1
論 文】 UDC ：624．
131．
55 ：624．
15 ：624．
042．
7：517．
544 日本建築学会構造系論文報告 集 第 3SO号・
昭和 62 年10月埋 込
み
剛
基 礎
の
動 特 性
に
基
づ
く
動 的 擬 似
3
次
元
効
果
の
考 察
境 界要 素 法
に よ る動
的
擬似 3
次
元効 果
に関
する研究
（
その2
）
中
福
員 員 会 会 正 正井
和
正
伸
＿
＊夫
＊ ＊ 1．
は じめに 前 報1）に おい て，2
次 元 場の支配方程式に速度比例型 減 衰を導入 して，
地表 面 剛基 礎の 擬似3
次 元境界要素 解 析を行い，2
次 元お よ び3
次元場の解析 結果との比較を 通し て，
擬 似3
次元場の動 特 性 を解 析 的に検 討 し た。
本 論で は， 基 礎が埋 込 まれ る場 合，
隣 接し て基 礎が存 在する場合，’
お よ び成 層 地 盤の最も極 端な例と し て基 盤 が存 在 する場 合の検 討 を 行い，
埋 込み効 果，
基 礎 間 連 成 効果，
成層効 果に及ぼす速 度 比 例 型 減 衰の影 響を考 察す る。 さ らに， 線加 振 時の波 動 伝 播エ ネル ギー
を求め， 解 析 次 元に よ る波 動の逸 散 性 状の差 異 を検 討し， 擬 似3次 元 解析が面外へ の波 動の逸 散 を過 度に評 価する傾 向があ ること を示す。 ま た， 速度比例型 減 衰の効果を1次 元 土 柱に適用 し て簡易 地 盤 ばねを求め，
陽な形で得ら れ たイ ン ピー
ダン ス を も とに，
擬 似 3次 元 場の イン ピー
ダンス の特徴を数式 的に説明す る。
以 上の検 討 をもとに，
擬 似3次 元 解 析 特 有の動 的 挙 動 を考 察 し， 適用上の留 意 点 を 明確にする。
2．
解 析 方 法 解 析 対 象は図一
1に示す よ うに，
半 無 限地 盤 ま た は剛 基 盤 上の弾 性 層に埋 込ま れ た剛 基 礎にSV
波が 入射す る 問題で あり，
隣 接して存 在す る 基 礎 も考慮 す る。
地 盤 お よび基 礎 埋 込み部には擬 似3次元 効 果を表す た め に面外 方 向に ダッ シュ ポッ ト を取り付け，
支配方 程式に速度比 例 型 減 衰を導 入する。
解 析 方 法は前 報1 ）と 同 様で あり， 境 界 要 素 法 を用い て 基 礎の イン ピー
ダンス およ び ドライビングフ ォー
ス を求 め， 動的サ プス トラ ク チャー
法の概 念に基づい て基 礎の 応 答 を求める。 こ こ で は埋 込み を有 する場 合に生 じ る境 界 要 素 法 定 式 化上の注 意 点を明 確にする ために，
解析 方 法の概略 を示 す。
な お，
特に説 明の ない諸 量 につ い ては 前va1
）で定 義 さ れて い る ので参照 さ れ たい。
まず，
境界上i
点に お け る定 常 動 弾 性 問 題の散 乱 波 場 本 論 文の一
部は参 考文 献 〔8）一
（10＞に 発表し た もので あ る。
＊ 清 水 建 設 （株 ）大 崎 研 究室 主 任 研 究 員・
工博 騨 清 水 建 設 （株 ）大 崎 研 究 室・
工 修 〔昭 和 62年2月6日 原 稿受理） の積分方程式は， ［・a1
・il
・∫
［P
，muluSldr
−
∫
［喇 脚r
・
……・
……・
・
一 …一 …一 ・
・
（1 ＞ と示さ れ る。 こ こ に，luSl
，lpS
｝は境界 上の変 位お よび 表 面 力ベ ク トル で あり， 上 添 字S
は散 乱 波 場の諸 量 を 示す。
また，
［Ci］は i点 近 傍の境 界 形 状によっ て定まる 係 数マ トリックス である。1
崘｝，
Ip
謝は変 位お よ び表 面 力の基 本 解で あり，
下 添 字 （k
）は基 本 解 を算 定し た場 の次 元 を 示す。
本 論で は基 本 解とし て Appendix に示す 地 盤の境 界 条 件 を満 足し た グ リー
ン関 数 を用い る の で，
境 界 積 分r
は基 礎一
地 盤 接 触 部のみ実 行す ればよい 。 実 際の応 答 値剛，lp
｝は以下の よ うに散 乱 波場 と 入反 射 波場の和で表さ れ る。
lul
＝luSI
＋iuG
・
……・
…………・
・
…・
……・
…
（2）lP
｝ニ ｛ps ｝＋IP
’1
こ こに，lut
｝， ｛ρ ’1
は 入反 射 波 場の諸 量 を示 し前報il （11）一
（15）式 を用いて求め られ る。
（1）式に （2｝式を代入し て一
定 要 索に よ り離 散 化し，
これを全 要 素につ い て連 立させ ると，
［鼠勺］ヨul
；
［G
〔勧］ipl
十［HtkJluil
−
［G
エitJlpl・
…・
・
…
（
3
） が得られる。
こ こ に，
［Hl
丿陶］＝
δ，丿［C
‘］・f
．，［躍r
【偏 一云
圏dr
…・
…………
（4 ） であ る。 な お，
境 界の形 状に よっ て定ま るマ トリッ クス a 図一
1 解 析モデル一
56
一
［
C
』につ い て は，
剛 体 許 容 条 件z｝ を 用いて静的な［H
］マ ト リッ クスか ら求めて い る。 本 論では， 剛 基 礎 を対 象と す るので変位ベ ク トルlul
をlul
＝
［コ「］IU
｝・
・
・
…
t−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（5
