射影代数， κ- 距離付け可能空間から

射影代数， κ- _{距離付け可能空間から}

コーエン・モデルへ

2007

年

月

日

版 渕野 昌

^{中部大学，}

2007 年 9 月 24 日 東北大学に於ける日本数学会 2007 年秋季総合分科会での特別講演

本 講 演 で は ，

年 代 以 来 ，講 演 者 が 何 人 か の 共 同 研 究 者 と 行 なっ て き た ，表 題 の キ ー ワ ー ド た ち を 結 び つ け る 一 連 の 研 究 の 流 れ に つ い て 述 べ ，そ こ で 得 ら れ た 主 要 な 結 果（ の 一 部 ）を 概 説 す る ． 本 講 演 の 予 稿 の

版 と ，こ の ス ラ イ ド の ファイ ル は ，以 下 か ら ダ ウ ン ロ ー ド 可 能 で あ る

http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/papers/tokubetsu07.pdf

http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/papers/tokubetsu07slide.pdf

射 影 的 代 数 (projective algebras)

◎ あ る 代 数 系 で ，代 数

が 射 影 的

で あ る と は ，す べ て の

と ，

に 対 し ，

と な る よ う な

が 常 に 存 在 す る こ と で あ る

B A

C

©

f h g

射 影 的 な ブ ー ル 代 数 の 理 論 の 研 究 は ，次 の

で 始 め ら れ ，

で（ ほ と ん ど？）完 成 し た

[1] P.R. Halmos, Injective and projective Boolean algebras, Proc. Symp. Pure Math.,II (1963).

[2] S. Koppelberg, Projective Boolean Algebras, in: Handbook of Boolean Algebras (1989).

定 理

無 限 ブ ー ル 代 数

に 対 し て ，次 は 同 値 で あ る

は 射 影 的 で あ る ．

(2) B

は 自 由 ブ ー ル 代 数 の レ ト ラ ク ト で あ る（ つ ま り，

）

は 自 由 ブ ー ル 代 数 で あ る ．

(4) (R. Haydon, S. Koppelberg [2])

濃 度 が

^{未 満 の}

の 部 分 ブ ー ル 代 数 の 上 昇 列

で 次 を 満 た す も の が 存 在 す る

す べ て の

に 対 し ，

が 極 限 順 序 数 な ら ，

β<αB_β; (i) B_α ≤^rc B; (ii) B_α+1

は

上 可 算 生 成 さ れ る

α<δB_α = B.

◎ ブ ー ル 代 数 A, B に 対 し ，A⊕B で A と B の 自 由 積 を あ ら わ す．

◎ A≤^rc B は「A は B の relatively complete な 部 分 代 数 で あ る 」 を 表 し て い る ．A が B のrelatively complete な 部 分 代 数 と は ，A は B の 部 分 代 数 で ，す べ て の b ∈ B に 対 し {a ∈ A : a ≤A b} ^が（ A の 中 に ）最 大 元 を 持 つ こ と で あ る ．

