II. p.1/26 II.

II. ラ プ ラ ス変換

微分方程式を 代数方程式に 直して 解く

II.ラ プ ラ ス変換 – p.1/26

1. ^{定義 と 性質}

II.ラ プ ラ ス変換 – p.2/26

1. ^{定義 と 性質} —1.1 ^定義

II.ラ プ ラ ス変換 – p.3/26

1. ^{定義 と 性質} —1.1 ^定義

t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) ^{に 対し} Y (s) =

Z ∞ 0

e^−sty(t)dt

を y(t) ^{の ラ プ ラ ス変換 と よ び} , Y = L(y) ^{と 書く} . 逆 に , ^{与え ら れ た} Y (s) ^{に 対し} Y = L(y) ^{と なる} y(t) を 求 め る こ と を ラ プ ラ ス逆 変換

と よ び , y = L⁻¹(Y ) ^{と 書く} .

[例_]

L(1) = 1

s (s > 0) L(e^at) = 1

s − a (s > a)

[注_]

y(t) ^が t ≥ 0 で 定義 さ れ て い て も , Y (s) ^が s ≥ 0 全体で 定義 さ れ て い る と は 限ら ない .

II.ラ プ ラ ス変換 – p.4/26

1. ^{定義 と 性質} —1.1 ^定義

t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) ^{に 対し} Y (s) =

Z ∞ 0

e^−sty(t)dt

を y(t) ^{の ラ プ ラ ス変換 と よ び} , Y = L(y) ^{と 書く} .

逆 に , ^{与え ら れ た} Y (s) ^{に 対し} Y = L(y) ^{と なる} y(t) を 求 め る こ と を ラ プ ラ ス逆 変換 と よ び , y = L⁻¹(Y ) ^{と 書く} .

[例_]

L(1) = 1

s (s > 0) L(e^at) = 1

s − a (s > a)

[注_]

y(t) ^が t ≥ 0 で 定義 さ れ て い て も , Y (s) ^が s ≥ 0 全体で 定義 さ れ て い る と は 限ら ない .

II.ラ プ ラ ス変換 – p.4/26

1. ^{定義 と 性質} —1.1 ^定義

t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) ^{に 対し} Y (s) =

Z ∞ 0

e^−sty(t)dt

を y(t) ^{の ラ プ ラ ス変換 と よ び} , Y = L(y) ^{と 書く} .

逆 に , ^{与え ら れ た} Y (s) ^{に 対し} Y = L(y) ^{と なる} y(t) を 求 め る こ と を ラ プ ラ ス逆 変換 と よ び , y = L⁻¹(Y ) ^{と 書く} .

[例_]

L(1) = 1

s (s > 0) L(e^at) = 1

s − a (s > a)

[注_]

y(t) ^が t ≥ 0 で 定義 さ れ て い て も , Y (s) ^が s ≥ 0 全体で 定義 さ れ て い る と は 限ら ない .

II.ラ プ ラ ス変換 – p.4/26

1. ^{定義 と 性質} —1.1 ^定義

t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) ^{に 対し} Y (s) =

Z ∞ 0

e^−sty(t)dt

を y(t) ^{の ラ プ ラ ス変換 と よ び} , Y = L(y) ^{と 書く} .

逆 に , ^{与え ら れ た} Y (s) ^{に 対し} Y = L(y) ^{と なる} y(t) を 求 め る こ と を ラ プ ラ ス逆 変換 と よ び , y = L⁻¹(Y ) ^{と 書く} .

[例_]

L(1) = 1

s (s > 0) L(e^at) = 1

s − a (s > a)

[注_]

y(t) ^が t ≥ 0 で 定義 さ れ て い て も , Y (s) ^が s ≥ 0 全体で 定義 さ れ て い る と は 限ら ない .

II.ラ プ ラ ス変換 – p.4/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

II.ラ プ ラ ス変換 – p.5/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt = [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt = sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s) よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰)

=

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt = [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt = sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s) よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt

= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt = sY(s) −y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s) よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt

= sY(s) −y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s) よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt= sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s) よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt= sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ)

=

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s) よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt= sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s) よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt= sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt

= 1

sY (s) よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt= sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s) よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ}

ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt= sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s)

よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt= sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s)

よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt= sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s)

よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt= sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s)

よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(i) L(αy₁ +βy₂) = αL(y₁) +βL(y₂) ( ^但し α, β ^{は 定数}, y₁ = y₁(t), y₂ = y₂(t) ) (ii)L(y⁰) =

Z ^∞

0

y⁰(t)e^−stdt= [y(t)e^−st]^∞₀ +

Z ^∞

0

y(t)se^−stdt= sY(s) − y(0) (Y = L(y)) (iii)L(

Z _t

0

y(τ)dτ) =

Z ∞ 0

„Z _t

0

y(τ)dτ

«

e^−stdt

=

»„Z t 0

y(τ)dτ

« „

−1

se^−st

«–^∞

0

+ 1 s

Z ^∞

0

y(t)e^−stdt = 1

sY (s)

よ っ て 「 微分 ↔ s ^{を か け る 」} ,^{「 積分} ↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で , ^{微分方程式は ラ プ} ラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .

