経済統計論
B：後期試験
村澤 康友 2004年2月3日
注意：3問とも解答すること．なお平方根は大まかな近似でよい．
1. （20点）以下の用語の定義を式または言葉で書きなさい（各20字程度）．
(a) 統計的推測
(b) 自由度nのχ2分布 (c) 有意水準
(d) （Y のX上への）回帰モデル
2. （30点）府大生の平均通学時間を調べたい．そこで無作為に選んだ府大生5人に通学時間を尋ねた ところ，20分・40分・50分・60分・80分という回答が得られた．
(a) 標本平均と標本分散を求めなさい．
(b) 標本平均の標準誤差を求めなさい．
(c) 平均通学時間の90％信頼区間を求めなさい（正規母集団を仮定してよい）．
3. （50点）2003年12月のテレビ朝日ニュースステーション世論調査の結果として，イラク戦争につ いて「国民の（過）半数は，小泉政権の自衛隊派遣の決断を支持していません」と報道された．これ について以下の問いに答えなさい．ただし調査対象は無作為に選ばれ，全員が回答したと仮定する．
(a) 成功確率pのベルヌーイ分布の平均と分散を求めなさい．
(b) 母比率pの2項母集団から抽出した無作為標本を(X1, . . . , Xn)とする．中心極限定理を利用し て標本比率X¯ の漸近分布を導出しなさい．
(c) 次の検定を（近似的に）行うための検定統計量を与えなさい．
H0:p=p0 vs. H1:p > p0.
(d) 回答数609のうち，自衛隊派遣を「支持しない」とした人の割合は51％であった．有意水準5
％で次の検定を行いなさい．
H0:p= 0.5 vs. H1:p >0.5.
(e) テレビ世論調査の回答数は通常600前後である．回答数を625，検定の有意水準を5％とする と，標本比率が何％以上ならH0はH1に対して棄却されるか？
1. 統計学の基本用語
(a) 標本から母集団について推測すること．
• 「母集団について」がなければ0点．
• 「標本から」がなければ2点．
(b) n個の独立なN(0,1)の2乗和の分布．
• 「n個の2乗和」で1点（なければ0点）．
• 「N(0,1)」で2点．
• 「独立」で2点．
(c) 検定において許容する第1種の誤りの確率．
• 「第1種の誤り」がなければ0点．
(d) E(Y|X)を与える式．
• 「関係式」「説明する式」は0点．
• 「予測式」は2点．
• E(X|Y)は0点．
2. 母平均の区間推定 (a) 標本平均は
X¯ := 20 + 40 + 50 + 60 + 80 5
= 50.
標本分散は
s2 := (20−50)2+ (40−50)2+ (50−50)2+ (60−50)2+ (80−50)2 4
= 900 + 100 + 0 + 100 + 900 4
= 500.
• 不偏分散でなければダメ．
(b) （無作為標本の）標本平均の分散は V¡
X¯¢
= V
µX1+· · ·+Xn
n
¶
= V(X1+· · ·+Xn) n2
= V(X1) +· · ·+ V(Xn) n2
= σ2 n. 標準偏差は
q V¡X¯¢
= rσ2
n. 標準誤差は
rs2
n =
r500 5
= 10.
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• 標準誤差の定義で5点．
(c) （無作為標本の）標本平均の分布は
X¯ ∼N µ
µ,σ2 n
¶ . 標準化すると
X¯ −µ
pσ2/n ∼N(0,1).
σ2をs2に置き換えると
X¯−µ
ps2/n ∼t(n−1).
t分布表よりn= 5なら Pr
"
−2.132< X¯ −µ
ps2/n <2.132
#
=.9, または
Pr
"
−2.132 rs2
n <X¯ −µ <2.132 rs2
n
#
=.9, または
Pr
"
X¯ −2.132 rs2
n < µ <X¯ + 2.132 rs2
n
#
=.9.
前問の結果を代入すると，90％信頼区間は(28.68,71.32).
• t分布表の読み違いは5点．
• 標準正規分布表で評価したものは5点．
• 公式の間違いは0点．
3. 母比率の検定 (a) 平均は
p·1 + (1−p)·0 =p.
分散は
p·(1−p)2+ (1−p)·(0−p)2 = p(1−p)2+p2(1−p)
= p(1−p)[(1−p) +p]
= p(1−p).
• 2項分布は0点．
(b)
X¯ ∼aN µ
p,p(1−p) n
¶ .
• 平均と分散で5点．
(c) 標準化すると
X¯−p
pp(1−p)/n ∼a N(0,1).
検定統計量は
Z:= p X¯−p0
p0(1−p0)/n.
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• 標準化して5点．
(d) 検定統計量の値は
Z = .51−.5
p.5(1−.5)/609
= .01
p1/2436
= .01√ 2436
≈ .5.
.5<1.65よりH0は棄却されない．
• 検定統計量の式が間違っていたら0点．
• 検定統計量の値で5点．
(e) 棄却される条件は
X¯−p0
pp0(1−p0)/n ≥1.65, すなわち X¯ −.5
p.5(1−.5)/625 ≥1.65.
したがって
X¯ ≥ .5 + 1.65 r 1
2500
= .5 + 1.65 50
= .533.
• 検定統計量の式が間違っていたら0点．
• 両側検定は5点．
※答案は返却します．採点や成績に関する質問にも応じます．オフィスアワーの時間（水・金の昼休み）
に研究室まで来てください．
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