Freese-Nation Property

◎ ブ ー ル 代 数（ よ り 一 般 に は 半 順 序 ）

が

（ 以 下

と も 略 ）を 満 た す

あ る い は ，持 つ ）と は ，

写 像

で ，次 の 性 質 を 持 つ も の が 存 在 す る こ と

任 意 の

に 対 し ，

で

a ≤^B c ≤^B b

と な る も の が 存 在 す る ．

◎ 集 合 X に 対 し [X]^<ℵ0 で X の 有 限 部 分 集 合 の 全 体 か ら な る 集 合（ 族 ）を 表 す．

定 理

す べ て の 射 影 的 ブ ー ル 代 数 は

を 持 つ ．

証 明

自 由 ブ ー ル 代 数 は

を 持 つ（

に 対 し ，

を

を 生 成 す る よ う に と り，

と し て

の 生 成 す る

の 有 限 部 ブ ー ル 代 数 を れ ば よ い ）．

が

を 持 つ な ら ，

の レ ト ラ ク ト も

を 持 つ こ と も 容 易 に 示 せ る か ら ，定 理

に よ り 定 理 が 結 論 で

き る ．

定 理

Freese-Nation Property

定 理

す べ て の 射 影 的 ブ ー ル 代 数 は

を 持 つ ．

FNP

を 持 つ ブ ー ル 代 数 の 全 体 の ク ラ ス は ，射 影 的 な ブ ー ル 代 数 の ク ラ ス と 一 致 し な い

定 理

す べ て の

に 対 し ，濃 度 が

以 上 の 射 影 的 で な い

を 持 つ ブ ー ル 代 数 が 存 在 す る ．

証 明 の ア イ デ ア

濃 度 が

以 上 の 射 影 的 な ブ ー ル 代 数 の

の

を 点 集 合 と し て 適 当 な 位 相 を 入 れ た も の

の

が そ の よ う な 例 に なって い る ．

以 下 で 見 る よ う に ，

と い う 条 件 は 本 質 的 で あ る ．

Freese-Nation Property を 持 つ ブ ー ル 代 数 の 特 徴 付 け

定 理

無 限 ブ ー ル 代 数

に 対 し ，次 は 同 値 で あ る

は

を 持 つ ．

(2) B

の

は

距 離 付 け 可 能

で あ る ．

(3) {A ∈ [B]^ℵ0 : A ≤^rc B}

^は

の

な 部 分 集 合 を 含 む（ こ の 性 質 を「

は

で あ る 」と 表 現 す る こ と も あ る ）．

(4) B

の 濃 度

未 満 の 部 分 代 数 の 上 昇 列

で 以 下 を 満 た す も の が 存 在 す る

す べ て の

に 対 し ，

が 極 限 順 序 数 な ら ，

β<αB_β; (i) B_α ≤^rc B; (ii) S

α<δB_α = B.

用 語 の 解 説

◎

コ ン パ ク ト・ハ ウ ス ド ル フ 空 間

が

距 離 付 け 可 能

と は ，以 下 の よ う な

が 存 在 す る こ と で あ る（

の

の 全 体 ）

(1)

す べ て の

と

に 対 し ，

(2)

す べ て の

と ，

と な る

に 対 し ，

が 成 り 立 つ

(3)

す べ て の

に 対 し ，写 像

^{は 連 続} で あ る

(4)

す べ て の

^{に 関 す る}

で の 上 昇 列

に 対 し ，

α<λF_α) = inf{ρ(x, F_α) : α < λ}

^{で あ る ．}

用 語 の 解 説 （ 2 _）

◎ 無 限 集 合

に 対 し

は 可 算

と す る ．よ り 一 般 的 に は

を 基 数 と す る と き ，

で

^{を あ ら わ す．}

[X]^≤κ, [X]^<κ

も 同 様 に 定 義 さ れ る ．

◎

が

と は ，

す べ て の

に 対 し

と な る

が 存 在 し ，

す べ て の

の 元 の 可 算 な 長 さ の 上 昇 列

に 対 し ，

α<δ u_α ∈ S

と な る こ と で あ る ．

非 可 算 な 正 則 基 数

に 対 す る

の

部 分 集 合 の 定 義 も 同 様 ． 定 理

と ，射 影 的 な ブ ー ル 代 数 の 特 徴 付 け 定 理

か ら 直 に 次 が 導 か れ る

系

を 持 つ ブ ー ル 代 数

が

を 満 た す な ら

は 射 影 的

で あ る ．

FNP を 持 つ ブ ー ル 代 数 の _集 ˙ _合 ˙ _論 ˙ 的 な 特 徴 付 け ˙

系

ブ ー ル 代 数

に 対 し ，次 は 同 値 で あ る

は

を 持 つ ．

(2) P

^{を 濃 度}

未 満 の 基 数 を 可 算 に

す る

な

と す る と き ，

は 射 影 的

が 成 り 立 つ ．

注 意

上 の 系

は そ れ 自 体 と し て は 全 く

で あ る ．

し か し ，こ の 系 は ，

を 持 つ ブ ー ル 代 数 に 関 す る 集 合 論 的 な 議 論

の 可 能 性 を 示 唆 し て い る ．ま た ，

が 絡 ん で い る こ と で ，そ

の よ う な 議 論 に

が 関 連 し て く る 可 能 性 も 示 唆

し て い る よ う に 見 え る ．

FNP _と ℵ

-projective filtration

◎ ブ ー ル 代 数

が

で あ る と は ，

の 部 分 代 数 の 族

で ，次 を 満 た す も の が 存 在 す る こ と

(1) I = (I,≤^I)

は 上 方 向 に

な 半 順 序 集 合

で

な ら ，

(3) S ⊆ I

を ，長 さ が

未 満 の

に 関 す る 上 昇 列 と す る と き ，

と な る

が 存 在 す る ．

(4) S ⊆ I, i^∗ ∈ I

で

な ら ，

i∈S B_i; (5)

す べ て の

は 射 影 的

i∈I B_i.

