非定常流下の直線水路における砂州計算について

非定常流下の直線水路における砂州計算について

Study on the numerical simulation of sand bars in the straight channel under unsteady flow

北海道開発土木研究所    ○正員    横山  洋 （Hiroshi Yokoyama）

正員    渡邊  康玄(Yasuharu Watanabe)

１．序論

実河川では水理量に応じて様々な形状，スケールの河 床波が発生する．これら砂州等の河床波は，河川を蛇行 させる主たる原因の1つであり，河道の変遷や河岸侵食 にも大きな影響を及ぼす．砂州に関する研究は岸・黒木

1)をはじめとして現在までに様々なものが行われており，

河床形態と河道の水理諸元の関係について多くの検討が なされてきた．しかし非定常流れの場合，河床形状は定 常流とは異なる形状を示すことが実験により明らかにさ れている ²⁾．その予測には定常流の場合と異なり，河床 の変遷履歴も考慮しなくてはならない．

近年ダムからの計画的放流による人工洪水の検討など，

平滑化された流況を改善しようとする動きが見られてき ており，非定常流れの流況と河床形状の把握は重要性を 増してきている．

本研究は非定常流れの河床変動計算において，様々な 計算条件が流れに及ぼす影響を考察する．また，渡邊ら の行った実験結果について再現計算を行い，計算モデル の適用性を検証するものである．

２．基礎方程式と境界条件

流れの基礎式には，非定常項を含む2次元浅水流方程 式を用いた．移流項は1次精度風上差分で扱っている．

渦動粘性係数

ν

_tは，以下の式(1)で表す．

h 6 U

^*

t

ν = κ

      (1)

ここでκ：カルマン定数（=0.4），U*：摩擦速度，h：

水深である．

流砂量式は主流方向には芦田・道上の式，横断方向に は長谷川の式を用いる．

3

* c

*

* c 5 * . 1

*

sˆ

17 1 1 sgd

q  





 



 −

 

 

−

= τ

τ τ

τ τ

    ⁽²⁾

 





 





∂ + ∂

−

= N y

r q h q

* k s

c

*

* s sˆ nˆ

η τ µ µ

τ

      (3)

ここで，

τ

_*^{：無次元掃流力，}

τ

*c^{：限界無次元掃流力，}

s：砂の水中比重(=1.65)，d：砂の粒径，

r

_s：流線の曲率 半径，h：水深，

N

_*：Engelundの定数(=7.0)，

µ

_s^，

µ

k^：

砂の静止及び動摩擦係数(

µ

_s

µ

_k^=0.5)，

η

^{：河床高である．}

砂の粒径は実験の平均値（d=0.76mm）を用いた．無次元 掃流力は岩垣の式により算出している．また流線の曲率 はShimizu and Itakura⁴⁾による以下の式で与えている．

( )

 

 

 



∂ + ∂

∂ + ∂

 

 



 





∂

− ∂

∂

∂

= +

y v u y u v v

x v u x u v u v u

1 r

1

2 3 s 2

      (4)

上下流端の境界条件として，周期境界条件と下流を自 由端にした場合の2種類で計算を実施し，比較検証を行 う．周期境界条件は定常流れで収束解を求める場合に用 いる方法であり，本来非定常流れには適合しない方法で ある．しかしここでは，周期境界条件が河床形状に及ぼ す影響を把握することを目的に計算を行っている．

本計算では初期水深による無次元水深のハイドログラ フに従い，代表水深

h

_mを次のように定める．

0 0

m

h D

h = ×

      (5) ここで

h

₀：初期水深，

D

₀^{：初期水深}

h

0で無次元化し た水深（

D

₀

= h h

₀ ^{）．また代表流速}

u

m^は

h

_m^及び

C

_f^を

用いて式(6)で表す．

2 3 1 2 m m

m

h i

n

u = 1

      (6)

但し 13 m

2 m

f

h

C = gn

      (7)

代表流量

Q

_m^{は水路幅をB}として以下の式で表される．

B h u

Q

_m

=

_{m m}       (8) 周期境界条件では，上流端及び下流端に代表流速と代 表水深を与えている．また下流端が自由端の場合では上 流端には代表流量，下流端には等流条件を与えている．

計算メッシュは，全てのケースで流下方向に0.1m，横

断方向に0.03mになるように分割した．流れに微小擾乱

を与えるため，全ケースとも初期条件として上流端に近 い河岸付近の1メッシュに高さ 1mmのマウンドを設定 している．流砂量の境界条件は，全ケースともに上下流 端で動的平衡条件を満たすようにしている．

３．境界条件と計算結果の検証

検証計算は，渡邊らの実験水路幅及び河床材料に合わ せて行った．なお実験は全長 50m，幅は30cmの水路で 行っており，河床材料平均粒径 0.76mm，初期河床は平

坦で勾配1/180である．

非定常流の計算結果に影響を及ぼす因子として，ハイ ドログラフの形状，境界条件，時間刻みΔt が考えられ る．ここでは式(9)で表される無次元水深ハイドログラフ を与え，ハイドログラフ継続時間，時間刻みを変化させ た場合の計算結果を比較する．

