ダークハローの密度プロファイルを中心に
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(2) 内容 • イントロダクション. • 線形理論や球対称モデルに基づいた簡単 な構造形成の話. • CDM モデルと銀河形成. •. ダークハローの密度プロファイルを中心に. • 時間があったらシミュレーション手法.
(3) 銀河 •. ダークマターハロー. ダークマターハローという, ダーク マターの密度揺らぎが自己重力. バルジ. 崩壊して力学平衡に達した天体 の中心に存在. •. ディスク. 主にバルジと円盤という 2 つの成分 から成る. • •. サブハロー バルジが卓越 → 楕円銀河 (M87とか). 円盤が卓越 → 円盤銀河 (MW とか M31 とか). 衛星銀河.
(4) 銀河形成の初期条件 • 銀河や銀河団のような天体は宇宙の初期 密度揺らぎから生まれる . • 初期密度揺らぎの性質を決めれば初期条 件が決まる . •. inflation (flat) + random Gaussian 揺らぎ.
(5) ΛCDM: 標準宇宙モデル パワースペクトル [(h-1 Mpc)3]. WMAP. 4% Atoms. Tegmark+’07. 波数 [h Mpc-1].
(6) 宇宙の歴史 インフレーション+ 元素合成 宇宙再電離 時 空 の 量 子 的 揺 ら ぎ. 銀河・銀河団・惑星等の形成. 宇宙暗黒時代. 今回は主に晴れ上がり以降の物質優 勢期のみ扱う. 最初の星・銀河の誕生 (約4億年） 宇宙の晴れ上がり・中性化（38万年） 137億年. 宇宙の加速膨張.
(7) 構造形成 ＠物質優勢期.
(8) 一様等方宇宙 Rµ ds2 =. 8 G R gµ + gµ = 4 Tµ 2 c c2 dt2 + a(t)2. dr2 + r2 d 1 Kr2. (Einstein 方程式) 2. (Robertson-Walker metric). から Friedmann 方程式を得る.. (ρはエネルギー密度).
(9) 一様等方？ SDSS. WMAP.
(10) Cold Dark Matter Universe.
(11) Cold Dark Matter Universe.
(12) Cosmic Web. MILLENNIUM SIMULATION.
(13) 構造形成 • 宇宙初期の微少な密度揺らぎが自己重力 的に成長. •. 宇宙膨張と自己重力. • • •. 相対論抜き. • 今回はニュートン近似のみ扱う. 宇宙の熱史とかもなし. CDM powerspectrum の話もなし.
(14) 宇宙論パラメータ Einstein-de Sitter 宇宙のエネルギー密度は Friedmann eq. より c. 3c2 H 2 8 G. 宇宙論パラメータを以下のように定義すると c. 8 G = 2 2 , 3c H. k. c2 K , 2 2 H a. c2 3H 2. Friedmann eq. は. k. +. =1. 現在の値を用いて書きなおすと H2 m,0 r,0 = + H02 a4 a3. k,0 a2. +. ,0.
(15) 流体近似 • 簡単のために Λ = 0 の場合を考える. • 基礎方程式 +. · ( v) = 0,. v + (v · )v = t =4 G , (. =4 G. p. c2 ).. ,.
(16) 共同座標系 以降, ρはエネルギー密度ではなく物質密度 (エネルギー密度/c2) とする.
(17) 共同座標系での基礎方程式.
(18) 線形近似 • 物理量の微少な変化を考える. • Background (0次). p = Λ = 0 の Friedmann eq..
(19) 今度こそ線形近似 • 密度揺らぎ. 1. ¯. 1. を考える. ( + 1) ¯ ¯ ¯ + ( + 1) + 3¯H( + 1) + t t a 1 + ·u=0 t a. (p0 + p1 ) ( 0+ ) a¯( + 1) a 1 c2s 1 c2s = a ¯ a a. u u äx + + Hu + · u = t a p1 u + Hu = = t a¯ a = 4 G¯ a. 2. · {( + 1)u} = 0. c2s. =. p. and p1 = S. c2s 1. +. a p S. S.
(20) 密度揺らぎの運動方程式 • 運動方程式に u · +H t. ·u=. • 連続の式から ·u=. ·u = t. を作用させる c2s a. a. t 2. t2. • δ のみの式にすると c ¨=. 2H ˙ + 4 G¯ +. 2 s a2. 右辺第1項は宇宙膨張が摩擦項となっていること, 第2項は重力による力, 第3 項は圧力によって揺らぎが上に凸の部分の成長が抑制されることを示す.
