ギリシャ文字の読み方を教えてください

テーマ H01： 単振り子の振動の近似解と厳密解 １．運動方程式 図 1 のように，質量 m のおもりが糸で吊り下げられている時，おもりには重力 W と糸の 張力 T が作用しています．おもりは静止した状態なので，W と F は釣り合った状態注）_にな っています．すなわち，T W です．W は質量 m と重力加速度 g の積となるため，W mg と表わされます． 注）：『釣り合った状態』とは，2 つの力が，値が等しく方向が正反対である状態をい います． ここで，おもりを手で水平方向に引張り，静止位置から角度だけおもりを振り上げた 状態にしたとき，おもりには，重力 W，水平方向の力 f，が作用し，合力である f ’が糸の 張力 T とつりあいます．すなわち，図 2 より，  cos W f T   (1) となり， 1 cos 1 _  なので，糸の張力 T は W から W/cosに増加することが分かります．糸の 張力 T は一定ではなく，おもりの位置によって変化します．次に，指を放すと，水平方向 の力 f が無くなるため，図 2 の力のつり合いが成立しなくなります．この時，おもりに作 用するのは，重力 W と糸の張力 T のみとなります．これらの力は，糸に直角な方向に合力 f ”を発生させ，おもりを運動させることになります．ただし，おもりは糸によって運動 を拘束されるため，結果として円運動をすることになります．この時，糸の張力は  cos W T  (2)

であり，cos 1なので，手を放したとたんに糸の張力は図 2 の W/cosから Wcosに減少

することが分かります．振り子ではおもりが運動している間，糸の張力 T は常に変動し， おもりが図 1 の状態となった時が最大となります．最大値は W です． 重力 W と糸の張力 T の合力 f ”の向きは，図 3 のように半径 l の円周の接線方向となり， その大きさは 図 1 m f W f ’  図 2 W 図 3 f” l s O    l l s  x 図 4 が微小なら

  sin sin mg W f   (3) です．この合力 f ”により，おもりは円弧を描くように往復運動することになります．そ こで，運動を x, y 成分で考えるより，円軌道に沿う運動を考えた方が，問題が簡単になる ため，振り子のつりあいの位置 O から円弧に沿って s 軸を取ることにします．この合力 f ” はおもりを s 軸の負の方向に運動させる力となるため，おもりの運動方程式は  sin 2 2 mg f dt s d m   (4) すなわち  sin 2 2 g dt s d _ (5) と表わすことができます．円弧の長さ s，半径 l，角度 には  l s (6) の関係があり，2 階微分は 2 2 2 2 dt d l dt s d _  (7) となるので，運動方程式はおもりの角度に対して   sin 2 2 l g dt d _ (8) と表わすことができます．この式は，角加速度 [rad/s2_{]を与える式でもあり，角加速度は角} 度によって変化することが分かります． ２．運動方程式の近似解 (8)式の運動方程式は簡単な微分方程式のように見えますが，三角関数を含んでいるため， このままでは解を求めることができません．ただし，円弧の角度が微小の場合には解を 求めることができます．図 4 において，が微小の場合，三角形の高さ x は円弧の長さ s にほぼ等しくなり s x (9) とおけるため        l l l s l x sin (10) となり，運動方程式は，   l g dt d _ 2 2 (11) と近似することができます．この方程式の解は，A と B を定数として， t l g B t l g Asin  cos   (12) と表わされます．この式を微分すると t l g l g B t l g l g A dt d sin cos    (13)

  l g t l g B t l g A l g t l g l g B t l g l g A dt d _           

 sin cos sin cos

2 2 (14) となって，運動方程式を満たすことから証明することができます． A と B は，初期条件から決定する必要があります．そこで，t0で ₀として(12)式 に代入すると B l g B l g A      sin 0 cos 0 0  すなわち，B₀となります． つぎに，t 0で 0 dt d _{として(13)式に代入すると} l g A l g l g B l g l g A _                cos 0 sin 0 0 すなわち，A0となり，(12)式は t l g cos 0    (15) と決定されます．このように，解が周期関数で表わされる振動を単振動といい，単振動で 近似できる振り子を単振り子といいます． l g は角振動数 [rad/s]と呼ばれ，記号で表わさ れます．すなわち， l g   (16) です．角振動数を 2で割った値は，おもりが 1 秒間に往復する回数を表わし，振動数f ［Hz］と呼ばれます．すなわち， l g f  2 1  (17) Hz はヘルツと呼び，1/s と同じ単位です．おもりが一往復するのに必要な時間は，周期T ［s］といい，振動数の逆数となります．すなわち， g l f T  1 2 (18) です． ３．運動方程式の数値解 (11)式の運動方程式は角度が微小でsin が成立する場合に限られ，おもりが大きく 振れる場合には，正確ではありません．角度が大きな場合の値を求めるには，(8)式を解