 



≥

−

× +

≤

×

= +

) 5 . 0 ( ) 0 . 1 ( 0 . 4 0 . 1

) 5 . 0 ( 0

. 4 0 . D

₀

1

τ τ

τ

τ

    (9)

こ こ で

D

₀ ^{： 初 期 水 深}

h

0 で 無 次 元 化 し た 水 深

（

D

₀

= h h

₀^），τ：ハイドログラフの継続時間 Tで無 次元化した時間（τ=t/T）である．

本論で設定した計算条件の一覧を表‑1 に示す．Case4 では河床がより変動しやすくなる条件設定を期待して，

初期条件として乱数を用いて計算領域全メッシュの河床 形状に砂の粒径規模の凹凸を与えた．

底面摩擦係数

C

_fは，渡邊らの実験結果から得られた 次の式(10)で与えている³⁾．

069 . 0

m

f

d

0076 h . 0

C  

 

=

          (10)

ここで，

d

_m：平均粒径（=0.76mm），h：各時刻の代表水 深である．

続いて計算結果の検証を行う．まず河床波の波高につ いて検討する．本研究では，計算領域内の河床高の最大 値と最小値の差を

∆ z

_max^{と定義する．図‑1は各ケースに}

おける

∆ z

_maxを示したものである．計算値のピークはい ずれのケースとも60分過ぎである．

∆ z

_max^{は，Case4以}

外は計算開始後約45分間はほとんど変化しておらず，そ の後ほぼ同じ値をとりながら急増している．一方河床全 体に初期に凹凸を与えたCase4では，計算開始直後から

z

max

∆

が増加しており，予想通りの結果となった．すな わち初期条件として河床高全体に粒径オーダーの擾乱を 与えると，通水直後から河床変動が生じやすいといえる．

また計算の時間刻みが流れに及ぼす影響を考察するため，

Case1，2，3を比較する．3ケースとも90分過ぎまでは

z

max

∆

の値はほぼ同じである．その後，Δt=0.01 である

Case1はやや減少傾向，Δt=0.02であるCase2，3はやや

増加傾向である．以上より，ハイドログラフの減水期を 除いてΔt による計算結果の違いは少ないといえる．な

お減水期で値の傾向が異なる原因は不明である．またハ イドログラフの継続時間が計算にどの程度影響するかを 考察する．図‑2はハイドログラフ継続時間2時間のCase1

と4時間のCase6を比較したものである．Case6におい

ても，通水開始後45分間は

∆ z

_max^{はほとんど増加してい}

ない．このことから非定常計算においてはハイドログラ フの継続時間に関係なく，河床波が本格的に形成される までにはある程度時間が必要であるといえる．

次いで河床形状について検討する．図‑3はCase1，4，

6 の水位ピーク時及び計算終了時の河床変動コンターを 示したものである．なお図示した区間はCase1，4につい ては計算区間中央の4m，Case6は計算区間の下流側半分 にあたる10mである．周期境界条件であるCase1，4で は周期的な河床形状が発生し，その平均波長は計算時間 を通じほぼ同じである．中西ら⁵⁾は周期境界条件の場合，

砂州の波長は川幅，水深に関係なく水路長により決定す ることを示しており，本計算でも同様のことがいえる．

また下流が自由端であるCase6では計算が進むにつれ，

様々な波長の河床波が生じている．また計算終了時には，

Case1，4に比べより明瞭な砂州が現れている．なお渡邊

ら の 実 験 結 果 ³⁾に よ る と ， 水 深 2.5cm（ 無 次 元 水 深

D0=2.45）程度以下で交互砂州が形成されている．式(9)

表‑1  計算条件 境界条件及び

初期条件

区間 長

ハイドロ 継続時間

Δt

（sec）

Case1 周期境界条件 10m 2時間 0.01

Case2 周期境界条件 10m 2時間 0.02

Case3 周期境界条件 10m 2時間 0.005

Case4

周期境界

初期河床微小擾乱 10m 2時間 0.01

Case5 周期境界条件 10m 4時間 0.01

Case6

上流：流量

下流：等流条件 20m 2時間 0.01

図‑2  ハイドロ継続時間によるΔZmaxの違い 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 40 80 120 160 200 240

時間(分）

Δzmax(cm)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

無次元水深

Case1 Case5

2時間 4時間

図‑1  Δzmaxの時間変化の比較 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 20 40 60 80 100 120

時間(分）

Δzmax(cm)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

無次元水深

Case1 Case2 Case3 Case4 Case6 式(9)

で与えられるハイドログラフでは通水開始時及び終了時 は交互砂州形成領域，ピーク時前後は砂州非発生領域に 入っている．

定常流の場合，十分時間が経過して収束した解を求め ればよいため，計算途中での河床変動のプロセスは重要 ではない．しかし非定常流ではその時刻以前の河床形状 の変遷履歴が無視できないため，計算開始時から河床形 状を正確に再現できるモデルが必要である．非定常流で の河床変動計算では下流を自由端にし，十分な計算区間 を設定することが適切な河床形状を計算するために必要 であると考えられる．

