電気回路学Ⅱ ひずみ波交流

(1)

電気回路学Ⅱ

通信工学コース

5 セメ

山田博仁

(2)

ひずみ波交

電気回路では、様々な要因 ( 素子の非線形性など

流

) によって信号波形が歪むことがあるその歪み方は、基本周波数の波 ( 基本波 ) にその整数倍の周波数の波 ( 高調波 )

が重畳されたものとなることが多い

周期 T の波に周期 T/3 の波 ( 第3 高調波 )が重畳された波形

そのような波形をひずみ波交流と呼ぶ

(基本波 )

� (_�)₌∑

�=0

∞

�_�sin(^��⁺_∅_�)

: 直流成分

: 基本波

: 第 n 高調波 (n 次高調波 )

: n 次高調波の振幅 : n 次高調波の位相ひずみ波交流の瞬時値

�₃=1/3,∅3=�

(3)

ひずみ波交流

周期 T の波に周期 T/3 の波 ( 第3 高調波 )が重畳された波形基本波と n 次高調波の振幅波形そのものを問題視する通信系や制御系では、高調波の位相関係も重要と

なる一方で、電力系や音声伝送系では位相関係はあまり重要ではなく、高調波の振幅比のみに着目することが多い

高調波の振幅比のみを見れば、

前のスライドの波形も左の波形も同じ

�₃=1/3,∅3=0

(4)

エネルギー

波のエネルギー

ある波の瞬時値を f(t) とすると、その絶対値の 2 乗積分は、その波のエネルギー

f(t) が電圧或いは電流であれば、単位抵抗 (1Ω の抵抗 ) で消費されるエネルギー

従って、 f(t) がある時間範囲だけ存在する波 ( 孤立波 ) でなければ、周期

的波動など、そのエネルギーは無限大となってしまうしかし、時間平均をとれば有限であり、

( 平均 ) 電力

周期 T の周期波 ( ひずみ波交流 ) の電力は、

電力

であり、 t はどの時刻であっても値は同じ

T t

正でかつ有限な平均電力を有する波形を、電力信号と呼ぶ

(5)

エネルギー

ひずみ波交流の電圧 e(t) および電流 i(t) を、 n = 1, 2, 3, … として

�(_�)₌_�₀₊∑

�=1

∞

√²^�_��^sin (^��⁺_∅_�)

�(_�)₌_�₀₊∑

�=1

∞

√² ^�_��^sin(^��⁺_∅_�⁻^�_�)

と表すことにすれば、 E_ne および I_ne はそれぞれ第 n 高調波の電圧および電流の実効値

�= 1

� ∫

0

�

�(�)�(�)��=�₀�₀+∑

�=1

∞

�_���_��cos�_�

ひずみ波交流の電力は、各調波電力の和に等しい 1 周期 T についての平均電力を求めれば、

(6)

実効値と力率

�_�=

√

^�¹ ^∫^�⁰ ^�²⁽^�⁾^��⁼^√^�¹^�²⁺^�²^�²⁺^⋯

�_�=

√

^�¹ ^∫^�⁰ ^�²⁽^�⁾^��⁼^√^�¹^�²⁺ ^�²^�²⁺^⋯

従って、ひずみ波交流の電圧および電流の実効値は、直流成分は 0 として (0 で無い場合はそれを除いて ) 以下の様に表せる

電圧の実効値電流の実効値

実効値とは、平均電力が等しくなる直流に相当する電圧或いは電流値のこと

また、ひずみ波交流の皮相電力は、

皮相電力

=�_� �_�=

√ ⁽

^�=1^∑^∞ ^�^��²

⁾⁽

^∑^�=1^∞ ^�^��²

⁾

となり、力率は

力率

(7)

ひずみ率

本来は基本波成分のみの正弦波交流に対して、何らかの要因で高調波成分が含まれるようになってしまった信号波形に対して、以下の量が用いられ

るひ

波形率 (form factor)=( 実効値 )/( 絶対値の平均 )