[例題_] dy

dx = ky +f(x) (k ^{は 定数})

[解答_] 両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と

sY(s) − y(0) = kY (s) + F(s) (F = L(f))

··· Y (s) = 1

s − k (y(0) + F(s)) 従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)e^kt +L⁻¹ “_F(s)

s−k

”

II.ラ プ ラ ス変換 – p.6/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(iv) L(y₁ · y₂)

6

= L(y₁) · L(y₂) ^残念！

y₁(t) ^と y₂(t) ^{の 新しい 積} y₁ ∗y₂ (^合成積) ^を (y₁ ∗ y₂)(t) =

Z _t

0

y₁(t− τ)y₂(τ)dτ ^{で 定義 す る} . ^{す る と} , L(y₁ ∗ y₂) =

Z ^∞

0

„Z _t

0

y₁(t −τ)y₂(τ)dτ

«

e^−stdt =

Z ^∞

0

„Z ∞ τ

y₁(t− τ)e^−stdt

«

y₂(τ)dτ

=

Z ∞ 0

„Z ∞ τ

y₁(t −τ)e^−s(t−τ)dt

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

Z ^∞

0

„Z ∞ 0

y₁(σ)e^−sσdσ

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

„Z ^∞

0

y₁(σ)e^−sσdt

« „Z ^∞

0

e^−sτy₂(τ)dτ

«

= L(y₁) · L(y₂)

よ っ て L(y₁ ∗ y₂) = L(y₁) · L(y₂)

II.ラ プ ラ ス変換 – p.7/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(iv) L(y₁ · y₂) 6= L(y₁) · L(y₂) ^残念！

y₁(t) ^と y₂(t) ^{の 新しい 積} y₁ ∗y₂ (^合成積) ^を (y₁ ∗ y₂)(t) =

Z _t

0

y₁(t− τ)y₂(τ)dτ ^{で 定義 す る} . ^{す る と} , L(y₁ ∗ y₂) =

Z ^∞

0

„Z _t

0

y₁(t −τ)y₂(τ)dτ

«

e^−stdt =

Z ^∞

0

„Z ∞ τ

y₁(t− τ)e^−stdt

«

y₂(τ)dτ

=

Z ∞ 0

„Z ∞ τ

y₁(t −τ)e^−s(t−τ)dt

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

Z ^∞

0

„Z ∞ 0

y₁(σ)e^−sσdσ

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

„Z ^∞

0

y₁(σ)e^−sσdt

« „Z ^∞

0

e^−sτy₂(τ)dτ

«

= L(y₁) · L(y₂)

よ っ て L(y₁ ∗ y₂) = L(y₁) · L(y₂)

II.ラ プ ラ ス変換 – p.7/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(iv) L(y₁ · y₂) 6= L(y₁) · L(y₂) ^残念！

y₁(t) ^と y₂(t) ^{の 新しい 積} y₁ ∗y₂ (^合成積) ^を (y₁ ∗ y₂)(t) =

Z _t

0

y₁(t− τ)y₂(τ)dτ ^{で 定義 す る} . す る と ,

L(y₁ ∗ y₂) =

Z ^∞

0

„Z _t

0

y₁(t −τ)y₂(τ)dτ

«

e^−stdt =

Z ^∞

0

„Z ∞ τ

y₁(t− τ)e^−stdt

«

y₂(τ)dτ

=

Z ∞ 0

„Z ∞ τ

y₁(t −τ)e^−s(t−τ)dt

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

Z ^∞

0

„Z ∞ 0

y₁(σ)e^−sσdσ

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

„Z ^∞

0

y₁(σ)e^−sσdt

« „Z ^∞

0

e^−sτy₂(τ)dτ

«

= L(y₁) · L(y₂)

よ っ て L(y₁ ∗ y₂) = L(y₁) · L(y₂)

