AIST
第2回：半導体物理の基礎
4/16
4/16
1
1
On Road
Off Road
第1回： イントロダクション
第2回： 半導体物理の基礎
第3回： 表面
第4回： Schottky障壁： 研究のヒストリー
第5回： 電流輸送機構
第6回： 界面評価法
第7回： 今後の研究方向性
4/9 4/9 4/16 4/16 4/23 4/23 5/7 5/7 5/14 5/14 5/21 5/21 5/28 5/28第２回： 半導体物理の基礎
[講義イントロダクション.ppt]AIST
2
2
演習レポート
S. Hara@AISTAIST
本日の内容
半導体の電気伝導性は
どのように決まっているか？
フェルミレベルを理解し、
自分でフェルミレベルを計算できるようにする。
[本日の目標]
1. 原子が集まってバンドの出来る様子
2. 結晶での周期的原子配列がもたらすもの
3. 状態数とキャリア数の算出
4. 不純物を導入した時のキャリア数とフェルミレベル
3
3
[講義2バンド理論.ppt]
AIST
Anion: 陰イオン Cation: 陽イオン （=電子を放出するもの) （=電子を取込むもの) ※Cathode: 電子放出源 ※Anode: 正電荷放出源 ανοδοζ: (入口）同種原子
異種原子
Cation Anion Anti-bonding orbital bonding orbital 結合軌道 反結合軌道 結合軌道 反結合軌道 反結合準位 結合準位 反結合準位 結合準位原子軌道
分子軌道
結合による準位の分裂
電子の変位ε
aε
cε
sε
aε
bε
aε
b4
4
S. Hara@AISTAIST
Bonds and Bands
金属
共有結合性固体
原子
占有軌道
（結合状態）
非占有軌道
（反結合状態）
伝導帯
Conduction band Empty states Anti-bonding orbital Valence band filled states bonding orbital価電子帯
=
=
ε
p
ε
s
バンドギャップ
4 2 2 2 2 4 ※上図の数字は、IV族での電子数 （絶縁体or半導体） 特徴1. 対称性が高い単結晶等では、s軌道とp軌道エネルギーは、交差する。 （対称性が低いと重なりの効果が高まらない） 特徴2. εp-εsが小さい時に交差しやすくなり、EGが出来やすくなる。 金属では、εp-εsが大きい。 原子間距離}
}
電子のエネル キー5
5
[IonicBand-Bond.ai]
AIST
イオン性結晶
イオン性結晶
共有結合性固体
金属
原子間距離 大Gap
イオン性 大 Cation Anionε
aε
cε
c pε
c sε
a pε
a s{
{
電子のエネル キー Anion: 陰イオン Cation: 陽イオン （=電子を放出するもの) （=電子を取込むもの) ※Cathode: 電子放出源 ※Anode: 正電荷放出源 ανοδοζ: (入口）6
6
S. Hara@AISTAIST
半導体の性質 （バルクの話）
イオン結合
（共有結合）
共有結合
金属結合
化学結合
自由に動く
不純物原子のみ
可動電子供給
局在
電子の空間分布
バンド内
材料
酸化物など
IV族
金属
フェルミ準位位置
Egのまん中付近
Eg内可変
絶縁物
半導体
導体（金属）
○
△
×
伝導性
キャリア
無
無∼多
多
色
透明（・不透明）
反射無
反射
反射
半導体の伝導性は、
不純物の導入(doping)次第。
7
7
[講義2バンド理論.ppt]
AIST
絶縁物
金属
（
n
型）
（
p
型）
E
F
E
F
E
F
E
F
電子エネルギー
電子の収容の様子 = バンド構造
真性半導体
（
i
型）
E
F
○ 一般的には、 EGが大きいと絶縁体と呼ぶ。 EG ○ EGが大きいが大きくても、 EFが可変なら、半導体。不純物半導体 不純物半導体
intrinsic 電子もホール も動けない ほんの僅かな量の 動ける電子とホール かなりの量の 動ける電子又はホール 大量の 動ける電子 ) 66 . 0 ( / 10 ~ ) 12 . 1 ( / 10 ~ ) 424 . 1 ( / 10 ~ 3 16 3 15 3 12 eV E Ge for cm eV E Si for cm eV E GaAs for cm n G G G i = = =8
8
EC EV EC EV 伝導帯(Conduction band) の下端 伝導帯(Valence band) の上端 価電子帯 伝導帯 S. Hara@AISTAIST
電子を波動関数で表す
34
34
(1)
ψ
(x
)
M. Bornの提案(1926):ψ
ψ
ψ
2 = * は、粒子が時刻 t に r の位置にある確率密度である。 1 * =∫
ψ
ψ
dτ
dτは、体積素片。 ※ 波動関数は、Schrödingerが最初考えたような、広がった電子雲ではない。(2)
