モンテカルロ・フィルタを用いた金融時系列分析

状態空間モデルを用いた金融

時系列分析

佐藤整尚 （大学共同利用機関法人・情報・システム研究機構 統計数理研究所・データ科学研究系・准教授） 9月26日CARFセミナー

はじめに

• 90年代：統計科学の分野で金融データに対する応 用が盛んになった：ＡＲＣＨ、ＧＡＲＣＨをはじめとする ボラティリティモデルの推定 • 2000年以降：さまざまな商品が開発される。高頻度 データの解析、債券価格のモデリング、倒産確率の モデリング • 現在：数理ファイナンスの進化が著しい。 （統計科学の出番は？）

状態（State）変数とは

• 必ずしも観測されるとは限らない物事の状態 （本質）を表す変数。

• 時間とともに変動する。

状態空間モデルとは

• システムモデル（状態モデル）と観測モデル からなる。 • システムモデルにはマルコフ性が仮定される。 t-1時点の状態 t時点の状態 t+1時点の状態 t-1時点の観測値 t時点の観測値 t+1時点の観測値 システムモデル 観測モデル _{観測モデル}

状態空間モデル

• 線形・ガウスの場合（ｘが状態変数） t t t t t t e Hx y Gv Fx x + = + = ₋₁ 例） カルマン・フィルタ t t t t t t t e x y = + + = ₋

β

ε

β

β

₁ （システムモデル） （観測モデル） （システムモデル） （観測モデル）

一般化状態空間モデル

システムモデル

観測モデル

状態空間モデルの目的

• モデルの当てはめやパラメータの推定を行う。

• 観測値から状態変数を推定する。

• モデルに基づき予測を行う。

状態空間モデルの歴史

• もともとは物理システムの記述 に使われていた。 • 1960年代カルマンにより、制御 工学での利用が進んだ。（カル マンフィルタ） • 1970年代赤池により、統計科学 への応用が始まる。 理論モデルの記述 システムの制御 モデルの推定 ＊ファイナンスでも使われる ようになってきた。

金融時系列分析において

状態空間モデルが有効な例

• Trend Modelの推定

• Volatilityの推定（ Stochastic Volatility Model ）

• 金利の期間構造の推定

• マルチファクターモデルの推定 • CAPMにおける時変Betaの推定 • 投資信託のスタイル分析

金融時系列において状態空間モデル

が適用される時の2つの傾向

• 理論モデルの対象とする変数が観測できない場合 – 数理ファイナンスを起源とするモデル（連続時間モデル） – 状態（システム）モデルは一般に複雑である。非線形でカ ルマンフィルターでは解けないことも多い。 • 時変係数タイプの非定常モデル – クオンツタイプのモデル – ベースは回帰モデルでこれを時変にしたもの – システムモデルは統計的なモデリングである。カルマン フィルタで解ける場合が多い。

状態推定のアルゴリズム

• カルマン・フィルタ

• 拡張カルマン・フィルタ • 非線形フィルタ

モンテカルロフィルタの特徴

• 様々なモデルに適用可能である． – 制約つき推定 – 非線形構造 – 突然のジャンプなどを含むモデル • 状態変数（潜在変数）の推定が得意 • 平滑化も可能である．

Monte Carlo Filter : ( Kitagawa [1996] ) Initial distribution Prediction ～ _likelihood Re-sampling by Filter

Log-Likelihood

Trend-Volatility model (summary) Y_t = T_t + A_t + ε_t exp S_t T_t = DT_{t – 1} + T_{t – 1} + e_1t + e_2t DT_t = DT_{t – 1} + e_1t A_t = a₁A_{t – 1} + a₂A_{t – 2} + e_3t S_t = S_{t – 1} + c ∆DT_{t – 1} + e_4t e_1t,e_3t,e_4t ~ N 0,σ_i2 , ε_t ~ N 0,1 e₂ ~ Uniform(d1 , d2) (Prob. α) N (0,σ₂2) (Prob. 1 – α) （状態：トレンド、 ボラティリティ、周期変動）

時変係数マルチファクターモデル        + + + = + + + = + + + =      + = + = + = − − − nt nt t nt t t nt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e f c f b a r e f c f b a r e f c f b a r v c c v b b v a a ) 2 ( ) 1 ( 2 2 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 1 ) 2 ( 1 1 ) 1 ( 1 3 1 2 1 1 1  時変係数CAPM （状態：ファクターにかかる係数）

Observational Data (interest rates)

Estimated Factors (State Variables)

•Monte Carlo Filter •State Space Model Multi-Factor Model

Estimated

Term Structure

Term structure model of interest rates

State variables: Y (k-dimensional)

W : n dimensional Brownian motion

Short-term interest rate :

r

=

r

(

Y

,

t

)

Price of zero coupon bonds : P(t,T)

Q : Risk neutral measure

Under Q T : maturity ) , ), ( ( ) , (t T B Y t t T P = ∴ * * PはYのモデルの形に 依存して決定される

General case : System Model: Linear case : S S ′ = Σ

Observational Model

Price of a zero coupon bond

General case : Additive case : Examples of H(・ ) : (LIBOR) (Swap rate) )] ( |Y t ) , ); ( (Y t t T B =