） の よ う に変 換マ ト リッ ク ス ［T ］を 介して剛基 礎底面 中 心の変 位 ｛酬 で代 表さ せ る。
さ らに，
各 境 界要 素の面 積を対角項に含むマ トリッ ク ス ［A
］を 導入 し， （3
）式 の両辺に ［T
］T ［A
］［Gcm
］−
1 を 乗じ ることに よっ て，
［κ］lui
＝ ｛F
｝十iD
｝・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
…
（6） が得られ る。
こ こ に，
［K］＝
［T
］TA
］［Gny
］−
1［Hcni
［T ｝IF
｝＝
［T］「 ［A］ip
｝・
・
・
・
…
（7 ）
1D
｝＝
［T
］T［A
］（［G
κ］一
1 ［H
（k）］1u
’1
−
lpa
） で あり，
［K
］は剛 基 礎の インピー
ダン ス マ ト リッ ク ス，
副
は外 力ベ ク トル，iDi
は ドラ イ ビングフ ォー
ス ベ ク ト ルである。
ま た， 外力ベ ク トル1FI
をo
と して （6 ）式 を解いた結 果が基 礎 入 力 地 動 （無 質 量 剛 基 礎の 応 答）で あ る。
こ こで，
注 意 を要す るの は以下の点である。
入反 射 波 場は支 配 場が2
次 元ま た は 3次 元となる の で，
（1）式 に対 応する積分方程式の離散化 表 現 式は，
［HCt．
3］1
捌；
［Gii
，
s］IP
’｝＋lull
…・
…・
……・
tt・
・
・
・
…
（8
） と な る。 こ の関 係 を 用い ると，
（7）式で定 義さ れ た ド ライビングフ ォー
ス は，
のト［T］惣 ］（［
Gim
］−
1［H（ltJlu ’1
−
［G
〔2、
sJ−
i ［Hca．
3Jlu ’1
十［Gt2，
Sb］−
11ul ｝）・
・
・
・
・
・
…
（9） と表さ れ る
。
2 次元場や3次 元 場の解 析の場 合に は入反 射 波 場と散 乱 波 場の支 配 場が同一
であるの で， （9 ）式 中の右 辺 第1項と第2項が相 殺して，iDl
；
［T ］τ ［A ］［G ］→
Hu
「 ｝・
・
・
……・
・
………
（IO） とな り，
通 常の境 界 要 素 解 析で用い ら れ てい る ド ライ ビ ングフ ォー
ス の定 義 となる。 しか し， 擬 似3
次元 場 を対 象と する場 合に は，
入反 射 波 場と散 乱 波 場の支配 場が異 な るの で，
（7 ）式に よる定 義が必 要とな る。
た だ し，．
地 表面基礎の 場合に は ［H
］マ トリックスが単 位の対 角 行 列と な り （9 ）式中の右辺第 2項と第 3項が相 殺する の で， 前va1
）の ご と く （IO）式によ る定 義 も可 能である。 また，
擬 似3次 元 場の地 盤 インピー
ダン ス と ド ラ イ ビ ングフ ォー
ス に関しては， 図一
2に示す よ う に基 礎 埋込 み部に付 加し たダッ シュ ポ ッ トの寄与も考慮す る。 す な わち，
（7 ）式 中の イン ピー
ダン ス ［K
］に は，
側
轄
］
［
i・…Vs］
［
ll
斗
ぬ…………・
・
……・
……・
・
・
……
（11 ） を，
ドライビングフ ォー
スiDI
に は，
∫
1
∫
1
陰 ］
回
一・・一
・12） 無 質 且 剛 基 礎げ
●
，
rII曹
，
，
形
i4
：四 ww−一
一
一
一
pVs・
：……一
一
一
…
丑・
一
｛ （a》 イ ン ピー
ダン ス算 定 図一
2 無 質 量剛基 礎tt
丑
4
畠
｛al｝地 サ ｛Ui｝．
r一
盤 ∠．
＿
一
一
＿
一
＿
一
一
一
＿
一
：「享ノ．
Lj （b） ド ラ イ ビング7t一
ス算定 基 礎 埋込み部に付 加し た ダッ シュ ボッ トの寄 与 を付加 す．
る。
な お，
比 較に用い る3次元 解 は半無 限 地 盤 の場合に は吉 田ら3）に よる境界要 素法 （直接 法｝か ら得 られ た正 方 形 基 礎の結 果 を，
剛 基 盤が存 在する場 合に は 軸 対 称 有限要 素 法4，に より求めた面 積 等 価の 円形 基 礎の 結 果を用い る。3
，
埋 込み効 果の検 討 埋込み剛 基 礎の擬 似3次元効果の検 討を行う。
対 象と する の は半 無 限 地 盤に埋 込まれ た単 独 剛 基 礎である。
正 方 形 基 礎 を 想 定 し て半 幅B ＝
40m，
埋 込みE ＝
20m，
奥 行長 さL ＝
80m と し， 境界要 素 長は 4m とする。
地 盤はボ アソ ン比 v＝O．
4，
せ ん断 波 速 度Vs＝500
m／s， 基 礎は標準的．
なBWR
型原 子 炉 建 屋 を想 定 し， 重量W
＝
334 200t，
重心 高 さ 洗 ＝ 20m，
回 転’
慣性 1＝
2．
683× 10s tm2 とする。
表 示す るの は インピー
ダン ス，
お よびSV
波が鉛 直 下 方か ら 入射す る時の基 礎入力 地 動，
剛 基 礎重心 の応 答であ り，
地 表面 応 答に対 する伝達関 数とし て示 す。 いず れも無 次 元 化 表 示 し， 横軸は無 次 元 振 動 数 αo＝
ωB
／Vs
とする。図
一
3に剛基 礎の イン ピー
ダンスを 示 す。
地 表面基 礎 の結 果 （前 報i）図一
7）と比 較 して ， 実 部と虚部の値が 大き く増 加して いる。 これ は，
