2 数学 (1) 領域別及び評価評価の観点別観点別の平均通過率 1 領域別 数学 A 問題 (%) 年度 平成 23 年度 平成 22 年度 科目 中学校での内容 数と式図形数量関係 数学基礎 数学 Ⅰ 数学基礎

２ ２ ２ ２ 数学数学数学 数学 （ （ （ （１１１１）））領域別）領域別領域別及領域別及及及びび評価びび評価評価評価のののの観点別観点別の観点別観点別のの平均通過率の平均通過率平均通過率平均通過率 ①領域別 【数学Ａ問題】 （％） 中学校での内容 年 度 科目 数と式 図形 数量関係 高等学校での内容 数学と人間の 活動 社会生活における 数理的な考察 身近な統計 数学基礎 ３８．３ ２９．３ ２３．６ ６４．５ ４２．０ ６７．７ 方程式と不等式 二次関数 平成 23 年度 数学Ⅰ ８２．９ ７１．８ ５１．６ ７５．２ ６１．４ 数学と人間の 活動 社会生活における 数理的な考察 身近な統計 数学基礎 ３３．６ ３１．９ ２０．９ ５２．２ ６２．３ ６８．０ 方程式と不等式 二次関数 平成 22 年度 数学Ⅰ ７６．５ ７９．６ ６０．６ ７７．０ ５８．２ 【数学Ｂ問題】 （％） 中学校での内容 年 度 科目 数と式 図形 数量関係 高等学校での内容 数学と人間の 活動 社会生活における 数理的な考察 身近な統計 数学基礎 ３７．７ ２４．６ ３２．０ ５８．７ ５１．８ ５７．３ 方程式と不等式 二次関数 図形と計量 平成 23 年度 数学Ⅰ ８９．３ ５６．５ ７３．７ ７０．４ ６４．８ ６４．４ 数学と人間の 活動 社会生活における 数理的な考察 身近な統計 数学基礎 ３８．８ ５７．１ ６２．２ ６４．４ ４３．９ ６５．７ 方程式と不等式 二次関数 図形と計量 平成 22 年度 数学Ⅰ ８９．９ ８５．１ ８４．１ ７１．６ ７１．６ ５７．１ ②評価の観点別 【数学Ａ問題】 （％） 年 度 科目 関心・意欲・態度 数学的な見方や考え方 表現・処理 知識・理解 数学基礎 ６１．０ ２８．９ ３９．１ ２４．４ 平成 23 年度 数学Ⅰ ７１．９ ６８．０ ７３．６ ６４．３ 数学基礎 ５１．９ ２８．０ ４４．９ ２９．１ 平成 22 年度 数学Ⅰ ６３．７ ７０．１ ７６．３ ７０．４ 【数学Ｂ問題】 （％） 年 度 科目 関心・意欲・態度 数学的な見方や考え方 表現・処理 知識・理解 数学基礎 ５７．５ ４６．４ ４１．０ ２６．２ 平成 23 年度 数学Ⅰ ７６．２ ６１．７ ７０．０ ７０．４ 数学基礎 _{６４．０ ６１．６ ４２．７ ３０．６} 平成 22 年度 数学Ⅰ _{８２．５ ６８．９ ７８．２ ６７．６}

（％） 正答率準正答率 中１　数と式 正の数と負の数の四則計算の意味を理解_{し，その計算ができる。} 表現・処理 66.6 66.6 23.6 9.8 中２　数と式 簡単な連立二元一次方程式を解くことがで_きる。 表現・処理 29.8 29.8 28.9 41.3 中３　数と式 平方根を含む式の計算ができる。 表現・処理 22.0 22.0 44.2 33.8 (i) 中１　数と式 条件を満たすマッチ棒の本数を調べようと_する。 関心・意欲・態度 56.4 56.4 30.8 12.8 (ii) 中１　数と式 マッチ棒の並びを考察し，文字式を活用す_{ることができる。} 数学的な見方や_考え方 16.7 13.1 3.6 37.4 45.9 中１　図形 立方体において，頂点を結んでできる平面_{図形を考察することができる。} 数学的な見方や_考え方 43.0 43.0 41.6 15.4 中２　図形 円周角と中心角の関係を利用して，角の大_{きさを考察することができる。} 数学的な見方や_考え方 19.7 19.7 42.3 38.0 中３　図形 中点連結定理について，理解している。 知識・理解 37.1 37.1 18.0 44.9 中３　図形 三平方の定理を用いて，辺の長さを求める_{ことができる。} 表現・処理 17.7 17.7 56.7 25.6 中１　数量関係 反比例の関係について理解している。 知識・理解 25.6 25.6 45.5 28.9 中２　数量関係 一次関数のグラフを用いて値を考察するこ_{とができる。} 数学的な見方や_考え方 8.9 8.9 43.9 47.2 中２　数量関係 条件にしたがって変わる２つの数量関係の_{グラフを考察することができる。} 数学的な見方や_考え方 26.2 26.2 41.3 32.5 中２　数量関係 起こり得る場合の数を整理しようとする。 関心・意欲・態度 44.9 44.9 32.5 22.6 中３　数量関係 一次関数のグラフの特徴を理解し，値域（ｙ_{の変域）を求めることができる。} 表現・処理 12.5 7.3 5.2 15.7 71.8 数学基礎 数学と人間の活 動 倍数の判定の方法について関心をもち，３ の倍数かどうかを見分けようとする。 表現・処理 59.5 59.5 27.3 13.2 数学基礎 数学と人間の活 動 図形の面積の求め方を理解している。 知識・理解 69.4 69.4 12.2 18.4 数学基礎 社会生活におけ る数理的な考察 線対称の考え方を用いて，折り紙を切り 取ったときの形状について考察することがで きる。 数学的な見方や 考え方 26.8 26.8 60.6 12.6 数学基礎 社会生活におけ る数理的な考察 社会生活の仕組みに関心をもち，消費税を 計算することができる。 表現・処理 57.2 57.2 20.0 22.8 数学基礎 身近な統計 与えられた資料を整理し，度数を求めることができる。 関心・意欲・態度 60.8 60.8 19.6 19.6 数学基礎 身近な統計 アンケートの結果をグラフから読み取ろうとする。 表現・処理 74.6 74.6 10.5 14.9 2 3 4 1 （3） （4） （5） （6） （2） （4） （1） （2） （3） （4） （5） （1） （1） （2） （3） （4） 誤答率 無答率 通過率 学習指導要領の 内容項目等 出題のねらい 評価の観点 （ （（ （２２２２））））設問設問設問ごとの設問ごとのごとの通過率等一覧ごとの通過率等一覧通過率等一覧通過率等一覧 （1） （2） （3） ① ① ① ①数学数学数学Ａ数学ＡＡＡ問題問題問題問題【【【【数学基礎数学基礎数学基礎数学基礎】】】】 大問 小問