(21) Jeans 波長 •. • • •. ⇥ exp(⇥t + ik · x)として分散関係を導く. 運動方程式に代入すると. !. 2. + 2H. 2 c 4 G¯ + k 2 s2 = 0 a. 不安定 (ω > 0) になるための条件は 2 c2s = J = kJ G¯a2 cs aH 輻射優勢期には cs ~ c なのでホライズンより小さ. 2 a k 2 < kJ2 = 4 G¯ 2 or > cs H 2 = 8 G¯/3 より > J. •. なスケールの揺らぎは成長できない (lH = c/H).
(22) 密度揺らぎの線形成長 • E-dS (K = Λ = 0) を考える. また物質優勢 期を考えるので cs = 0. • • •. H0 8 G c,0 2 Friedmann 方程式は ȧ = 3c2 a3 a = a 2. a(t) = A tα とおくと, . ! !. a=. 9 2 H0 4. 1 3. t. 2 3. 4˙ ¨ 運動方程式は + t 3. 2 H= t 3. 1. 2 t 3. 2. 1. =0.
(23) 密度揺らぎの線形成長 •. 運動方程式 t. ¨ + 4 ˙t 3. 1. 2 t 3. 2. =0. に. として代入すると = 2/3 and. 1. • • growing mode を D(t) と書く. E-dS では 一般解は . D(t). a(t). 2 3. (t) = C1 t + C2 t. 1.
(24) 速度揺らぎの線形成長 • 線形段階の密度揺らぎは と書ける. (x, t) = D(t)A(x). ˙ = (Ḋ/D). • 線形化された連続の式と Poisson eq. を用 いて. •. ·u Ḋ ·u = + =0 a D a ! Ḋ ·u= D 4 G¯a ! Ḋ 積分すると u = + D 4 G¯a ˙+. .. Decaying mode.
(25) Zel’dovich 近似. • Lagrange 座標での近似. r = a(t){q + b(t)s(q)}; x = q + b(t)s(q). •. 3 3 質量保存より d x = ¯d q 1. dx =¯ dq. • 線形化すると. !. = ¯(1. b. q. ¯ |D| · s). 1. ¯. = ij. =. + b(t). b. q. ·s. si qj. • つまり b(t) = D(t) • 弱非線形領域 (δ ~ 4) まで使える. • 宇宙論的シミュレーションの初期条件を作る時に 使う.
(26) 球対称解 を球対称モデルで • 非線形段階 (collapse) GM (< r) 調べる: r̈ =. r2. 1 2 ṙ 2. GM (< r) = E. r. • エネルギー積分: . • E < 0 (collapse) の時の解は cycloid 曲線:. {. r = A2 (1 t=. cos ),. A3 ( GM. sin )..
(27) 線形化 3 M = . 3 4 r. • 球の密度は . 3H 1 • background は ¯ = = 8 G = 6 Gt . ¯ 9( sin ) • = ¯ = 2 (1 cos ) 1. A • for 1, t = 6 GM , 2. c. 2. 2. 3. 3. L. L. 3 = 20. 3. 2. 3 L (t) = 20. 6 GM tL A3. 2 3.
(28) δL と δ の関係 • θ = π で r 9は最大 (turnaround) : r = A(1 !. = ( )=. ta. 2. 16. • この時刻の δ !. L,ta. 3 = 20. 1. L. 4.5. は. 2 3. 6 GM tta A3. 1.06. • r = 0 at θ = 2π (collapse). !. L,c. •δ. L. 3 = 20. 6 GM tc A3. 2 3. 1.69. tta. A3 = GM. A3 2 tc = GM. > δL, c となった密度揺らぎは collapse. する. cos ).
(29) virial overdensity • 球の持つ全エネルギー: E = • virial 平衡: 2TW + W =GM0 • •. E! = T + W = 3. = 2. vir. ¯. t. 2. 2. =. 2rvir. ta. and tc = 2tta ;. ;. rvir. GM rta rta = 2. ¯ta ¯c = 4. • 以上より virial overdensity は vir. =. ¯. = 32 vir. ¯ ta. = 32(. ta. + 1) = 18. 2. 178..