埋 込み に伴う基 礎一
地 盤 接地面 積の増 加が逸 散 減 衰と拘 束 効果 を増 大さ せた こと に よる。 インピー
ダン ス増 加の割 合は回 転，
水 平，
上 下 の順に小さ く なっ て い る。
これ は，
図一
4（a）に示 すよ うに基 礎 側 面 地 盤の寄 与の差に起 因 して おり，
側 面 地 盤 の変 形モー
ド とし て せん断モー
ド と圧縮 伸張モー
ドの い ずれ が卓越 す る かによ る。 例え ば，
側 面 地 盤 を水 平 方向 に のびる土 柱と仮 定すると，
土柱の剛性は圧縮 伸張モー
ドの方が せ ん断モー
ドよ り も大き く なる。
し たがっ て， 圧 縮 伸 張モー
ドを含む 回転お よ び水 平 成 分に おい て埋 込 みに よるイン ピー
ダン ス の増 加の 割 合が大き く な る と考 えら れ る』
。
擬 似 3次 元 効 果に関し て は， 地表面 基 礎の場 合 と 同様「
に，
擬 似3次 元 解は 2次 元解に比較して実 部が増 大し，
3次元解 をか な り よ く模擬して いる。
ただし，
埋 込みが 存 在す る場 合に は実 部の み な らず 虚 部の値 も増 大する傾 向が あ る。
これ は （11 ＞式に示し た基 礎 埋込み部の ダッ シュ ポッ トによ る寄与で あり，
これによっ て， 擬似 3次 元 解の虚 部の傾き は3
次 元解と よい対 応 を示すように な る。 しか し，
全体と して，
擬似 3 次元 解は低 振 動 数 域で 実 部を小さ め に虚 部を大き めに評 価 し，
と くに回転 成 分一
57
一
5
．
0 4．
0 3．
0 寒、
2．
0 霞 1，
0 0．
o＿
1．
0 8．
0 6、
0愨
4．
oミ
2．
0 0．
0＿
2．
0 留 4、
0ゴ
：
翼 1・
o 0．
O O．
O O，
5 1．
0 1．
5 2．
0 2．
5 a．
0 0．
0 0．
5 1，
0 1．
5 2．
0 2．
5 3．
0 無塗元振 動 数 （ao；
mBiVs ） 無 次元振動 数｛ao＝
wBiVs ） ｛a） 水 平 対 角項〔KHH） Cb）．
回 転 対 角 項 （KRR） 1．
0lil
；
。
．
20
．
0 0，
0 0．
5 1．
0 1．
5 巨，
0 2，
5 3．
0 0・
0 0・
5 1・
0 1・
5 2・
0 2、
5 3，
0 鰍 元 振 臘 〔。。＝
。
BtVs） 無 次 元振 動蜘・
・＝
eBtVs ， ｛c） 上下対 角項（Kvv ） （d〕 水 平一
回 転 迎 成 項〔κHκ〕 図一
3 半 無 限 地 盤に埋込まれた単独剛基 礎のイン ピー
ダン ス 〔E／B＝
O・
5，
v＝
0・
4） 1．
5 0．
5 、．
e，
：
：
掣 e．
5s
・・
2 o・
1 0．
0 0．
0 0．
0 0．
5 1．
0 1．
5 2．
0 2．
5 3．
0 0．
0 0．
5 LO 1．
5 2．
0 2．
5 3．
0 無 次 元 振 動 数 〔ao＝
ω8！VS＞ 無 次元振 動 数 （ao＝
ω
B／VS〕 〔a） 水 平 成 分（IH） （b） 回 転 成 分〔IR〕 図一5
半 無 限地 盤に埋 込 まれた単 独 剛 基 礎の基 礎入力地動 ｛EIB・
＝
o．
5，
v＝
o，
4） 禦 挈 L5 1．
0 O．
5 o．
o0，
0 1．
e 2次元 解一
一
一
一
一
一
L
擬 似3凍 元 解゜
’
s− ’
−
3次元解畫
・・ mSio
・
46
− ’
『’
、
…＿＿
f ／
1．
／齟
’
』
”
t’
膠
’
”
…t−”
0．
2 Z二／
「
itt
O，
0 0．
5 1，
0 1．
5 2．
0 2．
5 3．
O O，
O O．
5 1．
O L5 2，
0 2・
5 3・
0 無 次 元 振 勣蜘 αo＝
as／Vs｝ 無次 元振 動 数 ｛・o＝
ω
B／Vs） 〔fi｝ 水 平 成 分〔RH〕 〔b） 回転成 分（RR） 図一
遍 半無 限 地 盤に埋 込まれ た単 独 剛基 礎の応 答 （E／B＝
0．
5，
v＝
0．
4）一 58 一
圧 縮 伸 張モ
ー
ドI
Fi
⇔
l
I ⇔ せん断モ
ー
ド‡
〔a） 単 独 基 礎の 場合‡
圧 縮 伸張＋せ ん断モー
ド ［’
、
’
（
ll
＃； ← レ．
＿
一
←じ 馳 「’
、
コ
fii
（
に HL曽
一
← ← （b） 隣接基礎が存在 す る 場 合 図一
4 墓 礎 加 振 時の側 面地 盤の寄 与 の減 衰を過 大に評 価す る結 果とな っ て い る。
図一
5に基 礎入力 地 動を示 す。 埋 込み を有 する と きに は鉛 直 下 方 入 射の場 合で も幾 何 学 的 相 互 作 用 効 果 （埋 込 み 剛 基礎の拘 束効果 ）が 認 め ら れ，
水 平 成 分は振動 数の 増 加と と もに減 少し， 回 転 成 分は 逆 に増 加す る。 こ れ は 深さ方向に 入射波の位相が異な ること に よっ て生じ る。
次 元に よ る 比較を行う と，
埋 込み を有する場 合には 地 表 面 基 礎 （前 報1）図一8
）と は異な り，2
次 元 解と擬 似3
次 元 解とに高 振 動 数 域で差 異が生 じ ること が分か る。 ま た， 擬 似3次 元 解は水 平 成 分で は 3次 元 解と非 常に よ く 対 応して い る もの の回転 成 分 を や や小さ めに評 価して い る。
