平成 3 0 年度前期選抜学力検査 数学 ( 1 0 時 ~ 1 0 時 4 5 分, 4 5 分間 ) 問題用紙 注 意 1. 開始 の合図があるまで開いてはいけません 2. 答えは, すべて解答用紙に書きなさい 3. 問題は, からまでで, 6 ページにわたって印刷してあります 4. 開始 の合

全文

(1)

平 成 3 0 年 度 前 期 選 抜 学 力 検 査

( 1 0 時 ~ 1 0 時 4 5 分 , 4 5 分 間 )

注 意 1.「開始」の合図があるまで開いてはいけません。 2.答えは,すべて解答用紙に書きなさい。 3.問題は, から までで, 6 ページにわたって印刷してあります。 4.「開始」の合図で,解答用紙の決められた欄に受検番号を書きなさい。 5.問題を読むとき,声を出してはいけません。 6.「終了」の合図で,すぐに筆記用具を置きなさい。

(2)

1 -あとの各問いに答えなさい。(18点) ⑴ - 9 - 2 × 4 を計算しなさい。 3 ⑵ ( 6 x y - 27 y2

(

y

)

を計算しなさい。 4 ⑶ x = 3 , y =- 7 のとき, 5 ( x + 2 y )- 4 ( 2 x + 3 y ) の値を求めなさい。 3 ⑷ 一次関数 y = x + 1 について, x の増加量が 5 のときの y の増加量を求めなさい。 2 ⑸ を計算しなさい。 ⑹ 二次方程式 ( 2 x - 1 )2 = 3 (x - 1 )( x + 2 )+ 25 を解きなさい。 8 3 - 54 4

(3)

2 -⑺ 一の位の数が 4 である 2 けたの自然数Aが,Aの各位の数の和の 7 倍に等しいとき,自然数A を求めなさい。 ⑻ 右の図のように, 3 点A,B,Cは円Oの周上 にあり,∠BAC=58°である。点Cをふくまな い側にあるAB上に,AD=DB となるように 点Dをとり,点Bをふくまない側にあるCA上 に,CE=EA となるように点Eをとる。点A をふくまない側にあるBC上に点Fをとるとき, ∠DFEの大きさを求めなさい。 ⑼ 次の図で,△ABCの∠ABCの二等分線上にある点Dと,頂点B,Cを結んでできる 1 三角形のうち,△DBC= △ABC となる△DBCを,定規とコンパスを用いて作図し 2 なさい。 なお,作図に用いた線は消さずに残しておきなさい。 C E B A D 58° O F B A C 次 の ペー ジ へ→

(4)

3 -10 5 6 7 8 9 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0 2 7 2 7 あとの各問いに答えなさい。( 8 点) ⑴ 次の各問いに答えなさい。 ① - 3 の整数の部分はいくつになるか,求めなさい。 ② - 3 の小数の部分をa とするとき, a2+ 5 a の値を求めなさい。 ⑵ 右の表は,A中学校の生徒 40人とB中学校の生徒160人 について,ある日の睡眠時間 を調べ,その結果を度数分布 表に整理したものである。 このとき,次の各問いに答 えなさい。 ① 表の (あ) ~ (う) に,それぞれあてはまる数 を書き入れなさい。 ② 右の図は,表をもとにして,A中 図 A中学校 B中学校 学校の生徒とB中学校の生徒の,あ (相対度数) る日の睡眠時間の相対度数を度数分 布多角形(度数折れ線)に表したも のである。 表と図から読み取れることがらと して,次のア~エから適切なものを すべて選び,その記号を書きなさい。 ア.A中学校の生徒とB中学校の生徒の,睡眠時間の中央値は同じ階級にある。 イ.A中学校の生徒とB中学校の生徒の,睡眠時間の最頻値は等しい。 ウ.B中学校の生徒の半数以上は,睡眠時間が 8 時間以上である。 エ.A中学校は,B中学校より,睡眠時間が 8 時間未満の生徒の相対度数の合計が 大きい。 表 階級(時間) A中学校 B中学校 度数 相対 度数 相対 以上 未満 (人) 度数 (人) 度数 0 ~ 5 0 0.00 0 0.00 5 ~ 6 2 0.05 8 0.05 6 ~ 7 (あ) 0.25 36 0.23 7 ~ 8 (い) (う) 47 0.29 8 ~ 9 8 0.20 59 0.37 9 ~ 10 2 0.05 10 0.06 10 ~ 0 0.00 0 0.00 計 40 1.00 160 1.00 (時間) (時間) (時間) (時間)

