Stability and oscillation for delay diﬀerential equations

(1)

遅延微分方程式の安定性と振動性

Stability and oscillation for delay diﬀerential equations

関数方程式研究室

BV15052

中原愼二指導教員竹内慎吾教授

1

はじめに

微分方程式で表される数理モデルの中には

,

関数の過去の値が現在の値の変化の仕方を決めているものがある. このような数理モデルの微分方程式は時間遅れをもつといわれ,遅延微分方程式と呼ぶ. 本研究は遅延微分方程式の解の挙動について, [1]を中心にまとめたものである

.

2

時間遅れの影響

微分方程式に時間遅れを与えると, 解の挙動にどのような変化が起こるかを調べる

.

微分方程式

x

^′

(t) = − x(t − r)

の解

x(t)

を,

r ≥ 0

を変えながらグラフにした. この

作業には

Mathematica

の

NDsolve

を使用した.

2 4 6 8

t

-2 -1 1 2 x

t ≤ 0

では初期関数

ϕ(t) = e

⁻^tとして,

x(t)

の解のグラフを

0 ≤ t ≤ 8

の範囲で描いた

. r = 0, 0.5, 1.0, 1.4

として,順に赤,緑,青,黒のグラフを得た.

r = 0

では

x(t)

は単調に減少し,

t → ∞

のとき

0

に収束している. しかし,

r > 0

では

x(t)

は単調減少ではなくなり,増減を繰り返している.

r

が大きくなると

x(t)

の増減の幅も大きくなっている

.

このように

,

時間遅れ

r

の値が

x(t)

の動きに様々な影響を与えていることが見てとれる

.

3

特性方程式

x(t)

を

N

次元ベクトル値関数として

,

x

^′

= − Ax(t − r) (A

は

N

次実定数行列, r >

0) (1)

が

x(t) = be

^λt

(b

は

0

でない

N

次定数ベクトル,

λ ∈ C )

の形の解をもつとする

.

方程式

(1)

に

x(t) = be

^λt を代入すると

bλe

^λt

= − Abe

^λ(t⁻^r) となり,この式から得られる

det(λI + Ae

⁻^λr

) = 0 (I

は

N

次単位行列

) (2)

を

(1)

の特性方程式とよぶ.

4

安定性と振動性の定義

初期時刻

t

0

≥ 0

とし

,

初期関数

ϕ(s) (t

0

− r ≤ s ≤ t

0

)

を

N

次元ベクトル値関数とする.

t

0

≤ t ≤ t

0

+ r

のとき

x

^′

(t) = − Aϕ(t − r),

かつ

t

₀

− r ≤ s ≤ t

₀のとき

x(s) = ϕ(s)

となるような

(1)

の解を

x = x(t; t

0

, ϕ)

と表す.

x(t) = 0

は

(1)

の解であり, 零解という. ま

ず

,

零解の安定性を定義する

.

定義

1. ∥ ϕ ∥ = sup | ϕ(s) |

とする.

(i)

方程式

(1)

の零解が一様安定とは,任意の

ε > 0

に対して

,

ある

δ(ε) > 0

が存在し

,

以下が成り立つときである.

∥ ϕ ∥ < δ(ε) ⇒ | x(t; t

₀

, ϕ) | < ε (t ≥ t

₀

).

(ii)

方程式

(1)

の零解が一様吸収的とは

,

ある

δ

0

> 0

が存在し,任意の

ε > 0

に対して,

T (ε) > 0

が存在し, 以下が成り立つときである.

∥ ϕ ∥ < δ

0

⇒ | x(t; t

0

, ϕ) | < ε (t ≥ t

0

+ T (ε)).

(iii)

方程式

(1)

の零解が一様漸近安定とは,

(i) (ii)

を同時に満たしているときである.

次に解の振動性を定義する

.

(2)

定義

2.

方程式

(1)

の解

x(t)

が振動的とは,

x(t)

の成分

x

_k

(t) (k = 1, 2, . . . , N )

について,

x

_k

(t

_n

) = 0, t

n

→ ∞ (n → ∞ )

を満たす数列

{ t

n

}

が存在することである.