図一
6に剛 基 礎の応答を示す。 埋 込み に よ る逸 散減衰 増 加お よ び幾 何 学 的 相 互 作 用 効 果によっ て，
地 表 面 基 礎 の場 合 （前 報ll図一9
）に比 較して応答 値が減 少して いる。 擬似3次 元 効果に関して は，
擬似 3次 元解は2次 元 解 に比較して ピー
ク が高振 動数 側に移 行し， 水 平応答 値が 大き くなっ てい る。
これ は，
と く に水 平 方 向の インピー
ダンス実 部 増 加によ る剛 性の増 大と減 衰の減 少に よる。
これによっ て，
擬 似3次 元 解は3次元解とほ ぼ同様の応 答 を与える よ うにな る。 し か し，
回転応 答 値に関して は 小さ めに評 価する傾 向が あり，
回 転 インピー
ダン ス の減 衰の大き さ に起 因していると考えられ る。4．
基礎 間連 成 効 果の検 討隣 接して 2つ の基 礎が存 在す る場 合の 擬 似 3次 元効果 の検 討 を 行う
。
対 象とするの は半 無 限地 盤に 20m 埋込 まれ た同一
諸 元の 剛 基礎で あ り，
基礎の 中 心 間 距 離は D＝
100m と する。 な お，
各 諸 元は前 節 と 同一
とする。
図一
7に インピー
ダン ス を示す。
隣 接 基 礎が存 在す る 場 合には インピー
ダン スは2つ の基 礎の 6自由 度に関す るフ ルマ ト リックス で得られ るが，
こ こ で は下式の よ う に同一
基礎間の インピー
ダンズマ トリッ ク ス のう ち対 角 項と水 平一
回転の連 成 項 を，
基 礎 間 連 成の イン ピー
ダン スマ ト リックス の う ち水 平お よ び 上下 対 角 項を示す。
［K
｝＝
基 礎 1 基 礎2 2yO
…
滞
。瓢
r ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■」
囓
．
、 ・ー
d
…
蜷
。…
臨ー
．
ー
HR
レー
ー
・
図一3
に示し た単 独 基 礎の結 果と比 較 する と，
隣 接 基 礎が存在する場合， イン ピー
ダン ス の実 部が増 加 し虚 部 が 減少す る と と も に， 振 動 数に よっ て若 干 振 動 する傾 向 が見ら れ る。
これ は隣 接 基 礎に よる基 礎 側 面 部の拘 束 効 果の増大， お よ び隣接 基 礎に お け る逸 散 波の反射に よる 逸 散 減 衰 減 少が原 因して い る。 こ の効 果の大き さ は，
基 礎 側 面 地 盤の モー
ドにより差が あ り，
方 向 成 分で異な る。 すな わ ち， 図一
4（b）に示 し た よ うに，
水平成 分で は 圧 縮 伸 長モー
ドが，
上下 成 分で は せ ん断モー
ドが卓越する と考えられ る。
例え ば基 礎 側 面地 盤 を隣接基 礎 位 置で 固 定され た水平 土 柱と仮 定すると，
固定 境 界の影 響 は 圧 縮 伸 長モー
ドの方が大 きく現れ る。 し た がっ て，
圧縮伸長 モー
ドが卓 越 する水 平 成 分に隣 接 基 礎の影 響が よ り強く 現れ てい る と考え られ る。
な お，回転 成 分は圧縮 伸長モー
ドを含むが 基 本 的に自 己 釣 合 系 となる の で隣接 基 礎の影 響は水 平 成 分ほ ど大き く現れて いない。
こ の よ うな隣 接 基 礎の存 在に より現れる現象 は，
2次 元 解で最 も強く，
3次 元 解，
擬 似3次 元 解の順に小さ く なっ て い る。
これ は，
2次 元 場で は波 動が面 内にの み伝 播する の に対し， 3次 元，
擬 似 3次 元 場で は面 外 方 向に も波 動が逸 散す るの で，
’
隣 接 基 礎に反射 して基 礎に戻っ て く る波 動が減 少し，
結果と し て隣 接 基 礎の影 響 が 小さ く な ることによ る と考え ら れ る。
ま た， 擬似 3次 元 解と 3次 元 解の差の原 因は， 後 述の ご と く擬 似3次 元 解が波 動を面 外へ 過度に逸散さ せ ることによ る。
図一8
に基 礎入力 地 動を示す。
隣 接 基 礎の存 在に よ り 高振 動数域での水平応答値が単独 基 礎に比較して大きく なっ て い る。 単独基 礎の場合と 同様に，2
次元解は擬 似 3次 元 解，
3次 元 解に比 較 して 水平応答が かな り大きめ に評 価され て いる。
擬 似3次 元 解と 3次 元 解と の対 応は 微 小 量 と判 断で きる上 下 応 答 値 を除 く と 比較 的 よい。 図一
9に剛基 礎 重心位置の応 答を示す。
基 礎 間 連 成が ある場 合の水 平 応 答 結 果は単独基 礎の結 果 （図T6 ）と 差 異が認め ら れ る。 この差 異の程度は2
次元，3
次元， 擬似3次 元解の 順に小さ く なっ て お り，
擬 似3
次元解は 単 独 基 礎の結果 と ほ と ん ど一
致 している。
ま た， 隣 接 基 礎の存在によっ て励 起さ れ る 回転 動お よび 上下動の値は 擬似 3 次元解が最も小さ く なっ て お り，
応 答に関しても 隣 接 基礎の影 響 が か な り抑制さ れ る 傾 向 が見ら れ る。
こ の よ うに，
擬 似3
次 元 解は隣 接 基 礎の存在に よ り生 じ る影 響を過 小に評 価する傾向が ある。
し か し，
イン ピー
ダン ス の対 角 成 分，