(5)

y y y y 4 -次の図 1 のように,BC= 9 cm,CD= 4 cm,DA= 5 cm,∠C=∠D=90°の四角形ABCD の 2 点B,Cと,PQ= 3 cm,SP= 7 cmの長方形PQRSの 2 点Q,Rは直線ℓ上にあり,点B と点Rは重なっている。図 2 のように,四角形ABCDを固定し,長方形PQRSを矢印の方向 に秒速 1 cmで,点Qが点Bと重なるまで平行移動させる。図 1 の位置にある長方形PQRSが動 き始めてからx 秒後の,長方形PQRSが四角形ABCDと重なる部分の面積を y cm2とするとき, あとの各問いに答えなさい。( 9 点) 図 1 図 2 y cm2 ⑴ x = 1 のとき, y の値を求めなさい。 ⑵ 0 ≦x ≦ 3 のとき, y を x の式で表しなさい。 ⑶ 3 ≦x ≦ 7 のとき, y を x の式で表しなさい。 ⑷ 0 ≦x ≦ 7 のとき, x と y の関係を表したグラフはどのようになるか,次のア~エから最も 適切なものを 1 つ選び,その記号を書きなさい。 ア イ ウ エ ⑸ 長方形PQRSが四角形ABCDと重なる部分の面積と,四角形ABCDの面積の比が 1 : 4 のとき,x の値を求めなさい。

3

次 の ペー ジ へ→ A C ℓ P Q S (R) B D 7 cm 3 cm 5 cm 4 cm 9 cm x x x x 0 3 0 3 0 3 0 3 10 10 10 10 P Q B R S ℓ A D C 7 7 (㎠) (㎠) (㎠) (㎠) (秒) (秒) 7(秒) 7(秒)

(6)

5 -あとの各問いに答えなさい。( 5 点) ⑴ 右の図のように,正四角すいOABCDの辺OA, OB,OC,ODの中点をそれぞれE,F,G,Hと し,正四角すいOABCDから正四角すいOEFGH を切り取って立体Kをつくる。 立体Kの体積は,正四角すいOABCDの体積の何 倍になるか,求めなさい。 ⑵ 右の図 1 のように,片方の面は白,もう片 図 1 方の面は黒のカードがある。このカード 5 枚 を,図 2 のように,[ 1 ],[ 2 ],[ 3 ],[ 4 ], 片方の面 もう片方の面 [ 5 ]の下に, 1 枚ずつ白,黒,白,黒,白の 面が見えるように並べる。 1 個のさいころを 図 2 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 1 回投げるごとに,次の【ルール】にしたが って,カードを裏返す。 このとき,次の各問いに答えなさい。 ただし,さいころの目の出方は, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 の 6 通りであり,どの目が出るこ とも同様に確からしいものとする。 【ルール】 ・ さいころの出た目の数が, 1 のときは[ 1 ], 2 のときは[ 2 ], 3 のときは[ 3 ], 4 のときは[ 4 ], 5 のときは[ 5 ]の下にあるカードを裏返す。 ・ さいころの出た目の数が 6 のときは, 5 枚のカードすべてを裏返す。 ① さいころを 1 回投げたとき,[ 3 ]の下にあるカードの見える面が黒になる確率を求めなさ い。 ② さいころを 2 回投げたとき,黒の面が見えるカードの枚数が,白の面が見えるカードの枚 数より多くなる確率を求めなさい。 E G H F O D A B C 立体K 裏返す