FNP

を 持 つ ブ ー ル 代 数 の 特 徴 付 け 定 理

か ら 次 が わ か る

補 題

を 持 つ ブ ー ル 代 数 は

で あ る ．

ℵ²-projectively filtered

な ブ ー ル 代 数 が

を 持 つ ブ ー ル 代 数 と 一 致 す る か ど う か は 集 合 論 か ら 独 立 で あ る ．

定 理

を 仮 定 す る と ，す べ て の

で な い 正 則 基 数

に 対 し ，

だ が

を 持 た な い よ う な 濃 度

の ブ ー ル 代 数 が 存 在 す る ．

定 理

の

の 仮 定 の も と で ，

な ブ ー ル 代 数 の 全 体 と

を 持 つ ブ ー ル 代 数 の 全 体 は 一 致 す る ．

◎

の

は

か ら 導 か れ る 反 映 原 理 で あ る ．

定 理

と 定 理

は ，

の 遺 題

の

つ に 対 す る

解 と なって い る ．

Axiom R

で

と し ，

は

で

で ，長 さ が

の 上 昇 列 の

に 関 し て 閉 じ て い る と す る ．

こ の と き ，任 意 の

な

に 対 し ，

^で

が

で

と な る も の が 存 在 す る ．

定 理 8 _{と 定 理} 9 _{の 応 用}

補 題

射 影 的 な（

あ る 射 影 的 な ブ ー ル 代 数 と

な ）ブ ー ル 代 数 は

で あ る ． 定 理

の も と で ，す べ て の

射 影 的 な ブ ー ル 代 数 は

を 持 つ ．

定 理

の も と で ，す べ て の

に 対 し

射 影 的

な ブ ー ル 代 数 で

を 持 た な い も の が 存 在 す る ．

リ ファレ ン ス

[3] L. Heindorf, L.B. Shapiro, Nearly Projective Boolean algebras,

With an Appendix by Saka´e Fuchino, Lcture Notes in Mathematics 1596, Springer-Verlag (1994).

Weak Freese-Nation Property

◎ ブ ー ル 代 数（ あ る い は もっと 一 般 に 半 順 序 ）

が

（ 以 下

と も 略 ）を 満 た す

あ る い は ，持 つ ）と は ， 写 像

で ，次 の 性 質 を 持 つ も の が 存 在 す る こ と

(†)

任 意 の

に 対 し ，

で

と な る も の が 存 在 す る ．

◎ 集 合 X に 対 し [X]^ℵ0 は X の 可 算（ 無 限 ）部 分 集 合 の 全 体 か ら な る 集 合（ 族 ）．

定 理

濃 度 が

以 下 の ブ ー ル 代 数（ あ る い は もっと 一 般 に 半 順 序 ）は

を 満 た す．

証 明

を 濃 度 が

以 下 の 半 順 序 と し て ，

を（ 重 複 も 許 し て ）

と 数 え 上 げ る ．こ の と き ，

f : B → [B]^ℵ0; b_α 7→ {b_β : β ≤ α}

^は

を 満 た す．

_{定 理}

Weak Freese-Nation Property

◎ ブ ー ル 代 数（ あ る い は もっと 一 般 に 半 順 序 ）

が

（ 以 下

と も 略 ）を 満 た す

あ る い は ，持 つ ）と は ， 写 像

で ，次 の 性 質 を 持 つ も の が 存 在 す る こ と

(†)

任 意 の

に 対 し ，

で

と な る も の が 存 在 す る ．

◎ 集 合 X に 対 し [X]^ℵ0 は X の 可 算（ 無 限 ）部 分 集 合 の 全 体 か ら な る 集 合（ 族 ）．

定 理

濃 度 が

以 下 の ブ ー ル 代 数（ あ る い は もっと 一 般 に 半 順 序 ）は

を 満 た す．

系

連 続 体 仮 説 の も と で ，

は

を 満 た す．

P(ω) : ω (=N)

の 冪 集 合 （ 連 続 体 の 集 合 論 的 構 造 と の 密 接 な 関 連 ）

WFN( P (ω))