(30) ダークハローの質量関数 • 質量 M の天体の個数密度 n(M) dM . • 密度揺らぎの統計的性質: random Gaussian. • • • •. σ2 = <δ2>. 2 1 一点分布関数: f ( )d = 2 exp 2 2 d δのフーリエ変換: ˆ(k) = | ˆ(k)|ei (k) = パワースペクトル. P (k) | ˆ(k)|2 , ˆ(k) ˆ(k ) = P (k) (r) =. 1 (2 )3. (x)eik·x dx. D. (k. k ),. P (k)e ik·x dk..
(31) 密度場の smoothing • Window function, W ものを用いて. M (x). , を導入. 球対称な. WM (x)dx = 1 と規格化. (x) = W (x • mass scale M の揺らぎ:. Z 1 k x dk, ˆ (x) = Ŵ (kR) (k)e • (2⇡) M. M. *. 3. 1 (x) = (2⇡)3. where Ŵ (kR) =. M. i ·. Z. Z. ˆ(k)e ik·x dk,. WM (x)e ik·x dx. x) (x )dx ..
(32) Window functions • Top-hat. ! !. 3 WM (R) = (1 r/R) 3 4 R 3 Ŵ (kR) = {sin(kR) kR cos(kR)} 3 (kR). • Gaussian W ! !. M (R). =. 1 2 3 R )3. (2. k 2 R2 2. Ŵ (kR) = exp. • Sharp k-space. WM (R) =. exp. r2 2R2. 1 (2. Ŵ (kR) = (kc. 2 r3 ). {sin(kc r). k), where kc. kc r cos(kc r)} R. 1.
(33) Press-Schechter mass function (M ) = f(. M. 2 M c). 1. =. =. (2 )3 1 2 (M ). Ŵ (kR)2 P (k)dk. exp c. 2. 2 M. d. (M )2. M. M’ > M で collapse してる領域の内側も含む. M ~ M+dM の collapse している天体の個数密度を n(M)dM とすると M n(M ) dM = f ( ¯ =. c). M c. 2. (M )2. f(. f(. M +dM ). (M ) exp M. M. M 2. 2 c. (M )2. c). dM. dM..
(34) A factor of two n(M )dM =. ¯=. ¯c 2 M (M )2. M n(M )dM. (M ) exp M. =. f(. ¯. 0. 2. ¯. =. ¯ 2. c). M. 1 2. c (M ). e. e. x2 2. 0. dM. (M )2. M. 0. =. 2 c. x2 2. (1). dM 0. dx. ¯ dx = 2. !. 仕方がないので (1) の右辺を単純に2倍して n(M )dM =. 2. ¯c M (M )2. (M ) exp M. P-S mass function. 2. 2 c. (M )2. dM.
(35) ダークハロー質量関数. Jenkins+’01.
(36) 角運動量の進化 1 つの halo へと collapse する Eulerian volume V L(t) =. a3 V. dr r. dx (1 + (x))x. v = ¯a4 V. Lagrangian volume Γ に置き換える: L(t) = ¯a5. dq (q + S). Zel’dovich 近似: S(q, t) L(t). ¯a5 Ḋ = ¯a Ḋ 5. u.. Ṡ.. D(t)s(q) = D(t). dq (q + D dq q. x(t) = q + S(q, t). (q). ) .. L(t). a2 Ḋ. t.
(37) 角運動量の獲得 1 + qi qi q =0 2. (q) = (0) + qi Li (t). ¯a5 Ḋ = a2 Ḋ. where Dkl. d3 q. 2. qi qj q =0. qj + · · · .. 2 ijk qj ql. qk ql q =0. ijk Ijl Dkl , 2. qk ql q =0. and Ijl. ¯a3. d3 q qj ql .. Γ の四重極モーメントと tidal field の misalignment で角運動量を獲得.
(38) 線形理論の予言 ΛCDM simulation |L| maximum expansion t. Turnaround まで角運動量を |L| ∝ a3/2 ∝ t で獲得し, 収縮に 転じると tidal field から切り 離されて |L| ~ const. となる. Zavara, TO, Fenk’08.
(39) バリオンの獲得する 角運動量 • ダークマターと同様 tidal torque によって turn around までに獲得. • cold stream とか hot accretion とかはこの 後の話. . • 初期条件で決まってる.
(40) 無衝突系の緩和 • 銀河やダークハローは無衝突系と考えら れる. •. 二体緩和のタイムスケールは宇宙年齢より十 分長い f +v· t. f. f · = 0. v. • ダークハローや楕円銀河はどうやって力 学平衡に？.