(7)

6 -次の図のように,AB=ACの二等辺三角形ABCがあり,∠ABCの二等分線と辺ACとの 交点をDとする。点Aから辺BCに平行な直線をひき,直線BDとの交点をEとし,辺BCをC の方に延長した直線上にBD=DFとなる点Fをとる。線分DFと線分CEの交点をG,線分 AFと線分BEの交点をHとする。 このとき,あとの各問いに答えなさい。(10点) ⑴ △CDG≡△CFGであることを証明しなさい。 ⑵ AB= 8 cm,BC= 4 cm のとき,次の各問いに答えなさい。 ① 線分CFの長さを求めなさい。 ② 線分CGと線分GEの長さの比を,最も簡単な整数の比で表しなさい。 ③ △ADHと△CFGの面積の比を,最も簡単な整数の比で表しなさい。

5

C D G A B H E F -お わ り-

(8)

受 検 番 号 得 点 番 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ x = ⑺ ⑻ ∠DFE= ° ⑼ ⑴ ① ② ⑵ ① (あ) (い) (う) ② ⑴ y = ⑵ y = ⑶ y = ⑷ ⑸ x

1

2

3

B A C ⑴ 倍 ⑵ ① ② ⑴ <証 明> ⑵ ① CF = cm ② CG:GE = : ③ △ADH:△CFG = :

4

5

(9)

- 6 12

(数学)前期選抜採点基準

「採点基準」で処理できない場合は,各校の統一見解で採点されたい。 問 題 配 点 正 答 例 備 考 ⑴ 1点 -17 18点 ⑵ 2点 -8

x

+36

y

⑶ 2点 5 ⑷ 2点 ⑸ 2点 ⑹ 2点

x

= -2,9 ⑺ 2点 84 ⑻ 2点 ∠DFE = 61 ° ⑼ 3点 * 数学的な推論をもとに,作図され ていればよい。 ① * 部分点可。 ・ ①が示せて,1点。 ② ・ ②が示せて,1点。 ⑴ ① 1点 2 8点 ② 2点 28-10 ⑵ ① 1点 (あ) 10 1点 (い) 18 1点 (う) 0.45 ② 2点 ア,エ * すべて正答の場合のみ,2点。 * 順不同。 1 ⑴ 1点

y

= 2 1 9点 ⑵ 2点

y

x

2 2 9 ⑶ 2点

y

= 3

x

- 2 ⑷ 2点 イ 23 ⑸ 2点

x

= 6 (裏面へ続く) 15 2 D B A C

(10)

7 ⑴ 1点 倍 8 1 5点 ⑵ ① 2点 3 5 ② 2点 18 ⑴ 4点 <証 明> * 数学的な推論の過程が,的確に表 △CDGと△CFGにおいて, 現されていればよい。 10点 共通な辺だから, CG=CG ・・・① * 部分点可。 線分BEは∠ABCの二等分線だから, ・ ①の証明ができて,1点。 ∠ABD=∠CBD ・・・② ・ ⑥の証明ができて,1点。 AE∥BFより,錯角は等しいから, ・ ⑩の証明ができて,1点。 ∠CBD=∠AED ・・・③ ②,③より, ∠ABD=∠AED よって,△ABEは二等辺三角形だから, AB=AE このことと仮定より, AC=AE よって,△ACEは二等辺三角形だから, ∠DCG=∠AEG ・・・④ AE∥BFより,錯角は等しいから, ∠AEG=∠FCG ・・・⑤ ④,⑤より, ∠DCG=∠FCG ・・・⑥ △ABCが二等辺三角形であることと,②より, ∠DCB=2∠CBD ・・・⑦ △BDFは二等辺三角形だから, ∠CBD=∠CFG ・・・⑧ 三角形の1つの外角は,そのとなりにない2つの内角の 和に等しいから, ∠DCB=∠CDG+∠CFG ・・・⑨ ⑦,⑧,⑨より, ∠CDG=∠CFG よって,△CDFは二等辺三角形だから, CD=CF ・・・⑩ ①,⑥,⑩より, 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので, △CDG≡△CFG 8 ⑵ ① 2点 CF = cm 3 ② 2点 CG:GE = 1 :5 ③ 2点 △ADH:△CFG = 24:11 合 計 50点