「

が

を 持 つ 」，と い う 命 題 を

と あ ら わ す．系

に よ り，連 続 体 仮 説 の も と で は

が 成 り 立 つ が ，連 続 体 仮 説 の 否 定 の も と で

が 成 り 立 つ か ど う か は 独 立 で あ る ．

定 理

連 続 体 仮 説 を 仮 定 す る ．

^{と し て ，}

と す る ．

^は

実 数 を

個 付 加 す る

で あ る ．

こ の と き ，

が 成 り 立 つ ．特 に ，

は ，連 続 体 仮 説 の 否 定 と 矛 盾 し な い ．

一 方 ，

実 数 以 外 の 実 数 の 付 加 に よ る 連 続 体 仮 説 の 否 定 の（ よ

く 知 ら れ た ）モ デ ル で は ，

は 成 り 立 た な い ．こ の 理 由 は

次 の 定 理 に 見 る こ と が で き る

定 理

が 成 立 ち ， さ ら に ，

で あ る か ，ま た は

が 成 り 立 つ な ら ，

や

に あ ら わ れ る す べ て の 基 数 不 変 量 は ， 同 じ 連 続 体 濃 度 を 持 つ

モ デ ル で の そ れ ら の 値 と 一 致 す る ． 特 に 上 の 定 理 の 仮 定 の も と で ，拡 張 さ れ た

は ，次 の よ う な 付 値 を 与 え ら れ る

cov(null) ←−non(meager)←−^shr(meager)←−cof(meager) ←− cof(null)

¯¯ y y y ¯¯

¯¯ b ←− b^∗ ←− d ¯¯

y y y y

add^(null)←−add^(meager) ←− cov^(meager)←−non^(null)

⇐ ℵ¹

......

......

......

......

......

...... 2^ℵ0 ⇒

WFN(P(ω))

は ，

の 多 く の 性 質 を と ら え て い る の で ，

「

の 公 理 」の よ う な も の と 考 え る こ と が で き る ．

WFN( P (ω )) _{の 特 徴 付 け}

定 理

は 次 の ど れ と も 同 値 で あ る

は

を 持 つ

(2) (^ωω,≤)

は

を 持 つ

は

を 持 つ

（

の

）は

を 持 つ

(5) B(ω) (Maharam type ω

の

は

を 持 つ ．

定 理

ご く 弱 い

が 成 り 立 つ と き ，

は 次 と 同 値 で あ る

(1)

あ る ／ す べ て の

に 対 し

は

を 持 つ ．

あ る ／ す べ て の

に 対 し

は

を 持 つ ．

定 理

上 の 定 理 は「 ご く 弱 い

」な し に は 必 ず

し も 成 り 立 た な い ．

WFN _{の 特 徴 付 け}

◎ ブ ー ル 代 数

が

の

部 分 代 数 で あ る（ 記 号

）と は ，す べ て の

に 対 し ，イ デ ア ル

が 可 算 生 成 さ れ る こ と ．

定 理

非 可 算 な ブ ー ル 代 数

に 対 し ，以 下 は 同 値

は

を 持 つ

(1)

あ る ／ す べ て の 十 分 に 大 き な 基 数

と

に 対 し ，

が 成 り 立 つ

(2) {C ∈ [B]^ℵ1 : C ≤^σ B}

^は

の

を 含 む ．

定 理

か ら ，

は ，

P(ω)

の 良 い 部 分 代 数

が 沢 山

あ る

こ と を 主 張 し て い る 公 理 と なって い る こ と が わ か る ．

WFN _{の 特 徴 付 け} (2)

定 理 20 非 可 算 な ブ ー ル 代 数 B に 対 し ，以 下 は 同 値: (0) B は WFN を 持 つ;

(1) あ る ／ す べ て の 十 分 に 大 き な 基 数 χ と B ∈ M ≺ H(χ) に 対 し ， B ∩M ≤σ B が 成 り 立 つ;

(2) {C ∈ [B]^ℵ1 : C ≤^σ B} ^は [B]^ℵ1 の club subset を 含 む ．

定 理

ご く 弱 い

が 成 り 立 つ と き ，ブ ー ル 代 数

が

を 持 つ こ と は 次 と 同 値 で あ る

(3)

あ る ／ す べ て の 十 分 に 大 き な 基 数

と ，

で ，

の 可 算 な

の ，

に 関 す る ，長 さ が

の 連 続 な 上 昇 列

で ，

α<ω₁ M_α

と な る よ う な も の が 存 在

す る よ う な も の に 対 し ，

が 成 り 立 つ ．

WFN _{の 特 徴 付 け} (2)

定 理

ご く 弱 い

が 成 り 立 つ と き ，ブ ー ル 代 数

が

を 持 つ こ と は 次 と 同 値 で あ る

(3)

