マルコフモデルを用いたフットサルの試合分析

(1)

中央大学理工学部情報工学科

卒業研究論文

学籍番号 01D8104023K 小池光太郎

指導教員田口東教授 2005 年 3 月

(2)

あらまし

本研究ではフットサルの試合のモデルを作成し，作成したモデルを用いて試合の分析をおこなう．

まず，フットサルの試合のデータから，定義した状態空間を用いてデータの集計をおこなう．集計結果から推移確率行列を決定し，フットサルマルコフモデルを作成する．次に，

作成したモデルを用いて試合のシミュレーションをおこない，スコア，一時的状態から吸収状態に推移するまでに要する平均ステップ数を実際の試合と比較し，マルコフモデルが試合を再現できているかを検証する．検証後，作成したモデルを用いてシミュレーションをおこない，チームごとの試合運びにどのような傾向があるか，勝敗の分かれ目となる要因を分析する．

キーワード：マルコフモデル，平均訪問回数，吸収確率，平均吸収時間

(3)

第1章はじめに... 1

第2章マルコフモデル... 2

2.1 マルコフ連鎖と推移確率行列...2

2.2 高次の推移確率と時点における状態確率n ...2

2.3 吸収的マルコフ連鎖...4

2.3.1 平均訪問回数...6

2.3.2 吸収確率...7

2.3.3 平均吸収時間...7

第3章フットサルマルコフモデル... 8

3.1 フットサルの概要...8

3.2 データの集計方法及び状態空間の定義...9

3.3 集計結果に基づいた推移確率行列の決定...11

第4章モデルの整合性と分析... 14

4.1 マルコフモデルを用いた試合のシミュレーションの概要...14

4.1.1 シミュレーションの設定...14

4.1.2 シミュレーションのアルゴリズム...16

4.1.3 シミュレーション結果と実際の試合結果との比較...17

4.2 シミュレーションの試合分析...18

4.2.1 FIRE FOX対府中Athletic F.C.の試合分析...18

4.2.2 FIRE FOX対SHARKSの試合分析...21

4.2.3 FIRE FOX対CASCAVEL TOKYOの試合分析...24

4.3 勝敗の要因分析...27

4.3.1 FIRE FOX対府中Athletic F.C.の勝敗要因分析...27

4.3.2 FIRE FOX対SHARKSの勝敗要因分析...29

4.3.3 FIRE FOX対CASCAVEL TOKYOの勝敗要因分析...30

4.3.4 勝敗要因分析のまとめ...32

第5章おわりに... 33

5.1 まとめ...33

5.2 今後の課題...33

(4)

謝辞 ... 34

参考文献... 34

付録A 推移確率行列... 35

付録B 初期分布作成のための実測結果と初期分布... 39

付録C 平均訪問回数の100試合の平均と標準偏差... 43

(5)

第1章はじめに

ここ数年で，日本国内でフットサルが急速に普及している．そして，昨年の11月には台湾でフットサル世界選手権が開催され，日本代表も出場し，日本でのフットサルの人気がさらに高まってきている．フットサルを簡単に説明すると，5人制のサッカーである．しかし，ルールや戦術はサッカーと異なる部分が多い．例えば，フットサルは選手交代が何回でも可能である．また，手でおこなうスローインがなく，足でおこなうキックインによりプレーを再開する．ピッチもサッカーに比べて小さく，攻守が目まぐるしく入れ替わるので，試合展開もサッカーに比べると点が入りやすくてスピーディである．

日本のフットサルチームには，世界選手権で日本代表に最も多くの選手を送り出した

FIRE FOXというチームがある．FIRE FOXは，第10回全日本フットサル選手権の東京

都大会，関東大会を優勝し，さらに先日，日本のトップリーグとして認識されている関東リーグも無敗(9勝2分)で制した強豪チームである．2月に開催される選手権の本大会でも優勝候補の筆頭として期待されている．

フットサルもサッカーと同様に，チームの強さには何らかの理由がある．FIRE FOX も例外ではなく，大会を優勝できたのには理由がある．しかし，それは直感的に言われていることであって，サッカーのようにチームの戦力を数値的に分析する，といった研究があまりおこなわれていないのが現状である．

そこで，本研究は少しでもフットサルに興味を持ってもらうために，フットサルの試合のモデルを作成し，作成したモデルを用いて試合の分析をおこなう．そして，FIRE FOX を中心に各チームの特徴，勝敗の要因を分析する．