(11)

(8−818)ZM◇ Otへ主導吉富を青田醒嘉つれ〉ム‘1図号⑦「上潮」”9 ○γヰ軍 事席上1円電卓‘責了垂嬰玄謡曲 ●9 Ot1主導責量重言豊耕套⊃!馳孝呼∈@濫⑦甥出塁鞘‘1図号⑦「鞘闇」‘ウ ○上巻の聖工1憎鴫工⊂薯q⊃!宗一〉9‘ユニ」葦

円卓噂□風韓曲・8

Ot1主導喜量ニー弼出家勘工)阜‘判㌢嵩’Z ○γ車掌工事↑モー工(↑闇1拳g聖鮮図号⑦「艶聞」”し 葦      軍

瑚 出r∴寵 閏

(凹凸917鳴差し軸LL∼据HOL)毒

蕃∴靭[色∴真言醤言古08荘上玉

礁∴臼

(12)

[□

あとの各問いに答えなさい。(12点) (1)一16+11を計算しなさい。 (2)−12〟÷(−3)を計算しなさい。 (3) 〟+y  3〟一5y 2      8 を計算しなさい。 (4)(/丁−2/丁)2 を計算しなさい。 (5)6〟2−24 を因数分解しなさい。 (6)二次方程式 3〟2−〟−1=0 を解きなさい。 (7)右の表は,ある中学校の3年生40人のハンドボール投げの

記録を度数分布表に整理したものである。この度数分布表に

ついて,次の各問いに答えなさい。 (D 最頻値を求めなさい。 ②10m以上15m未満の階級の相対度数を求めなさい。 −1− 階級(m) 度数(人) 以上    未満 2 5 − 10 10 − 15 8 15 − 20 11 20 − 25 13 25 − 30 5 30 − 35 1 計 40 ◇M2(818−9)

(13)

あとの各問いに答えなさい。(9点) (1)次の図のように,1辺の長さが5cmの正方形の紙u枚を,重なる部分がそれぞれ縦5cm, 横1cmの長方形となるように,1枚ずつ重ねて1列に並べた図形をつくる。 正方形の紙%枚を1枚ずつ重ねて1列に並べた図形の面積をuを使って表しなさい。 1cm 5cm! I I I i I I I 正方形の紙u枚を1枚ずつ重ねて1列に並べた図形 (2)A水族館では,通常営業日の,大人1人の入館料と子ども1人の入館料を合計すると,3600 円となる。特別営業日には 大人1人の入館料が通常営業日の大人1人の入館料の2割引とな り,子ども1人の入館料が通常営業日の子ども1人の入館料の3割引となる。特別営業日に, 大人2人と子ども3人でA水族館に行ったとき,支払った入館料を合計すると6510円となっ た。 次の!∴∴iは,特別営業日の,大人1人の入館料と子ども1人の入館料を,連立方程式を 使って求めたものである。 入れなさい。 に,それぞれあてはまる適切なことがらを書き 通常営業日の,大人1人の入館料を〟円,子ども1人の入館料をy円とすると, これを解くと,〟= =3600 =6510 ,y= このことから,特別営業日の,大人1人の入館料は 円,子ども1人の入館 (3)右の図のように,1,2,3,4,5の数が1つずつ書かれた5枚のカード がある。この5枚のカードをよくきってから,1枚ずつ2回続けてひき,1回 目にひいたカードに書かれている数を十の位の数,2回目にひいたカードに書 かれている数を一の位の数として,2けたの整数をつくるとき,次の各問いに 答えなさい。 ただし,ひいたカードはもとにもどさないものとする。 (D できる2けたの整数は,全部で何通りあるか,求めなさい。 ② できる2けたの整数が3の倍数になる確率を求めなさい。 − 2 −