要点： モンテカルロフィルターを用いた金利の期間構造の推定 特徴： 幅広いモデルに適用可能である． 特にゼロクーポン債の価格が明示的 に解けなくてもよい． 自由なモデリングが可能 （CIRなどのモデルにこだわる必要が無い）

スタイル分析法

• 静的枠組み – 回帰モデル • 動的枠組み – ウィンドウを移動しながら回帰を行う方法 – 罰金つき最小２乗法 – ・・・ – 状態空間表現によるアプローチ（新しい手法）

t t t t t t t t t t t t t t

e

LG

LV

MG

MV

SG

SV

r

+

+

+

+

+

+

=

6 5 4 3 2 1

β

β

β

β

β

β

投資信託のスタイル分析 SV:Small-Value SG:Small-Growth MV:Mid-Value MG:Mid-Growth LV:Large-Value LG:Large-Growth （状態：スタイルインデックスにかかる係数）

従来の方法

• Window-Regressionによって求めた係数を 平滑化する方法 （MPI-スタイラス，http://www.mpi-japan.com/） • 制約つき最小２乗法＋HP Filter （竹原１９９９） ここで提案する方法：

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ≠ ≠ ≠ ≠ − − = − = − = − = ≤ ≥    − + = + + + + + + = 6 6 2 2 1 1 ' ' 2 2 1 , 6 5 4 3 2 1 ) 6 1 : (Pr 1 ) 6 1 : (Pr 1 ) 6 1 : (Pr 1 ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 0 ) 1 : (Pr ) , 0 ( ) : (Pr ) , 0 ( ~ j jt t j jt t j jt t i j jt t i it it i i it it t i it t t t t t t t t t t t t t t c N N e LG LV MG MV SG SV r β β β β β β β β β β α σ α σ ε ε β β β β β β β β  モデル： 制約： 状態推定はモンテカルロフィルター を使う．

実証結果のまとめ

• ウエイト所与のもとでのシミュレーションデー タに対してはよく推定されている． • 特にMCFでは急激な変化も捉えられた． • 現実のリターン系列に対しては必ずしも満足 できる結果ではない． – 現実のファンドは常にスタイルインデックスのみ のポートフォリオとしてみれるか？

ボラティリティの推定

• ヒストリカルボラティリティ • SVやGARCHなどのモデルを使った推定 • 高頻度データを使った実現ボラティリティの推定 日次データ －＞ １分データ、１秒データ、 Tick データ ＊より精緻にVolatilityの推定が可能

High Frequency Data of Nikkei-225 Futures

• Traded at Osaka

Securites Exchange • Very active

– Daily average volume 136,802 units (2008)

• Intra-day volatility movements

• Large tick size

– 10 yen

(Spot index : 0.01 yen)

Apr-16-2007

High Frequency Data

60 sec.

Spot index (black) and Futures (red)

Historical Integrated Volatility for Nikei225 Futures Ｘ：LOGをとった株価 X: log transformed stock price (1s) (5s) (10s) (30s) ∑ = − − = Σ n i n i n i x x x 1 2 / ) 1 ( / ) ( ˆ Integrated Volatility Interval

従来のフレームワーク

i i i i i i v x y e x x + = + = ₋₁ Discrete model: （状態：本源的な資産価格、 ただし、状態そのものを推定 するのではない）

高頻度データに対する

より一般的な枠組み

)

,

,

(

)

1

0

(

)

(

1 0 2 / 1 0 i i i i t t t t t s x t

v

y

x

g

y

t

dB

s

x

x

−

=

≤

≤

Σ

+

=

∫

観測値yからｘのボラティリティを推定する。

SIML (Separating Information

Maximum Likelihood) Estimator

(Proposed by Kunitomo and Sato (2008))

For small k,

( )

[

]

0 sin 4 2 _{2 2}2 ₁1 , = + ≅ − n k k n n a π

                v x n l n l n m z z z z z z Σ ↓ + − + − Σ ↓ ˆ 2 1 ˆ 2 1, , , , , , , ,

SIMLの特徴

• 実務的な方法である。 – 計算が簡単であり、他の方法のようにデータごと に定めるパラメータなどがない。 – やや効率性は落ちるが、非常にロバストである。 • 漸近的な性質が比較的簡単である。 • 共分散も推定できるので、たとえば、重回帰 モデルの推定なども可能である。

高頻度データに対する

新しい観測モデル

i i i i t t t t t s x t

v

y

x

g

y

t

dB

s

x

x

+

−

=

∆

≤

≤

Σ

+

=

−

∫

)

(

)

1

0

(

)

(

1 0 2 / 1 0 観測値yからｘのボラティリティを推定する。

まとめ

• 高頻度データの観測モデルを非線形に拡張した。 • さまざまな非線形変換が考えられる。 • 従来の加法ノイズモデルにおける実現分散の推定 法も、ほぼ、有効である。 • 多変量のケースでの実現相関の推定も可能 （SIML)

ファイナンス分野での統計科学

• 統計モデル（時系列モデル）のファイナンス データへの適用 • ファイナンスモデルへの統計手法の適用 • 状態空間モデルは両方をつなぐ接点となりう る。 – 新しいフィルタリングの応用 – 今まで推定の難しかったファイナンスモデルの推 定