(41) Phase-mixing • 様々なエネルギーでポ テンシャルの井戸の中 を運動する粒子群. • f = f(E, Φ). • E → 大 周期 → 大. • 分布関数の占める領域. は時間とともに細分化. • 巨視的に見れば f はあ る一定の関数系に漸近 的に近づいて行く. Lynden-Bell’67.
(42) Violent relaxation • collapse や合体 → 時間空・間的に重力ポ テンシャル ψ が激しく変動. . de = dt t. (de/dt)2 r = e2. • ( / t) = e • mv m 3 e. 2 • 平均的には 4 4 3 ( / t) • 4 • だいたい dynamical time で virialize する 1 2. 2. 2. 2. 2. r. 2. 1 2. 1 2.
(43) Violent relaxation で 実現される力学状態. 時間とともに N(E)が広 がっていく van Albada’82. 初期状態と終状態に強 い相関. 緩和は不完全.
(44) CDM モデルと銀河形成.
(45) 銀河形成の初期条件 • 銀河や銀河団のような天体は宇宙の初期 密度揺らぎから生まれる . • 初期密度揺らぎの性質を決めれば初期条 件が決まる . •. inflation (flat) + random Gaussian 揺らぎ.
(46) 密度揺らぎの進化 • 構造形成の driving force はダークマター の自己重力. • 非線形段階まで含めて N 体 simulation を 用いて詳しく調べられている. • •. ダークハローの質量関数. ダークハローの構造.
(47) バリオンの効果は • バリオンとダークマターの最大の違い. • •. バリオンはエネルギーを散逸できる . ‣. バリオンはダークマターよりも中心集中度の高い 分布をする. ‣. ハロー中心部ではバリオンの重力が支配的. ダークハローの構造だけを考える場合もバリ オンを考慮する必要がある.
(48) 銀河形成の描像.
(49) 考えるべき物理過程 • 初期条件: ΛCDM（特定の銀河の特定の初期条件を与. subgrid. えるわけではない）. • 自己重力: ダークマター + ガス + 星. • Gas dynamics: 流体力学. • ガスの放射冷却, 化学反応. • 星形成. バリオンの物理 • 加熱過程（フィードバック）. • 化学進化（重元素汚染）.
(50) 銀河形成とΛCDM • ΛCDM に基づいたシミュレーションにより銀河スケール でいくつかの問題が報告されてきた. •. 角運動量問題: 天の川銀河のような円盤銀河がΛCDMを仮定し たシミュレーションではほとんど形成されない. •. 衛星銀河問題: 銀河のダークハローはサブハローと呼ばれる構 造を持つがCDMが予言するサブハローの数は衛星銀河のそれ. •. よりも桁で多い. コア-カスプ問題: CDM はダークハローが中心部で cusp 構造 を持つことを予言するが, 低表面輝度銀河の観測は core の存 在を示唆 sim. (r). r. 1. 1.5. obs.. (r). const..
(51) 銀河形成とΛCDM • ΛCDM に基づいたシミュレーションにより銀河スケール でいくつかの問題が報告されてきた. •. 角運動量問題: 天の川銀河のような円盤銀河がΛCDMを仮定し たシミュレーションではほとんど形成されない. •. 衛星銀河問題: 銀河のダークハローはサブハローと呼ばれる構 造を持つがCDMが予言するサブハローの数は衛星銀河のそれ. •. よりも桁で多い. コア-カスプ問題: CDM はダークハローが中心部で cusp 構造 を持つことを予言するが, 低表面輝度銀河の観測は core の存 在を示唆 sim. (r). r. 1. 1.5. obs.. (r). const..
(52) 角運動量問題 • Tully-Fisher 関係. • 円盤銀河の回転速度 GM vc =. R. と絶対光度の間の観測的 関係. • シミュレーションの銀河 は光度に対して回転速度 が大きすぎる. Navarro & Steinmetz ’00. •. ↓. 質量が中心集中し過ぎ.
(53) 衛星銀河問題 Moore+ʼ99. 回転速度の関数とし てのサブハローの数 は, 実際に観測され る衛星銀河のかずよ りも一桁以上多い. 個数 ( > Vc). • ΛCDM の予言する. 単純に暗くするだけでは駄目. 回転速度 vc =. GM (< R) R.
(54) Core-Cusp 問題 De Block+’01. • 低表面輝度銀河の密 度プロファイルのべき. • 低表面輝度銀河: バリオ ンをほとんど含まない 銀河. • CDM が内側で α = -1 ~ CDM の予言. -1.5 を予言するのに対 して α ~ 0..