（％） 正答率 準正答率 中１　数と式 正の数と負の数の四則計算の意味を理解_{し，その計算ができる。} 表現・処理 93.2 93.2 6.2 0.6 中２　数と式 簡単な連立二元一次方程式を解くことがで_きる。 表現・処理 82.7 82.7 13.5 3.8 中３　数と式 平方根を含む式の計算ができる。 表現・処理 85.0 85.0 13.0 2.0 (i) 中１　数と式 条件を満たすマッチ棒の本数を調べようとす_る。 関心・意欲・態度 89.3 89.3 9.3 1.4 (ii) 中１　数と式 マッチ棒の並びを考察し，文字式を活用する_{ことができる。} 数学的な見方や_考え方 64.2 58.0 6.2 26.7 9.1 中１　図形 立方体において，頂点を結んでできる平面_{図形を考察することができる。} 数学的な見方や_考え方 78.8 78.8 19.9 1.3 中２　図形 円周角と中心角の関係を利用して，角の大_{きさを考察することができる。} 数学的な見方や_考え方 73.6 73.6 22.6 3.8 中３　図形 中点連結定理について，理解している。 知識・理解 80.6 80.6 11.4 8.0 中３　図形 三平方の定理を用いて，辺の長さを求める_{ことができる。} 表現・処理 54.3 54.3 43.3 2.4 中１　数量関係 反比例の関係について理解している。 知識・理解 50.3 50.3 46.8 2.9 中２　数量関係 一次関数のグラフを用いて値を考察すること_{ができる。} 数学的な見方や_考え方 43.5 43.5 47.8 8.7 中２　数量関係 条件にしたがって変わる２つの数量関係の_{グラフを考察することができる。} 数学的な見方や_考え方 58.2 58.2 37.8 4.0 中２　数量関係 起こり得る場合の数を整理しようとする。 関心・意欲・態度 54.6 54.6 41.6 3.8 中３　数量関係 二次関数のグラフの特徴を理解し，値域（ｙ_{の変域）を求めることができる。} 表現・処理 51.2 48.1 3.1 38.0 10.8 数学Ⅰ方程式と不等式簡単な因数分解をすることができる。 表現・処理 71.9 71.9 15.7 12.4 数学Ⅰ方程式と不等式分母を有理化する方法を理解している。 知識・理解 87.2 87.2 6.2 6.6 数学Ⅰ方程式と不等式一次不等式を解くことができる。 表現・処理 71.6 71.6 21.0 7.4 数学Ⅰ方程式と不等式二次方程式の解の公式について理解してい_る。 知識・理解 70.2 70.2 11.9 17.9 数学Ⅰ二次関数 二次関数のｙ切片について理解している。 知識・理解 59.9 59.9 19.6 20.5 数学Ⅰ二次関数 放物線の対称性について理解している。 知識・理解 62.9 43.6 19.3 7.9 29.2 （1） （1） （2） （4） （5） （3） （2） （4） 無答率 2 3 （1） 評価の観点 誤答率 1 （1） （2） 通過率 学習指導要領の 内容項目等 出題のねらい 4 （3） （4） （5） （6） （2） （3） （3） （4） ② ② ② ②数学数学数学数学AAAA問題問題問題【【【【数学問題 数学数学数学ⅠⅠⅠⅠ】】】】 大問 小問

（％） 正答率準正答率 （1） 中１　数と式 正の数と負の数の四則計算の意味を理解_{し，その計算ができる。} 表現・処理 49.2 49.2 24.6 26.2 （2） 中２　数と式 簡単な連立二元一次方程式を解くことがで_きる。 表現・処理 26.3 26.3 31.1 42.6 （3） 中３　図形 三平方の定理について理解している。 知識・理解 27.9 27.9 47.5 24.6 （4） 中１　図形 立方体において頂点を結んでできる平面図_{形を考察しようとする。} 関心・意欲・態度 21.3 21.3 57.4 21.3 （5） 中２　数量関係 一次関数のグラフを用いて値を考察するこ_{とができる。} 数学的な見方や_考え方 14.8 14.8 59.0 26.2 （6） 中２　数量関係 場合の数を求めるようとする。 関心・意欲・態度 49.2 49.2 26.2 24.6 （1） 数学基礎数学と人間の活 動 倍数の判定の方法について関心をもち，３ の倍数かどうかを見分けようとする。 表現・処理 49.2 49.2 27.8 23.0 （2） 数学基礎数学と人間の活 動 図形の面積の求め方を理解している。 知識・理解 72.1 72.1 11.5 16.4 （3） 数学基礎数学と人間の活 動 正六角形の内角の和を求めることができ る。 数学的な見方や考え方 44.7 44.7 31.6 23.7 （4） 数学基礎数学と人間の活 動 与えられた条件から必要な正方形の数を求 めることができる。 関心・意欲・態度 68.9 68.9 14.7 16.4 （5） 数学基礎社会生活におけ る数理的な考察 立方体の展開図において，２つの面の位置 関係を考察することができる。 数学的な見方や考え方 51.1 51.1 33.3 15.6 （6） 数学基礎社会生活におけ る数理的な考察 ２社の給与について比較し，考察することが できる。 表現・処理 77.8 77.8 22.2 0.0 （7） 数学基礎社会生活におけ る数理的な考察 線対称の考え方を用いて，折り紙を切り 取ったときの形状について考察することがで きる。 数学的な見方や 考え方 36.1 36.1 47.5 16.4 （8） 数学基礎社会生活におけ る数理的な考察 社会生活の仕組みに関心をもち，割引金額 を計算することができる。 表現・処理 42.3 42.3 46.2 11.5 （9） 数学基礎_{身近な統計} 実験結果から，どちらの画びょうが上向きになりやすいかについて考察することができ る。 数学的な見方や 考え方 50.0 50.0 25.0 25.0 （10） 数学基礎_{身近な統計} 与えられた資料を整理し，度数を求めること_{ができる。} 関心・意欲・態度 58.7 58.7 17.2 24.1 （11） 数学基礎_{身近な統計} 条件やグラフから分かることを読み取ろうと_する。 表現・処理 51.9 51.9 23.1 25.0 （12） 数学基礎_{身近な統計} アンケートの結果をグラフから読み取ろうと_する。 表現・処理 68.9 68.9 13.1 18.0 通過率 小問 学習指導要領の_{内容項目等} 出題のねらい 評価の観点 誤答率 無答率 1 2 ③ ③ ③ ③数学数学数学B数学BBB問題問題問題問題【【【【数学基礎数学基礎数学基礎】】】】数学基礎 大問