４．渡邊らの非定常流実験再現計算

  次いで，下流を自由端として渡邊らの実験の再現計算 を行う．無次元水深によるハイドログラフは，次の式で 与えている³⁾．

2 3

2 2 0

) D (

 



 

 −

+

= + γ

β τ

α τ

δ

(11)

こ こ で

D

₀ ： 初 期 水 深

h

₀ で 無 次 元 化 し た 水 深

（

D

₀

= h h

₀），τ：ハイドログラフの継続時間 T（=8 時間）で無次元化した時間（τ=t/T），α=0.522，β=0.131，

γ=1.15，δ=1.03 である．計算の時間刻みΔt=0.01秒，

計算区間は20mである．

続いて計算結果と実験値を比較する．図‑4は実験の波 高と計算の

∆ z

_maxを比較したものである．計算値は全体

的に実験の波高を上回っている．また計算値はハイドロ グラフのピーク値を過ぎた180分で極大値をとっている．

その後一度減少あるいは横ばいになるが，360 分を過ぎ ると

∆ z

_maxは再び増加している．

図‑5 は下流側 10mにおける河床コンターを示したも のである．また図‑6 は砂州の無次元化波数λについて，

実験値と計算値を比較したものである．なおλの定義は 以下のとおりである．

L B 2 π

λ =

      (12)  

       30分後       30分後  

60分後      60分後  

90分後       90分後  

120分後       120分後 (1)Case1（1ブロック=1m）      (2)Case4（1ブロック=1m）

       30分後

       60分後

       90分後

       120分後       (3)Case6（1ブロック=1m）

       

図‑3  式(6)によるハイドログラフ通水時の河床コンター

図‑4  渡邊らの非定常流実験と再現計算の比較 0

1 2 3 4 5 6 7

0 60 120 180 240 300 360 420 480 時間（分）

ΔZmax(cm)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

無次元水深

計算値 実験値 式(11)

B：水路幅の1/2(=0.15m)，L：蛇行波長である．

図‑5を見ると，計算開始後30分で交互砂州が現れた が60分では消滅しており，計算の進行に伴い様々な波長 の河床形状が発生している．300 分を過ぎたあたりから 再度交互砂州が発生し，水位が低下するとともに波長が 長くなっている．なお通水終了時は砂州が不明瞭になっ ている．図‑6の無次元波数を見ると，実験では通水開始 直後λ=1.0であり，その後λは0.5付近でほぼ一定値を とっている．一方計算では，ハイドログラフのピークで ある120分でλが実験値と最も離れた値をとっている．

その後360分から420分まではλは実験値とほぼ同じ値 になっている．

計算結果は部分的に実験値と近い値となる時間帯も あった．しかし河床変化の定量的変化を再現するには至 っていない．これらの課題を解決するには，計算開始時 の河床変遷を追跡できる計算条件をさらに検討すること が必要である．また計算区間をさらに延長することも下 流が自由端の場合は計算結果に大きく影響することが予

測できる．

５．結論

  本研究の結論を以下にまとめる．

(1)適切な計算条件設定について，単純なハイドログラフ を与えることで検証した．非定常流の場合，周期境界 条件を設定すると河床形状の波長が水理量に関係なく，

計算区間長が支配する現象が確認できた．そのため下 流を自由端とし，計算区間を十分長く設定することが 非定常流において適切な計算条件と考えられる．

(2)渡邊らの非定常流実験の再現計算を行った．計算結果 は部分的には実験値と適合するものの，実験値を定量 的に再現するには至っていない．また計算精度向上に は，計算初期の河床形状の再現性を高めることが必要 と考えられる．

今後は計算開始直後の再現性に着目して，計算モデル の精度向上を目指す．

参考文献

1)黒木幹男・岸力：中規模河床形態の領域区分に関する 理論的研究，土木学会論文集，第 342 号，pp.87-96，

1984.

2)三輪浩，池田香織，谷和憲：正弦波状流量変化による 交互砂州の発達・変形過程，土木学会第55回年次学術 講演会概要集第2部，pp.540-541，2000

3)渡邊康玄，Tubino, M.，Zollezi, G：掃流砂により形成さ れる交互砂州の非定常流下での挙動，北海道開発土木 研究所月報，No.576，pp.4-12，2001.

4)Shimizu,Y. and Itakura,T.: Calculation of flow and bed deformation with a general non-orthogonal coordinate system, Proc. of XXIV IAHR Congress, Madrid, Spain, C-2, pp.41-48, 1991.

5)中西哲，松山洋平，黒木幹男，板倉忠興：水路長が交 互砂州形状に与える影響の研究，第56回年次学術講演 会概要集(2)，pp.174-175，2001

30分後

60分後

120分後

240分後

360分後

480分後  

図‑5  渡邊らの非定常流再現計算による河床コンター（1ブロック=1m）

0 0.5 1 1.5

0 60 120 180 240 300 360 420 480 計算時間（分）

無次元波数λ

実験値 Case1A

図‑6  無次元波数の比較