有限グラフ上のトーリックイデアル

有限グラフ上のトーリックイデアル

早稲田大学大学院基幹理工学研究科数学応用数理専攻修士 2 年 楫研究室 前田 悠輔

2019 年 2 月 8 日

主定理

有限グラフGから生起する配置AGのトーリックイデアルI_Gに属する任意の二項式f_Γと対応する閉路 Γについて以下が成り立つ。

f_Γは原始的だがサーキットではない二項式であるとき、Γは (C1, C₃^′, C2, C₃^′′)

の形で表される閉路になる。

ただし、C1の始点とC₃^′ の始点とC₃^′′の終点、C₃^′ の終点とC₃^′′の始点とC2の始点はそれぞれ一致し、

C1 = (ei₁, . . . , ei_2p−1), C2 = (ej₁, . . . , ej_2q−1)はそれぞれ長さが奇数の閉路、C3 = (ek₁, . . . , ek_2r)は長 さが偶数の閉路、C₃^′ = (ek₁. . . . , ek_s), C₃^′′= (ek_s+1, . . . , ek_2r)はそれぞれC3に含まれる路とする。

定義1 (閉路と二項式の対応付け)

Γ = (e_p1, . . . , e_p2q)をG上の長さが偶数の閉路とする。このとき、

f_Γ⁽⁺⁾=∏q

k=1x_p2k−1 ,f_Γ⁽⁻⁾=∏q k=1x_p2k

と定め、Γに対応する二項式を

fΓ=fΓ(+)−fΓ(−)

と定める。

命題2 ( [2])

配置A^に対しC_A,U_A, Gr_Aをそれぞれサーキット全体の集合、universal Gr¨obner basis、Graver basisと する。

C_A⊂ U_A⊂Gr_A

が成り立つ。

次に、主定理の例を示しておく。

図1

1

Γ = (ei₁, ei₂, ei₃, ek₁, ek₂, ej₁, ej₂, ej₃, ej₄, ej₅, ej₆, ej₁, ek₃, ek₄)

命題3

有限グラフGをとる。Gに含まれる極小偶サイクルC = (e1, . . . e2p)に対して以下のような路を定める。

Γi = (ei1, . . . ei2si−1)ただし、eiとei+1とei1、ei+1とei+2とei2si−1 が頂点を共有しているとする。この とき、

Γ = (e₁,Γ₁, . . . , e_2p,Γ_2p)

に対応する二項式f_Γは原始的だがuniversal Gr¨obner basisの元ではない。

以下に例を示す。

図2

C= (e1, e2, e3, e4)

Γ = (e₁, e₁₁, e₁₂, e₁₃, e₂, e₂₁, e₂₂, e₂₃, e₃, e₃₁, e₃₂, e₃₃, e₄, e₄₁, e₄₂, e₄₃)

参考文献

[1] 日比孝之. グレブナー基底. 朝倉書店. 2003.

[2] JST CREST日比チーム. グレブナー道場. 共立出版. 2011.

[3] D.Cox, J.Little, and D.O Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Publications Inc., 2007.

[4] G.Greuel, G.Pfister. A Singular Introduction to Commutative Algebra. Springer Publications Inc., 2008.

[5] 大杉英史.トーリックイデアルの20年.2010.

[6] C.Tatakis, A.Thoma. On the universal Gr¨obner bases of toric ideals of graphs. 2010.

2