

uo8

  sri‑sn   o i o‑4pa

  e lo5pa       o

   ooooooO

      ee

       ee

 eeeeeeeeeeeee

    O 2 4 6 8 10 12 14 16    , Stidlng Distance (m)

Fig. 6 The comparison of a coefficient of fric‑

      tion between in air and in vacuum‑at       comparably low load, 30N (both

      specimens flat) Tin : Tin

 be formed even at small load to bear an equation

      ao2+ ,(9T2= 7Y2 (1)

 based on the theory of plasticity because of a tan‑

 gential stress T being near to normal being near to  normal stress o (5) (6).'

    In order to get such phenomena the very clean  surface to be free from contaminants must be kept  as well as having soft hardness in one of two  metals.

    The effect of the normal load in the combina‑'  tion which can occur a strong adhesion is shown in

‑fig. 8.

    The higher is a normal load, the larger is a  friction as shown in fig. 8. We can regard it as the  cause that a plastic domain has been increased muc

ql .O c'

・‑o O.8

't ,:

L o.6 vo

1o.4

.9 .2 t O.2

uo8   Pb‑‑Ni

  : lg4s Pp aa o o o

       ooOo o       oo       oo o

       o       o

       o       o

      oo

oOeOeOeOeeOeOoeeeeeeeeee

o

Eig. 7

a1 .o

eo

・‑ O.8

't

.:

L o.6 vo

ZO.4

.9 .2 .vO.2

uo8 v

2 4 6 8 10 12 14 16  . Stiding Distance(m)

  The comparison of a coefficient of fric‑

  tion between in air and in vacuum at   comparably low load, 20N (both   specimensflat) Lead:Nickel  PB‑S20C

 10"4pa 27 36 42 48N  io5pa 20o 307 4Vi s"3N

,6;ieig:,e:"IA/li/1/ilie,9.llAlolie'l'l2I9.iii:o

o

Fig. 8

2 4 6 8 10 12 .14 16'

         Stiding Distance(m) The effect of the loads on a coefficient of friction urider two conditions of air and vacuum (Phos. ・Bronze vs S20C)

      h more than an elastic one for the higher load. The strong adhesion due to increasing a plastic domain could be shown also in air atmosphere with a similar tendency to vacuum condition.

71he effect of a hardness on a .friction under an ultra high vacuum condition

   As we could keep the vacuum condition nearly at 10‑6 Pa during whole experiments the surface has been maintained clean so to be free from any contaminants like an oxide layer.

   The friction in the combination between a flat surface of S20C and a sphere of SUJ has shown the high friction to be peculiar in the combination of similar materials at first stage of sliding as shown       '

   After having slid some distance, however, the friction begins to decrease gradually for the cause which seems to be workhardening and to have been occurred on S20C surface by severe sliding. Such phenomena can be indicated in the combination of S20C flat with SUS sphere shown in fig. 10. The friction of bronze against stainless sphere under the ultra high vacuum condition depends on which hardness is much harder than the other's one in spite of the same combination shown in figs. 11 and 12.

   Namely, when the flat surface of a brass has a softer hardness than the opposite sphere of stainless, the surface with a soft hardness can be easily penetrated by the harder one and furthermore as the       'junction is at same time placed under a tangential force by sliding, the front half of the contact area

(5)

The Effect of the Metal Combinations on Wear and Friction in Ultra‑High Vacuum Con dition 11

=1 .0 Cs

9 o.8 r‑

t o.6 :.

.a o.4

;.U‑o.2

uo8

Bo"e

  Zo

   O.oa.Do."oO.iOgeOo"O.tfa"cJ."[beggQ]tsoo"O

  S20C‑SUJ (sphere)   iot6pa

  15 30 40 50N

  oeAm

O 2 4 6 8 10 12 14 16

      Stiding Distance (m)  A coefficient of friction in ultra‑high  vacuum of the order of 10m6 Pa at each  load, (S20C;flat vs SUJ;sphere)

 1.2  L1.0 .9 o.8e

rt L"

o.6 :.

.c.‑O.4

ti.O.2

uo8 o o A

e eo eo  A

     oo

    A

U . . .A[? pa.aeeec.fai%Ctt) eoi4

S20C‑SUS(sphere) 1diPa

15 30 40 50N

oeAm

Fig. 9

o

Fig. 10

2 4 6 8 10 12 14 16

        Stiding Distance (m) A coefficient of friction ultra‑high vacuum of the order of 10"6 Pa at each load, (S20C;flat vs SUS;sphere)

q1 .0 .9 o.8e

r.‑

i o.6 :.