回田回

回田

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(14)

あとの各問いに答えなさい。(10点) (1)右の図のように,関数y=α+b…⑦のグラフ上に 2点A,Bがあり,点Aの座標が(1,9),点Bの座標 が(−2,0)である。 このとき,次の各問いに答えなさい。 ① a,bの値を求めなさい。 ② 原点を0とし,△OABを,X事由を軸として1回転 させてできる立体の体積を求めなさい。 ただし,円周率は乃とし,座標軸の1目もりを 1cmとする。 (2)右の図のように,関数y=aX2・・・⑦のグラフ上 に2点A,Bがあり,点Aの座標が(2,2), 点Bの座標が(一4,p)である。 このとき,次の各問いに答えなさい。 ① a,pの値を求めなさい。 ② 関数⑦について,〟の変域が一1≦〟≦3の ときのyの変域を求めなさい。 ③ 〟事由上に点Cをとり,△ABCをつくる。 9 B A −2lo 1 ⑦     y B 2 p 一一一一一一A I I I i i i i i −4      0 2 △ABCの面積が△OABの面積の十倍になるとき・点Cの座標を求めなさい。 ただし,原点を0とし,点CのX座標は点Aの〟座標より小さいものとする。 − 3 − ◇M2(818−11)

(15)

あとの各問いに答えなさい。(8点) (1)次の図で 直線p上に点Aがあるとき,直線p上にあり,∠APB=600となる点Pを,定 規とコンパスを用いて作図しなさい。 なお,作図に用いた線は消さずに残しておきなさい。 (2)右の図のように,点A,B,C,D,E,F, G,Hを頂点とし,1辺の長さが6cmの立方 体がある。辺BFの中点をI,辺DHの中点を Jとし,4点A,E,I,Jを結んで三角すいP をつくる。 このとき,次の各問いに答えなさい。 なお,各問いにおいて,答えの分母に√ がふくまれるときは,分母を有理化しなさい。 また,√の中をできるだけ小さい自然数にし なさい。 ① 辺EJの長さを求めなさい。 ② △EIJの面積を求めなさい。 ③ 面EIJを底面としたときの三角すいPの高さを求めなさい。 − 4 − 三角すいP 次のページへ→ ◇M2(818−12)

(16)

次の図のように,線分ABを直径とする円0の円周上に点Cをとり,△ABCをつくる。線分 COを0の方に延長した直線と円0との交点をDとし,線分ADをひく。∠CABの二等分線と 線分CO,線分BC,円0との交点をそれぞれE,F,Gとし,線分CGをひく。線分DGと線分 ABの交点をHとする。 このとき あとの各問いに答えなさい。 ただし,点Gは 点Aと異なる点とする。(11点) (1)次の」____」は,△AOE=△DOHであることを証明したものである。 に,それぞれあてはまる適切なことがらを書き入れなさい。 〈証 明〉 △AOEと△DOHにおいて, 円0の半径だから, 対頂角は等しいから, OA = OD ∠AOE 線分AGは∠CABの二等分線だから,   ∠EAO 弧CGに対する円周角は等しいから,

③,④より,

①,②,⑤より,

∠HDO   …④ ∠EAO = ∠HDO がそれぞれ等しいので, △AOE = △DOH − 5 − ◇M2(818−13)

(17)

(2)△ADH∽△GCEであることを証明しなさい。 (3)AB=10cm,BC=6cmのとき,次の各問いに答えなさい。 ① 線分OEの長さを求めなさい。 ② 線分AEと線分EGの長さの比を,最も簡単な整数の比で表しなさい。 ③ △ADHと△GCEの面積の比を,最も簡単な整数の比で表しなさい。 − 6 − ーおわり− ◇M2(818−14)