II.ラ プ ラ ス変換 – p.7/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(iv) L(y₁ · y₂) 6= L(y₁) · L(y₂) ^残念！

y₁(t) ^と y₂(t) ^{の 新しい 積} y₁ ∗y₂ (^合成積) ^を (y₁ ∗ y₂)(t) =

Z _t

0

y₁(t− τ)y₂(τ)dτ ^{で 定義 す る} . ^{す る と} , L(y₁ ∗ y₂) =

Z ^∞

0

„Z _t

0

y₁(t −τ)y₂(τ)dτ

«

e^−stdt

=

Z ^∞

0

„Z ∞ τ

y₁(t− τ)e^−stdt

«

y₂(τ)dτ

=

Z ∞ 0

„Z ∞ τ

y₁(t −τ)e^−s(t−τ)dt

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

Z ^∞

0

„Z ∞ 0

y₁(σ)e^−sσdσ

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

„Z ^∞

0

y₁(σ)e^−sσdt

« „Z ^∞

0

e^−sτy₂(τ)dτ

«

= L(y₁) · L(y₂)

よ っ て L(y₁ ∗ y₂) = L(y₁) · L(y₂)

II.ラ プ ラ ス変換 – p.7/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(iv) L(y₁ · y₂) 6= L(y₁) · L(y₂) ^残念！

y₁(t) ^と y₂(t) ^{の 新しい 積} y₁ ∗y₂ (^合成積) ^を (y₁ ∗ y₂)(t) =

Z _t

0

y₁(t− τ)y₂(τ)dτ ^{で 定義 す る} . ^{す る と} , L(y₁ ∗ y₂) =

Z ^∞

0

„Z _t

0

y₁(t −τ)y₂(τ)dτ

«

e^−stdt=

Z ^∞

0

„Z ∞ τ

y₁(t− τ)e^−stdt

«

y₂(τ)dτ

=

Z ∞ 0

„Z ∞ τ

y₁(t −τ)e^−s(t−τ)dt

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

Z ^∞

0

„Z ∞ 0

y₁(σ)e^−sσdσ

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

„Z ^∞

0

y₁(σ)e^−sσdt

« „Z ^∞

0

e^−sτy₂(τ)dτ

«

= L(y₁) · L(y₂)

よ っ て L(y₁ ∗ y₂) = L(y₁) · L(y₂)

II.ラ プ ラ ス変換 – p.7/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(iv) L(y₁ · y₂) 6= L(y₁) · L(y₂) ^残念！

y₁(t) ^と y₂(t) ^{の 新しい 積} y₁ ∗y₂ (^合成積) ^を (y₁ ∗ y₂)(t) =

Z _t

0

y₁(t− τ)y₂(τ)dτ ^{で 定義 す る} . ^{す る と} , L(y₁ ∗ y₂) =

Z ^∞

0

„Z _t

0

y₁(t −τ)y₂(τ)dτ

«

e^−stdt=

Z ^∞

0

„Z ∞ τ

y₁(t− τ)e^−stdt

«

y₂(τ)dτ

=

Z ∞ 0

„Z ∞ τ

y₁(t −τ)e^−s(t−τ)dt

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

Z ^∞

0

„Z ∞ 0

y₁(σ)e^−sσdσ

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

„Z ^∞

0

y₁(σ)e^−sσdt

« „Z ^∞

0

e^−sτy₂(τ)dτ

«

= L(y₁) · L(y₂)

よ っ て L(y₁ ∗ y₂) = L(y₁) · L(y₂)

II.ラ プ ラ ス変換 – p.7/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(iv) L(y₁ · y₂) 6= L(y₁) · L(y₂) ^残念！

y₁(t) ^と y₂(t) ^{の 新しい 積} y₁ ∗y₂ (^合成積) ^を (y₁ ∗ y₂)(t) =

Z _t

0

y₁(t− τ)y₂(τ)dτ ^{で 定義 す る} . ^{す る と} , L(y₁ ∗ y₂) =

Z ^∞

0

„Z _t

0

y₁(t −τ)y₂(τ)dτ

«

e^−stdt=

Z ^∞

0

„Z ∞ τ

y₁(t− τ)e^−stdt

«

y₂(τ)dτ

=

Z ∞ 0

„Z ∞ τ

y₁(t −τ)e^−s(t−τ)dt

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

Z ^∞

0

„Z ∞ 0

y₁(σ)e^−sσdσ

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

„Z ^∞

0

y₁(σ)e^−sσdt

« „Z ^∞

0

e^−sτy₂(τ)dτ

«

= L(y₁) · L(y₂)

よ っ て L(y₁ ∗ y₂) = L(y₁) · L(y₂)