安定性と特性方程式について

,

次の定理が成り立つ

.

定理

3.

方程式

(1)

の零解が一様漸近安定

⇔

特性方程式

(2)

のすべての根

λ

に対し

Re λ < 0.

また

,

振動性と特性方程式について

,

次の定理が成り立つ.

定理

4.

方程式

(1)

の任意の解が振動的

⇔

特性方程式

(2)

が実根をもたない.

5 N = 1

の場合

方程式

x

^′

(t) = − ax(t − r) (a ∈ R , r > 0) (3)

について, 定理

3, 4

での特性方程式の条件を

a, r

の条件に置き換えた次の定理が成り立つ

.

定理

5.

方程式

(3)

⇔ 0 < ar < π 2 .

定理

6.

方程式

(3)

⇔ ar > 1 e .

これらの定理により方程式

(3)

に

a

と

r

が与えられれば

,

すぐに一様漸近安定や振動的であるかが判別できる.

6 N = 2

^の場合

方程式

x

^′

(t) = − Ax(t − r) (A

は

2

次実定数行列, r >

0) (4)

について

, A

の固有値は

, (I) 2

つの実数

a

1と

a

2

, (II)

複素数

ρ(cos θ ± i sin θ)

のどちらかである. ここでは

0 < | θ | < π

2 , ρ ∈ R , ρ ̸ = 0

とする. それぞれ適切な

P

をとることで

, (I)

のとき

P

⁻¹

AP = (

a

1

b 0 a

2

)

(b ∈ R ),

(II)

のとき

P

⁻¹

AP = ρ (

cos θ − sin θ sin θ cos θ

)

とすることができる. ここで

x = P y

となる

y

をとると

y

^′

(t) = P

⁻¹

x

^′

(t) = − P

⁻¹

Ax(t − r) = − P

⁻¹

AP y(t − r)

という方程式が与えられる. 改めて

y(t)

を

x(t)

に書き換えると

,

(I) x

^′

(t) = − (

a

1

b 0 a

2

)

x(t − r) (5)

と

(II) x

^′

(t) = − ρ (

cos θ − sin θ sin θ cos θ

)

x(t − r) (6)

になる.これらの特性方程式はそれぞれ

(λ + a

₁

e

⁻^λr

)(λ + a

₂

e

⁻^λr

) = 0,

(λ + ρe

⁻^λr+iθ

)(λ + ρe

⁻^λr⁻^iθ

) = 0 (7)

である

.

定理

3, 4

より

,

方程式

(5)

について特性方程式の条件を

a

1

, a

2

, r

の条件に置き換えた安定性と振動性の定理が成り立つ

.

また

,

定理

3

より

,

方程式

(6)

ついて特性方程式の条件を

ρ, r

の条件に置き換えた安定性の定理が成り立つ.

定理

7.

方程式

(5)

⇔ 0 < a

1

r < π

2

かつ

0 < a

2

r < π 2 .

定理

8.

方程式

(5)

⇔ a

₁

r > 1

e

かつ

a

₂

r > 1 e .

定理

9.

方程式

(6)

⇔ 0 < ρr < π 2 − | θ | .

また,

θ ̸ = 0

より,特性方程式

(7)

は常に実根をもたない

.

よって

,

定理

4

より次の定理が成り立つ

.

定理

10.

方程式

(6)

の任意の解は振動的である.

7

^おわりに

遅延微分方程式は一般には解を求めることは出来ず, その特性方程式も根は容易には求まらない. しかし,特性方程式の根がどのような値をとるかで安定性や振動性を考えることができる.

参考文献

[1]

内藤敏機, 原惟行, 日野義之, 宮崎倫子, タイムラグを持つ微分方程式–関数微分方程式入門–,牧野書店, 2002.

[2] I. Gy¨ ori and G. Ladas, Oscillation Theory of De-

lay Diﬀerential Equations, Clarendon Press, Ox-

ford, 1991.