（％） 正答率 準正答率 中１　数と式 正の数と負の数の四則計算の意味を理解_{し，その計算ができる。} 表現・処理 91.0 91.0 8.3 0.7 中２　数と式 簡単な連立二元一次方程式を解くことができ_る。 表現・処理 87.6 87.6 9.2 3.2 中３　図形 三平方の定理について理解している。 知識・理解 70.2 70.2 28.7 1.1 中１　図形 立方体において頂点を結んでできる平面図_{形を考察しようとする。} 数学的な見方や_考え方 43.0 43.0 56.2 0.8 中２　数量関係 一次関数のグラフを用いて値を考察すること_{ができる。} 数学的な見方や_考え方 65.1 65.1 33.8 1.1 中２　数量関係 確率の意味を理解し，簡単な場合について_{確率を求めるようとする。} 関心・意欲・態度 82.2 82.2 16.5 1.3 数学Ⅰ方程式と不等式_{指数法則を理解している。 知識・理解 68.5 68.5 28.1 3.4} 数学Ⅰ方程式と不等式簡単な因数分解をすることができる。 表現・処理 73.4 73.4 14.6 12.0 数学Ⅰ方程式と不等式分母の有理化をする方法を理解している。 知識・理解 65.9 65.9 26.7 7.4 数学Ⅰ方程式と不等式不等式の性質を用いて，一元一次不等式を_{解くことができる。} 表現・処理 83.6 83.6 9.3 7.1 数学Ⅰ方程式と不等式解の公式を活用して，二次方程式を解くこと_{ができる。} 表現・処理 61.0 61.0 18.5 20.5 数学Ⅰ二次関数 二次関数のy切片を求めることができる。 表現・処理 63.3 63.3 18.0 18.7 数学Ⅰ二次関数 二次関数の式とグラフの関係について理解_{している。} 知識・理解 67.3 67.3 29.9 2.8 数学Ⅰ二次関数 放物線の対称性について理解している。 知識・理解 66.5 55.9 10.6 6.9 26.6 数学Ⅰ二次関数 二次関数のグラフを用いて，最大値，最小値_{を考察することができる。} 数学的な見方や_考え方 62.4 62.4 34.6 3.0 数学Ⅰ二次関数 二次関数のグラフとx軸との位置関係から，_{二次不等式の解を求めることができる。} 数学的な見方や_考え方 64.5 64.5 32.4 3.1 数学Ⅰ図形と計量三角比の定義について理解している。 知識・理解 71.9 71.9 14.5 13.6 数学Ⅰ図形と計量三角比の相互関係を用いて，三角比の値を_{求めることができる。} 表現・処理 67.1 62.7 4.4 11.9 21.0 数学Ⅰ図形と計量三角形の面積の公式の成り立つ理由を考え_{て，三角形の面積を求めることができる。} 数学的な見方や_考え方 50.6 50.6 26.8 22.6 数学Ⅰ図形と計量相似な図形の体積の比について理解してい_る。 知識・理解 68.4 68.4 29.4 2.2 （4） 2 （1） （2） （3） （5） 3 （1） （2） （3） （4） （5） 4 （1） （4） （2） （3） 無答率 小問 （2） 評価の観点 学習指導要領の 内容項目等 出題のねらい 誤答率 ④ ④ ④ ④数学数学数学数学BBBB問題問題問題問題【【【【数学数学数学Ⅰ数学ⅠⅠ】】】】Ⅰ 大問 通過率 1 （1） （4） （5） （6） （3）

（３）具体的な設問の分析

【今年度の出題のねらい】

○解の公式を活用して，二次方程式を解くことができる。

Ａ問題数学Ⅰ４（４），Ｂ問題数学Ⅰ２（５） 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答○準正答△ 誤答×無解答－ 解答類型 反応（％） Ａ問題 反応（％） Ｂ問題 1 ○ _{−5 ±2} 21 _{と解答しているもの} 70.2 61.0 2 × _{5 ±2}21 _{と解答しているもの} 0.8 1.2 3 × _{−5 ±2} 29 _{と解答しているもの} 0.2 0.3 4 × _{5 ±2}29 _{と解答しているもの} 0.1 0.1 9 × 上記以外の解答 10.7 17.0 0 － 無答 17.9 20.5

【関連する過去の問題】

【今年度の出題のねらい】

○解の公式を用いた二次方程式の解き方についての理解が不十分であり，無答率も高い。

○

三角比を用いた計量の考え方に課題があり，無答率も高い。

昨年

昨年

昨年

昨年度

度

度

度の

の

の

の課題

課題１

課題

課題

１

１

１

継続課題

継続課題

継続課題

継続課題

Ａ問題数学Ⅰ４（４），Ｂ問題数学Ⅰ２（５） 二次方程式

x

2

_{+ x}

5

₊

1

₌

0

を解きなさい。

【改善状況と課題】

○：改善，定着 ●：課題 ○Ａ問題では，昨年度まで解の公式を誘導に従って導き出す問題を継続して出題しており，昨年度 の通過率は 71.0％，今年度の通過率は 70.2%と大きな変化は見られない。このことから解の公式 の活用は定着していると考えられる。 ●今年度も，Ｂ問題では解の公式の定着度を追跡するために，平成２１，２２年度とほぼ同一の問 題を出題した。依然として通過率が 60％程度にとどまり，誤答率，無答率はともに 20％前後と 高く，改善には至っていない。Ｂ問題の通過率が，Ａ問題より 10％程度低いことは，２年次にな って様々な単元で解の公式を想起・適用する場面が少なくなったためと考えられる。そのため， 解の公式の学習後も様々な場面でそれを活用する課題に取り組ませることが必要である。 ① 平成２２年度Ｂ問題数学Ⅰ２（５） 二次方程式

x

2

_{+ x}

3

₊

1

₌

0

を解きなさい。（通過率 60.1％，無答率 19.7％） ② 平成２１年度Ｂ問題数学Ⅰ２（５） 二次方程式

x

2

_{+ x}

5

₊

3

₌

0

を解きなさい。（通過率 60.0％，無答率 22.5％）

【今年度の出題のねらい】

○三角形の面積の公式が成り立つ理由を考えて，三角形の面積を求めることができる。

Ｂ問題数学Ⅰ４（３） 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答○準正答△ 誤答×無解答－ 解答類型 反応率 （％） 1 ○ ５ と解答しているもの 50.6 2 ×

5

3

と解答しているもの 2.5 3 × １０ と解答しているもの 3.7 4 × ６ と解答しているもの 3.6 9 × 上記以外の解答 17.1 0 － 無答 22.6 ・解答類型の割合をみると，無答率が 22.6％と高く，三角形の面積の公式を活用することができていな い。主な誤答として，単に２辺の長さをかけて

(

4

_×

5

)

_÷

2

₌

10

とした生徒が 3.7％，3:4:5 の直角三 角形と勘違いして６とした生徒が 3.6％，三角形の面積の公式を間違えて

cos

30

°

としている，また は，

sin

30

°

の値を としているため

5

3

とした生徒が 2.5％いる。

【関連する過去の問題】

Ｂ問題数学Ⅰ４（３） 下の図は，ＡＢ＝４，ＡＣ＝５，∠ＢＡＣ＝30°の三角形ＡＢＣです。このとき，三角形ＡＢＣの 面積を求めなさい。 30_, Ａ Ｂ Ｃ

４

5

平成２２年度 B 問題数学Ⅰ４（３） 類似 下の図の平行四辺形 ＡＢＣＤ において，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，∠Ｂ＝３０°です。このとき， 平行四辺形 ＡＢＣＤ の面積を求めなさい。 （通過率 50.9％，誤答率 26.9％，無答率 22.2％） 2 3 30, Ａ _Ｄ Ｂ _Ｃ ２ ３