ψ
(x
)
=波
x
x
)
cos
(
=
ψ
粒子性と波動性を兼ね備えている。 電子の伝搬などを考える。⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
λ
π
ψ
(
x
)
cos
2
x
波長を入れて表現を変えるλ
π
/
2
=
k
波数： より、x
k
x
)
cos
(
=
ψ
波長を入れて表現を変える(3)
ψ
(x
)
虚数部の導入
ψ
ψ
* がどこでも一定、orどこでも同じ確率で 電子が見いだされるべき、という要請より、x
k
i
x
k
x
)
cos
sin
(
=
+
ψ
(4)
平面波：３次元の波
r kr
)
=
e
i ⋅(
ψ
(5)
平面波の時間変化（伝搬）
) ()
(
e
i ωtψ
=
k⋅r−r
x
k
i
x
k
e
ikx=
cos
+
sin
Eulerの関係式： より、 x ike
x
)
=
(
ψ
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ −=
( ))
(
t ie
k r kr
ωψ
m
p
m
k
v
phase=
=
2
=
2
=
2
h
π
λω
ω
k
位相速度：πν
ω
=
2
ブイ ニュー= 確率
8 8と
99の間
[自由電子とブロッホ波.ai]
AIST
平面波
平面波
)
exp(
)
(
r
=
i
k
⋅
r
ψ
(nxnynz) L , , π = k nx,ny,nz= 1, 2, 3, ...z
k
y
k
x
k
x+
y+
z=
⋅r
k
→ 左辺が一定なら、平面を意味する。( )
k
r
( )
k
r
r
k
⋅
)
=
cos
⋅
+
sin
⋅
exp(
i
i
→ 複素部分は、ψ
kψ
kψ
k * 2 = 空間的に一様にするために加えてある。 を一定にし、(plane wave)
)
,
,
(
k
xk
yk
z=
k
)
,
,
(
x
y
z
=
r
均一な一つの値を持つ波面k
方向へ進行するk
に垂直な方向で均一な波 ※ 平面波は、どんな任意の線の上でも、周期的に変化する。14
14
S. Hara@AISTAIST
電子
固体の取扱
9
9
波動関数
ψ
(x
)
→
原子核(イオン)
→
電子に影響を及ぼすポテンシャル
V
core
(x
)
1つ電子が、イオンと他の電子の作る
ポテンシャルの海の中を動き回る。
1電子近似
V
(
x
)
=
V
core
(
x
)
+
V
electron
(
x
)
)
(x
ψ
は、１電子の波動関数。
[ポテンシャル障壁による減衰.ai]
AIST
35
35
ポテンシャル障壁による減衰
V
0
E
λ
h
k
p
= h
=
de Broglieの関係（1924年）：
粒子性 波動性全ての物質(粒子)は、k(
λ
)の振動をしている。
= 物質波 （=ドブロイ波）
)
(
2
m
E
V
p
=
−
より、
h
/
)
(
2
m
E
V
k
=
−
{
}
[
2
(
)
/
h
]
exp
exp
)
(
2 1x
V
E
m
i
x
ik
x
=
=
−
ψ
E > V なら、
{
}
[
2
(
)
/
h
]
exp
)
(
2 1x
V
E
m
i
x
=
−
ψ
E < V なら、
{
}
[
1
2
(
)
/
h
]
exp
)
(
2 1x
E
V
m
i
x
=
−
−
ψ
{
}
[
2
(
)
/
h
]
exp
2 1x
E
V
m
−
−
=
= 平面波
= 減衰
なら、
∞
→
V
ψ
(
x
)
→
0
つまり、
ψ
(x) は、ポテンシャル内に入ると急激に減衰する。
9 9と
1010の間
侵入長
(1/eになるところ） S. Hara@AISTAIST
固体中での電子の束縛の様子
箱に閉じこめられた電子
結晶内のポテンシャル
も周期的に変化する
①
③
Blochの定理の導入 往復運動 0 L 往復運動 L②
周期的に同じ状態となる
= 周期的境界条件
= 境界で存在確率ゼロ
一周
L
結果的には、定在波となる。
結果的には、進行波となる。
結果的に、バンドが形成
L①、②、③と、条件をより正確に設定しながら、
Schrödinger方程式を解く。
10
10
∞ → ) 0 ( V V(L)→∞ 0 ) 0 ( <x<L = V[自由電子とブロッホ波.ai]
AIST
箱に閉じこめられた電子（１次元）
定在波
( )
k
x
A
x
n k(
)
=
sin
ψ
kn =π
LnEnergy
E
wave vector k
運動エネルギー分布 k= π/L L 0 Energy levels Wavefunctions k= 2π/L k= 3π/L n = 1, 2, 3, ... 0 L１次元
往復運動1. 境界Lの制限
境界の外で、
ψ
k(
x
)
≡
0
0
)
(
,
0
)
