2S 複素関数論 レポート H050-1

2S ^{複素関数論 レポート} H050-1

担当教員 : ^{浜中 真志 研究室} : ^理学部 A ^館 327 E-mail:[email protected]

レポート問題２ (2019 ^年 6 ^月 10 ^日 )

作成日: June 3, 2019 Updated : June 9, 2019 実施日: June 10, 2019

レポート問題２

レポート提出について

• 提出方法は２通りあります；

教養教育院事務室で提出の場合： 2019 年 7 月 1 日 ( 月 )10 時 00 分 ( 厳守 ) 講義教室で提出の場合： 2019 年 7 月 1 日 ( 月 )10 時 30 分 ( 授業開始時厳守 )

• 原則として紙に手書きしたレポートを提出してください . ( パソコンで描図や 数値計算を行い，それを参考資料として追加するのはかまいません.)

• 表紙はあってもなくてもかまいませんが , 学生番号・氏名を明記してください .

• 参考にした文献や議論した友人がいれば，最後に引用するのが良いと思います .

問題 1. ( べき級数展開 ) z ∈ C とし , 複素関数 f(z) = z

e ^z − 1 のべき級数展開を考える . (1) f(z) の逆数 g(z) := e ^z − 1

z のべき級数展開を求めよ . (2) f(z) のべき級数展開を z

e ^z − 1 = 1 + b 1 z + b 2 z ² + b 3 z ³ + · · · とおく . f (z)g(z) = 1 よ り , 展開係数 b ₁ , b ₂ , b ₃ を求めよ .

(3) 双曲線関数は以下のように定義される：

cosh z := e ^z + e ^{− z}

2 , sinh z := e ^z − e ^{− z}

2 , tanh z := e ^z − e ^{− z} e ^z + e ^{− z} . h(z) := z

e ^z − 1 + z

2 = z/2

tanh(z/2) であることを示し , h(z) が偶関数であることを示せ . (4) 前問の結果より h(z) のべき級数展開は偶数べきのみを含むことが分かり , 以下のよ

うに表すことができる：

h(z) = z

e ^z − 1 + z

2 = 1 +

∑ ∞ n=1

( − 1) ^{n − 1} B _2n (2n)! z ²ⁿ .

係数 B _2n はベルヌーイ数と呼ばれる . B ₂ の値を求めよ .

問題 2. (正則関数・収束半径)

(1) cosh z = 0 となる複素数 z をすべて求めよ.

(2) 次の複素数の取りうる値をすべて求め , u + iv (u, v ∈ R ) の形に表せ . (i) log(1 + i) (ii) (1 + i)

(3) 複素関数 w = z − i

z + i によって , z 平面上の上半円板 D ⁺ := { z ∈ C | | z | < 1, Im z > 0 } は w 平面にどのようにうつされるか . 変換前の図形と変換後の図形を図示せよ . (4) 次のべき級数の収束半径 R を求めよ：(i)

∑ ∞ n=0

( √

n + 1 − √ n

)

z ⁿ (ii)

∑ ∞ n=0

n 7 ⁿ z ⁿ

レポート H0-2S19-50 難易度 : C 名古屋大学・工学部

2S ^{複素関数論 レポート} H050-2

担当教員 : ^{浜中 真志 研究室} : ^理学部 A ^館 327 E-mail:[email protected] 問題 3. ( コーシー・リーマンの関係式 ) 正則関数 f(z) について以下の問いに答えよ . z = x + iy (x, y ∈ R ) とする .

(1) 正則関数 f を実部と虚部に分けて f = u + iv と表す . コーシー・リーマンの関係式 を書け. (答えのみでよい)

(2) 正則関数の実部および虚部は調和関数である (u _xx + u _yy = v _xx + v _yy = 0) ことを示せ . (3) 複素平面全体で正則な関数 f(z) の実部 u が u(x, y) = sin x cosh y で与えられていると

き f (z) を z の関数として決定せよ . ( 必要であれば cosh ² x − sinh ² x = 1, d

dx cosh x = sinh x, d

dx sinh x = cosh x を自由に用いてよい .)

(4) u(x, y), v(x, y) は実変数 x, y についての２変数実関数であり, この意味で 関数 f は x, y についての２変数関数とみなすことができる . 一方 , x = z + z

2 , y = z − z

2i であ

るから, 関数 f は z, z についての２変数関数とみなすこともできる.

(a) z と z ¯ を独立な変数として扱い , ∂

∂z および ∂

∂ z ¯ を ∂

∂x と ∂

∂y の線形結合で表せ . (変数変換 (x, y) 7→ (z, z) に関する連鎖律を書く.)

