PowerPoint プレゼンテーション

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電気回路学I

秋田県立大学システム科学技術学部電子情報システム学科

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第1回基本概念：

• 電気回路、電気回路解析とは？ • 電流、電圧とは？

• オームの法則、抵抗とコンダクタンス、その物理的な意味

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電気回路とは？

抵抗（𝑅）、キャパシタ（C）、インダクタ（L）、直流 電圧源、直流電流源、交流電圧源、交流電流源などの回路素子の端と端を導線で様々に結線したもの。

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電気回路解析：

(本科目の中心内容）与えられた回路の各素子または一部の素子における電流、電圧、または電力を求めること。

電気回路設計：

(本科目では取り扱わない）既定の仕様（設計要求）を満たすように回路を設計すること。解析は設計の基礎となる！

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電流：

• 帯電した粒子（電子やイオンなどの電荷）の流れ • 電流の方向：正電荷の移動方向 • 単位：アンペア[A] 1A=1秒間[s]に1クーロン[C]の電荷（電気量）の流れ • 記号： I（直流）または i(t) （交流）

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• t 秒間にQクーロンの電気量が流れている場合 の電流の大きさIは

• 逆に、I [A]の電流が流れているとき、t 秒間に その導線のある断面を通った電気量Qは

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電圧：

• 静電場に電荷を置くと力を受ける。この力に逆らって電荷を動かすと仕事を必要とする。その仕事量を電圧という。

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電圧：

• 単位：ボルト[V] 点bから点aまで+1[C]の電荷を運ぶのに、1 ジュール[J]の仕事量が必要なとき、aとbの間の電圧（電位差）が1ボルト[V]であるという。電圧の本質は電荷を運ぶのに必要なエネルギーの量！ • 記号： V（直流）または v(t)（交流）

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電気抵抗とオームの法則

• 電荷（電流）はどんな材料でも流れるわけではない。流れる材料は導体、流れない材料は不良導体または絶縁体と呼ぶ。 • 導体の中でも、電流の流れやすさ、あるいは、流れにくさの程度が異なる。 • ドイツの物理学者オーム（Ohm）が次の有名なオームの法則を発見した。

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I V 材料１材料2 R1 R2 つまり、一定の形状の物体に電流を流し、その電流と電圧の関係を測ってみたところ、同じ材料なら、その電圧と電流の比が一定である事実を発見した。 その比例係数はRで表すと、次の関係が 成り立つ。 この比例係数Rの物理的な意味は？ ででｎ電圧降下

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電荷を物体の端から端まで運ぶのに必要なエネルギー（1秒間で）物体を通った電荷の量（1秒間で）単位電荷を物体の端から端まで動かすためのエネルギー Rの値が大きければ大きいほど、単位電荷を動かすのに、 より多くのエネルギーを必要とすることを意味する。 Rの値が大きい材料では、電流が流れにくい、あるいは電流に 対する抵抗がより強い。 Rの値を（電気）抵抗と呼ぶ！

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• 抵抗の単位： Ω（オーム） 1A の電流を流すのに1Vの電圧が必要な抵抗の大きさは1 Ωである。 • 注意：単位の書き方文字記号の後に単位を書くとき、角括弧を付ける。数字の後では括弧は必要ない。

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電圧降下：

• 回路素子に電流を流したとき、その両端に電位の差が生ずる現象のこと。

コンダクタンス（伝導）：

• Gは素子での電流の流れやすさを数値化したも ので、その単位はS（ジーメンス）である。（回路では、抵抗との区別が特に要注意！）

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第2回：オームの法則II

・

電圧・電流の仮定方向と実際の方向

• 電圧と電流の方向は自由に仮定できる。実際の方向は、計算結果の符号によって決まる。必ずしも仮定の方向と一致しない。 • 仮定方向によって、オーム法則の公式の符号が変わるので、要注意。

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結論：

• VとIの仮定方向は逆のとき：

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電圧・電流の実際の方向の決め方

• 計算結果の符号で決める。＋であれば、仮定方向と同じ、－であれば、仮定方向と逆。例：実際の方向 _{VとIの値は＋、} 実際の方向は仮定方向と一致 VとIの値は－、 実際の方向は仮定方向と逆

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演習問題：

• 以下の回路におけるVとIを求め、その実際の 方向を図示せよ。

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解答：

(a) (b) (c) (d) Iの仮定方向は例(a)と逆だが、実方向は同じ Iの仮定方向は 例(b)と逆だが、実方向は同じ実方向は仮定方向の向きと無関係

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第3回：抵抗の直列・並列接続

• オームの法則により、一つだけの抵抗における電圧と電流を求めることができた。 • 二つ以上の抵抗が何らかの形で接続された場合は、その上の電圧と電流の関係は？ • 抵抗の接続方式：直列接続並列接続

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直列接続抵抗上の電圧と電流の計算：

２つの抵抗直列接続の場合： • ２つの抵抗上の電流が同じ！ • それぞれの抵抗上の電圧と電流はオームの法則で計算できる。問題： a-b間の電圧Vと電流I の関係？