II.ラ プ ラ ス変換 – p.7/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(iv) L(y₁ · y₂) 6= L(y₁) · L(y₂) ^残念！

y₁(t) ^と y₂(t) ^{の 新しい 積} y₁ ∗y₂ (^合成積) ^を (y₁ ∗ y₂)(t) =

Z _t

0

y₁(t− τ)y₂(τ)dτ ^{で 定義 す る} . ^{す る と} , L(y₁ ∗ y₂) =

Z ^∞

0

„Z _t

0

y₁(t −τ)y₂(τ)dτ

«

e^−stdt=

Z ^∞

0

„Z ∞ τ

y₁(t− τ)e^−stdt

«

y₂(τ)dτ

=

Z ∞ 0

„Z ∞ τ

y₁(t −τ)e^−s(t−τ)dt

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

Z ^∞

0

„Z ∞ 0

y₁(σ)e^−sσdσ

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

„Z ^∞

0

y₁(σ)e^−sσdt

« „Z ^∞

0

e^−sτy₂(τ)dτ

«

= L(y₁) · L(y₂)

よ っ て L(y₁ ∗ y₂) = L(y₁) · L(y₂)

II.ラ プ ラ ス変換 – p.7/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(iv) L(y₁ · y₂) 6= L(y₁) · L(y₂) ^残念！

y₁(t) ^と y₂(t) ^{の 新しい 積} y₁ ∗y₂ (^合成積) ^を (y₁ ∗ y₂)(t) =

Z _t

0

y₁(t− τ)y₂(τ)dτ ^{で 定義 す る} . ^{す る と} , L(y₁ ∗ y₂) =

Z ^∞

0

„Z _t

0

y₁(t −τ)y₂(τ)dτ

«

e^−stdt=

Z ^∞

0

„Z ∞ τ

y₁(t− τ)e^−stdt

«

y₂(τ)dτ

=

Z ∞ 0

„Z ∞ τ

y₁(t −τ)e^−s(t−τ)dt

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

Z ^∞

0

„Z ∞ 0

y₁(σ)e^−sσdσ

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

„Z ^∞

0

y₁(σ)e^−sσdt

« „Z ^∞

0

e^−sτy₂(τ)dτ

«

= L(y₁) · L(y₂) よ っ て L(y₁ ∗ y₂) = L(y₁) · L(y₂)

II.ラ プ ラ ス変換 – p.7/26

1. ^{定義 と 性質} —1.2 ^性質

(iv) L(y₁ · y₂) 6= L(y₁) · L(y₂) ^残念！

y₁(t) ^と y₂(t) ^{の 新しい 積} y₁ ∗y₂ (^合成積) ^を (y₁ ∗ y₂)(t) =

Z _t

0

y₁(t− τ)y₂(τ)dτ ^{で 定義 す る} . ^{す る と} , L(y₁ ∗ y₂) =

Z ^∞

0

„Z _t

0

y₁(t −τ)y₂(τ)dτ

«

e^−stdt=

Z ^∞

0

„Z ∞ τ

y₁(t− τ)e^−stdt

«

y₂(τ)dτ

=

Z ∞ 0

„Z ∞ τ

y₁(t −τ)e^−s(t−τ)dt

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

Z ^∞

0

„Z ∞ 0

y₁(σ)e^−sσdσ

«

e^−sτy₂(τ)dτ

=

„Z ^∞

0

y₁(σ)e^−sσdt

« „Z ^∞

0

e^−sτy₂(τ)dτ

«

= L(y₁) · L(y₂)

よ っ て L(y₁ ∗ y₂) = L(y₁) · L(y₂)

II.ラ プ ラ ス変換 – p.7/26

2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書

II.ラ プ ラ ス変換 – p.8/26

2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書 —2.1 ^{基 本的な関 数}

II.ラ プ ラ ス変換 – p.9/26

2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書 —2.1 ^{基 本的な関 数}

[公式集_]

•

Z ∞ 0

e^−st · 1dt =

»

−e^−st s

–^∞

0

= 1 s

•

Z ∞ 0

e^−st · t^αdt =

Z ∞ 0

e^−x · “x s

”α dx s

(^但し st=x ^{と して} dt=^dx_s )

= 1

s^α+1

Z ∞ 0

x^αe^−xdx

= Γ(α + 1) s^α+1

(^但し s>0)

特に α = n (^自然数) ^{なら ば} , L(tⁿ) = n!

sⁿ⁺¹

•

z は 複素数

=

Z ∞ 0

e^−st · e^ztdt =

Z ∞ 0

e^(z−s)tdt =

"

e^(z−s)t z −s

#^∞

0

= 1

s −z

(^但し s>Re z)

•

„e^iωt +e^−iωt 2

«

= 1 2

„ 1

s − iω + 1 s − (−iω)

«

= s

s² + ω²

•

„e^iωt −e^−iωt 2i

«

= 1 2i

„ 1

s −iω − 1 s − (−iω)

«

= ω

s² + ω²

•

s² − a², L(sinhat) = a s² − a² 線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！

II.ラ プ ラ ス変換 – p.10/26