【学校における教科の指導と設問の通過率との関連】

指導 数学科では，解の公式を用いた二次方程式の解き方の指導において，反復練習等により習熟させ る指導を行っている。 Ｈ２２ Ｈ２３ あまり・まったく あてはまらない よく・やや あてはまる 県全体 通過率の変化(％)（H23-H22） Ｂ問題２（５） ７．１ ０．９ ・平成２２年度調査で「あてはまらない」と解答し，平成２３年度調査で「あてあまる」と回答した 学校の生徒の通過率の変化は 7.1 ポイント上昇し，県全体の通過率の上昇の 0.9 ポイントより高く なっている。 指導 数学科では，三角形の面積を求める指導において，三角比を用いて高さを表すことを意識した指 導を行っている。 ・「あてはまる」と回答した学校の生徒の通過率は，「あてはまらない」と回答した学校の生徒との通 過率の 12.5％上回っており，このような指導が通過率の上昇に大きく関係していると考えられる。

【改善状況と課題】

○：改善，定着 ●：課題 ● ここ数年課題があり改善が求められていた問題である。平成１９年度から平成２２年度までは， 平行四辺形の面積を求める問題であったが，課題を明らかにするため今年度は三角形の面積を求め る問題を設定した。しかし，通過率，無答率ともに昨年度とほとんど変化はない。したがって，定 理や公式を理解して活用することに課題があるのではなく，定理や公式の理解そのものに課題があ る。 よく・やや あてはまる あまり・まったく あてはまらない 通過率（％） Ｂ問題４（３） 51.8 39.3 平成２１年度 B 問題数学Ⅰ４（３） 平成２２年度と同一問題 （通過率 45.7％，誤答率 28.2％，無答率 26.1％） 平成２０年度 B 問題数学Ⅰ４（３） 平成２１年度とほぼ同一問題 （通過率 47.8％，誤答率 28.7％，無答率 23.5％） 平成１９年度 B 問題数学Ⅰ４（３） 平成２０年度と同一問題 （通過率 48.1％，誤答率 26.0％，無答率 25.9％）

指導改善のポイント

○

公式や定理について，数値を代入することなどの素地的な学習を取り入れるととも

に，反復練習等により習熟させる取組みが必要である。

特に，解の公式については，様々な単元で解の公式を想起・適用するような課題に

取り組ませるなどして，理解の広がりや深まりなど学習の進歩を感じるような指導

が必要である。

⇒ｐ５７

例

題

１

右の図の△ＡＢＣは，

A

= 36

°

の二等辺三角形で，

ＢＣ

=

1

である。

∠

ＡＢＣ

の二等分線と辺

ＡＣ

との交点を

Ｄ

とするとき，次の問に

答えなさい。

（１）△ＡＢＣ∽△ＢＣＤであることを利用して，線分

ＣＤ

の

長さを x として x の二次方程式で表しなさい。

（２）

（１）で求めた二次方程式を解き，線分ＣＤの長さを求めなさい。

○

三角比を用いた定理のよさを認識させるために，これまで学習したことに関連させ

た課題を設けたり，三角比の考え方を用いて考察させたりする学習活動を行う必要

がある。

⇒ｐ５８

例

題

２

△ＡＢＣについて，次の問いに答えなさい。

（１）右の△ＡＢＣにおいて，どこの角の大きさが分かれば，

辺ＢＣの長さが求められるだろうか？

（２）∠

Ａ

=60°のとき，辺ＢＣの長さを求めなさい。

（三平方の定理を用いて考察させる。

）

（３）ＡＢ＝ｃ，ＡＣ＝ｂ，∠Ａ＝A のとき，辺ＢＣをｂ，ｃ，A を用いて表せ。

（

（２）

の考え方を用いて余弦定理を証明させ，

そのことから分かることを説明さ

せる。

）

36, A B C D 1

5

Ａ

8

Ｃ

Ｂ

【今年度の出題のねらい】

○二次関数の

y

切片について理解している。

Ａ問題数学Ⅰ４（５） 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答○準正答△ 誤答×無解答－ 解答類型 反応率 （％） 1 ○ ５ と解答しているもの 59.9 2 × －４ と解答しているもの 0.4 3 × １ と解答しているもの 3.2 4 × ２ と解答しているもの 1.3 9 × 上記以外の解答 14.7 0 － 無答 20.5 ・解答類型の割合をみると，無答の生徒が20.5％，誤答の生徒の割合が19.6％である。

【関連する過去の問題】

○

二次関数のグラフを用いて，最大値・最小値を考察することができる。

Ａ問題数学Ⅰ４（５） 下の図は，二次関数

y

₌

x

2

₋

4

x

₊

5

のグラフです。このグラフと

y

軸との共有点の

y

座 標を求めなさい。 x y O

○二次関数の

y

切片を求めることが不十分。

○二次関数のグラフを用いて，最大値，最小値を考察することや二次不等式の解を求

めることに課題。

昨年度

昨年度

昨年度

昨年度の

の

の

の課題

課題

課題２

課題

２

２

２

継続課題

継続課題

継続課題

継続課題

平成２２年度Ａ問題数学Ⅰ４（５） 二次関数

y

₌

x

2

₊

4

x

₊

5

のグラフと

y

軸との共有点の

y

座標を求めなさい。（今年度と同様 に図あり）（通過率 58.7％）

【改善状況と課題】

○：改善，定着 ●：課題 ●今年度は昨年度と同様に図を示した形で出題し，通過率にあまり変化が見られなかった。無答の生 徒の割合が 20.5％，誤答の生徒の割合が 19.6％と高く，二次関数のグラフの読み取りが不十分なた めグラフと

y

軸との共有点を求める方法が理解できていない。

x y O 2 1

【今年度の出題のねらい】

○二次関数のグラフを用いて，最大値，最小値を考察することができる。

B問題数学Ⅰ ３（４） B問題数学Ⅰ ３（４） 右の図は，二次関数のグラフです。このグラフについて述べた 下の ①～④ のうち，正しいものはどれですか。その番号をすべ て書きなさい。ただし，

x

の定義域はすべての実数とします。 ① 最大値はない ② 最大値はある ③ 最小値は２ ④ 最小値は２より小さい 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答○準正答△ 誤答×無回答－ 解答類型 反応率 （％） １ ○ ①，④と解答しているもの 62.4 ２ × ④ と解答しているもの 9.1 ３ × ①，③と解答しているもの 2.4 ４ × ②，④と解答しているもの 5.0 ５ × ②，③と解答しているもの 0.9 ６ × ① と解答しているもの 8.3 ９ × 上記以外の解答 8.9 ０ ― 無答 3.0 ・グラフから最大値・最小値を考察する問題である。昨年度までの上に凸のグラフから変更するとともに， 選択肢の数を５個から４個に減じた。通過率は4.0ポイント減少した。④のみを解答した生徒が9.1％お り，限りなく大きくなることを「最大値なし」と答えることが身に付いていない。76.5％(転記番号1+2+4) の生徒は，下に凸のグラフを用いて最小値を判断できている。