(22)

また、電圧の定義より、

合成抵抗は、直列接続されている抵抗の和

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分圧器回路：

_{分圧比： V} 1とV2の比より分圧比＝抵抗の比

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n個の抵抗の直列接続の場合：

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例題2.1

次の回路で、とするのに必要な条件

を求めよ。ただし、m>1である。

解：分圧器の計算式より

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並列接続抵抗上の電圧・電流の計算：

２つの抵抗の並列接続の場合： • ２つの抵抗上の電圧が同じ！ • それぞれの抵抗上の電流はオームの法則で求められる。問題： a-b間の電圧Vと電流I の関係？

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コンダクタンスの和

合成抵抗の逆数はそれぞれの抵

抗の逆数の和

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分流器回路：

分流比：I

1

とI

2

の比

分流比＝抵抗の

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例題2.2

• 次の回路で、とするのに必要な条

件を求めよ。ただし、n>1である。解：

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例題2.3

• 次の並列接続回路の合成抵抗R₀を求めよ。解：

(33)

直列・並列接続混在の場合：

• 計算できる直列または並列接続の部分回路に分解し、各部分の合成抵抗を求めた後、全体の合成抵抗を求める。

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例題2.4

(35)

例題2.5

• A-b間の合成抵抗を求めよ。

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例題2.6

• 次の回路でa-b間の合成抵抗を求めよ。

a b

(37)

例題2.7

• a-b間の合成抵抗を求めよ。

c

d

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(39)

例2.8

• 次の回路でa-b間の合成抵抗を求めよ。 a a a b b b

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挑戦的演習問題

（電磁気学試験問題より）図の回路を考える。抵抗はすべて𝑅であり、外部から電流𝐼 を中央の点に注入している。 (1) 点線の四角の内側から外側に向けて流れる正味の電流（すなわち流出の場合は正、流入の場合は負と考える）の総和を求めよ。 (2) 各抵抗を流れる電流の値を求めよ。

(41)

第4回：電圧源と電流源

• （直流）電圧源：一定の電圧を提供する装置（例：乾電池、蓄電池、変圧器と整流器の組合せ） • 起電力：電流を取り出さないときの直流電 圧源両端の電圧（E）を指す． • 理想電圧源（定電圧源）：取り出す電流の値にかかわらず一定の電圧を保つ電圧源

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• 理想電圧源（続き）

理想的な場合：

理想電圧源

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内部抵抗を考慮した電圧源

：内部抵抗現実的な場合：有限電流の増大に伴って電 圧Vが減少

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• の場合

• 逆に、の場合

近似的に理想電圧源とみなせる．

負荷抵抗Rが変化しても、端子電 流がほぼ一定の電源となる．

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• （直流）電流源：出力電流一定の電源注：電流源は仮想的な電源で、実際的には存在していない．しかし，これを導入することによって，回路の解析・設計をするのに都合がよい場合がある． • 理想電流源：現実的に不可能

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内部抵抗のある電流源

：内部コンダクタンス

有限

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電圧源と電流源の等価変換：

• 外部から見たとき，ある電圧源とある電流源は全く同じ働きをするなら，この電圧源と電流源は等価であるという． • 何を見ればよい？ (1) 出力端開放時の端子電圧電圧源：電流源： (2) 出力端短絡時の短絡電流電圧源：電流源：

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• 同じ働きするためには，とはそれぞれ等しくなる必要がある．

• 従って，電圧源と電流源の等価条件： (1) (2)

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例題4.1

A) 次の電圧源を，電流源を用いた電源に変換せよ．

B) 次の電源回路を(a) or (b)の電源回路に変換せよ．

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解答：

A) 等価条件により，次の等価電流源が得られる．

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演習問題

1. 次の電圧源の等価電流源をそれぞれ求めよ．

2. 次の電流源の等価電圧源をそれぞれ求めよ．

(1) ₍₂₎

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3. 次の方式で接続されている電圧源と電流源の合成電圧源と合成電流源をそれぞれ求めよ．

(1)

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第3章直流回路網方程式

1. キルヒホッフの法則 • これまで1つの抵抗，および複数抵抗の直列・並列接続の場合の電圧・電流はオームの法則を用いて求める方法を学んできた．多くの抵抗を複雑に接続した回路で，電圧・電流はどう求めるか？ • 例：次の２つの回路はこれまでの方法では解けない． (a) (b) 直列でもない，並列でもない！電源が二つあるため，既知の方法は使えない！

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キルヒホッフの第1法則（電流則） • 基本的な考え方・電流の本質は電荷の流れ・電荷は節点において溜まらない流れ込む電流と流れ出る電流の大きさは同じ！ • 表現の仕方（表現式）色んな形（式）で表せる．教科書によって違うが，その本質を理解することが大事！

