理論問題: 解答 問題 1 Page 1 of 7

I.

解答

図

a

1.1 図 a

で

O

は

2

質点の重心であるから，

M R  m r  0

… (1)

 

 

2

0 2

2

0 2

m r GMm

R r M R GMm

R r





 

 

…

(2)

式(2)から， ₀² ₃

) (

) (

r R

m M G



 



∴



₀



) (

) (

r R

m M G r

R 



 1

したがって， ₀² _{3 2 2}

) ( ) ( ) (

) (

r R R

Gm r

R r

GM r

R m M G

 

 



 



… (3)

M O m

R r





1



r

2

r

1





2



2



1

1.2  は M

や

m

に比べ微小なので，質点

M

や

m

の運動に重力による影響を及ぼさない。

 が M

と

m

に対して相対的に静止するための条件として，次の

2

式が成立:

 

 

2

1 2 0 3

2 2

1 2

cos cos G M m

GM Gm

r r R r

         ^  



… (4) _{1 2}

2 2

1 2

sin sin

GM Gm

r r

    

… (5)

式

(5)

から得られる

2 1

GM

r

の値を式

(4)

に代入し，公式

1 2 1 2 1 2

sin  cos   cos  sin   sin(    )

を用いると，

 

 

1 2

3 1 2

2

sin( )

M m sin

m r R r

  ^  ^  



… (6)

長さ

r

₂，



，角度



₁

および 

₂

について正弦定理より，

 

1 1

1 2

1 2

sin sin

sin sin

R

r R r

 



  



 



…

(7)

式

(7)

を式

(6)

に代入し，

 

 

3 4 2

1 R M m

r R r m

 

 … (8)

m R

M m  R r

 

より，式(8)は，

2



r R  r … (9)

式(5)の

2 2

Gm

r

を式(4)に代入し，同様にして，

1



r R  r

…

(10)

したがって，3質点

M ,m , 

は正三角形をなし，

1 2

60 60





 

 

… (11)



は余弦定理より，

       





^{2 2}

2 cos 60

2

r R r r R r



  r

²

 rR  R

²

… (12)

1.2

の別解

式(5)をたてた後，正弦定理から，



¹

 ^sin

¹

sin 180

r R

 ^ 



2

sin sin

2

r r

 ^ 

これらより，

^{1 2 2}

2 1 1

sin sin

r r

R m

r r M r



 ^{   }

^{… (a)} 式

(5)

，

(a)

から，

_r

₁

_{ r}

₂ …

(b)

¹

2

sin sin

m M



 ^

… (c)



₁

 

₂ … (d) すると式(4)は次のようにかける:

 

 

²

1 2 3 1

cos cos M m

M m r

R r

    ^ 



… (e)

式

(c)

，

(e)

から，

 

 

2 1

1 2 3 2

sin M m r sin

M R r

    ^  



…

(f)

また，正弦定理を用いて，

2 2

sin sin

 r

 ^ 

…

(g)

式

(f)

，

(g)

から，

 

 

2 1

1 2 3 2

sin M m r r sin

M R r

   

 



…

(h)

余弦定理より，

 R r  

²

 r

2²

 2 r r

1 2

cos   

1



2

  r

1²

 2 r

1²

  1 cos    

1



2

   … (i)

式(h)，(i)から，



^{1 2}

 

²1 2



sin sin

2 1 cos

  

   

 

 

  … (j)

さらに，図から，

 

₁



₂

 ₁₈₀   

₁



₂

 ₁₈₀  ₂ 

₂

2 2 1

cos 1 , 60 , 60

 2  

   

M

と

m

は一辺の長さが

 ^{R r } 

の正三角形の辺であるから，



と

M の距離， 

と

m

の距離はともに，

R r 



と

O

の距離は，

  

 



 

 

 



 



  



2 2

2 3

2 r R R r

 R R

²

 Rr  r

²

1.3 質点 

のもつ全力学的エネルギー

E

は，

2 2 2

1 2

1 2

(( ) )

GM Gm d

E r r dt

     

    

… (13)



の位置の微小変化は回転中心から半径方向に起き，角運動量も保存されるので，

M m r

r

₁



₂

  , 

とおくと，

4 2

2 0 0

1

2 2

2 GM ( d )

E dt

 

  



 

        

…

(14)

このエネルギーが保存するので，

dE 0 dt 

4 2

2

0 0

2 2 3

2 0

dE GM d d d d

dt dt dt dt dt

 

     



    

 …(15)

ここで，

d d d d

d t d d t d t

  



   

 …(16)