(55) N-body simulation に よる密度 profile • NFW profile. • 宇宙モデル, ハロー質 量によらず universal . 0. • (r/r )(1 + r/r ) • 内側で r , 外側で r . • ビリアル半径内に104 (r) =. -1. s. s. -3. 体程度. rs と重力 softening がコンパラ Navarro, Frenk, & White ’97. 2.
(56) Moore profile Moore+’98. • 粒子数を増やしてい. くと (ビリアル半径内 に106体) inner profile は ρ(r) ∝ r-1.5 (Fukushige & Makino’97, TO & Habe’99). •. (r) =. 0. (r/rs )1.5 (1 + r/rs )1.5.
(57) Higher resolution Springel+’08. • • resolution を上げて rvir 内に 109 粒子. いくと確かに収束 していくが, 単一の べきという感じは しない.
(58) log(ρr2). Einasto profile. log(r) ln. (r) 2. =. 2. r r. 1 2.
(59) N体の結果まとめ • とにかく CDM だけ考慮した場合の inner profile は r-1 より steep. • 低表面輝度銀河の観測とは矛盾. • Warm Dark Matter?.
(60) バリオンが DM 密度プ ロファイルに与える影響 • 最初 DM と同じように分布していたガス が冷えて中心に集まる場合. • 中心に集まる timescale は free-fall time 程 度. • relaxation の timescale と同じくらい. • 断熱変化を考える.
(61) Dynamical response • 円軌道. 半径 R の内の質量が M から M i. i. に変化し M(<Rf) = Mf で vrialize.. !. •. 1 2 vi (Ri ) 2. GMf 1 = vf (Rf ) Ri 2. GMf , Rf. ! where v 2 (R) GM (< R)/R. ! Ri Mf /Mi + = 0. Rf 1 2[Mf /Mi ] ! M (R) = M b (R) + M d (R) M d + Mfb Rf = . b b d Ri 2Mf + M Mi. Mid = Mfd = M d .. f.
(62) Adiabatic contraction • 小さなことからコツコツと. ! R = R + dR & M = M + dM . • Response の式に代入して線形化. f. dRi Ri Rf Ri. i. i. f. i. i. dMi ! = 0. Mi Mf dM dR ! = , R! M Mi. Mi R i = M ! f Rf. [M d (Ri ) + M b (Ri )]Ri = [M d (Ri ) + M b (Rf )]Rf .. • これは mass shell の角運動量保存を仮定 した Blumenthal+’86 と同一.
(63) AC in simulations • 宇宙論的シミュレーショ ンでも non-circular orbit. cooling あり. を考慮した adiabatic contraction のモデルはそ れなりに上手くいく. • 銀河系ダークハローの密 cooling 無し Gnedin+’04. 度プロファイルを見積も るのに使われたりした.
(64) で？ • contraction だけでは絶対に DM だけの simulation と比較して中心部の cusp は steep になる. • 低表面輝度銀河はバリオン poor . • 集めたバリオンを feedback で取り除けば！?. • adiabatic contraction の逆プロセスなので元 の profile に戻るだけ.
(65) 逆プロセス？ • フィードバックによるガスの流出はゆっ くり起こる必要はない. •. Instantaneous gas removal: R < Ri で Md = Mb. Mb が突然半分になったとする. R Mf /Mi !f = Ri 2[Mf /Mi ] 1 ! Rf Mi 4 AC: = . ! Ri Mf 3. 3 , 2. • ゆっくり集めて素早く取り除けば良い.
(66) 数値実験 • 左: 中心に足したポテン シャルをいきなり取り除い た場合. • 右: 50 dynamical time かけて ゆっくり取り除いた場合. • 突然取り除いた方が効果は 大きい. • core? Ogiya & Mori’11.
(67) 銀河形成シミュレーション • 基本的にｼﾐｭﾚｰｼｮﾝ M* /Mb. んでは星を作り過 ぎている. • フィードバックが 弱すぎる. log(Mhalo[M☉]).
(68) 最近のシミュレーション TO 2012. M*/Mb. Guedes+’11. Guo+’10. log(Mhalo/M⊙◉☉). Obs. (Behroozi+10).
(69) DM core in a cosmological simulation feedback が弱い場合 バリオンなし. feedback が十分強い場合. Governato+’10. 十分 feedback が強 いと矮小銀河のハ ローにはコアがで きる.
(70) Governato+’10.
(71) Governato+’10.
(72) Core の作り方 • 高分解能. • 星形成が起こるガス密度を十分高くする (ガスを十分に中心に集めてから星に）. • 十分強いフィードバック. • フィードバックは episodic.