かなければなりません．(8)式の解析解を求めることは容易ではありませんが，次のように 連立微分方程式に変換すれば，ルンゲクッタ法による常微分方程式の数値解法を適用して， 数値解を得ることができます．ただし，若干の誤差はどうしても発生してしまいます． 角速度： z dt d _ (19) 角加速度： sin l g dt dz _ (20) ルンゲクッタ 4 次解法を用いて，角度，角速度 z，振り子の周期 T を求めるためのプログ ラム例を示します． 使用言語： VisualBasic 計算条件： 糸の長さ=0.1m 初期条件： 角度初期値=10deg 角速度初期値=0deg/s 変数 t, q, z が時刻 t，角度，角速度 zに相当します．

Private Sub Command1_Click()

Dim h, t, q, z, k0, l0, k1, l1, k2, l2, k3, l3, q0, q4 As Double N = 20000 '計算繰り返し数 h = 0.00001 '計算刻み[s] t = 0 '時刻初期値[s] q0 = 1 '振れ角[deg] q = q0 * 3.1415926535 / 180 '初期角度を rad に変換 z = 0 '角速度初期値[rad/s] For i = 1 To N k0 = h * difEq1(t, q, z) l0 = h * difEq2(t, q, z) k1 = h * difEq1(t + h / 2, q + k0 / 2, z + l0 / 2) l1 = h * difEq2(t + h / 2, q + k0 / 2, z + l0 / 2) k2 = h * difEq1(t + h / 2, q + k1 / 2, z + l1 / 2) l2 = h * difEq2(t + h / 2, q + k1 / 2, z + l1 / 2) k3 = h * difEq1(t + h, q + k2, z + l2) l3 = h * difEq2(t + h, q + k2, z + l2) t = t + h q = q + (k0 + 2 * k1 + 2 * k2 + k3) / 6 z = z + (l0 + 2 * l1 + 2 * l2 + l3) / 6

If i Mod 1000 = 0 Then Print t, q, z '1000 回に 1 回時刻[s], 角度[rad], 角速度[rad/s] を表示する If q <= 0 Then '角度が負になるとき＝4 分の 1 周期 q4 = 4 * (t - h) '周期＝時刻の 4 倍 Exit For End If Next Print i, q4 '繰り返し回数と周期を表示 End Sub

Public Function difEq1(t, y, z) As Double difEq1 = z '(19)式

End Function

Public Function difEq2(t, y, z) As Double Dim g, l As Double g = 9.81 '重力加速度[m/s/s] l = 0.1 '糸の長さ[m] difEq2 = -g / l * Sin(y) '(20)式 End Function ４．振り子の周期T の厳密解 エネルギー保存の法則から振り子の周期 T の式を求めることができます． 振り子の支点より水平方向に x 軸を取り，鉛直下方に y 軸を取ると，エネルギー保存の 法則から，次式が成立します． h mg mv2   2 1 (21) ただし，v はおもりが円周方向に移動する速度で， h はおもりの落下距離です． ここで，



0



0 cos cos cos cos       h l l l (22) なので



0





0



2 cos cos 2 cos cos 2 1 _{       } gl v mgl mv (23) さらに dt d l dt ds v   (24) なので，



cos cos 0



2    _{ } gl dt d l (25) より， 図 5   h0 O _x y v h

0 cos cos 2      d g l dt (26) が得られます．これを積分すると周期を求めることができます．ただし，左辺の積分範囲 をt0から 4 分の１の周期に相当する 4 T t とすると，右辺の積分範囲は， 0から ₀ になります．





 0 _ 0 0 4 0 _{2 cos cos}     d g l dt T (27) より



_  0 0 0 cos cos 2 4     d g l T (28) 右辺の積分が分かれば，厳密な周期を求めることができますが，そのために変数変換を行 う必要があります．       _                 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 1 2 sin 2 1 cos cos 2 sin 2 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 0 2 0 2 2 0 0 2 0 2           さらに 2 sin 2 sin sin 0     (29) とおき，変数変換を行います．







       0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 cos 2 sin sin 1 2 sin sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin       (30) さらに，変数変換式の全微分を行うと

               d d d d d d d d cos 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 sin sin 0 0 0               (31) さらに，     2 2 0 2 sin 2 sin 1 2 sin 1 2 cos     (32) なので       d d cos sin 2 sin 1 2 sin 2 2 0 2 0   (32) となります． 0   のとき， 0 2 sin 2 0 sin sin 0   _  より， 0 (33) 0    のとき， 1 2 sin 2 sin sin 0 0   _   より， 2   (34) となるので積分範囲は，が 0 から₀のとき，は 0 から 2  _{となります．これらをまとめる} と，積分は次のように変換されます．