基 礎入力 動や重心応 答の水 平 成分 な一 59 一
5
．
0 4．
0 3．
O 鼠 ミ 葺 2．
D ｝ 1．
0 0、
O−
1、
0 1．
D O．
8 ＄・．
6F 丶 ミ 0．
4 盲 D．
2 0．
0 0．
0 0．
5 1．
0 1．
5 2．
0 2．
5 3．
0 無次 元 振 動 数〔ao；
ωB〆VS｝ （a） 同一
基 礎 間 水 平対 角 項〔KIHIH） 4．
o 3，
0ヘ
ミ
ミ 2．
o ∫ 5 1．
0 0．
00．
0 0．
5 1．
D 1、
5 2．
0 2．
5 3．
0 無 次 元振 動 数 （ao＝
teBiVs ） 〔b〕同一
基礎 間 回転 対 角項〔KIRIR） 2，
0 1．
0 00 艮 ミ 霞 監【
一
1．
0＿
2．
0 8，
0 6．
0謇
4・
・≧
ξ 2・
o 0，
0＿
2．
0 1．
0 o．
5 00 ミミ
丶 撃円
0．
O O．
5 1．
0 1．
5 2、
0 2．
5 3．
0 0・
0 0、
5 工．
O l．
5 2．
0 2．
5 3．
O 無 次 元 振 動 数 〔ao＝
wBtVS 〕 無 次元 振動 絞 〔ao＝
tsBJVS ， Cd） 同一
基礎 間水平・
回 転 連 成 項 （KlnlR） 〔e〕 連 成 基 礎 問 水 平 対 角 項（Klfi2u， 図一
7 半無 限 地 盤に埋 込 ま れ た 連 成 剛 基礎のイン ピー
ダン ス 〔E／B＝
0．
5，
＿
0．
5 0．
0 0、
5 1．
O l、
5 2．
0 25 3．
0 無 次元振 動 数 （α0＝
ω
8’VS） ｛c） 同一
基 畦 間 上 下 対 角 項 （Klvlv）＿
1．
O O．
0 0．
5 1．
0 1．
5 2，
0 2．
5 3．
0 無 次 元 振 動 数〔ao＝
wB ／VS， 〔f） 連 成 基 礎 間 上 下対 角 項（K’
Lv2v） P／B＝
2，
5，
レ＝
0．
4｝ 犁 1，
5 1．
o 0．
5 0．
0 o．
5 o．
4 × 0．
3R 犁 D．
2 o．
1 0，
0 0、
10 O．
08 0．
06 糴 0．
04 0．
D O．
5 1．
O l．
5 2．
0 2．
5 3、
O O．
0 0．
5 1．
0 1．
5 2．
0 2．
5 3．
O 無 次 元 振 動 数〔ao＝
wBtVS ｝ 無 次 元 娠 動 数 （ao＝
wBiVS ） 〔a｝水平 成 分 （JH） 〔bレ 回 転 成 分 （IR） 図一
8 半無 限 地 盤に 埋 込 ま れ た連 成 剛 基 礎の基 礎入力 地動 （E〆B＝
O．
5、
0．
02 0．
oe 0，
0 0．
5 1．
0 1．
5 2．
0 2．
5 3．
0 無 次 元 振 動 数｛ao＝
■BiVS） 〔c） 上 下 成5｝Clv） P／B＝
2．
5，
り＝
0．
4） 1．
5 LO o・
51
．
0 0，
8 国 X O．
6 覊 o．
4 O．
2 o．
4 0．
3 R e．
2 0、
1 0．
0 0．
O o、
0 0・
0 0・
5 1・
0 1・
5 2．
0 2．
5 3．
O D，
0 0．
5 1、
0 1．
5 2．
0 2．
5 3．
D O・
0 無次 元 振 動 数〔ao＝
■
BiVS， 無 次 元 振 動 数Cao＝
mB／VS） 〔a） 水平成 分 （RH レ （b） 回 転 成 分 （RR） 図一
9 半 無限地 盤に埋込まれ た連 成 剛 基 礎の応 答 （E／B＝
O．
5，
DIB＝
2．
5，
−
60
一
0，
5 1．
0 1．
5 2，
0 2．
5 3．
0 無 次 元 振 勣 激 〔ao＝
ω
B／Vs⊃ 〔c〕 上 下 成 分 〔Rv） レ＝
0．
4＞5
．
04．
O 3．
0 喜 鳧 2・
o 會 1．
00．
D＿
1．
0 0．
0 0．
5 1．
0 1．
5 2．
0 2．
5 3．
0 無 次 元 振 動 数（ao＝
wBIVS ｝ 図一
10 剛 基 盤上の弾 性 層に埋 込ま れた単 独 剛 基 礎の水 平 イン ピー
ダン ス （EIB＝
0．
5，
HIB＝
4．
o，
v＝
o．
4） どに関 して は，
擬似 3次元解は 2次元解に比べて 3次 元 解へ と改 善さ れ て お り ， ある程 度の改 善 効 果が得ら れて いると考え ら れる。 な お， 隣 接 基 礎の存 在による影 響の 過小 評 価につ い て は，
解 析 次元に よる面 外 方 向へ の波 動 の逸 散 性 状の差 異に関 連して い るもの と考え られ，
6節 におい て検 討 する。 5．
基 盤の影 響に関 する検 討 擬 似 3次 元 効 果が基 盤の 存 在に及ぼす影 響の検 討を行 う。
剛 基 盤 上の 弾 性 地 盤に 20m 埋 込ま れ た単 独 剛 基礎 を対 象とし，
基 盤 深さ は H・
＝
160m と する。
ほ か の諸元 は前 述の と おりで ある。 剛 基 盤 を有 する場 合には 2次 元 解お よ び 3次 元 解が共 振 振 動 数で特 異 性 を示 すの で，
減 衰 定 数 h＝
O．
05の 内 部 減 衰を考 慮す る。
な お，
比較に 用い る3
次 元 解は基 礎 版 底 面 積 を等 価に し た半 径R
の 円 形 基 礎 とし，
軸 対 称 有 限 要 素 法4）に より求 めて い る 。 こ こ で は，
インピー
ダン ス お よび基 礎入 力 地 動の水 平 成1
分 を示 す。 図一