0
(
=
kL
=
kψ
ψ
境界で、
2. Schrödinger eq.
)
(
)
(
2
2 2 2x
E
x
x
m
∂
ψ
k=
kψ
k∂
− h
3. Pauliの排他原理
全ての
ψk(x)は、異なった状態を取る。
※ n = 0 の場合は、電子確率がゼロになるので、 解ではない。n = 1: ゼロ点エネルギーm
k
E
n k2
2 2h
=
= 2 ⎜⎝⎛∫
=1⎟⎠⎞ 0 2 dx L A Q Lψk k1 k2 k3 k4 k5 k611
11
S. Hara@AISTAIST
箱に閉じこめられた電子（３次元）
z
k
y
k
x
k
L
x y zk
sin
sin
sin
8
)
(
r
=
3ψ
L n L n L n z z y y x x π π π = = = k k k , , nx,ny,nz= 1, 2, 3, ...３次元
L)
(
)
(
2
2 2 2 2 2 2 2r
r
k k kE
z
y
x
m
⎟⎟
⎠
ψ
=
ψ
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
− h
1. 境界Lの制限
境界の外で、
ψ
k(
r
)
≡
0
0
)
,
,
(
,
0
)
,
,
0
(
y
z
=
kL
y
z
=
kψ
ψ
境界で、
2. Schrödinger eq.
3. Pauliの排他原理
全ての
ψ
k(r
)
は、異なった状態を取る。
等
)
(
)
(
)
(
)
(
r
=
X
x
Y
y
Z
z
ψ
変数分離：
E
Z
Z
m
Y
Y
m
X
X
m
−
−
=
−
''
2
''
2
''
2
2 2 2h
h
h
と仮定。
z y x E Z Z m E Y Y m E X X m = − = − = − '' 2 , '' 2 , '' 2 2 2 2 h h h z y x E E E E = + + X E dx X d m = x − 2 2 2 2 h 等を説けばよい。( )
k
x
A
x
X
(
)
=
sin
x L n kx =π
n = 1, 2, 3, ...m
k
E
x x2
2 2h
=
= 2 ⎜⎝⎛∫
=1⎟⎠⎞ 0 2 dx X L A Q L(
2 2 2)
2 2 x y z x k k k m E = h + + 結局、12
12
[１次元周期的境界条件.ai]
AIST
周期的境界条件の導入
(periodic boundary condition)
一定方向に動き回る。
（往復運動ではない）=
周期的境界条件：
ψ
(
x
+
L
,
y
,
z
)
=
ψ
(
x
,
y
,
z
)
は、３次元の箱に閉じこめられた場合と同じ条件。 ) ( ), (y Z z YX
E
m
dx
x
X
d
x 2 2 22
)
(
h
−
=
x n n L k = 2π
nx= 0,1, 2, 3, ... 2 2 2 2 22
2
x x xn
mL
h
m
k
E
= h
=
1
)
(
0 2=
∫
LX
x
dx
解の１つの組：
)
(
)
(
x
L
X
x
X
+
=
を満足するためには、 である。一周
L
nx= 0に対して、 L x X( )= 1 nx= 1, 2, 3, ... に対して、(
)
1
exp(
ik
x
)
L
x
X
=
±
x として規格化すると、 x k L x X x k L x X x cosx 2 ) ( , sin 2 ) ( = =)
exp(
1
)
(
ik
x
L
x
X
=
±
x k π λ=2(
QL=λnx)
a
i
a
a
)
cos
sin
exp(
±
=
±
これに時間因子exp(
−
i
ω
xt
)
をかけると、)
(
exp
1
)
,
(
i
ik
x
t
L
t
x
X
=
±
x−
ω
x これは、位相速度ωx/kxで進む進行波である。なぜなら、 を使うと、)
cos(
1
t
x
k
L
xm
ω
x)
sin(
1
t
x
k
L
xm
ω
x 実数部： 虚数部： 時間を含まないSchrödinger方程式は、 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ) ( cos 1 t k x k L x x x mω13
13
S. Hara@AISTAIST
３次元周期的境界条件の導入
３次元周期的境界条件：
)
,
,
(
)
,
,
(
x
L
y
z
ψ
x
y
z
ψ
+
=
nx, ny, nz, = 0, ±1, ±2, ±3, ...m
E
k2
2 2k
h
=
解の１つ：
周期的境界条件を満足するためには、)
exp(
1
)
(
r
=
i
k
⋅
r
V
kψ