      2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 0 _sin 2 sin 1 4 cos 2 sin 2 cos sin 2 sin 1 2 sin 2 8 cos cos 8 0                 d g l d g l d g l T (35) 最後の式の積分は，次の楕円積分の公式が適用できます．





n n a n n a d I 2 0 2 2 0 2 2 _{2 !!} ! ! 1 2 2 sin 1





               ただし，

 

1 !!1 (36) 参考：!!は 2 重階乗といい，以下のように計算します． 384 2 4 6 8 ! ! 8 105 1 3 5 7 ! ! 7 48 2 4 6 ! ! 6 15 1 3 5 ! ! 5 8 2 4 ! ! 4 3 1 3 ! ! 3 2 ! ! 2 1 ! ! 1 1 ! ! 0                            結果は，以下の通りです．





n n n n g l d g l T 2 0 0 2 2 0 2 0 2 2 sin ! ! 2 ! ! 1 2 2 sin 2 sin 1 4





                        (37) 具体的には， 2 sin0  a とおくと g l a a a a a a a a a a a a g l T   2 1048576 53361 65536 3969 16384 1225 256 25 64 9 4 1 1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 1 2 12 10 8 6 4 2 12 2 10 2 8 2 6 2 4 2 2 2       _{      }                                                         (38) ５．微小角の範囲 ところで，近似解が成立する微小角とは何度までをいうのでしょうか？近似解および 数値解を厳密解と比較した結果を表 1 に示します． 計算条件 糸の長さ l=0.1m 重力加速度 g=9.81m/s2 厳密解：（38）式を a12_{の項まで使用} 近似解：（18）式より 63437 . 0 81 . 9 1 . 0 2 2      g l T s （近似解は振れ角に関係なく一定です）

数値解：第 3 節のプログラムを使用 表 1 から分かるように，と sinの値の差は，の増加に従ってどんどん増加して行き ます．その様子を図 6 に示します．厳密解は近似解（0.63437s）より大きな値を示し，近似 解の周期の誤差は，角度の誤差に比較すると小さいものの，やはり振れ角の増加につれて 増加していくことが分かります．その様子を図 7 に示します．数値解の周期の誤差は，厳 密解に対して 0.05%以下となり， に関係なくほぼ一定しています．その様子を図 8 に示 します．グラフが変動しているのは，数値計算上の特性です．なお，数値解はが 1deg 以 下でも厳密解と完全に一致することはありません．これは数値解法の限界といえます．結 局，微小角が何度を意味するかは，許容できる誤差の程度しだいと言えそうです． 図 6  に対する sinの誤差[%]と振れ角[deg]の関係 （横軸は振れ角[deg]，縦軸は誤差[%]） 図 7 周期の厳密解に対する近似解の誤差[%]と振れ角[deg]の関係 （横軸は振れ角[deg]，縦軸は誤差[%]） 0.000 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 -8.000 -7.000 -6.000 -5.000 -4.000 -3.000 -2.000 -1.000 0.000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

図 8 周期の厳密解に対する数値解の誤差[%]と振れ角[deg]の関係 （横軸は振れ角[deg]，縦軸は誤差[%]） 0.0410 0.0420 0.0430 0.0440 0.0450 0.0460 0.0470 0.0480 0.0490 0.0500 0.0510 0.0520 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

表 1 周期の値と誤差

http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/SimplePendulum.pdf Copyright ⓒ 2011, 2014 小西克享, All Rights Reserved.

