数学解析レポート問題
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1.
数列の空間X
を次のように定める。X =
{
x = (x
i)
∞i=1| x
i∈ R ,
∑
∞ i=1ix
2i< ∞ }
.
この空間は和
x + y = (x
i+ y
i) (x = (x
i), y = (y
i)
のとき),スカラー倍αx = (αx
i)
で線形 空間となることを示せ。さらにk x k = ( ∑
i
ix
2i)
1/2 をノルムとする可分なバナッハ空間と なることを示せ。B = { x ∈ X | k x k ≤ 1 }
とおく．{x(n) | n = 1, 2, . . . } ⊂ B
のとき適当な部分列x(n(k))
を選ぶとあるx( ∞ ) ∈ X
が存在してlim
k→∞k x(n(k)) − x( ∞ ) k
l2= 0
となることを示せ．ただし
k k
l2 は数列のl
2ノルムを意味する．2. X = { x = (x
i)
∞i=1| sup
i| x
i| < ∞ , x
i∈ R}
とおく．Xに1
のように和，定数倍を定義 して線形空間になることを示せ．x = (x
i)
∞i=1∈ X
に対してk x k = sup
i| x
i|
とおくとk k
はX
上のノルムになること，(X, k k )
はバナッハ空間になることを示せ．このバナッハ空間は可分ではないことを示せ。3.
X = {
x : R → R | x
は連続でlim
|t|→∞x(t) = 0 }
と定める．k