(6)

第2章マルコフモデル

2.1 マルコフ連鎖と推移確率行列

本研究ではマルコフ性をもった確率過程であるマルコフ過程を扱う．マルコフ連鎖には，

状態と推移という概念がある．

一般に，時点n^{における確率過程} がとりうる値を状態といい，状態のすべての集合を状態空間という．

Xn

状態iから状態へ移ることを推移という．推移は，｢時点で状態iにいたとき，つぎの時点に状態に推移する確率は，時点

j n

+1

n j n−1以前にどの状態にいたかには無関係である｣という仮定に基づいている．この仮定をマルコフ性という．

離散時点の確率過程を考える．そして，任意のと状態空間に対して

) , 1 , 0

(n= L

X_n n≥1

} , , , ,

{i₀ i₁ i ₁ j

S = L _n−

}

| {

} ,

,

| {

1 1

1 1 0

0

−

=

n n n

i X j X P

i X i

X j X

P L _(2.1)

が成り立つとき，確率過程はマルコフ性をもつという．そしてマルコフ性をもった状態空間が離散的な確率過程をマルコフ連鎖という．また，式(2.1)の推移確率が時点によらないとき，推移確率は定常であるといい，マルコフ連鎖は斉次的であるという．

} {X_n

}

{X_n n

斉次的マルコフ連鎖X_nの推移確率を

) ,

1 ( }

|

{X j X ₁ i i j N

P

p_ij = _n = _n₋ = ≤ ≤ (2.2)

とおく．p_ijは確率であるから，確率の基本性質

∑=

=

≤

≤ ^N

j ij

ij p

p

1

1 ,

1

0 (2.3)

を満たしている．p_ij を行列の形に並べた

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

NN N

N

N N

p p

p

p p

p

p p

p P

L M M

M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

(2.4)

を(1 次の)推移確率行列とよぶ．この行列は式(2.3)の条件から行和 (各行について横に加えたもの）はすべて 1 である．このようにマルコフ連鎖は推移確率行列によって推移の構造を表現することができる．

2.2 高次の推移確率と時点における状態確率n

時点n(n=0,1,2,L)で状態にいたとき，i mステップ(m=1,2,_L)の推移の後，時点

(7)

m

n+ で状態 jにいる確率P{X_n₊_m = j X_n =i}を求める．

=1

m のときは，式(2.2)より

ij n

n j X i p

X

P{ ₊₁ = | = }= (2.5)

である．m=2のときを考えると，2 ステップで状態iから状態jへ推移したのだから，まず1ステップ目で状態からある状態へ推移し，次のi k 2ステップ目で状態から状態k jへ推移したと考えられる．この確率はP{X_n₊₁ =k, X_n₊₂ = j X_n =i}で表される．これが１ステップの推移確率の積に等しいことが次のように証明される．この確率を確率の乗法法則を用いて書きかえると，

kj ik p p

} ,

| {

}

| {

}

| ,

{

1 2

1

2 1

k X i X j X

P i X k X P

i X j X

k X P

n n

n

n n

n

=

⋅

=

+ +

+

+ (2.6)

となる．式(2.1)のマルコフ性を用いると

}

| {

} ,

| {

1 2

k X j X P

k X i X j X

P

n n

n

=

+ +

+

+ (2.7)

となる．したがって式(2.6)の確率は

kj ik n

n

n k X j X i p p

X

P{ ₊₁ = , ₊₂ = | = }= (2.8)

と書ける．これをすべての可能なについて加えると，2ステップの推移確率が求められる．

すなわち

k

∑=

+ = = = ^N

k

kj ik n

n j X i p p

X P

1

2 , }

{ (2.9)

となる．この確率は1ステップの推移確率と同様によらないのでと書き，2次の推移確率という．のときも，まず2ステップで状態iから状態に推移し，次の3ステップ目で状態

n p_ij⁽²⁾

=3

m k

jへ推移すると考えれば，まったく同様にして

∑=

+ = = ^N

k

kj ik n

n X i p p

X P

1 ) 2 (

3 | }

{ (2.10)

となることがわかる．これもによらないので，この確率を3次の推移確率といいと書く．一般のについても同様に次の推移確率が定義でき，

n p_ij⁽³⁾

m m p_ij^(m⁾

∑=

= ^N − k

kj m ik m

ij p p

p

1 ) 1 ( )