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振れ角

 [deg]  [rad] sin

とsinの 誤差 [%] 周期 厳密解 [s] 周期 数値解 [s] 近似解 の誤差 [%] 数値解 の誤差 [%] 1 0.017453 0.017452 0.005 0.634386 0.63468 -0.003 0.0463 2 0.034907 0.034899 0.020 0.63442 0.63472 -0.008 0.0469 3 0.05236 0.052336 0.046 0.63448 0.63480 -0.018 0.0500 4 0.069813 0.069756 0.081 0.63457 0.63488 -0.031 0.0493 5 0.087266 0.087156 0.127 0.63468 0.63496 -0.048 0.0447 6 0.10472 0.104528 0.183 0.63481 0.63512 -0.069 0.0490 7 0.122173 0.121869 0.249 0.63497 0.63528 -0.094 0.0494 8 0.139626 0.139173 0.326 0.63515 0.63544 -0.122 0.0460 9 0.15708 0.156434 0.412 0.63535 0.63564 -0.155 0.0451 10 0.174533 0.173648 0.510 0.63558 0.63588 -0.191 0.0466 11 0.191986 0.190809 0.617 0.63584 0.63616 -0.231 0.0506 12 0.20944 0.207912 0.735 0.63612 0.63644 -0.275 0.0507 13 0.226893 0.224951 0.863 0.63642 0.63672 -0.322 0.0470 14 0.244346 0.241922 1.002 0.63675 0.63704 -0.374 0.0457 15 0.261799 0.258819 1.152 0.63710 0.63740 -0.429 0.0467 16 0.279253 0.275637 1.312 0.63748 0.63780 -0.488 0.0502 17 0.296706 0.292372 1.482 0.63788 0.63820 -0.551 0.0498 18 0.314159 0.309017 1.664 0.63831 0.63860 -0.617 0.0455 19 0.331613 0.325568 1.857 0.63876 0.63908 -0.688 0.0498 20 0.349066 0.34202 2.060 0.63924 0.63956 -0.762 0.0502 21 0.366519 0.358368 2.275 0.63974 0.64004 -0.840 0.0467 22 0.383972 0.374607 2.500 0.64027 0.64056 -0.921 0.0454 23 0.401426 0.390731 2.737 0.64082 0.64112 -1.007 0.0464 24 0.418879 0.406737 2.985 0.64140 0.64172 -1.096 0.0497 25 0.436332 0.422618 3.245 0.64201 0.64232 -1.189 0.0489 26 0.453786 0.438371 3.516 0.64264 0.64296 -1.286 0.0504 27 0.471239 0.45399 3.799 0.64329 0.64360 -1.387 0.0478 28 0.488692 0.469472 4.094 0.64397 0.64428 -1.491 0.0475 29 0.506145 0.48481 4.401 0.64468 0.64500 -1.600 0.0492 30 0.523599 0.5 4.720 0.64542 0.64572 -1.712 0.0468 31 0.541052 0.515038 5.051 0.646179 0.64648 -1.828 0.0466 32 0.558505 0.529919 5.394 0.646967 0.64728 -1.947 0.0484 33 0.575959 0.544639 5.751 0.647782 0.64808 -2.070 0.0460 34 0.593412 0.559193 6.119 0.648624 0.64892 -2.198 0.0456 35 0.610865 0.573576 6.501 0.649493 0.64980 -2.328 0.0472 36 0.628319 0.587785 6.896 0.65039 0.65072 -2.463 0.0507 37 0.645772 0.601815 7.304 0.651314 0.65164 -2.602 0.0500 38 0.663225 0.615661 7.726 0.652267 0.65256 -2.744 0.0450 39 0.680678 0.62932 8.161 0.653247 0.65356 -2.890 0.0479 40 0.698132 0.642788 8.610 0.654256 0.65456 -3.039 0.0465 41 0.715585 0.656059 9.073 0.655293 0.65560 -3.193 0.0469 42 0.733038 0.669131 9.551 0.656359 0.65668 -3.350 0.0489 43 0.750492 0.681998 10.043 0.657454 0.65776 -3.511 0.0466 44 0.767945 0.694658 10.550 0.658578 0.65888 -3.676 0.0458 45 0.785398 0.707107 11.072 0.659732 0.66004 -3.844 0.0467 46 0.802851 0.71934 11.609 0.660916 0.66124 -4.017 0.0491 47 0.820305 0.731354 12.163 0.66213 0.66244 -4.192 0.0469 48 0.837758 0.743145 12.731 0.663374 0.66368 -4.372 0.0462 49 0.855211 0.75471 13.317 0.664649 0.66496 -4.556 0.0468 50 0.872665 0.766044 13.918 0.665955 0.66628 -4.743 0.0488 51 0.890118 0.777146 14.537 0.667292 0.66760 -4.934 0.0461 52 0.907571 0.788011 15.172 0.668661 0.66900 -5.128 0.0507 53 0.925025 0.798636 15.826 0.670062 0.67040 -5.327 0.0504 54 0.942478 0.809017 16.497 0.671496 0.67180 -5.529 0.0453 55 0.959931 0.819152 17.186 0.672962 0.67328 -5.735 0.0473 56 0.977384 0.829038 17.894 0.674461 0.67480 -5.944 0.0503 57 0.994838 0.838671 18.621 0.675994 0.67632 -6.157 0.0483 58 1.012291 0.848048 19.367 0.67756 0.67788 -6.374 0.0472 59 1.029744 0.857167 20.133 0.679161 0.67948 -6.595 0.0470 60 1.047198 0.866025 20.920 0.680797 0.68112 -6.819 0.0475