数学要論
B中間テスト（担当：小森洋平）１２月２１日
学籍番号
:氏名：
以下の問に答えよ。
問題１
次の下線部の定義を述べよ。
Rの空集合でない部分集合
Aに対し、
(1)
実数
y∈Rは
Aの上界 である。
(2) A
は 上に有界 である。
(3) A
が上に有界なとき、実数
z∈Rは
Aの上限
supAである。
問題２
A
を
Rの上に有界な空集合でない部分集合とする。実数
t∈Rが
t= supAである ための必要十分条件は
(1) ∀a∈A;a5t.
(2) ∀ε >0,∃a∈A;t−ε < a.
であることを示せ。
問題３
実数列
{an}n∈Nが収束列ならば有界列であることを示せ。
問題４
２つの実数列
{an}n∈Nと
{bn}n∈Nはともに収束列で、
limn→∞an =aかつ
limn→∞bn= bとする。このとき実数列
{anbn}n∈Nも収束列で、その極限値は
limn→∞anbn=abとなることを示せ。
問題５
下に有界な単調減少列は収束列であることを示せ。
問題６
２つの実数列
{an}n∈Nと
{bn}n∈Nはともに収束列で、任意の
n∈Nで
an5bnか つ
a= limn→∞an, b= limn→∞bnとする。このとき
a5bとなることを示せ。
問題７
収束列はコーシー列であることを示せ。
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