2S 数学演習 III ・ IV 標準 H011-1
担当教員 : 浜中 真志 研究室 : 理学部A館327 E-mail:[email protected]
総まとめ (2020 年 7 月 14 日 )
作成日: July 12, 2020 Updated : July 13, 2020 Version : 1.0 実施日: July 14, 2020
来週(7月21日(火))の期末レポート試験について(要領は中間と同様)：
• 試験範囲は, 6/9, 6/23, 6/30, 7/7, 7/14実施の5回分です. (ただしボーナス問 題はすべて範囲外とする.)
• ノート・プリント・参考書などはすべて参照可です. ただし今回に限り人と 相談しながら解くのは不可とします. (提出時にそれを遵守したという誓約の チェックを入れて提出していただきます.)
• 7月21日13時にNUCTの「小テスト」のところに問題文を掲載します。16時 半までに各自スキャンして, ファイル名を「苗字-期末.pdf」のようにして提出 してください.
• 13時〜16時半の間再提出を1回に限り認めます. まず一通り解けたら提出す ることをお勧めします. その後もしも再提出があった場合は, こちらは最新版 をもとに採点します. 再提出は部分的な「問題n(m)」だけの差し替えなどで もかまいません.
• 万一, 提出に関してネット接続等のトラブルが生じた場合はできるだけ早くは ま中宛てにご連絡ください. 最悪, 郵送提出などの方法になるかと思います. (その場合の郵送先は以下のようにお願いします；〒464-8602 名古屋市千種区 不老町 名古屋大学多元数理科学研究科 浜中真志)
知識確認
問題1.以下の複素関数のべき級数展開(z = 0まわりでのテイラー展開)を(お好みの次数 まで)一瞬で書き下せ.
(1) ez (2) cosz (3) sinz (4) 1
1−z 問題2. べき級数
∑∞ n=0
anznの収束半径Rを与える式を2つ書け.
問題3. 正則関数f(z)の実部をu,虚部をvとする. z =x+iy (x, y ∈R)としたときコー シー・リーマンの関係式を書け.
後半の補足問題
問題4. (円周積分路での複素線積分2) 次の複素線積分を求めよ.
(1) I =
∫
C
(z−1)ndz 積分路：C ={z ∈C | |z−1|= 1}(積分路の向きは「時計まわ り」. コーシーの積分定理・積分公式を用いずに求めよ.)
(2) I =
∫
C
2z
z2+ 1dz (コーシーの積分定理・積分公式を用いてよい.)
(a) 積分路：C={z ∈C | |z−2i|= 2}(積分路の向きは「反時計まわり」) (b) 積分路：C={z ∈C | |z−2i|= 4}(積分路の向きは「時計まわり」)
標準H0-2S20-11 難易度 : C 名古屋大学・理学部
2S 数学演習 III ・ IV 標準 H011-2
担当教員 : 浜中 真志 研究室 : 理学部A館327 E-mail:[email protected]
問題5. (シュミットの直交化法) R4を標準的内積⟨ | ⟩を持つベクトル空間とする.
(1) シュミットの直交化法を用いて, R4において, ⃗p1 =
1 1 0 0
, ⃗p2 =
0 1 1 0
, ⃗p3 =
1 0 0 1
から生成される部分空間W の正規直交基底⃗e1, ⃗e2, ⃗e3を求めよ. (R3ではないので ベクトルの外積は使えないことに注意.)
(2) W の元w⃗ =
0 0 1 1
を, 前問で得られた正規直交基底⃗e1, ⃗e2, ⃗e3の線形結合で表せ.
問題6. (コーシー列) 実数列に関する以下の問いに答えよ. コーシー列であることと収束 数列であることの同値性は既知としてよい.
(1) 級数
∑∞ n=1
anが絶対収束しているとは,
∑∞ n=1
|an|が収束していることをいう. 絶対収束 している級数は収束することを証明せよ.
(2) 級数
∑∞ n=1
anが収束すれば, lim
n→∞an= 0であることを示せ.
問題7. (等比級数を利用した無限テイラー展開)
(1) |x|<1とする. f(x) = 1
1 +x の原始関数は何か？
(2) |x|< 1とする. f(x)の無限和展開を用いて, log(1 +x) の原点まわりでの無限テイ ラー展開を求めよ.
(3) 前問の結果にx= 1 を代入して, log 2の無限和表示を求めよ. (収束半径ぴったりの ところでxの値を代入するのは一般には危険だが, この場合は実は大丈夫. (次問参 照))
(4) 前問の議論を正当化するため, 1
1 +t −(1−t+t2−t3+· · ·+ (−t)n)
を考える. まず, この式の第2項を等比数列の有限和として計算し, 全体をシンプル にまとめよう. もとの式とまとめた式を0からxまで積分し, x = 1を代入して, そ の両辺の絶対値のn→ ∞の極限を評価せよ.
(5) 絶対収束している級数は収束するが(問題6(1)), 逆は必ずしも成り立たない. 収束 するが絶対収束しない級数の例を一つ挙げよ.
問題8. (今週の課題；提出期限は7月20日（月）24時です)
今日の問題の中でどれか小問１問を解き,スキャンして提出せよ. (清書する必要はない)
標準H0-2S20-11 難易度 : C 名古屋大学・理学部