(b) f が z ¯ に依存しない条件： ∂f

∂ z ¯ = 0 が，コーシー・リーマン関係式と等価であ ることを示せ.

ボーナス問題

問題 4. ( フーリエ展開へのプレリュード )

(1) 自然数 m, n に対して , 次の式が成り立つことを示せ . 1 π

∫ π

− π

sin mx cos nx dx = 0, 1

π

∫ _π

− π

sin mx sin nx dx = 1 π

∫ _π

− π

cos mx cos nx dx = δ _m,n (2) z = re ^iθ (r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π) と表したとき , 1

1 − z の虚部を r, θ を用いて表せ . (3) | z | < 1 において 1

1 − z =

∑ ∞ n=0

z ⁿ = 1 + z + z ² + z ³ + · · · ( ∗ ) が成り立つ . これを利 用して , 次の積分値を求めよ . (r の範囲あるいは積分値の上限値に注意 .)

I _n :=

∫ _2π

0

2 sin θ sin nθ 5 − 4 cos θ dθ 問題 5. ( 反転と円・直線 ) α ∈ C , c ∈ R とする . (zz = | z | ² ,

( 1 z )

= 1

z などに注意 .) (1) 方程式 zz − αz − αz + c = 0, (c < | α | ² ) はどのような図形を表すか?

(2) 方程式 αz + αz + c = 0, (α ̸ = 0) はどのような図形を表すか ? (3) 反転 w = f(z) = 1

z によって , 円 C や直線 l はどのような図形に写るか ? ( 円・直線が原点を通る場合と通らない場合に分けて考察するとよい .)

レポート H0-2S19-50 難易度 : C 名古屋大学・工学部

2S ^{複素関数論 レポート} H050-3

担当教員 : ^{浜中 真志 研究室} : ^理学部 A ^館 327 E-mail:[email protected] 問題 6. ( 等比級数を利用した無限テイラー展開 ) 講義 (2.1 節・注 5) で絶対収束しないが 収束する例として log 2 の無限和を紹介したが , それを証明しよう . この問題では x などは すべて実数変数である .

(1) | x | < 1 とする . f (x) = 1

1 + x の原始関数 F (x) は何か？

(2) | x | < 1 とする . f(x) の無限和展開を用いて , log(1 + x) の原点まわりでの無限テイ ラー展開を求めよ .

(3) 前問の結果に x = 1 を代入して log 2 の無限和表示を求めよ. (収束半径ぴったりのと ころで x の値を代入するのは一般には危険だがこの場合は実は大丈夫 . ( 次問参照 )) (4) 前問の議論を正当化するため以下の関数を考える .

g(t) := 1

1 + t − (1 − t + t ² − t ³ + · · · + ( − t) ⁿ )

(a) この式の第 2 項を等比数列の有限和として計算し , g(t) = ( − t) ⁿ⁺¹

1 + t を示せ . (b) もとの式とまとめた式を 0 から x (0 < x ≤ 1) まで積分し, 以下を示せ.

( ヒント：

∫ _b

a

f (x)dx ≤

∫ _b

a

| f(x) | dx に注意 .) log(1 + x) − (

x − x ² 2 + x ³

3 − x ⁴

4 + · · · + ( − 1) ⁿ x ⁿ⁺¹ n + 1

) < 1

n + 2 x ⁿ⁺² 両辺 , n → ∞ 極限を取ることで , 0 < x ≤ 1 の場合について , (2) の無限テイ ラー展開の式が正当化される . ( − 1 ≤ x < 0 の場合も同様 )

プランクスケール (おまけ)

例題 1. 自然法則には，それぞれの法則の記述に不可欠な基本定数が存在する .

• 重力定数 G = 6.7 × 10 ⁻¹¹ kg ^{− 1} m ³ /s ² ( 重力の理論に登場 )

• プランク定数 ℏ = 1.1 × 10 ^{− 34} kg m ² /s ( 原子スケールの物理を記述する量子論に 登場 )

• 真空中の光速 c = 3.0 × 10 ⁸ m/s ( 相対性理論に登場 )

この 3 つの基本定数を組み合わせて長さの次元を持つ量を作れ . またその値を ( 有効 数字 1 ケタで ) 求めよ . この長さ l P はプランク長さ (Planck length) と呼ばれ , 重力 の量子論が本質的に効いてくる空間スケール ( たとえば宇宙創成時の時空やブラック ホール中心など ) であると考えられる .

【解答】 l _P =

√ G ℏ

c ³ = 2 × 10 ⁻³⁵ m.

レポート H0-2S19-50 難易度 : C 名古屋大学・工学部