【関連する過去の問題】

平成２２年度Ｂ問題数学Ⅰ ３（４） （通過率 66.4％） 右の図は二次関数のグラフです。このグラフについて述べた下 の ①～⑤ のうち，正しいものはどれですか。その番号をすべて 書きなさい。ただし，

x

の定義域はすべての実数とします。 ① 最小値はない ② 最小値はある ③ 最大値は１ ④ 最大値は２ ⑤ 最大値は２より大きい x y O ２ １

【今年度の出題のねらい】

○二次関数のグラフを用いて，二次不等式の解を求めることができる。

Ｂ問題数学Ⅰ３（５） 解答状況及誤答分析 転記 番号 正答○準正答△ 誤答×無解答－ 解答類型 反応率 （％） 1 × ① と解答しているもの 4.0 2 × ② と解答しているもの 15.0 3 × ③ と解答しているもの 13.3 4 ○ ④ と解答しているもの 64.5 9 × 上記以外の解答 0.2 0 － 無答 3.1 ・通過率64.5％,誤答率32.4％，無答率3.1％で昨年度とほぼ同じであり，35.5％の生徒は二次関数の グラフと

x

軸の位置関係から二次不等式の解を求めることについての数学的な見方や考え方の定着 が不十分である。 Ｂ問題数学Ⅰ３（５） 次の文章は，Ａさんが，二次不等式

x

2

_{+ x}

₋

2

_<

0

を解いたときの解き方について説明したも のです。文章中の ア にあてはまる式は，下の ①～④ のうちどれですか。その番号を書きなさい。 ①

x

≦

−

2

,

1

≦

x

②

x

<

−

2

,

1

<

x

③

−

2

≦ x

≦

1

④

−

2

<

x

<

1

二次関数 2

2

−

+

=

x

x

y

のグラフは，異なる２点で

x

軸と交わり， 右の図のようになります。 したがって， 2

2

−

+

=

x

x

y

のグラフを利用して，二次不等式

0

2

2

<

−

+ x

x

の解を求めると， ア となります。

【改善状況と課題】

○：改善，定着 ●：課題 ● 二次関数のグラフを用いた最大値・最小値の考察について，平成２２年度共通学力テストＢ問題 からグラフと選択肢の数を変えた形で出題したところ，通過率は 4.0 ポイント下回っている。選択 肢 ④ を解答した生徒の割合が 9.1％，②，④ を解答した生徒の割合が 5.0％，②，③ を解答した 生徒の割合が 0.9％，上記以外を解答した生徒の割合が 8.9％であり，それらを合わせた約 25％の 生徒は，最大値が限りなく大きくなることを「最大値なし」と答えることが身に付いていない。

x

y

O -2 1

【関連する過去の問題】

【学校における教科の指導と設問の通過率との関連】

指導 数学科では，二次関数のグラフと

y

軸との共有点を求める指導において，

y

切片や共有点といっ た用語の意味を正確に理解させる指導を行っている。 よく・やや あてはまる あまり・まったく あてはまらない 通過率(％) Ａ問題 ４（５） 60.6 46.5 ・「あてはまる」と回答した学校の生徒の通過率は 60.6%であり，用語の意味についても丁寧な指導を行 うことで効果があると考えられる。 指導 数学科では，二次関数の最大値，最小値を考察する指導において，定義域によって，最大値，最 小値が変化することをグラフを積極的に用いてとらえさせるなどの指導を行っている。 よく・やや あてはまる あまり・まったく あてはまらない 通過率(％) Ｂ問題 ３（４） 63.8 44.4 ・学習場面においてグラフを積極的に活用することで通過率は高くなっている。 指導 数学科では，二次不等式の解を求める指導において，グラフから読み取れることを発表させるな どグラフを積極的に活用する指導を行っている。 よく・やや あてはまる あまり・まったく あてはまらない 通過率(％) Ｂ問題 ３（５） 65.4 54.6 ・グラフから読み取れることを発表させるなどグラフを積極的に活用することで，通過率は高くなって いる。

【改善状況と課題】

○：改善，定着 ●：課題 ●平成２２年度Ｂ問題３（５）とほぼ同一の問題を出題したところ，通過率は 65.8％から 64.5％に やや減少した。解答類型に着目してみると，③と解答している生徒の割合は昨年度 13.6％，今年度 が 13.3％であり，不等号の意味を理解していない生徒の割合に変化はない。また，①もしくは②と 解答している生徒の割合は 19.0％であり，二次関数のグラフを用いて，二次不等式を考察すること ができていない生徒も多く，二次不等式の解を求めることは引き続き課題である。 平成２２年度 B 問題数学Ⅰ３（５） （通過率 65.8％） 次の文章は，Ａさんが，二次不等式

x

2

_{− x}

₋

2

_<

0

を解いたときの解き方について説明したもの です。文章中の ア にあてはまる式は，下の ①～④ のうちどれですか。その番号を書きなさい。 ①

x

≦

−

1

,

2

≦

x

②

x

<

−

1

,

2

<

x

③

−

1

≦ x

≦

2

④

−

1

<

x

<

2

二次関数

y

₌

x

2

₋

x

₋

2

のグラフは右の図のようになり， 異なる２点で

x

軸と交わります。 したがって，

y

₌

x

2

₋

x

₋

2

のグラフを利用して，二次不等式

0

2

2

<

−

− x

x

の解を求めると， ア となります。 x y O 2 - 1

指導改善のポイント

○

グラフから関数の性質を考察させたり，

グラフを用いて考察したことを発表させるな

ど，グラフを積極的に活用させる学習活動を取り入れることが必要。

⇒ｐ５６

例

題

次の（１）～（４）の二次関数のグラフから読み取れることをすべて書きなさい。

（１）

2 1 2 − − =x x y

（２）

2 1 2 − − =x x y ₍₀≦ x≦₃₎

（３）

2 1 2 + + − = x x y

（４）

2 1 2 + + − = x x y ₍₋₁≦ x≦₂₎ x y O １ －２ x y O １ －２ －１ ２ x y O １ ２ x y O １ ２ １ －２ ２ ３

【今年度の出題のねらい】

○条件にしたがって変わる２つの数量関係のグラフを考察することができる。

Ａ問題数学Ⅰ３（３） 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答○準正答△ 誤答×無解答－ 解答類型 反応率 （％） 1 × ① と解答しているもの 6.0 2 ○ ② と解答しているもの 58.2 3 × ③ と解答しているもの 16.2 4 × ④ と解答しているもの 15.3 9 × 上記以外の解答 0.3 0 － 無答 4.0 ・誤答として，点Ｐが頂点Ｂに到達した以降，△ＡＤＰの面積について，ＡＤを底辺としてとらえる という見方ができず，面積は変わらない（転記番号3），または，増加する（転記番号4）と間違えた 生徒が合わせて31.5％いた。

【関連する過去の問題】

・誤答として，点Ｐが頂点Ｂに到達した以降，△ＡＥＰの面積について，ＡＥを底辺としてとらえ るという見方ができず，面積は変わらない，または，増加すると間違えた生徒が合わせて 31.7％ いた。