( (2.11) で与えられる．

この関係式を行列で表わす．N×N行列P⁽^m⁾のi行 j列の要素をとすると，式(2.11) はちょうど行列の積の形になっているので

) (m

pij

P P

P⁽^m⁾ = ⁽^m⁻¹⁾ (2.12)

となる．この式を繰り返し使うと

m

m P

P⁽ ⁾ = (2.13)

が与えられる．

(8)

次に，時点における分布を考える．時点n^で状態iにいる確率をとし，を行ベクトルの形に並べた

n q_i(n)=P{X_n =i}

) (n q_i

)) ( , ), ( ), ( ( )

(n = q₁ n q₂ n L q_N n

π (2.14)

を時点における(状態確率)分布という．とくに，n n=0^{のときの分布}π(0)^{を初期分布とい} う．

2.3 吸収的マルコフ連鎖

図2.1のような推移図をもったマルコフ連鎖を考える．この推移図には推移確率を記入していないが，矢印のあるところにはすべて正の推移確率があるものとする．

マルコフ連鎖が状態1から出発したとする．次の時点では状態2，4，6のいずれかの状態に推移する．ところが一度状態2に推移すると，その後は状態2と3を行き来するだけでこの二つの状態以外に推移することはない．

このように，このマルコフ連鎖では状態1，6，7の間を推移している間，いつか，

，の三つの集合のいずれかに推移して，一度その集合に推移すると，

いつまでもその中でだけ推移していて集合の外へ決して出ない．これが一般的なマルコフ連鎖の典型的なふるまいである．上の，，のような状態の集合のことを既約な集合とよび，既約な集合Cはつぎの二つの条件で特徴づけられる．

} 3 , 2

1 ={ C }

5 , 4

2 ={

C C₃ ={8,9}

C1 C₂ C₃

1) Cの中のどの二つの状態をとっても一方から他方へ何ステップかで推移することができる．

2) Cのどの状態からもCの外の状態へ推移することはできない．

一般のマルコフ連鎖の状態空間は，この二つの条件を満たすいくつかの既約な集合と，それらに含まれない状態の集合

S C_v

T に分割できる．図 2.1 の例ではであり，

となっている．

} 7 , 6 , 1

={ T

3 2

1 C C

C T

S = U U U

このように，一般のマルコフ連鎖の推移の様子は二つに分けて考えることができる．一つはTの中で推移していずれかのに推移するまでであり，もう一つはへの推移後である．例えば，図2.1のマルコフ連鎖でいずれかのに推移するまでの様子を調べる場合，，

，をそれぞれ一つの状態にまとめた図2.2のような推移図をもったマルコフ連鎖を調べればよい．図2.2のように既約な集合がすべて一つの状態からなっているとき，その状態を吸収状態とよび，集合

Cv C_v

Cv C₁

C2 C₃

Aで表わす．Aに含まれない状態を一時的状態とよぶ．吸収状態，

一時的状態をもつマルコフ連鎖を吸収マルコフ連鎖とよぶ．

吸収的マルコフ連鎖の推移確率行列の主対角線上に 1 があるとき，それに対応する状態は吸収状態である．状態の番号を適当につけ変えて一時的状態に若い番号を与えると，P は

P

(9)

図2.1 一般的なマルコフ連鎖の例

3 2

1

5 4 7

6 9

8

1

6

7 C1

C2

C3

図2.2 既約な集合をまとめた吸収的マルコフ連鎖

(2.15)

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

I R Q A P T

0

と表わされる．ここで，N はすべての状態の数，rは一時的状態の数とする．を四つに分けて考え，Qは

P r

r× 行列でTからT への推移を表わし，Rはr×(N−r)^行列でTからA への推移を表わしている．0は(N−r)×rの零行列(すべての要素が 0 の行列)で，I は

の単位行列(対角要素は1，その他は 0の行列)である．式(2.15)を推移確率行列の標準形という．

) ( )

(N−r × N−r

2.2節で述べたように次の推移確率行列n P⁽ⁿ⁾はPⁿで与えられるが，式(2.15)の形をしたに対しては

P

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

I R

P Q ⁿ

n n

0 ^(2.16)

A T

(10)