を用いて，

4 2

2

0 0

3 2 3

2 0

dE GM d d d d

dt dt dt dt dt

 

       

    

 …(17)

d 0 dt

 _

であることから， 図ｂ

4 2

2

0 0

3 2 3

2 GM d 0

dt

 

 

   

 ∴

4 2

2

0 0

2 3 3

2

d GM

dt

 

 

   

 … (18)

を得る。

初期状態

_

₀，



₀から微小変位して， ₀

0

 1  

        

， ₀

0

1 

  

  

   

 

となったと き，

4 2

2 2

0 0

0 3 0 3

2 2

3 0 3

0 0

0 0

( ) 2 1

1 1

d d GM

dt dt

 

    

  



  

        

       

           

…(19)

１次の近似式

(1   )

ⁿ

  1 n 

を用いることで、

2

2

0 0 0

2 3

0 0 0 0

2 3 3

1 1 1

d GM

dt

     

 

    

                     

…(20)

 

   

を用いて，



R R



60

^o

O

2

0 2

0 0 0

2 3 2

0 0 0 0

3

2 3

1 1

d GM

dt

 

     

 

    

  

               

…(21)

2

0 3

0

  2GM



から，

2

2 0 2

0 0 0 0

2 2

0 0 0

3 3

1 1

d dt

 

      

 

    

                 

…(22)

2

2 0

0 0

2 2

0 0

3 4 d

dt

 

   



  

         

…(23)

2 2

2 0

2 0 2

0

4 3 d

dt



   ^{ }

         

…(24)

図

b

より



₀

 

₀

_{cos 30} 

，

2 0

2 0

3 4

 _



が成立し，

2

2 2

0 0

2

9 7

4 4 4

d dt

    

             

…

(25)

振動の角振動数は，

7

₀

2  .

1.3

の別解

M  m

より，

_R  _r

， 0² 3 3

( )

( ) 4

G M M GM

R R R

  ^ 



摂動が無いときの回転の半径



は

3R

なので，摂動を考えるときの半径は

  3R

として，

3R  

と表せる。



の運動方程式は，

2

2

2 2 3 / 2 2

2 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )

{ ( 3 ) }

G M d

R R R

R R dt

     

      

  … (k)

角運動量が保存することから，



₀

( 3 ) R

²

  ( 3 R   )

²

… (l)

式(k)と(l)より，近似



²

 0

と１次の近似式を用いることで，

2 2

0

2 2 3/2 2 3

3

2 ( 3 )

{ ( 3 ) } (1 / 3 )

R

GM d

R dt

R R R



 

 

   

  

2 2

0

2 3/2 2 3

3

2 ( 3 )

{4 2 3 } (1 / 3 )

R

GM d

R dt

R R R



 

 

   

 

2 2

0

3 3/2 2 3

3

(1 / 3 )

4 3 (1 3 / 2 ) (1 / 3 )

R

GM R d

R R R dt R



 

 

   

 

2

2 2

0 2 0

3 3 3

3 1 1 3 1

4 3 3

R d R

R R dt R

   

 ^{  }  ^{ }

                 

2

2 2 0

7 4 d

dt  _{ } ^   ^ _

 

1.4 v

を静止座標系からみた，それぞれの宇宙船が中心

O

のまわりを円運動する速さ

とする。また，宇宙船間の相対速度を下付きの添え字で表す

(

例えば，

v

_BAで

A

に対 する

B

の相対速度を表す)。

円運動の周期は

1

年であるから，

T  365 24 60 60    s

…

(26)

また角速度は，

2

T

  

で表される。

宇宙船の速さは，

575 m/s 30

2 

 

cos

v  L … (27)

これは光速よりずっと遅いので，非相対論的に取り扱って良い。

図

c

の直交座標系で，Bと

C

の速度は，それぞれ ，

j

i ˆ sin ˆ

cos   

 60 60

B

v v

v 

，

v 

_C

 v cos 60  i ˆ  v sin 60  j ˆ

したがって，

v 

_BC

  2 v sin 60  j ˆ   3 v j ˆ

C

B

A

O

L L

L v  v 

CB

v 

CA

v 

BA

v  v 

BC

v 

AB

v  v 

AC

j ˆ

i ˆ

図

c

C

に対する

B

の相対速度の大きさは，

3 v  996 m s

…

(28)

任意の

2

個の宇宙船について，それぞれのもう一方からみた相対速度は同じ大きさ 逆向きになっている。

1.4

の別解

宇宙船の

1

つを回転の中心として考えると，

m/s 996 km) 10 s 5 60 60 24 365

2

6

BC

 





 

  L  (

v