10に水 平 イソピー
ダン ス を示す。 基盤の存 在に より，
2次元解お よ び 3次 元解は半無 限解 （図一
3） を 中心に大き く振 動して お り， 虚部の値は カ ッ トオフ振 動 数で あ る α。＝
π／8
以 下では内 部 減 衰に よ る寄 与の みと なっ てい る。
これに対して擬 似3次 元 解は半 無限解に ほ と ん ど一
致 してい る。3
次 元 解は 2次 元 解に比較して振 動の振 幅が小さい もの の基 盤の影 響を明らか に受け て お り，
擬 似3次元 解は基盤の存在によ る共振現象を過 度に 抑 制して い る。図
一
11
に基 礎入力地動の水 平 成 分を示す が， イン ピー
ダン ス と同 様に擬似 3次元 解は半無 限解 （図一
5）によ く一
致 してお り，
基 盤の影響 をほと んど受けて い な い。
この よ うに， 基 盤 が存 在す る場 合，
擬 似 3次 元 解は3 次元 解の振 動 特 性の平 均 値 を模 擬 する ことは でき る が，
基盤 を有す る地 盤の共 振 現 象が過 度に抑 制さ れ る傾 向が あ る。
と くに，
カ ッ トオフ振 動 数 以 下の低振動 数 域で減 衰を過大に評 価する傾 向が あり，
成 層地盤を対 象と する 場合に は注 意 を要する点で ある。 こ の擬 似3
次元解の特 性は基 礎 間 連 成の場 合と同 様に逸 散 波が面外方向に過 度 覃 捜 糴 1．
5 1．
0 0．
5 o．
0 0．
0 0，
5 LO l．
5 2．
0 2．
5 3．
0 無 次 元 振 動 數 〔ao＝
wB 〆VS） 図一
11 剛 基 盤 上の弾 性 層に埋 込まれ た単 独 剛 基 礎の水 平 基 礎 入力地動 （EIB＝
0．
5，
H／β＝
4．
O，
レ＝
0．
4） に逸 散 してい る ため と考えられ る。
6．
波 動伝 播ーネルギー
によ る考 察 以 上の結 果から，
速 度 比 例 型 減 衰は2次 元の インピー
ダン ス実 部を増 加さ せ，
3次 元 解に 近 づ け る 効果が あ る。 し か し，
虚 部が増 加し逸 散 減 衰を 大 き く評価 する た めに，
基 礎 間の連 成 効 果や基 盤の存在による共振 現象を抑制す る傾向が あ るこ と が 明 ら か と なっ た。
こ れ は， 解析 次 元 に よ る 波 動の逸 散 性 状の差 異 が 原 因 して い る と考え ら れ る。 そこ で，
こ こ では地表 面に線 加振を作用させ た時の 波 動 伝 播エ ネルギー
を求め るこ と に よ り，
解析次元の差 に よ る 波 動 逸 散特 性を 検 討 す る。
面S
を1周 期 当たり に通 過す る平 均エ ネル ギー
伝 播 率は，
総 和 規 約を用い て次 式で与え られ るs〕6， 。 ・一
ぎ
1・ル
縞一
殖溺 …
…・
…
（・3） こ こ に， ni は外 向き法 線の方 向 余 弦，
Ui，
σ c，は変 位お よび応 力，
一
は共 役 複 素 数 を示 す。
図一
12の よ うに， 地 表 面に奥 行 長さ L，
加 振 合 力 1 の線 加 振が作 用する時の同心半 円 筒 面 （半 径R ，
奥 行L
） における平 均エ ネルギー
伝播率は，
E 一
暫 ∫：
1
：
・縞一i
・uJ）dyRde ・
一
（・4） と表さ れ る。
こ こ に，
u、，
OIJ は半無 限 地 盤の グリー
ン 関 数で ある。
2次 元お よ び擬 似3次 元 場で はAppendix によ り， 3次 元 場で は松 岡・
八幡の解 7〕を有 限 線 積 分す ることに よ り求める。
以下に お い て は，
無 次 元 振 動 数 aL（＝
LtO／ Vs） ， aR（＝
Rω／l／k
），
波 数h
← ω／ Vs）を用い て．
無 次 元 化 表 示 する。 （14）式におい て R→ 0と す るこ とに よ り加 振 源に お け る逸 散エ ネルギー
量 が 求 め ら れ る。
図一
13に水平加 振の場 合の逸散エ ネル ギー
量 を示す。
』
図 よ り擬 似 3次 元 効果は逸 散エ ネルギー
を低 減し3次 元 解に近づける効 果 がある が，
α L が 2 を 下 回 る範 囲で は逸 散エ ネルギー
が3
次元解に比 較し て大き く、
なっ て い る。
こ の逸 散エ ネル ギー
の過 大 評 価は地 盤 ばねの過 大 な 減 衰の一
因と考え ら れ る。
一
61
一
線 加
謎
≒
0．
20 L 〆’
’
幽
一
一
曽
’
■
一
■
一
■
一
一
一
■
一
冒
噌
■
舮
一
暫
一
一
一
■
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
唖
一
一
一
一
一
｝
胃
冒
一
■
一
一
．
−9・
営
♂ ， I J職
W
・
’
ワノノ
1
！＼
惣
纛
γ
／
乱
、
〆
’
、
’
i、
’
、
F
s
ρ
、
’
、
t
図一
12 波 動 伝 播エ ネルギー
の解 析モ デル O．
IS 署 HsO．
leX 0．
05 O．
O0，
0 図一
13 1．
0 2．
0 3．
0 4．
0 5．
0 無 次 元振 動 数 （aL・
diLiVs ） 加 振 源に お け る逸 散エ ネルギー
（水平加 振，
v＝
O．
4） 150 §エ25去
・。・ 晃 75麸
準 50 阻 25OO，
0 図一
14 1．