.S O‑4 :.U.o,2

uo8 o

be

SUS‑Bs(sphere) 1diPa

15 30 40 50N

R.o3OoDmpD7,PDaoDigi"oeF5e5"[bXce%OeoeAa

O 2 4 6 8 10 12 14 16

      Sliding Distance (m)  A coefficient of friction in ultra‑high  vacuum of the order of 10‑6 Pa at each  load, (SUS;flat vs Brass;sphere)

q1 .0

e

£‑O.8 e‑

t O.6

e

.Q O.4 t.U‑.o.2

uo8

Bs‑SUS(sphere) 1diPa

15 3Q 40. .50 N

'O eAM

9 es qb %vabecas .B ge 6A s"[8Pags g "

Fig. 11

o

Fig. 12

2 4 6 8 10 12 14 16

        Stiding Distance (m) A coefficient of friction in ultra‑high vacuum of the order of 10m6 Pa at each load, (Brass;flat vs SUS;sphere) may be in charge of both terms of adhesion and ploughing. In this case the term which may contribute to adhesion should be small comparing with the reverse combination as shown in fig. 13‑a and b.

   If the front half of the contact area along sliding direction may be in charge of whole load, the contact area of the half must be necessarily increased. The contact area, however, has not been increased as shown in photo 1. The cause may be that when the softer metal gets a tangential force simultaneously with a normal load a successive ploughing might occur within a softer one owing to the lack'of an allowable shear stress. We can find it on the photo. 1‑B which shows a father diminution of the contact width with beginning of the sliding from static contact.

   The leading edge along a sliding direction shows a fine semi circular dent and there remained a few adhesive points acros$ the diameter after having slid for about 3cm. However, there are the contact parts left in the both sides of initial semi circle by the wide groove worn away on the photo. 1‑D after having slid 40 rounds (nearly 120 cm).

   On the other hand, when a hardness of sphere is softer than flat surface, the considerable deforma‑

tion occurs mainly on the soft surface of a sphere and consequently forms a flat contact between two surfaces shown in fig. 13‑b. If the tangential force is added them in such contact condition, a large friction force can be generated because of ajunction growth. That is just the fact that a tangential stress increases necessarily accompanied with decrease of normal stress due to junction growth.

(6)

12 Akira URA . Akira NAKASHIMA

   In the conditions of the air atmosphere or with contaminant layer on surface, of course such strong adhesion can not exist between two surfaces. Photo.2 shows the comparison of the wear debris between in air and under an ultra‑high vacuum.

   Although the coefficients of friction shown

here arealittle bit small as the friction under ultra V

il Ntil

high vacuum condition, its cause might be accord‑ " i

ing to a weak shear stress of the combined metals.

Fig. 14 and 15 show the coefficient of friction in the combination of a single metal tin as a flat surface with harder ones stainless and brass as spheres. In these cases the friction is not high since the break down of the junction occurs on the surface of tin of which shear stress is weak. Furthermore, it may be due to a soft hardness of tin as a flat specimen comparing with a sphere as well as a poor compati‑

bility of tin against steel.

 Hard

sphere ‑‑.F  Softsphere ‑‑.F

    Soft ftat Hard ftat

       (a) (b)

Fig.13 The contact models in the combina‑

       tion ;

       (a) hard sphere on soft flat        (b) soft sphere on hard flat

(A) A semi circular scar on a sphere surface     at beginning of sliding

     (after having slid 3 cm)

(B) The trace on a flat surface which shows a     contact width at beginning

(C) Some adhesive traces (scattered black     ones) found on a flat surface after having     removed a sphere

(D) A semi sides on distance

circular scar with bands at  a sphere after having slid   (120cm)

both long

Photo 1 The scar traces on a sphere surface and a flat surface

(7)

The Effect of the Metal Combinations on Wear and Friction in Ultra‑High Vacuum Condition

rsutnis.1,s,".

ts・

tspm    (A)

N

"k

      V‑

̀keqwa

)?

Nts

,

es

iella

x ,t"2̀‑'t‑‑'‑"v"‑t,i,irro, illig(illl

Wear debris underavacuum by SEM (B)

       Photo 2 Wear debris after sliding

13

Wear debris

tw"ve

me

  de v"

tw

lk"wh‑,‑.‑ti,,S 1,i?I. qptvti!,.,.,

in air by SEM

 zl O

e9o8 gio6

:.

i04

tro2

uo8

Sn‑SUS(sphere) 1diPa

10 20 30 40N

oeAo

badtbeae]eeo.as.Aeg.".e.ree.e

ql O e9o8 u io6

:.

c.‑o4

:U.