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キルヒホッフの第2法則（電圧則） • 基本的な考え方・電圧は電位の差・ある点とその点自身の電位の差は零ある閉路（ループ）を一巡したとき，各素子の電圧降下の総和は零となる！

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表現の仕方（表現式）： • 出発点を決める． • 一巡する方向（基準の方向）を決める． • 一巡する方向に一致する電圧降下を正（または負）とする． a点から出発し，基準方向に一致した場合は正とすると，は，閉路の基準方向に一致するものを正，逆のものを負とする．電流による電圧降下は左側，起電力は右側へ．

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回路方程式の立て方

• 回路各部の電圧や電流が満たすべき関係を式で表現したものは、回路方程式という。 • 方程式の立て方は、未知数の取り方によって三種類がある： 1. 枝電流法理解しやすいが、未知数の数が多い 2. 閉路電流法 3. 節点電位法立てやすい、未知数の数が少ない

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素子の正弦波交流特性

• 正弦波交流電圧・電流の標準の形：

• 【抵抗の交流特性】

を抵抗Rに印加すると，

(60)

• 一方， 𝐼_𝑚 = 𝑉_𝑅𝑚 𝜃 = 𝜙 • 結論：抵抗において，不変， を抵抗Rに印加すると，不変振幅に対しオームの法則成立位相は同じ（同相）

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( ) u t ( )

i t

(62)

抵抗の交流電力と実効値

( ) _m sin i t  I



t とおくと， ( ) ( ) _m sin v t  Ri t  RI



t よって， ₂ 2 2 ( ) ( ) ( ) sin (1 cos 2 ) 2 m R m RI p t  i t v t  RI t   t t 

(63)

t

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• 平均電力𝑃_𝑅を求める． 𝑝_𝑅(𝑡)は周期関数であるので，1周期にわたって積分し，そ の結果を周期T で割ってよい． 2 0 0 2 0 2 2 2 2 1 1 ( ) (1 cos 2 ) 2 1 sin 2 2 2 1 sin 2 2 2 1 2 2 2 T T m r R T m m m m m RI P p t dt t dt T T RI t t T RI T T T RI I V R R            _  _      _  _         _ _  _ _    



2 sin 2 2 sin 2 0 T         m m V  RI 𝑣 𝑡 , 𝑖(𝑡)の実効値を𝑉_𝑒, 𝐼_𝑒で表すと，上式から 2 2 m e m e V V I I         

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• 【インダクタの交流特性】 𝑖 𝑡 = 𝐼_𝑚sin(𝜔𝑡 + 𝜃) を𝐿に加えると， ( ) ( ) cos( ) sin( ) 2 sin( ) m m m di t v t L L I t dt LI t V t                  2 m m V L I         _{ }  誘導性リアクタンス

(66)

•



 ₀ としたとき，

0 pi/2 pi 3pi/2 pi

0

i(t)

(67)

• 【キャパシタの交流特性】 𝑖 𝑡 = 𝐼_𝑚sin(𝜔𝑡 + 𝜃) を𝐶に加えると， 1 1 ( ) ( ) sin( ) 1 cos( ) 1 sin( ) 2 sin( ) m m m m v t i t dt I t dt C C I t C I t C V t                     



1 2 m m V I C      _       容量性リアクタンス

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•



 ₀ としたとき，

0 pi/2 pi 3pi/2 pi 0

v(t) i(t)

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正弦波交流電圧・電流の複素数表現 • 三角関数表現 • 複素数表現 ( ) ( ) 2 sin( ) ( ) ( ( ) ) e j t j t c e j e e e v t V t V t V e V e V e e V V     





         フェーザ表現 ( ) (cos( sin( ) sin( )) cos( ) ) j t j j t j t e e e e e Ve V e e V e V t j t V t jV t                          ( ) 2 Im( ) 2 sin( ) j t e v t Ve V t       

(70)

• 正弦波電圧・電流の複素数表現三角関数表現：

複素数表現：

• 角周波数、周波数、周期の関係：

(71)

• 例：周波数50Hz，実効値100Vの正弦波交流電圧の三角関数表現と複素数表現を書け．

解：初期位相角とする．また，

三角関数表現：複素数表現：

(72)

• 抵抗上の複素電圧・電流の関係振幅に対しオームの法則成立，位相は同じ（同相） j j e e V e V  RI    RI e  e e V RI

 

     2 , 2 m e m e V  V I  I に注意

(73)

(74)

• インピーダンス（単位：Ω）抵抗部リアクタンス誘導性リアクタンス容量性リアクタンス： 𝑍の大きさ： 𝑍の位相角

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• アドミッタンス（単位： S（ジーメンス））

• インピーダンス（アドミッタンス）の接続直列接続：

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並列接続：

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• 複素電圧・電流の求め方

例： 𝑓 = 60 Hz, の正弦波電圧を次の回路に印加した場合の電流を求めよ．

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解：より，．初期位相角とする．また，より，

回路は次のように書き直せる．

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よって，

ただし，

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