あ る ／ す べ て の 十 分 に 大 き な 基 数

と ，

で ，

の 可 算 な

の ，

に 関 す る ，長 さ が

の 連 続 な 上 昇 列

で ，

α<ω₁ M_α

と な る よ う な も の が 存 在

す る よ う な も の に 対 し ，

が 成 り 立 つ ．

定 理

定理

は，条件「ごく弱い

」な し で は 成 り 立 た な い ．

(2) (S.F., S. Geschke, S. Shelah and L. Soukup, 2001) B = P(ω)

に 対 し て ，

定 理

は ，条 件「 ご く 弱 い

」な し で は 成 り 立 た な い ．

良 い – 沢 山 の バ リ エ ー ション ズ

WFN(P(ω))

↓

IDP (A. Dow and K.P. Hart, 2002)

↓

SEP (I. Juh´asz and K. Kunen, 2001 S.F. and S. Geschke, 2004)

↓

Princ (S.Shelah, 2002 (unpublished))

↓

C^s(ℵ²) (I. Juh´asz, L. Soukup and Z. Szentmikl´ossy, 1995)

P (ω) の 一 様 性 に 関 す る 公 理（ 群 ）

◎ 集 合 X, X₀,...,X_n−1 に 対 し ，

((X))ⁿ = {~x ∈ Xⁿ : ~x は injective} ((X))^<ω = S

n<ω((X))ⁿ.

((X₀,...,X_n−1)) = {~x ∈ X₀ × · · · ×X_n−1 : ~x は injective}.

基 数

に 対 し ，

C^s(κ) :

任 意 の

の 部 分 集 合 の 行 列

^と

に 対 し ，以 下 の ど ち ら か が 成 り 立 つ

(c0) stationary

な

で ，

n<|t|a_αn,t(n) 6= ∅ for all t ∈ T and for all hα₀,...,α_|t|−1i ∈ ((S))^<ω

と な る も の が 存 在 す る

(c1) t ∈ T

と

な

で ，

n<|t|a_αn,t(n) = ∅ for all hα₀,...,α_|t|−1i ∈ ((S₀,...,S_|t|−1))

と な る も の が 存 在 す る ．

C^s(κ) :

任 意 の

の 部 分 集 合 の 行 列

^と

に 対 し ，以 下 の ど ち ら か が 成 り 立 つ

(c0) stationary

な

で ，

n<|t|a_αn,t(n) 6= ∅ for all t ∈ T and for all hα₀,...,α_|t|−1i ∈ ((S))^<ω

と な る も の が 存 在 す る

(c1) t ∈ T

と

な

で ，

n<|t|a_αn,t(n) = ∅ for all hα₀,...,α_|t|−1i ∈ ((S₀,...,S_|t|−1))

と な る も の が 存 在 す る ．

HP(κ)

HP(κ) :

任 意 の

と 任 意 の 射 影 的 な

に 対 し ， 次 の ど ち ら か が 成 り 立 つ

(h0) stationary

な

で ，

と な る も の が 存 在 す る

と

な

で

と な る も の が 存 在 す る ．

IP(ℵ²,ℵ¹)

F^s(ℵ²) HP(ℵ²)

Cˆ^s(ℵ²) C^s(ℵ²)

Princ SEP IP(ℵ²,ℵ²)

IDP WFN(P(ω))

do = ℵ1

HP(ℵ2)

b^h = ℵ¹ b^↑ = ℵ¹

b = ℵ¹ b^∗ = ℵ1

WFN(P(ω))

C^s(ℵ²)

d = ℵ¹ (1)

(2) (3)

(6) (5) (4)

(7) IP(ℵ2,ℵ2)

IP(ℵ2,ℵ1) (8)

出 典: S.F., J. Brendle, Coloring Ordinals by Reals, 2007 (to appear)

do=ℵ1

HP(ℵ2)

b^h=ℵ1

b^↑=ℵ1

b=ℵ1 b^∗=ℵ1

WFN(P(ω))

C^s(ℵ2)

d=ℵ1

(1)

(2) (3)

(6) (5) (4)

(7) IP(ℵ2,ℵ2)

IP(ℵ2,ℵ1) (8)

(1): By adding random reals.

(2): A model in

[J. Brendle and T. LaBerge, 1996].

(3): A model in [I. Juh´asz and K. Kunen, 2001].

(4): By adding Cohen reals.

(5): A model of Hechler.

(6): [S.F. and J. Brendle, 2007].

(7): A model in

[S.F., S. Geschke, S. Shelah and L. Soukup, 2001].

(8): [S.F. and J. Brendle, 2007].