8o2

uo

Sn・‑Bs(sphere) 1diPa

10 20 30 40 N

oeAo

gsOsDsOss",fl.".%.A.g.ein.e".¢."e."e.e.e o

Fig. 14

2 4 6 8 10 12 14 16

         Skding Distance (m) A coefficient of friction in ultra‑high vacuum of the order of 10‑6 Pa at each load (Tin;flat vs SUS;sphere)

o

Fig. 15

2 4 6 8 10 12 14 16Shding Distance (m)

A coefficient of friction in ultra‑high vacuum of the order of 10L6 Pa at each load (Tin;flat vs Brass;sphere)    The comparisons of the friction in an ultra‑high vacuum with one in an air are shown in figs. 16, 17, and 18. In the air even the combination like stainless against stainless to possess a good compatibil‑

ity shows at first a low friction following a comparable high friction of the order O.4‑O.6 after much sliding. One of the reasons why the friction in the air reaches to one in an ultra‑high vacuum with increase of sliding distance may be owing to the fresh surface generated by rubbing.

   In the case that a hardness of a sphere is smaller than one of a flat specimen there is little difference of the coefficient of friction between two atmospheres after much sliding as shown in fig 18.

I4iear in an ultra‑high vacuum

   The wear in an ultra‑high vacuum have been shown in fig. 19 and 20.

   The wear amounts of flat specimens against a bearing steel and a stainless steel as sphere specimens have been measured by weighing. The combination such as a nickel against a stainless or a bearing steel, which showed a high friction as mentioned before, have shown also high wear rate because of good compatibility of a nickel to an alloy steel.

   On the contrary, in the combinations with poor compatibility such as a brass against a stainless or an alloy steel they have not been worn out so much irrespective of their low hardness.

   Accordingly we may say that the wear in an ultra‑high vacuum will be governed mainly much more by the strength of an adhesive junction than by a hardness, and it seems to be one of the important factors to explain the wear mechanism. Rigid marks in fig. 20 show the results at air atmosphere.

(8)

14 Akira URA・Akira NAKASHIMA

  CONCLUSION

     AIthough we can not necessarily fully explain all the phenomena       S20C‑Bs(sphere)

q1 .0

       15 30 50 N

e ICf6 pao A m

.9 o.s 105Pa o A ‑

/i・g,67.o..oA.[ts.B.t,g.tg.g.s.8i.(gis[Z'S.."̀.s.Mi:s .i

td. O'g abSN M":.e.eRp1a"" aL QAeA ;...

    O 2 4 6 8 10 12 14 16

      Sliding Distance (m)  Fig.16 The comparison of a coefficient of         friction between in air and in vacuum         of the order of 10‑6 Pa at each load,          (S20C;flat vs Brass;sphere)

      SUS‑SUS(sphere)        15 30 50 N

      1cr6paoAo '

      105pa o A ‑

      oo        oo

       oo

        ooq1 .0

lli82O.eiA:"i,S.7"i'i'.℃,7AG":.ie:"e:

;"." O・2 O‑1 AeAez A A

8  OO 2 4 6 8 10 12 14 16

      S{iding Distance (m)  Fig.17 The cornparison of a coefficient of        friction between in air and in vacuum        of the order of 10'6 Pa at each load,         (Stainless;flat vs stainless;sphere)

      SUS‑Bs(sphere)

‑1 .0

       15 30 50 N

.s la6 pao A u

.9 o.s 105Pa e A ‑

:.‑

L o.6

/111.gli.z,oi9.DR.OP:ezPilig,.Ili"9].o'5.".?.,Px.t523!:'ilt.Bs"s,*

  o

)1o'6o

.y

i g

ut 1ct7

  1 o‑8

Fig. 19

obtained here on friction and

o

o o

A A

A A

OSUj‑Ni

g

o o []]

ASUJ‑S20C asuJ‑Bs SUJ:sphere io‑6pa

  1C4

sl

gidi

;

Bs

; 1d6

.9

rt.r

 Uga   1of7

  1 o'8

Fig. 20

   15 30 40 50 Load(N)