(73) まとめ • Gas cooling による adiabatic contraction と feedback による fast gas removal の繰り返 しで低表面輝度銀河のダークハロー中心 部にコアを作ることができる. • 「十分強い」feedback が実現できれば CDM と観測は矛盾しない.
(74) 考えるべき物理過程 • 初期条件: ΛCDM（特定の銀河の特定の初期条件 を与えるわけではない）. • 自己重力: ダークマター + ガス + 星. • Gas dynamics: 流体力学. • ガスの放射冷却, 化学反応. バリオンの物理 星形成. • • 加熱過程（フィードバック）. • 化学進化（重元素汚染）.
(75) 実際の取り扱い • 自己重力: 適当な Poisson solver 粒子系はN体. • 流体: SPH, AMR 等の Lagrange 的な方法. • 放射冷却: 冷却関数 Λ(T, Z). • •. 何らかの平衡を仮定する. 非平衡化学反応を解く場合は大抵 Z = 0. subgrid. • 星形成: 低温・高密度のガスから星粒子 (stellar population) を作る. IMF は仮定. 星形成領域は分解できない. • フィードバック. •. 超新星爆発. 星粒子の周囲のガスにエネルギーを与える (高密度ガスなのですぐに冷えてしまう). • •. 運動エネルギーの形で与えたり, 一定時間ガスの冷却を止めたり. AGN feedback, cosmic ray, etc..
(76) フィードバック (問題点) • 若い星の周囲のガスは高密度なのでエネルギーを与えてもす ぐに放射冷却で失われる (Katz’92). • 90 ~ 00年代初期には, 星間ガスの多相構造が分解できれば解決で きる問題であると信じられていた. • 処方箋 1: 暫くの間, 加熱されたガスの冷却を止めて断熱膨張 させる (e.g. Tacker & Couchman 01, Stinson+06). • •. しばらくの間って？. • •. すぐに高密度のガスに当たって thermalize (→ 冷える). どれだけの量のガスにエネルギーを与えるか？. • 処方箋 2: 熱ではなく運動エネルギーとして与える. 2. エネルギーを質量と速度にどう割り振るか (E = 1/2 m v ).
(77) 現状 • 非常識なくらい強いフィードバックを仮定. •. 超新星爆発のエネルギーの全てを銀河風の加速に 使ったり. •. 超新星爆発のエネルギーの全てを星間ガスの加熱 に使い, しばらく (~ 107 yr) ガス冷却を止めたり. • resolution が解決する問題なのか, 超新星爆発 以外のエネルギー源が必要なのか, やっぱり CDM ではまずいのかは open question..
(78) 付録: 銀河形成シミュ レーションの技法.
(79) 特徴 • 広い dynamic range. •. 100 Mpc ~ pc. • •. 初期条件: zoom initial condition. • ほぼ一様な密度分布からの collapse を追う必要がある . 2. 自己重力: N体 - Tree, PM+Tree などで O(N ) を O(NlogN) に. •. 流体: SPH のような Lagrange 的方法, もしくは adaptive mesh refinement 法のように密度の高い所に計算要素を増やす方 法が用いられる. •. 独立時間刻み. 赤で書いた工夫は並列化効率を出しづらくする.
(80) Zoom initial condition low resolution initial condition evolve. back to the initial condition. evolve (with gas) add additional shorter wave length modes to the region of interest. find a halo of interest.
(81) Tree 法 • 各ノードに含まれる粒子が1個になるま で, 計算領域を再帰的に8等分していく. • 十分遠方 (L/r < θ. crit). のノードは1つの 粒子だと思って計算する.
(82) 流体法 • Smoothed particle hydrodynamic (SPH). • •. 粒子法: 流体を粒子の重ねあわせで表現. Lagrange 的方法. • •. 粒子と共に動く座標系. 高密度領域で自動的に高分解能.
(83) • 長所. 長所と短所 • 短所. • 密度の高い所で自動的 に解像度も高くなる. • ガリレイ不変 • 多次元の実装が簡単 • 安定. • 密度の低い所の解像度が 低い. • 低精度（空間0次精度） • 不連続面が苦手 • 安定 (変なことをしてい ても止まらない).