○２つの数量関係のグラフを考察することに課題

昨年度

昨年度

昨年度

昨年度の

の

の

の課題

課題

課題３

課題

３

３

３

継続課題

継続課題

継続課題

継続課題

ＡＢ＝6 cm ，ＢＣ＝5 cm ，ＣＤ＝3 cm ，ＤＡ＝4 cm ，∠ＢＡＤ＝90°，ＡＢ//ＤＣの台形 ＡＢＣＤがあります。点Ｐが点Ａを出発し，辺ＡＢ上と辺ＢＣ上を毎秒 1 cm の速さで移動し， 点Ｃまで動くものとします。点Ｐが点Ａを出発して

x

秒後の△ＡＤＰの面積を

y

cm2とするとき，

x

と

y

の関係を表したグラフは，下の ①～④ のうちどれですか。その番号を書きなさい。 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｐ 6cm 5cm 3cm 4cm 平成２２年度Ａ問題数学Ⅰ３（３） 今年度と同一（通過率 56.7%） Ａ問題数学Ⅰ３（３）

【学校における教科の指導と設問の通過率との関連】

指導 数学科では，２つの数量関係のグラフを考察する指導において，中学校で学習した内容につ いて復習を行い，基礎的・基本的事項を定着させるようなスパイラルな指導を行っている。 ・「あてはまる」と回答した学校の割合が，平成２２年度は 69.1％で，平成２３年度は 72.2％で あり，3.1 ポイント増加した。その結果，Ａ問題数学Ⅰ３（３）の通過率が，平成２２年度は 56.7％で，平成２３年度は 58.2％であり，1.5 ポイント上昇した。

【改善状況と課題】

○：改善，定着 ●：課題 ●平成２２年度と同一問題であり，通過率は 1.5 ポイント上がったが，誤答率も含めて全体的に あまり変化が見られなかった。解答類型の割合を見ると，面積は変わらない，または，増加す ると間違えた生徒が合わせて 31.5％おり，点Ｐが頂点Ｂに到達した以降，△ＡＤＰの面積の変 化を考察することができていない。これらのことから，中学校までに学習する数量関係など基 礎的・基本的な学習内容の理解について引き続き課題である。

指導改善のポイント

○

必要に応じて中学校で学習した内容についての復習を行い，

基礎的

・

基本的事項を定

着させるよう繰り返し学習を行うことが必要。

⇒ｐ５５

例題 面積が２０

_cm

2 である三角形において，底辺を

x cm

，高さを

y

cm

としたとき，

x

と

y

の 関係を表したグラフは，下の①～④のうちどれですか。またその理由を説明しなさい。 ① ② ③ ④ O x y O x y x y O O y x

【今年度の出題のねらい】

○一次関数のグラフを活用して値を考察することができる。

Ａ問題数学Ⅰ３（２） 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答○準正答△ 誤答×無解答－ 解答類型 反応率 （％） 1 ○ ４ と解答しているもの 43.5 2 × ２ と解答しているもの 23.7 3 × ３ と解答しているもの 3.8 4 × ５ と解答しているもの 1.8 9 × 上記以外の解答 18.5 0 － 無答 8.7 ・ 誤答率 47.8％，無答率 8.7％を合わせた 56.5％の生徒が，グラフからx の値に対する y の値 を正確に読みとることができていない。

【関連する過去の問題】

＜中学校までに学習する内容について＞

○一次関数（グラフを活用して値を考察することができる）

○二次関数（値域を求めることできる）

課題

課題

課題

課題

Ａ問題数学Ⅰ３（２） 下のグラフは，一次関数のグラフです。この一次関数において，

1

=

x

のときの

y

の値を求めなさい。

【改善状況と課題】

○：定着 ●：課題 ●今年度も，Ａ問題において平成２２年度共通学力テストとほぼ同一の問題を出題したところ， 通過率は 43.5％で，平成２２年度の通過率 67.2％に比べ，23.7 ポイント下がっており，一 次関数のグラフを活用して値を考察することが定着していないことが分かった。 平成２２年度 A 問題数学Ⅰ３（２） 下のグラフは，一次関数のグラフです。この一次関数において，

1

=

x

のときの

y

の値を求めなさい。 〔正答

x

₌

2

（通過率 67.2％）〕 x y O ４ ２ x y O 6 3

昨年度

昨年度

昨年度

昨年度の

の

の

の改善状況

改善状況

改善状況

改善状況

【今年度の出題のねらい】

○ 二 次 関 数 の グ ラ フ の 特 徴 を 理 解 し ， 値 域 （ ｙ の 変 域 ） を 求 め る こ と が で き る 。

Ａ問題数学Ⅰ３（５） 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答○準正答△ 誤答×無解答－ 解答類型 反応率 （％） 1 ○ グラフの該当部分を正しく示し，０≦

y

_{≦９と解答しているもの 48.1} 2 △ グラフの該当部分は正しく示していないが，０≦

y

_{≦９と解答しているもの 3.1} 3 × グラフの該当部分を正しく示しているが，４≦

y

_{≦９と解答しているもの 22.7} 4 × グラフの該当部分を正しく示していない上に，４≦

y

_{≦９と解答しているもの 5.6} 5 × グラフの該当部分を正しく示しているが，－４≦

y

_{≦９と解答しているもの 0.5} 6 × グラフの該当部分を正しく示していない上に，－４≦

y

_{≦９と解答しているも} の 0.4 9 × 上記以外の解答 8.8 0 － 無答 10.8 ・値域の意味を正確に理解していないため，一次関数と同様に定義域における両端の

x

の値を関数 の式に代入し，誤答として，４≦

y

≦９と答えた生徒（転記番号3+4）が28.3％いる。

【関連する過去の問題】

Ａ問題数学Ⅰ３（５） 下の図は，関数

_y

_x

2

=

のグラフです。このグラフで －２≦

x

≦３ に対応する部分を解答用紙の図に実線で 示し，定義域（

x

の変域）が －２≦

x

≦３ のときの 値域（

y

の変域）を求めなさい。 平成２２年度Ａ問題数学Ⅰ３（５） 下の図は，関数

_y

_x

2

=

のグラフです。このグラフで －２≦

x

≦２ に対応する部分を解答用紙の図に実線で 示し，定義域（

x

の変域）が －２≦

x

≦２ のときの 値域（

y

の変域）を求めなさい。 （通過率 67.6％）

【改善状況と課題】

○：改善，定着 ●：課題 ●二次関数の値域を求めることについて，平成２２年度共通学力テストＡ問題とほぼ同一の問題 を出題したところ，通過率は 16.4 ポイント下がっており，このことについて課題がみられる。 解答類型の割合をみると，グラフは正しく示しているが，値域を読み取ることができず，４≦

y

≦９と答えた生徒が 28.3％おり，グラフの読み取りに課題がある。 x y x y

【学校における教科の指導と設問の通過率との関連】

指導 数学科では，一次関数のグラフを用いて値を考察する指導において，中学校で学習した内容に ついて復習を行い，基礎的・基本的事項を定着させるようなスパイラルな指導を行っている。 ・誤答として，２と解答している生徒が23.7％いる。これは，グラフ上に与えられている条件で ある

y

切片６と

x

切片３を用いて，６÷３＝２を計算し，解答していると考えられる。また， この計算から，２ずつ変化していることに気付き，そのまま２と解答していると考えられる。 これらのことから，一次関数のグラフを考察することや，中学校で学習した内容について定 着させるような指導が必要である。 指導 数学科では，二次関数の値域を求める指導において，定義域によって，値域が定まることを グラフを用いて実感的にとらえさせるなどの指導を行っている。 よく・やや あてはまる あまり・まったく あてはまらない 通過率(％) Ａ問題 ３（５） 52.7 23.0 ・「あてはまる」と回答した学校の生徒の通過率は 52.7％で，「あてはまらない」と回答した学校の生徒 の通過率は 23.0％であり，29.7 ポイント上回っている。グラフを用いて実感的にとらえさせるなどの 指導を行うことで効果があると考えられる。