0 2．
0 3．
0 4．
0 5．
0 無 次元 振 動数 （aL＝
wUVs ） 面 内 伝 播エ ネルギー
比の振 動 数 特 性 （水 平 加 振，
v＝
0．
4） 150 §1251 1eo 窒．
壽 75H 50 阻 2500．
O 図一
15 1．
0 2．
0 3．
D 4．
0 5．
G 無 次 元 振 動 数 〔aR＝
diRiVs ） 面 内伝 播エ ネル ギー
比の距 離特性 （水 平 加 振，
v＝
0．
4） aR G．
0 1．
0 2．
0 3．
04．
0 5．
0 一 2次 元 場 〔a） 水 平加振 aR O．
0 1．
0 2．
0 3．
04．
0 5．
0一
一 一 擬 似3次 元 場 （a） 水平 加振 aR O．
0 1，
0 2．
0 3．
04，
0 5．
O lO−
s IO』
210’
1「−
T−一
一一
T−一
「一
「 3次元場 αR O，
0 1，
0 2．
0 3．
04，
0 5．
0 − 一 2次元場 aR O．
01．
0 2．
0 3．
04．
0 5．
O 一 aR O，
0 1．
0 2，
0 3．
04，
0 5．
0 − 一 擬 似3次元場 （b） 上 下加 振 図一
16 地 盤 内の面 内 伝 播エ ネルギー
の分布 （aL＝ 1．
0，
v＝
0．
4｝ 3次 元 場一
62
一
面 内に逸 散するエ ネル ギ
ー
と面 外に逸 散す るエ ネル ギー
の割 合 を 把 握する ために，
図一
14〜
15に面 内 伝 播 エ ネルギー
比 率 （円 筒 面S
を透 過 するエ ネル ギー
と加 振 源の逸 散エ ネルギー
の比 ）の振 動 数，
距 離 特 性を示す。
2次 元 解の場 合に は面 外へ の波 勤の逸 散がな い の で ユOO ％ 円筒 面に達 する が，
擬 似3
次 元 解，3
次 元 解で は振 動 数や距 離に より到 達 比 率が変動す る。 擬似 3次元解は円 筒 面に到 達 する割 合が3次 元 解を下 回っ ており，
こ の差 は距 離，振 動 数の増 加と ともに増 大し ている。
す な わ ち， 面 外に逸 散す る波の成 分 が 多く評 価され てい る。
地 盤内のエ ネルギー
の伝播の仕 方を把握す る た めに，
図一16
に加 振 源か ら面内 方向に逸散す るエ ネル ギー
の 分布 を示す。
これ は，
同心円筒面に達す るエ ネルギー
の 単 位面 積 当 た りの値を示し た もの で，
aL＝
1．
0の と きの （14 ）式の被積分 関 数に相 当する。
面 外へ の波 動逸散の 有無に よ り，
2次 元 解に比 較 して，
擬 似3次 元 解，3
次 元 解で は距離に よるエ ネル ギー
低 減が大き く，
分布形状 も異な っ て い る。 擬 似3次 元解は 加 振 源 近 傍で 3次元解 と よい対 応 を示して いる が，
前述 の ご と く 距離に よ る低 減が強く，
遠 方の分布に差異が見ら れ る。 こ の よ うに，
擬 似3次 元 解 析は 2次 元 場の逸 散 性 状 を 3次 元 場へ と近づけるが，
低 振 動 数 域で逸 散エ ネルギー
を過 大に評価す る こと， 高 振 勤 数かつ 遠 距 離 域で面 外 方 向に過 度に波 動を逸 散させ る ことが明らか となっ た。
し た がっ て，
擬 似3次 元 解析におい ては，
加 振 源から離れ た位置の影 響が抑 制され る ことに な り， 結 果と し て隣接 構 造 物の影 響や基 盤の影 響 が 過 小に評 価さ れ る。
7．
擬 似3
次 元 土 柱に よ る簡易 ばね を用いた考察 以一
ヒの考 察か ら， 速 度 比 例型減 衰が構 造 物の動 的 挙 動 に与え る影 響につ いて定 性 的に把 握， 説 明し た。
しか し，
イン ピー
ダン ス の実 部の みが増 大し虚 部があまり変 化し ないこ と，
お よ び低 振 動 数 域の減 衰が大き くなるこ との 理 由が十 分に説 明さ れてい ない。 そこで，
図一
17の よ うに，1
次 元 土柱の周 囲に ダッ シュ ポ ッ トを付 加す るこ とによ り，
擬 似 3次 元 効 果 を1次 元 土 柱に適 用 し， これ か ら簡易的な地 表 面イン ピー
ダン ス を陽な形 式で求め る。振動方向に はP
波の，
面外 方向に はS
波のダッシュ ポッ トを 想 定 し，
面外方向の ダッ シュ ポッ トの有無に よ る差を検討す ることによ り擬 似3次元 効 果を考察す る。一
例と して水平 イン ピー
ダン スにつ い て示す。 基 礎版 と同一
の断 面 積A を有 する せん断 土 柱の つ り合い方 程 式は，
・
籌
一
・｛
穿
・ ・器
……・
・
…9・
・
一 ・
…・
…
（・5） と表さ れ る。
こ こに，ηは土 柱に付 加され たダッ シュ ポッ トによ る粘 性 減 衰 係 数であり， 正 方 形 基 礎の場 合に は対 象と する次元に応 じ て以 下の よ うに決 定さ れ る。 H璽
・…’・
：
ll
φ
鐺 ，］，
、4
。v。 pVs 1次元 せ ん 断 土 柱 〔a） 3次元場の問 題 ぐ一
〉 ぐ一
レー
聯 韈
毳
彡
」］
＿
e
．
．
』
、
tS
・
：
「
ρVp 1次 元 せ ん 断 土 柱 〔b）2次 元 場の問 題 図一
17 簡易 地 盤ばね算定 用解析モデル 5．
04、
0 3．
0饗
ミ 2ρ 蒔 1・
o0
．
O＿