(84) 基礎 • ある点での物理量 f(x) の平均値を有限で 球対称なカーネル W(x; h) を用いて次の ように表す. ! !. ⇥f ⇤(x) = where. W (x. x ; h)f (x )dx. W (x)dx = 1 and W (x) = W ( x). • 微分は部分積分を用いて ⌅⌃f ⇧(x). = = =. W (x. x ; h)⌃x f (x )dx. {⌃x W (x {⌃W (x. x )}f (x )dx. x )}f (x )dx.
(85) 精度 • f(x’) を x の周りで展開. •. (2) f (x) (1) (x !f (x ) ⇤ f (x) + f (x)(x x ) + 2 ⇥f ⇤(x) = W (x x ; h)f (x )dx に代入. h2eff 2 ⇥f ⇤(x) = f (x) + ⌅ f (x) + O(h4eff ) ! 4. !. where h2eff. 2. • 空間2次精度. x2 W (x; h)dx. x )2 + · · ·.
(86) 離散化 • 積分の離散化. • dx = i. •. mi. と体積要素を置き換え,. i. ⇤f ⌅(x) ⇥. 一般には. W (x. xj ; h)fj. j. W (x. xj ; h). j. ⌅f ⇧(x) ⇤ f (x). W (x j. mj j. mj j. ⇥= 1. なので. xj ; h). mj j. + ···. となり, 空間 0 次の項がすでに誤差を含む. •. h → 0 で真の解に近づくためには全体の粒子 数 N を大きくするよりもゆっくりとカーネ ル内の粒子数を大きくする必要がある.
(87) 定式化 (1) ρ を考える • 物理量 f として密度 m ⇥ ⇤(xi ). i. j j. j. j. W (rij ; h) =. mj W (rij ; h). j. • Lagrange 形式の流体の方程式 ⇥˙ v̇ u̇ P. =. ⇥⇤ · v, 1 = ⇤P, ⇥ P = ⇤ · v, ⇥ = ( 1)⇥u.
(88) 定式化 (2) • 連続の式は不要. • 運動方程式は. Pi. Pi. =. i. • • •. 第一項: . Pi. Pi. 第二項: 2i. i. i. ⇥. =. !v̇ i = ⇥Pi = i !. =. i. ⇤ Pj mj. Pi. j. j. j. ⇥. Pi. +. 2 i. i. を用いて. W (rij , h). mj W (rij , h). 2 i. j. ⇤ j. mj. Pj 2 j. +. Pi 2 i. ⇥. ⇥W (rij , h). i と j に対して反対称であり, 作用反作用の原 理を満たす.
(89) 定式化 (3) • エネルギー方程式. i ⇤i. !. · vi. !. j. !. =. j. mj (v j. vi j. mj ⇤i W (rij , h). v i )⇤i W (rij , h). j. !. •. = ⇤i · ( i v i ) v i · ⇤i i mj ( j v j )⇤i W (rij , h) =. 速度が vj - vi の形で入るのでガリレイ不変と なる.
(90) 人工粘性 • 衝撃波を扱うために人工粘性が必要. • •. · v < 0 のところにだけ入れる. shear で粘性が働くのを防ぐため, 粘性項 に. |. | · v| · v| + |. v|. のような factor をかける. ことが多い (Balsara’95). • 何処にどれだけの粘性が必要かは計算 をやってみるまでわからない.
(91) Kelvin-Helmholtz instability. • Standard SPH cannot deal with KelvinHelmholtz instability (Okamoto+’03, Agertz+’07). SPH. mesh-based. {.
(92) SPH. SPH v.s. AMR • SPH は KelvinHelmholtz instability が正しく解けない ため, gas stripping AMR. を過小評価する. Agertz+’07.
(93) 原因. 接触不連続面のコレ. 一次元ショックチューブ.
(94) 対処法 • 密度ではなく圧力を smoothing する (Ritchie & Thomas’01, Saitoh & Makino’12) P =(. 1)u. ( u)i. dxi =. mi. mj uj W (rij ; hi ). i. mi u i ( = Pi. 1). • 接触不連続面に人工熱伝導. 圧力のジャン j. プを均す (Price’08). • 運動方程式をいじる.
(95) 結果 普通のSPH. smoothed P 普通のSPH. Saitoh & Makino’12. 人工熱伝導入り. Price’08.
(96) smoothed P SPH. KHI. Saitoh & Makino’12. Price’08.
(97) AMR?. Springel’10 同じ問題を平行移動の速さを変えて解いたもの. Eulerian code がガリレイ不変でないことによる問題..