となることが証明できる．ここで，Qⁿは行列Qの乗，n R_nは R

Q Q

I

R_n =( + +L+ ⁿ⁻¹) ^(2.17)

である．これらは直接計算して確かめることができる．

行列Qは非負行列で行和が1であるが，これは0<q<1の範囲をもつ実数と似ている．

がのとき0に収束するのと同様，も

q

qn n→∞ Qⁿ n→∞のとき零行列に収束する．また

) 1 /(

) 1 (

1+q+q² +L+qⁿ⁻¹ = −qⁿ −q に対応して

) (

) )(

(

1

1 1

2

n n

n

Q I Q I

Q I Q I Q

Q Q I

−

=

−

= + + + +

−

L − _(2.18)

が成り立つ．n→∞とすると

1

2 + =( − )⁻

+

+Q Q I Q

I L ^(2.19)

である．この(I−Q)⁻¹を基本行列とよびM で表すことにする．式(2.17)と式(2.19)から，

のときであるから

∞

→

n R_n →MR

) 0 (

0 ⎥ →∞

⎦

⎢ ⎤

⎣

→⎡ n

I

Pⁿ MR (2.20)

となる．

2.3.1 平均訪問回数

平均訪問回数とは，状態iから出発したマルコフ連鎖がいずれかの吸収状態に吸収されるまでに状態 jを訪問する平均回数のことをいう．これは基本行列M の要素m_ijで表される．

吸収的マルコフ連鎖{X_n}の一時的状態i, jに対してつぎのような確率変数u_nを考える．

⎩⎨

=⎧ , 0

, 1

un X_n = j^のとき

それ以外その和は

+L + +

=u₀ u₁ u₂

v_j (2.21)

である．マルコフ連鎖X_nが吸収されるまでに一時状態jを訪問する回数ということになる．

したがって，連鎖が状態iから出発したという条件のもとで，式(2.21)の両辺の期待値をとると

)

) (

(u_n p_ijⁿ

E = であるから

+L +

+

=

= ( _j| ₀ ) _ij⁽⁰⁾ _ij⁽¹⁾ _ij⁽²⁾

ij E v X i p p p

m (2.22) となる．状態i, jはともにT の要素なので，式(2.16)から，はの要素である．したがって，式(2.22)の右辺を行列の形で書けば

) (n

pij Qⁿ

(11)

1

2 + =( − )⁻

+

+Q Q I Q

I L

となり，基本行列Mに等しい．このようにMは平均訪問回数の行列となっている．

2.3.2 吸収確率

式(2.20)の極限に出てくる行列MRの要素はi∈T, j∈Aなるステップ推移確率の極限であるから，マルコフ連鎖が状態

n p_ij⁽ⁿ⁾

jに推移すると，それ以後はずっとそこに留まっている．したがって， p_ij⁽ⁿ⁾は，｢マルコフ連鎖が状態から出発しステップまでに状態i n jに推移する確率｣と解釈できる．その極限は「状態iから出発したマルコフ連鎖がいつかは状態

bij

jに推移する (すなわち吸収される) 確率」と考えられ，b_ijを吸収確率という．MRは吸収確率の行列B=(b_ij)に等しい．

2.3.3 平均吸収時間

平均吸収時間とはいずれかの吸収状態に吸収されるまでの平均時間(平均ステップ数)のことをいう．吸収されるまでにマルコフ連鎖が一時的状態の間で推移を続けるステップ数は，式(2.21)のv_jを状態 jについて加えたものになっている．したがって，状態iから出発したという条件のもとでのその期待値は t_i

∑∈

=

T j

ij

i m

t (2.23)

となる．これをベクトルの形で書くために，期待値を要素とする列ベクトルをτ，すべての要素が1の列ベクトルをξとすれば

ti

ξ

τ =M (2.24)

となる．τは平均吸収時間の行列である．

(12)

第3章フットサルマルコフモデル

本章では，研究の対象であるフットサルと，使用するデータについて述べた後，フットサルマルコフモデルを作成する．

3.1 フットサルの概要

フットサルについて簡単に説明する．フットサル (FUTSAL) は，1994 年に FIFA(国際サッカー連盟)がそれまでは各地域で様々な形式で行われていた少人数によるサッカーをルール統一したと同時に定義したスポーツである．