LO0、
0 1『
0 2、
0 3齟
G 4，
0 無 次 元 振 動 数【ao＝
ωBIVS） 5．
0 図一
18 簡 易地 盤 ばねによ る水 平インピー
ダン ス （v＝ O，
4）0
η＝
ρVp／B
ρ（Vs十 v，）／B この よ うに，
（1次 元） （2次 元 を模 擬） （3次 元 を模 擬）・
…
（16｝ ηの値は面 外 方 向の ダッ シュ ポッ トの存 在 により増 大 する。 （15）式 を地 表 面で の単 位変位の条 件 および無 限 遠で の放 射 条 件を 用い て解 き，
基礎 版 下端の 反 力を求める ことにより，
水 平 イン ピー
ダン ス は，K
，＝
μAl−
（ω／Vs
）2十i
ωij／μP
／2…・
…・
…・
・
一
…
（17） と な る。
図一
18に得られ た簡 易ばね を示す。
基 礎お よ び地 盤の諸元は前述の値を 用い る。
簡易ばね は面外 方 向 の ダッシュポッ トによ り実 部 が 増 加し てい る が， 虚 部は あま り変 化して お らず，
擬 似 3次 元 効 果の特 徴 とよく対 応し て い る b こ れ は，
地 盤ばね の表 現 式か ら説 明さ れ る。
（17）式 を実 部と虚 部に分 離し て示す と，
飾一揚
［
（・・脚 副一
（・・v
・） ！ ・ i （・・賠 （・η／・） ・ ＋（・脚］
…
（18
） と な る。
（18 ）式か ら，
高振動 数 域で は，
実部は粘 性 減 衰項 （ωη／μ）の寄 与が大き く， 虚部は （ω／Vs
）の項が 支 配 的で ある こと が分か る。
し たがっ て，
擬 似 3次 元 効 果 を考 慮す る と減 衰 係 数 ηが大きく な り， 実 部の値が 増 加 すること が説 明できる。 ま た，
低 振 動 数 域における 虚 部の増 大は，
（18 ）式の 虚部に おい て，
ω が小さいと きに粘 性 減 衰 項の寄 与 が相対 的に大 き く なる ためで あ る。
一
63
一
こ の よ うに
，
擬 似 3次 元 場 におい て，
インピー
ダン ス の実部が増大す ること，
低振動 数 域の 減 衰が相 対 的に大 き く な ること が解 析 的に説明 で き る。
8．
結 論 前 報1）お よ び本 報におい て， インピー
ダン ス，
基礎入 力 地 動，
基 礎の応 答 を通 して， 2次 元， 3次 元，
擬 似3 次 元の 3者を比 較する ことに より，
擬 似3次 元 効 果につ い て の検 討を行っ た。
そ の結 果，
以 下の結 論が得ら れ た。
（1） 地 盤の支 配 方 程 式に速 度 比 例 型 減 衰の項 を導 入 する ことに より擬 似 3次 元 場の グ リー
ン関 数 を新た に誘 導し， 境 界 要 素 法を用い て擬 似 3次 元 効 果 を解 析 的に検 討した。 また，
擬 似 3次 元 場 特 有の境 界 要 素 解 析にお け る定 式 化 上の注 意 点を 明確に し た。
（2） 速 度 比 例 型 減 衰の導 入によっ て， 半無 限 地 盤に 埋 込ま れた単 独 基 礎の振 動 性 状が2次 元 解か ら3次 元 解 へ と大き く改 善さ れ る。
し か し，
低 振 動 数 域で イン ピー
ダン ス の 実部を 小 さ めに虚部を大きめ に評 価 （特に回 転 方向の減衰が大き く な る）す る た め に，
構 造 物の応 答が 小さ く なる傾 向があ る。
（3） 隣 接 基 礎が存 在す る場 合 や基盤 が存 在す る場 合 に は， 擬 似3次 元 解は3
次 元解の振 動性 状を平均 的に模 擬する ことは できるが， これ らに起 因す る 現象が抑制さ れ る傾 向が ある。
特に， 基 盤の影 響 を 減 じ ること は 成層 地 盤 を対 象と す る場 合 留 意すべ き点であ る 。 （4 ） 線加 振作用時の 波動伝 播エ ネルギー
を求め る こ とによ り， 擬似3
次 元場では波 動を面 外 方 向に過 度に逸 散す ること が明ら か と なっ た。 特に距 離に よる面 内 伝 播 エ ネルギー
の低 減が著しく，
隣接 基 礎や基盤の影 響を減 じる原因 と な る。
（5 ） 簡 易 地 盤 ばねの考察を行い， 速 度比例 型 減 衰の 存 在に よる イン ピー
ダン ス実 部の増 加， 低 振 動 数 域の 減 衰の過 大 評 価 を解 析 的に説 明し た。
（6
） 擬似3
次元 解は半 無 限 地 盤かつ 単 独 基 礎の場 合 に はや や減 衰が大き く な るもの の 3次 元 解の簡 略 解と し て非 常に有用であ る。
し か し，
隣 接 基 礎や成 層 地 盤を対 象 とす る場合に は擬似3
次 元 解の与える特 性 を十 分に理 解して結果を吟 味す る必 要がある。
謝 辞本研 究を行 うに当た り
，
清 水 建 設 （株）大崎研究室の 吉田一
博 氏は 3次 元 境 界 要 素 法に よ る解 析 結 果を快く提 供 して下さい まし た。
こ こ に， 深く感 謝の意を表し ま す。 参 考 文献 1） 中 井 正一，
福 和 伸 夫 ：境 界 要 素 法に よ る 動的擬 似3次 元効果に関 する研 究
2次 元 地 盤 地表面上剛 基礎の動 特 性
，
日本建築 学会論文報 告 集，
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