2014年7月24日(木)，2時限, 共E31講義室
2014 年度前期 材料力学 I 再中間試験
１． 《熱応力+不静定問題》
図1に示すように，長さl/ 2の円柱1本を中心に長さlの円柱2本が左右に対称に配置され，上端が剛体板 で接合されいる。この剛体板の上から荷重Pが負荷され，さらに円柱をTだけ温度上昇させる。以下の問に答 えよ。ただし，これらの円柱の断面積をA，ヤング率をE，線膨張係数をとし，長さ以外は同じとする。
(1) 長さl/ 2の円柱に負荷される荷重をP1，左右の長さlの円柱2本に負荷されている荷重をP2のいずれも引 張力と仮定して，剛体板のフリーボディダイアグラムを描け。
(2) 剛体板に関して，力のつり合い式を示せ。
(3) 長さl/ 2の円柱，長さlの円柱の変形量をそれぞれ1，2として求 めよ。
(4) 円柱の上端が剛体板に接合されていること。左右対称であることを 考慮して，それぞれの円柱の変形量，1と2の間に成り立つ関係 を示せ。
(5) 円柱に負荷される荷重P1，P2を求めよ。
(6) 変形量を求めよ。
(7) 上端から負荷する荷重Pで温度上昇Tによる膨張を抑えたい。変 形量を0にするための荷重Pの大きさを求めよ。
E, A, l/2 l
P
T
図1 円柱の熱応力
２． 《不静定問題》
図2に示すように，直径がdから2dまで直線的に変化する長さ2lの円形断面棒が剛体壁の間に挟まれ，左 端からxlのB点に左向き荷重Pが作用している。以下の問に答えよ。ただし，この棒のヤング率はEとする。
(1) 壁A点からの反力をRA，壁C点からの反力をRCのいずれも引張力としてフリーボディダイアグラムを描け。
(2) 力のつり合い式を示せ。
(3) 左端からxの位置の断面積を求めよ。
(4) AB間の伸びABとBC間の伸びBCを求めよ。
(5) 反力RA，RCを求めよ。
(6) 最大の応力が生じる位置xとその大きさmaxを求めよ。
2l A
C
x
d P B 2d
図2 剛体壁間で直径が直線的に変化する棒
３． 《物体力(遠心力)》
図 3 に示すような直径2dと直径dの丸棒からなる段付き棒 が角速度で回転している。この場合の物体力としての遠心 力を考える。OA間，AB間で区間を分け，それぞれの物体力を
1( )
q x dx，q x dx2( ) で表すと， xの位置のそれぞれの区間の内 力Q x1( )，Q x2( )は次式で表されると考える。
1( ) 1(0) 0x 1( )
Q x Q
q d (3.1)2( ) 2( ) x 2( )
Q x Q a
aq d (3.2)
8a
a 3a
2d d
x
O A B
, E
図3 段付き丸棒の回転
上記の式を元に，以下の問に答えよ。ただし，材質は同じで，ヤング率をE，密度をとする。
(1) x4aでの境界条件を示せ。
(2) 式(3.2)について，AB間のq x2( )を求め，(1)を適用して Q2(a)を求めよ。
(3) xaの仮想断面の左右の面に働く内力を図示し，xaでの内力のつり合いに関する条件を示せ。
(4) 式(3.1)について，OA間のq x1( )を求め，(3)を適用してQ1(0)を求めよ。
(5) 全体の伸びを求めよ。
(6) 回転数N = 1000 rpm，長さa = 20cm，直径d2 cmの時，全体の伸び を求めよ。中心部の材質はス テンレス鋼とし，ヤング率E197 GPa，密度8.03 10 kg/m 3 3とする。
(7) 同じ材質，寸法で，ステンレス鋼の引張強さをB578 MPaとする。安全に回転させるには，1分間に何回 転までできるか求めよ。ただし，rpm の単位を用いよ。なお，引張強さを基準強さとし，安全係数はS12 とする。