サッカーと大きく異なるのは，ピッチの大きさが，長さが38メートルから42メートル，

幅が18メートルから22メートル (国際試合規定) で20分ハーフを5人対5人でおこなうこと，そして，試合中の選手交代が何度でも可能なことである (詳細なルールは http://futsal.jfa.or.jp/index.php (日本フットサル協会) を参照) ．ポジションもサッカーと異なり，頻繁にポジションをチェンジしていくが，基本的には図3.1のようなポジションが軸となっている．ポジションの説明は以下の通りである．

z ピヴォ(pivo)：前線に位置し，ポストプレーや振り向きからのシュートのテクニックなどを必要とする．攻撃の起点である．

z アラ・エスケルド(ala esquerudo)：中盤やサイドを受け持ち，攻撃と守備を精力的にこなすのでスピードとスタミナが要求される．左サイドを主とする．

z アラ・ジレイト(ala direito)：アラ・エスケルドと同様な役割であるが，右サイドを主とする．

z ベッキ(beque)：後方に位置し，攻守においてゲームをコントロールする．

z ゴレイロ(goleiro)：サッカーのゴールキーパーと同様にゴールを守る．

ただし，本研究ではアラは左右で区別せずにアラとよび，以後，一人目のアラ，二人目のアラとする．

(13)

ala esquerudo

beque

ala direito

pivo goreiro

攻撃方向

自陣敵陣

図3.1 フットサルの基本ポジション

3.2 データの集計方法及び状態空間の定義

本研究で使用するデータは，第10回全日本フットサル選手権東京都大会の準々決勝1試合，準決勝1試合，決勝の計 3試合であり，いずれもデジタルビデオカメラを用いて自分で撮影した．チームはFIRE FOX (ファイルフォックス) というチームを中心に収集した．

その理由として，FIRE FOXに所属する木暮賢一郎(敬称略)と鉄壁の守備の2つが挙げられる．木暮は，FIRE FOX と日本代表の不動のピヴォであり，かつ，エースである．そのため，試合の特徴を掴みやすいと判断した．データの詳細は表3.1に示す．

次に，データの集計方法について述べる．各チームの各ポジションを選手としてボールが各ポジション間を行き来する回数をカウントする．例えば，A チームのピヴォからA チームのアラへボールが渡った場合にカウントする．また，A チームのアラから Bチームのベッキへボールが渡った場合 (正確にはボールを奪われる) もカウントする，というように考える．選手一人一人を対象としないのは，選手はピッチの内外の人数を合わせて最大で十二人いるので最高₁₂C₅通りの組み合わせが存在し，集計が困難なためである．以後，「各選手」は「各ポジションの選手」のことをいう．また，各選手がゴールを決める，各選手

表3.1 各試合の日時・対戦チーム・スコア

大会および試合名日時対戦チームスコア

第10回全日本フットサル選手権東京都大会準々決勝 04.10.24 FIRE FOX対府中Athletic F.C. 5-4 第10回全日本フットサル選手権東京都大会準決勝 04.10.30 FIRE FOX対SHARKS 2-0 第10回全日本フットサル選手権東京都大会決勝 04.10.30 FIRE FOX対CASCAVEL TOKYO 4-3

(14)

のシュートでボールがピッチの外へ出る，その他が原因でボールがピッチの外へ出る回数もカウントした．以後，ボールがゴールに入る，またはピッチの外に出てプレーが途切れることをPlay offとよぶ．

ところで，試合にはゲームを組み立てていくためのつなぎのパスや，得点するためにリスクを犯して敵に仕掛けていく勝負パスがある．この 2 つのパスはハーフウェーラインを境にして，自陣と敵陣の 2 つに分けて考える．自陣ではつなぎのパスを多用し，敵陣では勝負パスを多用すると仮定する．各選手の判断基準は自陣と敵陣で異なるものとする．よって，各選手が自陣にいる場合と敵陣にいる場合の二つを考える．つまり，Aチームの自陣にいるベッキからAチームの敵陣にいるピヴォへパスをする，ということが存在する．

データの集計をおこなうために，フットサルマルコフモデルの状態空間を定義する．状態空間を表3.2に示す．状態1から20は，ボールをはじく，シュートブロック等の場合も