指導改善のポイント

○

グラフから関数の性質を考察させたり，

グラフを用いて考察したことを発表させるな

ど，グラフを積極的に活用させる学習活動を取り入れることが必要。

⇒ｐ５６

【今年度の出題のねらい】

○マッチ棒の並びを考察し，文字式を活用することができる。

Ａ問題数学Ⅰ１（４）（ⅱ） 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答○準正答△ 誤答×無解答－ 解答類型 反応率 （％） 1 ○

_{5 +}

n

1

と解答しているもの 58.0 2 △

6

+ n

5

(

−

1

)

のように式を変形すると

5 +

n

1

となる式を解 答しているもの（準正答） 6.2 3 ×

6

n

と解答しているもの 1.7 4 ×

_{6 −}

n

2

と解答しているもの 0.3 5 ×

₅

n

と解答しているもの 2.0 9 × 上記以外の解答 22.6 0 － 無答 9.1 通過率 64.2％（正答率58.0％，準正答率6.2％） ・解答類型の割合を見ると，正答の生徒の割合58.0％で，昨年度に比べ，17.1ポイント上昇した。 Ａ問題数学Ⅰ１（４）（ⅱ） 正三角形と正方形をそれぞれ

n

個作るには，マッチ棒は全部で何本必要ですか。

n

を用いた 式で表しなさい。 ○

規則的に並んでいるものを考察し，

その規則性について文字式を活用して表すことは

改善。

昨年度

昨年度

昨年度

昨年度の

の

の

の課題

課題

課題

課題

・・・・・・

・・・・・・

・・・・・・

・・・・・・

改善

改善

改善

改善

【関連する過去の問題】

・

_n

2 と解答している生徒の割合が 13.1％と高く，無答の生徒の割合は 11.6％である。

【改善状況と課題】

○：改善，定着 ●：課題 ○平成２２年度共通学力テストと類似な問題で規則的に並んでいるものを文字式を活用して表す問 題を出題したところ，通過率は 15.4 ポイント上回り，改善が見られた。 ○今年度も昨年度と同様に具体的な事象を考察し，

n

番目を

n

を用いた式で表す問題である。昨年 度は，

n

段目までの総和を求め，

n

2と解答した生徒が 13.1％いた。これは，出題のねらいであ る，事象を考察し文字式を活用することと併せて，題意を読み取ることも課題であったと考えら れる。今年度は，通過率が 64.2％で，事象を考察し文字式を活用することと併せて，題意を読み 取ることについて，改善が見られた。次年度以降，定着を図るためには，授業等で生徒に考察さ せる場面において，生徒実態に応じた適切な課題の提示や，どのように課題を考察させるかなど の指導の工夫を継続して行っていくことが大切である。 平成２２年度Ａ問題数学Ⅰ１（４）（ⅱ） 類似

n

段目には，正三角形は全部で何個ありますか。

n

を用いた式で表しなさい。 〔正答

_{2 −}

n

1

準正答

1

_{+ n}

2

₍

₋

1

₎

のように変形すると

1

2 −

n

になるもの （通過率 48.8％ 〈正答率 40.9％ 準正答率 7.9％〉）〕 ３段目 ２段目 １段目

（ （ （ （４４４）４）））課題課題課題の課題ののの改善改善に改善改善にに効果的に効果的効果的効果的ななな指導方法な指導方法指導方法指導方法 ア 「必要に応じて中学校で学習した内容についての復習し，基礎的・基本的事項を定着させる よう繰り返し学習を行うこと」の具体的な事例 【中学校 数と式】 ○計算問題において，発問に対してすぐに答えさせるという展開で実施。 （フラッシュ型教材等を活用した展開を参考。） 具体例 ≪ 2 3 2 + − x x の因数分解を考える場合≫ 質問：「足して－３，かけて２になる数は何と何？（5 秒ほど空けて）では○○くん。」 ○○くん：「－１と－２」 ○ 計算問題の小テストを繰り返し実施し，計算力の向上を図る。 その際，基本的な四則計算の力を向上させることに主眼を置き，難易度の高くないものを 何度もする。

中学校における既習事項を含む基礎的

・

基本的な学習内容の理解や

処理が不十分な状況に改善が見られた。

「

「

「

「四則計算

四則計算

四則計算

四則計算」

」

」

」について

について

について

について，

，

，

，フラッシュ

フラッシュ

フラッシュ型教材

フラッシュ

型教材を

型教材

型教材

を

を

を活用

活用

活用した

活用

した反復練習

した

した

反復練習

反復練習

反復練習を

を

を

を取

取

取

取

り

り

り

り入

入

入れ

入

れ

れ

れ，

，

，

，計算力

計算力を

計算力

計算力

を

を定着

を

定着

定着

定着させる

させる

させる

させる指導

指導

指導

指導

（県立加計高等学校）

指導改善のポイント

○

基礎的・基本的な学習内容の理解や処理に関わる計算力を定着

させるために，

「四則計算」の繰り返し学習を行う。

数学Ａ問題において，「数と式」の通過率が，県全体の変化に比べ 13.6 ポイント高い。 数学Ａ問題において，「関心・意欲・態度」の通過率が，県全体の変化に比べ 11.8 ポイント高い。 小テスト no.04 （ ）番 名前（ ） 問題 次の式を展開しなさい。 （1）_{(2 5)}2 + x （2）_{(5x 2y)}2 − （3）(7x₊4)(7x₋4) （4）₍x_{+ 2)(}x₊₃₎ （5）(x₊8)(x₋10) （6）₍x₋₇₎₍x₋₄₎ （7）(5x₊3)(2x₊7) （8）(4x₊1)(3x₋2) （9）(2x₋5)(3x₊4) （10）(x₊2)3 「できる」ことにより， 学習意欲の向上もねら いとする。