(18)

S 一へ lI O 〔ヰ (ェ】 < ・⑯ 乍 く」 ) II 出 (J O < 宙 〔⊃ 苗 く く 樟 (    ( ㊤ ◎ も も 〉 一− 〈    ( ▼一一一1 N oつ ヽ、_一′ 、__一/    ) ( く暮つ 重 くJ ) ( ) (⊃ ⑯ II II ⑯ VIl :>\ Vli e くゝ lI il くさ Q ㊤ ㊤ ⑯ (    ( 章一−1 ヽ一一一/     ) ㊧ ⑯ ㊥ ⑳ ( ⊆\ 鰻 ) ( C、J 重 くJ ) ㊥ ㊤ ㊥ ㊤ (    (    ( ▼一一1 N Clつ’ ヽ、_一/ ヽ、一一一・/    ) ⑳ モ ) ( ○つ ) ( L【⊃ ) ㊤ ( ト一 、ヽ__′/ Il * iiS (    (    ( 7−−1 Cj⊃ )    ) ヽヽ___/ 令 − ∞ [ ∞ ︶ ∞ 笠 ◇

田園題題語間晴間問詰

吋∴曲町 ル輩∴鰍

(19)

B(数学)採点基準     「採点基準」で処理できない場合は,各校の統一見解で採点されたい。 問  題 配点 正    答    例 備    考 □ 12点 (1) 1点 −5 〈2) 1点 4 ズ 〈3) 2点 蔦+9y ・8 (4) 2点 23−4√丁子 〈5) 2点 6(膏 + 2)i(〟 − 2) (6) 2点 l±ltT X= −6 (7) ① 1点 2・2.5  (m) ② l点 0.2 田 9点 (1〉 2点 20n+ 5  (cm2) (2) 〝① ・l点 ズ +y ② 1点 16 21 10〟+10y ③ 1点 2100 * ③,④両方正答の場合のみ,l点。 ④ 1500 ⑤ 1点 1680 * ⑤,⑥両方正答の場合のみ,1点。・ ⑥ 1050 〈3) ① 1点 ・20  (通り) ② 2点 2 5 田 10点 (1) ① 1点 a = 3 1点 b = 6 ② 2点 54冗  (cmS) (2) ① 1点 l a=−  2 1点 p・= 8 ② 2点    9 0≦y≦二−    2

2点

C(÷,0)

(裏面へ続く)

(20)

田 8点 (1)

3点 B 二、三三.÷ ②① *数学的な推論をもとに,作図され ていればよい。 *部分点可。 ・①が示せて,l点。 ・②が示せて,l点。

〈2) 1① l点 31IT (。皿) ② 2点 91信 (。m2) ③ 2点 2J盲 (。皿) 田 11点 〈1) (ア) l点 ∠DOH (イ) 1点 ∠EAC (ウ) 1点 l組の辺とその両端の角 (2) 3点 〈証 明〉 * 数学的な推論の過程が,的確に表

△ADHと△GCEにおいて, △AOE≡△DOHより,   ∠AHD=∠DEA・・・①一 現されていればよい。 *部分点可。

対頂角は等しいから, ・③の証明ができて,1点。

∠DEA=∠GEC・・・② ①,②より, ∠AHD=∠GEC・・・③ OA=ODより,△oADは二等辺三角形だから, ∠DAH=∠ODA・・・④ 弧CAに対する円周角は等しいから,  ∠ODA=∠CGE・・・⑤ ④,、⑤より,∠DAH=∠CGE・・・⑥ ③,⑥より,2組の角がそれぞれ等しいので, △AD ̄H∽△GCE ・、⑥の証明ができて,1点。

(3〉 ① 1点 ……‘(cm)

② 2点 AE:EG、= 8:5

・③ 2点 △ADH:△GCE = 18:5

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