時間を含まないSchrödinger方程式は、
)
,
,
(
)
,
,
(
x
y
L
z
ψ
x
y
z
ψ
+
=
)
,
,
(
)
,
,
(
x
y
z
L
ψ
x
y
z
ψ
+
=
(Born-von Karman boundary condition)
)
(
)
(
2
2 2 2 2 2 2 2r
r
k k kE
z
y
x
m
⎟⎟
⎠
ψ
=
ψ
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
− h
3 L V= Lだけ進んだ時が、波長の整数倍になっていれば良いから、 z z y y x x n L k n L k n L k = 2π
, = 2π
, = 2π
k
yk
x 2π /L15
15
[自由電子とブロッホ波.ai]
AIST
単純な境界条件のまとめ
箱に閉じこめられた電子
①
0 L 往復運動 L②
周期的に同じ状態となる
= 周期的境界条件 = 境界で存在確率ゼロ結果的には、定在波となる。
結果的には、平面波となる。
一周L L Energy E wave vector k 運動エネルギー分布 k1 k2 k3 k4 k5 k6 Energy E wave vector k 運動エネルギー分布 z z y y x x n L k n L k n L k = 2π
, = 2π
, = 2π
L n L n L n z z y y x x π π π = = = k k k , , nx,ny,nz= 1, 2, 3, ... nx, ny, nz, = 0, ±1, ±2, ±3, ...16
16
S. Hara@AISTAIST
固体内での境界条件
行き交う電子は、結晶長Lで束縛されている。
②の結晶全体に対する
周期的境界条件を適用。
※ ①の箱形は不適切。
L
)
,
,
(
)
,
,
(
x
L
y
z
ψ
x
y
z
ψ
+
=
)
,
,
(
)
,
,
(
x
y
L
z
ψ
x
y
z
ψ
+
=
)
,
,
(
)
,
,
(
x
y
z
L
ψ
x
y
z
ψ
+
=
17
17
[Bloch波.ai]
AIST
周期的ポテンシャルの導入
結晶内のポテンシャル
も周期的に変化する
)
exp(
)
(
)
(
r
=
u
kr
⋅
i
k
⋅
r
kψ
Bloch波
)
(
)
(
r
=
kr
+
T
ku
u
周期的ポテンシャル：③
) (r k u 電子には、 で表される周期的変動 を与えるだけ。 固体の周期的原子配列は、 重要： 電子は実は自由に動く。 （Bragg反射のこと）L
T
V(x)
電子は、周期的に反射を受ける。)
(
)
(
r
=
kr
+
T
ku
u
)
(r
ku
)
exp(
i
k
⋅
r
)
(r
kψ
)
exp(
)
(
r
⋅
k
⋅
r
=
u
ki
T
原子の周期配列による波 固体内を伝搬する平面波Bloch波
② 周期的境界条件18
18
S. Hara@AISTAIST
Kronig-Penneyのモデル(1)
を短冊型ポテンシャルとする)
(r
ku
例Bloch波では、波数とエネルギーはどうなっているのか？
a
0
a+b
-b
U
00
○ 条件設定(1) 0<x<a:)
exp(
)
exp(
iKx
B
iKx
A
+
−
=
ψ
○ 条件設定(2) -b<x<0: = 平面進行波)
exp(
)
exp(
Qx
D
Qx
C
+
−
=
ψ
= 平面減衰曲線 ○ 条件設定(3) Blochの定理から、周期 a+bの影響で変調。(
a
<
x
<
a
+
b
) (
=
ψ
−
b
<
x
<
0
)
exp(
ik
(
a
+
b
))
ψ
K
Q
波数２種類と、減衰率１種類で性質を規定。K, k
Q
x = 0 において、A + B = C + D,
iK(A - B) = Q (C - D)
x = 0 ddx ddx ) 2 ( ) 1 ( ψ ψ = x = a において、(
Qb Qb)
ik(a b) iKa iKae
De
Ce
Be
Ae
+
−=
−+
+(
iKa iKa) (
Qb Qb)
ik(a b)e
De
Ce
Q
Be
Ae
iK
−
−=
−−
+(
)
[
Q
2−
K
2/
2
QK
]
sinh
Qb
sin
Ka
+
cosh
Qb
cos
Ka
以上４式から、 壁でのψ2≠0に注意。 周期的条件： 境界条件： 結晶内を伝搬する Bloch波の波数
R. de L. Kronig and W. G. Penney, Proc. Roy. Soc. A130, 499 (1931).
)
(
cos
k
a
+
b
=
19
19
[KronigPenney.ai; KroningPenney.sgx]