イ 「グラフから関数の性質を考察させたり，グラフを用いて考察したことを発表させるなど，グ ラフを積極的に活用させる学習活動を取り入れること」の具体的な事例

二次関数において，グラフから考察することや，グラフの読み取り

が不十分な状況が改善された。

二次関数

二次関数

二次関数

二次関数の

の

の最大値

の

最大値

最大値

最大値・

・最小値

・

・

最小値

最小値

最小値について

について

について，

について

，

，

，積極的

積極的に

積極的

積極的

に

にグラフ

に

グラフ

グラフを

グラフ

を

を

を活用

活用し

活用

活用

し

し

し，

，

，

，考

考

考

考

察

察

察

察することを

することを

することを取

することを

取

取

取り

り

り入

り

入れ

入

入

れ

れ

れた

た

た

た指導

指導

指導

指導

（県立五日市高等学校） 【二次関数の最大値・最小値】 指 導 過 程 指導上の留意点 問１ 関数

y

₌

x

2

₋

4

x

₊

1

の定義域として次の範囲をと るとき，各場合について，最大値と最小値を求めよ。 (1)

₋

2

≦ x

≦

1

(2)

1

≦ x

≦

3

(3)

3

≦ x

≦

4

● 平方完成し，関数のグラフをかく。

3

)

2

(

₋

2

₋

= x

y

● (1)～(3)について，最大値と最小値を考察する。 ● 関数

y

₌

₋

x

2

₊

4

x

₋

1

を取り上げ，その最大値と最小 値を，定義域が(1)～(3)の場合について考察する。 １つのグラフに(1)～(3)の 定義域を書き込ませ，グラ フを用いて最大値や最小 値を考察させる。

指導改善のポイント

○

グラフを活用することの重要性を認識させるために，同じ関数

のグラフにおいて，定義域を変化させ考察させる指導を行う。

Ａ問題において，「二次関数」の通過率が，県全体の変化に比べ 11.1 ポイント高い。 Ａ問題において，「関心・意欲・態度」の通過率が，県全体の変化に比べ 11.4 ポイント高い。 グラフの対称性に着目させ，最 大値や最小値が定義域によっ て変わることに気付かせる。 問１と

x

軸対称のグラフで， 上に凸の場合を考えさせるこ とにより，理解の定着を図る。 定義域の違いによって，値域が 変化することに気付かせるた め，同一の関数を扱う。

ウ 「学習の基盤となる素地的な学習を取り入れるとともに，反復練習により習熟を図 る。また，様々な単元で解の公式を想起・適用するような課題に取り組ませること」 の具体的な事例

解の公式の定着状況に改善が見られた。

解

解

解

解の

の

の

の公式

公式

公式

公式を

を

を

を定着

定着させるため

定着

定着

させるため

させるため

させるため，

，

，

，反復練習

反復練習

反復練習

反復練習を

を繰

を

を

繰

繰

繰り

り

り返

り

返

返し

返

して

し

し

て

て行

て

行

行うとともに

行

うとともに

うとともに

うとともに，

，

，

，

解

解

解

解の

の公式

の

の

公式

公式を

公式

を

を

を活用

活用

活用

活用する

する単元

する

する

単元ごとに

単元

単元

ごとに

ごとに

ごとに丁寧

丁寧

丁寧

丁寧に

に

に

に復習

復習し

復習

復習

し

し，

し

，

，

，

理解

理解の

理解

理解

の広

の

の

広

広がりや

広

がりや

がりや深

がりや

深

深

深ま

ま

ま

ま

りなど

りなど

りなど

りなど学習

学習

学習の

学習

の

の

の進歩

進歩

進歩

進歩を

を

を感

を

感じさせる

感

感

じさせる

じさせる指導

じさせる

指導

指導

指導

（県立西城紫水高等学校） ○解の公式に数値を代入することの定着を図る指導。 【導入】 2 3

)

2

1

(

,

)

3

2

(

₊

₊

_{など展開公式に数値を代入する場面において，事前に公式} への数値代入について重点的に指導する。 【展開】 ・すべての問題において，係数，定数項

a

_,

b

_,

c

の値をそれぞれ確認して代入させる。 ○反復練習を取り入れた指導。 ・毎時，下記のように解の公式を記入してから利用するという形式で小テストを実施。 ○他の単元において，学習の進歩を感じさせる指導。 ・数学Ⅱ「高次方程式」の授業において，次のような指導を行う。 ① 数学Ⅰで扱った解の公式を丁寧に復習する。 ② 数を複素数に拡張した場合において，解の公式を活用する。 ③ 解の判別及び解と係数の関係を理解させる際，解の公式を活用して説明する。

指導改善のポイント

○

素地的な学習を取り入れるととも，解の公式について反復練習

等により習熟させるとともに，学習の進歩を感じさせる指導を行

う。

B 問題において，「方程式と不等式」の通過率が，県全体の変化に比べ 29.2 ポイント高い。 ○解の公式

0

2

=

+

+

bx

c

ax

の解は

x

₌

＿＿＿＿＿＿＿ ○次の２次方程式を解け。 (_１)

x

2

_{+ x}

5

₊

1

₌

0

まず，数値を代入することの 定着を図る。 毎時，確認の小テストを実施し， 達成感・成就感を味わわせる。 理解の広がりや深まりなど学習 の進歩を感じさせる。

エ 「三角比を用いた定理のよさを認識させるために，身近な事象と関連付けた課題を設け，三 角比の考え方を用いて考察させる学習を取り入れた指導」の具体的な事例

事象を考察することや数学の有用性を認識できていない状況に改

善が見られた。

三角比

三角比

三角比

三角比を

を用

を

を

用

用いた

用

いた

いた

いた考

考

考

考え

え方

え

え

方

方

方の

の

の

の有用性

有用性

有用性を

有用性

を実感

を

を

実感

実感

実感させる

させる

させる

させるために

ために

ために，

ために

，実測

，

，

実測

実測

実測し

し

し

し考察

考察

考察

考察さ

さ

さ

さ

せる

せる

せる

せる学習

学習

学習を

学習

を

を

を取

取り

取

取

り

り

り入

入

入れて

入

れて定理

れて

れて

定理

定理を

定理

を

を

を導

導かせる

導

導

かせる

かせる

かせる指導

指導

指導

指導

（県立湯来南高等学校） 【図形と計量 ／ 正弦定理】 指導例 ◇正弦定理を学ぶ前に，実測によって正弦定理を予測 させる。（ワークシート１，２） ① 円に内接する三角形 ABC をかこう。 ② 三角形の各辺の長さａ，ｂ，ｃと，角Ａ，Ｂ， Ｃの大きさを求めよう。

③ 三角比の表を用いて

_sin

A

_,

_sin

B

_,

_sin

C

の値を求めよう。 ④ 電卓を使って

C

c

B

b

A

a

sin

sin

,

sin

の値 を求めよう。 ⑤ 気付いたことを書いてみよう。 ⑥ 気付いたことを発表してみよう。 ◇正弦定理を証明する。 ⑦ 正弦定理の証明を理解しよう。

指導改善のポイント

○

三角比を用いた定理のよさを実感させるために，三角比を含む

値を実測し考察させる主体的な学習活動を取り入れた指導を行

う。

Ｂ問題において，「図形と計量」の通過率が，県全体の変化に比べ 10.5 ポイント高い。

・

ワークシート１ ワークシート２ ①から⑤の流れにより，三角比を辺 の長さの間にある関係を気付かせ る。 三角比の値と辺の長さの関係を考察 させた上で，定理の証明を行う。