表3.2 フットサルマルコフモデルの状態空間

状態1 Aチームの自陣でピヴォがボールを保持状態2 Aチームの自陣でアラ 1 がボールを保持状態3 Aチームの自陣でアラ 2 がボールを保持状態4 Aチームの自陣でベッキがボールを保持状態5 Aチームの自陣でゴレイロがボールを保持状態6 Aチームの敵陣でピヴォがボールを保持状態7 Aチームの敵陣でアラ1がボールを保持状態8 Aチームの敵陣でアラ2がボールを保持状態9 Aチームの敵陣でベッキがボールを保持状態10 Aチームの敵陣でゴレイロがボールを保持状態11 Bチームの自陣でピヴォがボールを保持状態12 Bチームの自陣でアラ1がボールを保持状態13 Bチームの自陣でアラ2がボールを保持状態14 Bチームの自陣でベッキがボールを保持状態15 Bチームの自陣でゴレイロがボールを保持状態16 Bチームの敵陣でピヴォがボールを保持状態17 Bチームの敵陣でアラ1がボールを保持状態18 Bチームの敵陣でアラ2がボールを保持状態19 Bチームの敵陣でベッキがボールを保持状態20 Bチームの敵陣でゴレイロがボールを保持状態21 Aチームの得点

状態22 Bチームの得点状態23 シュートでPlay off 状態24 その他でPlay off

(15)

該当する．つまり，ボールを保持している時間によらず，一瞬でもボールに触れたら保持をしている，と考える．

3.3 集計結果に基づいた推移確率行列の決定

3.2節に基づいてデータの集計をおこなう．表3.2の各状態間を推移する回数をカウントする．また，表3.2のAチームとBチームに対応するチームを表3.3に示し，枠内の色はチームカラーを表わす．そして，各試合の集計結果を表3.4，表3.5，表3.6に示す．行の番号は推移前の状態で，列の番号は推移先の状態を表わす．番号は表3.2の状態の番号に対応する．行番号と列番号の枠内の色は，表3.3のチームカラーに対応していることを表わす．

それ以外は灰色で表わす．

表3.3 各試合のチーム割り当て

対戦カード Aチーム Bチーム FIRE FOX 対府中Athletic F．C． FIRE FOX 府中Athletic F.C.

FIRE FOX 対SHARKS FIRE FOX SHARKS

FIRE FOX 対CASCAVEL TOKYO FIRE FOX CASCAVEL TOKYO

表3.4 FIRE FOX対府中Athletic F.C.の集計結果

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 0 6 3 2 0 8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 4 2 4 0 15 10 2 8 13 3 0 0 0 0 0 2 2 0 2 3 0 0 0 1 0 6 3 4 12 0 13 3 11 2 7 3 0 0 0 0 2 1 2 0 2 0 0 0 0 1 8 4 4 15 15 0 13 6 4 1 9 0 0 0 4 2 0 1 1 1 2 0 0 0 0 16 5 4 6 3 11 0 15 0 3 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 14 6 0 0 1 1 0 0 8 4 1 0 7 10 5 10 8 0 0 0 0 0 4 0 6 15 7 0 1 2 2 1 6 0 10 16 0 2 3 6 10 0 0 0 0 0 0 1 0 1 10 8 0 1 1 5 1 6 12 0 15 0 2 2 2 6 3 0 0 0 0 0 0 0 3 6 9 0 2 2 0 2 9 9 12 0 0 5 4 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0 5 7 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 1 0 1 0 1 0 3 0 1 0 0 6 8 9 1 3 3 1 3 0 0 0 0 15 12 0 4 1 1 1 2 1 1 1 0 3 0 7 26 1 4 10 2 5 0 0 0 0 7 13 1 1 2 1 0 0 2 4 1 0 4 11 0 24 2 0 2 7 3 0 0 0 0 11 14 0 1 3 2 1 3 1 1 4 0 5 17 20 0 2 18 8 7 15 0 0 0 0 26 15 0 0 4 2 0 1 0 2 0 0 3 9 9 10 0 5 0 2 1 0 0 0 0 12 16 2 2 4 4 1 1 0 0 0 0 3 1 0 3 0 0 9 4 6 0 0 1 5 10 17 0 2 3 9 2 0 0 0 0 0 2 1 1 5 0 4 0 8 7 0 0 1 1 6 18 0 1 4 4 5 0 0 0 0 0 0 2 2 6 0 4 4 0 4 0 0 0 1 10 19 2 6 0 11 6 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 9 6 7 0 0 0 1 4 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0