AIST
Kronig-Penneyのモデル(2)
x i x ix) cos sin exp( = + sinh (x x)/2 e e x= −− 2 / ) ( cosh x x e e x= +− Euler's K=nπ/aポテンシャルの壁幅bをゼロに
Q
2- K
2~ Q
2, sinh Qb ~ Qb, coshQb ~ 0 と近似して、
ka
Ka
Ka
Ka
P
/
)
sin
cos
cos
(
+
=
P
=
Q
2ba
/
2
0
a
b~0
U
0=∞
簡単化モデル：
Ka
Ka
Ka
Ka
P
/
)
sin
cos
(
+
2π
4π
−2π
−4π
0
0
1
−1
運動エネルギー分布2π 3π 4π
π
0
wave vector ka
E
=
h
2K
2/2
m
Kaのとらない範囲を規定。
Dirac
δ
-function potential
∑ − + Δ − = n b a n x m x V ( ( )) 2 ) ( 2 δ h
(
)
[
Q2−K2 /2QK]
sinhQbsinKa+coshQbcosKa=cosk(a+b)U0 =∞により、Q→大
20
20
AIST
ハンド分散： E-k 空間
band dispersion拡張ゾーン表示
π/a wave vector k π/a 0 E = h 2K 2/2 m 第1 Brillouin zone還元ゾーン表示
Brillouin zones 0 wave vector k E = h 2K 2/2 mπ/a 2π/a 3π/a 4π/a 第1 第2 第3 第4 reduced extended
21
21
（単なる紙面節約の表示法）∫
=
top
C
E
E
N
E
F
E
dE
n
(
)
(
)
[講義2バンド理論.ppt]AIST
キャリア（電子orホール）の量
E
N
= キャリア用シートの数 = キャリアのエ ネルギー分布状態 N(E)
電子の個数 n:
E
F
= シートの占有割合 = キャリアのエ ネルギー占有率 F(E)
1 0E
F 0.5 この絵では、 N(E)=一定を仮定。E
N(E)F(E)
= dEあたりの電子の数実際の例
0E
C ) ( ) (E F E N dEdn = F(E) N(E) ※ EFは、ECより下方にある。半導体中の動ける
= 状態密度 = Fermi-Dirac分布 （= 伝導帯の占有状態数）23
23
S. Hara@AISTAIST
状態密度 N(E)
(
)
2
3
3
2
1
2
2
)
(
E
M
E
E
m
N
C
C
h
−
≅
π
状態密度 N(E):
2 2 2 F F k m E = h 33
4
Fk
π
=
Ω
32 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Ω
L
kπ
2π L 波数1個あたりの体積Ωk 格子周期L 体積Ω を持つ、フェルミ球の中にある、 電子数 N total: 3 32
3
4
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
L
k
N
totalπ
Fπ
h F F mE k = 2 2 3 2 2 3 22
3
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
h
mE
V
k
V
Fπ
π
2 1 2 3 2 22
2
)
(
V
m
E
dE
N
d
E
N
total⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
h
π
density of states
3 32
3
4
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
L
k
N
totalπ
Fπ
Fermi sphere スピン量子数 （同じ状態を二つ取りうる） ※ 最上式では、V ≡ 1 (1cm3あたり)としている。 また、半導体の場合でも、波数の個数を下端Ecから数えるのは同じである。 3 L V=24
24
EC 伝導帯(Conduction band) の下端[講義2バンド理論.ppt]
AIST
Fermi-Dirac分布関数
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
kT
E
E
E
F
Fexp
1
1
)
(
一つの状態には、一つのモノしか入らない。
k: Boltzman定数 T: 絶対温度 [K]同種粒子の集合系の波動関数が粒子の交換
に対して、符号を換える時、粒子は、上式のフェ
ルミ統計に従う。
フェルミ粒子の例： 電子、陽子、中性子、
3He、...