(98) Moving mesh • 普通にやると shear flow や渦が存在する と破綻. • local な流体の速度で動く mesh generation point を使った Voronoi mesh (Springel’10). • •. 有限体積法を使った Riemann solver. ガリレイ不変.
(99) Moving Mesh 法. Springel’10.
(100) Moving Mesh 法. Springel’10.
(101) SPH と moving mesh の比較. Vogelsberger+’11.
(102) 流体法まとめ • 流体法は色々. •. SPH: 便利で一番広く使われているが問題も いろいろ. 最近様々な改善法が提案されてい る (ただし, 空間精度は低い). •. AMR: compact weighting scheme 等との組み合 わせは面白いかも. •. Moving mesh: いいとこどり..
(103) code comparison • 同じ初期条件でそ れぞれ勝手にシミュ レーション. • Mvir ~ 1012 M⊙◉☉. • 大惨事. The Aquila comparison project (Scannapieco+’12).
(104) 6. Scannapieco, Wadepuhl, Parry, Navarro et al.. Stellar mass and morphology. napieco, Wadepuhl, Parry, Navarro et al.. Mstellar →. Aq-C halo. 6. Scannapieco, Wadepuhl, Parry, Navarro et al.. Guo+’10. Figure 2. Face-on and edge-on maps of projected stellar mass density. The face-on projection is momentum vector of galaxy stars. The face-on and edge-on maps are 30 × 30 kpc2 and 30 × 12 kpc2 is 58.6 pc on a side and its color is drawn from a logarithmic color map of the surface stellar mass d the galaxy radius (rgal = 0.1 r200 ∼ 25 kpc) is listed in the legend of each panel.. Galaxies with a well-defined disc usually form too many stars.. of mass position and velocity are identical to those of the original particle.. Mhalo → 6. Scannapieco, Wadepuhl, Parry, Navarro et al.. The selected halo, Aq-C, has a present-day mass similar to the Milky Way (∼ 1.6 × 1012 M⊙ ) (e.g. Dehnen et al. 2006; Li & White 2008; Smith et al. 2007; Xue et al. 2008; Watkins et al. 2010) and has a relatively quiet formation history. It is also mildly isolated at z = 0, with no neighboring halo more massive than half its mass within a radius of 1 h−1 Mpc. Maps of the dark matter distribution in boxes of various sizes are shown in Fig. 1.. 2.3. Cosmology. We assume a ΛCDM cosm ters: Ωm = 0.25, ΩΛ = 0.75 constant of H0 = 100 h km These parameters are con 5-year results at the 3σ le rameters used for the Mill lations (Springel et al. 200 The value of Ωb used in ea. • Need strong feedback to match the. stellar mass.. • Strong feedback often prevents disc formation. The Millennium-II is,. Figure 2. Face-on and edge-on maps of projected stellar mass density. The face-on projection is along the direction of the angular momentum vector of galaxy stars. The face-on and edge-on maps are 30 × 30 kpc2 and 30 × 12 kpc2 , respectively. The size of each pixel is 58.6 pc on a side and its color is drawn from a logarithmic color map of the surface stellar mass density. The total stellar mass within the galaxy radius (rgal = 0.1 r200 ∼ 25 kpc) is listed in the legend of each panel.. Figure 2. Face-on and edge-on maps of projected stellar mass density. The face-on projection is along the direction of the angular. of mass position and velocity are identical to those of the 2.3 Cosmology momentum vector of galaxy stars. The face-on and edge-on maps are 30 × 30 kpc2 and 30 × 12 kpc2 , respectively. The size of each pixel original particle. is 58.6 pc on a side and its color is drawn from a logarithmic color map of the surface stellar mass density. The total stellar mass within assume ΛCDM with the offollowing paramethe galaxy radius (rgalWe = 0.1 r200 ∼a25 kpc) iscosmology listed in the legend each panel. ters: Ω m = 0.25, ΩΛ = 0.75, σ8 = 0.9, ns = 1, and a Hubble The selected halo, Aq-C, has a present-day mass simiof H = 100 h km s−1 Mpc−1 = 73 km s−1 Mpc−1 . Face-on and edge-on maps projected stellar(∼ mass The projection is along constant the direction of0 the angular lar toofthe Milky Way 1.6 density. × 1012 M (e.g. Dehnen et al. ⊙ ) face-on. The Aquila comparison project (Scannapieco+’12). c ⃝.
(105) まとめ • 現状, スキームの違いよりも subgrid physics の実装の違いの方が大きい. • とは言え subgrid physics に制限をつける という意味でもより良いスキームを使う べき.
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