Specific wear rate Ws (mm2/N) of Ni,S20C and Bronze against sphere SUJ at each load under a vacuum of the order of 10‑6 Pa

o o

A A

A A

A A

A OSUS‑‑NiASUS‑S20C

a D a

USUS‑Bs ASUS‑S20C SUS;sphere oAni06pa

AICPPa

   'b

Fig. 18

2 4 6 8 10 12 14 16

        S{iding Distance (m) The comparison of a coefficient of friction between in air and in vacuum of the order of 10‑6 Pa at each load,  (SUS;flat vs Brass;sphere)

   15 30 40 50 Load(N)

Specific wear rate Ws (mm2/N) of Ni,S20C and Brass against sphere SUS at each load under a vacuum of the order of 10‑6 Pa (a rigid mark only is one in air for comparison)

(9)

  The Effect of the Metal Combinations on Wear and Friction in Ultra‑High Vacuum Condition 15 wear in an ultra‑high vacuum, we summarize from the some experimental results above‑mentioned as follows '

      '

(1) If one hardness of the combined metals is much harder than the opposite one's, the high friction   occurs by the junction growth due to a tangential force simultaneously with a normal load even in   a vacuum of the order of 10‑̀ Pa.

(2) In the combination of metals with the high hardness in a vacuum of the order of 10‑̀ Pa the friction   is not much harder than air atmosphere.

(3) Even in the combinations of metals with the high hardness the combination such as a steel against   a non‑steel of which elasticity modulus differ from each other shows a dissimilar friction between   two atmospheres, namely in air and a vacuum so as to indicate the effect of elasticity and plasticity   on the adhesion.

(4) In a vacuum of the order of 10‑6 Pa the combinations of a steel against a steel and of a nickel   against a steel with a good compatibility show high friction.

(5) In the case that one hardness differs from the other, the effect of the contact condition due to the   shapes of both specimens on the friction is not negligible for a remarkable junction growth on flat   surface and a ploughing term on a leading edge.

(6) Wear seems to be occurred extensively much more in a combination with a good compatibility   than by the difference of the hardness.

Acknowledgment

   Authors will express our thanks to Mr.H.Moritaka for his cooperative work to set up the equip‑

  ments and also give words of thanks to Miss J.Terada for her assistance in typewriting this   manuscrlpt.

       References

 1) Buckley, D. H. "Friction, Wear and Lubrication in Vacuum", NASA SP‑277, 1971 P56.

 2) Pethica, F'. P., "Contact of clean and characterized metal surfaces" doctor thesis, The University    of Cambridge, 1978.

 3) Johnson, K. L., Kendall, K., Roberts, A. D., "Surface energy and the contact of elastic solids" Proc.

   Roy. Soc. Lond. A324, 1971 P301.

 4) Johnson, K. I. and Keller, D. V. Jr., "Effect of Contamination on the Adhesion of Metalic Couples    in Ultra‑High Vacuum" Jour. of Appl. Physics, Vol. 38 Nr. 4 1967 P1896.

 5) Bowden, F. P. and Tabor, D., "The friction and lubrication of solids" Pt. 1 Clarendon Press Oxford    1950.

       '

 6) Tabor, D., "Junction growth in metalic friction ; the role of combined stresses and surface contami‑

       '    nation" Proc. Roy. soc. London. A 251 1959 P378.

参照

関連したドキュメント

Let X be a smooth projective variety defined over an algebraically closed field k of positive characteristic.. By our assumption the image of f contains

The strategy to prove Proposition 3.4 is to apply Lemma 3.5 to the subspace X := (A p,2 ·v 0 ) ⊥ which is the orthogonal for the invariant form h·, ·i p,g of the cyclic space

We show that a discrete fixed point theorem of Eilenberg is equivalent to the restriction of the contraction principle to the class of non-Archimedean bounded metric spaces.. We

In particular, we show that the q-heat polynomials and the q-associated functions are closely related to the discrete q-Hermite I polynomials and the discrete q-Hermite II

We present sufficient conditions for the existence of solutions to Neu- mann and periodic boundary-value problems for some class of quasilinear ordinary differential equations.. We

In this paper, we extend this method to the homogenization in domains with holes, introducing the unfolding operator for functions defined on periodically perforated do- mains as

the existence of a weak solution for the problem for a viscoelastic material with regularized contact stress and constant friction coefficient has been established, using the

Then it follows immediately from a suitable version of “Hensel’s Lemma” [cf., e.g., the argument of [4], Lemma 2.1] that S may be obtained, as the notation suggests, as the m A