パウリの排他原理：
Fermi-Dirac分布関数：
２個またはそれ以上の電子の量子数が全く一致する ことはありえない。かつ、多電子系 において、２個 の電子を交換しても、新しい状態 は得られない。 主量子数 n 方位量子数 l 磁気量子数 m スピン磁気量子数 ms)
,
(
)
,
(
r
1r
2ψ
r
2r
1ψ
=
−
a ψ b ψ ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (r1r2 ϕar1ϕbr2 ϕbr1ϕar2 ψ = − 例：25
25
S. Hara@AISTAIST
キャリア濃度を求める
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
kT
E
E
N
n
Cexp
C F∫
=
top C E EN
E
F
E
dE
n
(
)
(
)
(
)
2 3 2 1 3 2 2 ) (E M E E m N C C h − ≅ π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = kT E E E F F exp 1 1 ) (∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
top C E E F C CdE
kT
E
E
E
E
N
n
exp
1
)
(
2
2 1π
C de CM
h
kT
m
N
2 3 22
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≡
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
kT
E
E
F
N
F C C 122
π
∫
∞ −+
≡
0 ( ) 2 11
)
(
2 1 fe
d
F
η
fη
ηη
η Fermi-Dirac integral2
/
)
(
2 1 fe
F
η
f→
π
η ηf < 0 (EF- Ec<0)の場合： kT E E kT E E C)/ , f ( F C)/ ( − ≡ − ≡ η η⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
kT
E
E
N
p
Vexp
V F 2 3 22
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≡
h
kT
m
N
dh Vπ
3 2 2 3 * 2 3 *)
(
lh hh dhm
m
m
=
+
3 1 * 3 * 2 * 1)
(
m
m
m
m
de=
m
de=
(
m
l*m
*t2)
13for Si
電子の有効質量
ホールの有効質量
hole heavy : , hole light : * * hh lh m m transverse : , al longitudin : * * t l m m MCが1であることに注意。 Here, すでに得た３つの式：26
26
EC EV 伝導帯(Conduction band) の下端 伝導帯(Valence band) の上端 2 2 2 1 * 1 dk E d m =h ※ 有効質量は、 で求められる。[講義2バンド理論.ppt]
AIST
kT E dh de kT E V C i G Ge
T
m
m
m
e
N
N
np
n
2 / 2 3 4 3 2 0 15 2 /10
9
.
4
− −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
×
=
=
=
真性半導体のキャリア濃度
)
66
.
0
(
/
10
~
)
12
.
1
(
/
10
~
)
424
.
1
(
/
10
~
3 16 3 15 3 12eV
E
Ge
for
cm
eV
E
Si
for
cm
eV
E
GaAs
for
cm
n
G G G i=
=
=
n
i: キャリア濃度 [cm
-3]
E
G: バンドギャップ幅 [eV]
m
de: 電子の状態密度有効質量 [kg]
m
dh: ホールの状態密度有効質量 [kg]
m
0: 真空中の電子の質量 [kg]
n
iキャリア濃度 は、次式で表される。
27
27
in
p
n
=
=
となるようなキャリア濃度をn
iと定義する。
S. Hara@AISTAIST
不純物の導入
真性半導体
n
型半導体
p
型半導体
Si
143s
23p
2s
1p
3P
153s
23p
2s
1p
3Al
133s
23p
2s
1p
3 → 電子1個余り ← 電子1個借りてくる 混成 = 自由電子1個発生 = ホール1個発生E
FE
D FE
E
AE
F ドナー準位 アクセプタ準位 電子励起 ホール励起 ※EFが決まっているというよりも、飛び出しやすい電子やホールがあるので、 Eが不純物準位付近に近づいたというのが、Eが動く原因。 (リン原子準位) (アルミ原子準位) 電子エネルギ ー 電子が一個足りず、 電子を貰いやすい。 貰うと、Al原子は、 マイナスイオンになる。28
28
[講義2バンド理論.ppt]
AIST
p
N
N
n
+
A
−
=
D
+
+
不純物原子の量とキャリア密度
（人為的に）結晶中に導入 された全不純物原子の密度 格子位置に入って キャリアを出す能力のある 不純物原子密度 "仕込み量" イオン化した不純物原子密度 キャリア密度N
D
N
A
N
D
+
N
A
-n
p
ドナー アクセプタ ドナーイオン アクセプタイオン 電子 ホールN
D
incorp.N
A
incorp.+
イオン化 格子間位置 中性原子☆中性条件：
"dose density" "doping density"? ○ Si等高レベル技術と小さなEGでは：N
N
N
n
D D incorp D≅
>
≅
+ . [ドナー不純物を入れた場合] ○ 新材料や大きなEGでは：N
N
N
n
D D incorp D>>
>>
≅
+ .☆活性化率：
N
D
incorp.N
D
"impurity concentration"? "donor concentration" "ionized donor" "carrier concentration" (使用注意) (使用注意)mobile & variable fixed but variable
29
29
AIST
Fermi準位のグラフィカルな求め方
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
+kT
E
E
g
N
N
D F D Dexp
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
+kT
E
E
g
N
N
F A A Aexp
1
1
g = 2
g = 4
+
≅
N
D
n
より、
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
kT
E
E
N
kT
E
E
N
D F D F C Cexp
2
1
1
exp
この式から、EFが数値解析的または、 作図から求められる。30
30
ED EA ドナー準位 アクセプタ準位 （ドナー原子がイオン化する のに必要なエネルギー）10
2010
1910
1810
1710
1610
1510
1410
1310
1210
1110
1010
9E
F0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
[eV]
E
FE
DE
CE
Vn
iE
FN
DN
VN
CSi @300K
n-type ND=1016cm-3n
p
p + ND+ Carrier Concentration [cm -3 ]以下、Appendix
AIST
Schrödingerの方程式
t
i
z
y
x
m
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
h
2ψ
h
ψ
2 2 2 2 2 22
)
(
exp
)
,
(
t
i
ω
t
ψ
r
=
k
⋅
r
−
平面波
ωψ
ψ
h h∂∂ = t iψ
ψ
x k x ih =h ∂ ∂ −ψ
ψ
y k y ih = h ∂ ∂ −ψ
ψ
z k z ih =h ∂ ∂ −x
k
x
k
x
k
x+
y+
z=
⋅r
k
より、ψ
ψ
hk h∇ = − i ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ∇ z y x j k i とnablaベクトルを定義すれば、 もう一度微分すると、ψ
ψ
2 2 2 2 2 x k x h h = ∂ ∂ − p k = h であるから、ψ
ψ
=p ∇ − hi をψに作用させる事は、pを求めることと同じ意味。 h i − 2 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ∇ (Laplace演算子)を用いれば、(
) (
ψ
)
ψ
ψ
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p p p p k k kx + y + z = x + y + z = = ∇ −h hω
h = m p 22 より、 2ψ
=hωψ
2 1 p mψ
ψ
t i z y x m ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − h 2 h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 p m − hω
E = 量子力学的演算子 古典力学物理量ψ
ψ
E z y x m ⎟⎟⎠ = ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − 2 2 2 2 2 2 2 2 h ψが時間と変位量で変数分離出来るψ
(x,t)=e−iωtψ
(x) の時は、 2 2 ) ( ) , (x tψ
xψ
= で、時間に無関係であり、定常状態である。 E =ψ
ψ
E
z
y
x
m
⎟⎟
⎠
=
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
2 22 22 222
h
時間変化を記述する式： 定常状態を記述する式：39
39
[講義2バンド理論.ppt]