波高率 (peak factor)=( 最大値 )/( 実効値 )

リップル率 (ripple factor)

ブリッジ構成による全波整流回路

E₀

全波整流波形

E₀ は直流成分

(8)

周期波

周期波 (periodic wave) とは、ある一定の時間間隔 T をもって同じ振動を繰り

返す波形

が全ての t に対して成り立ち、 T のうち最も小さい値をその波形の周期

(period) と呼ぶ。

� (� )=� (� +�� ),�=0,±1,±2⋯

様々な周期波の例

(a) 整流波形

(b) 鋸歯状波形

(c) パルス列

(9)

周期波のフーリエ級数展開

我々が通常扱う周期波 f(t) は、以下の様にフーリエ級数に展開可能

� (_�)_=�₀₊∑

�=1

∞

(^�_�^cos^�_�^�⁺^�_�^sin^�_�^�)

�₀= 1

� ∫

−�/2

�/2

� (�) ��

�_�= 2

� ∫

−�/2

�/2

� (�)cos�_�� �� (�=1, 2,⋯)

�_�= 2

� ∫

−�/2

�/2

� (�)sin �_�� ��(�=1, 2,⋯)

}

フーリエ ( 三角 ) 級数

ここで、 b₀, b_n, a_n をフーリエ係数と呼ぶ

ただし f(t) は実関数で、任意の時刻 t に関してまでを 1 周期と考え

て、基本周期 T に対する基本角周波数とする。また、正の整数 n により、書けば、

(10)

例題

3.2.

1

よりまでを基本周期とする関数 f(x) を、

� (_� )_=�₀₊∑

�=1

∞

(^�_� ^cos^��⁺^�_� ^sin ^��) 式(₁)

上式の両辺をからまで積分すると、

−∫�

�

� (�)��=�₀ ∫

−�

�

��+∑

�=1

∞

(

^�^�−^∫�

�

cos��+�_�∫

−�

�

sin��

)

⁼²^{� �}⁰

∴�₀= 1 2� ∫

−�

�

� (�)��

次に、式 (1) の両辺に (m は整数 ) を掛けてからまで積分すると、

(11)

例題

3.2.

1

0

∴

(12)

例題

3.2.

1

従って、 ^��= 1

� ∫

−�

�

� (�)cos��

同様に、式 (1) の両辺に (m は整数 ) を掛けてからまで積分すると、

従って、 ^�_�⁼ _�¹ ∫

−�

�

� (�)sin��

ここで変数変換、を行うと、に対してで、これが半周期に等しく、かつであるから、基本周期 T の周期波 f(t) のフーリエ級数およびフーリエ係数の式が導き出せる。

(13)

高調波成分の大きさ

ところで、 b₀ は f(t) の時間平均で、直流成分の大きさを表す。

�=tan⁻¹(^��/�_�) また、

となるところから、第 n 高調波の大きさは、によって与えられる。

(14)

複素フーリエ級数

f(t) をフーリエ三角級数に展開する式

, _cos_�_�_�₌¹

2 (�^{� �}^�^�+�⁻ ^{� �}^�^�)

� (_�)_=�₀₊∑

�=1

∞

(^�_�^cos^�_�^�⁺^�_�^sin^�_�^�)

に、オイラーの式を代入すると、

となり、の n を負の整数にまで拡張して、

� (_�)₌ ∑

�=− ∞

∞

�_��^��⁰^�

�₀=�₀

(15)

複素フーリエ級数

さらに、

とも表すことができ、これらを複素フーリエ級数或いはフーリエ指数級数という。

ここで、正の n に対する nω₀ を正の角周波数、負の n に対する nω₀ を負の角周波数とすれば、周波数の概念は負の領域にまで拡張される。

A_n を周波数スペクトル或いは単にスペクトル (spectrum) と呼ぶ。

A_n は一般的に複素数だが、その大きさを n に対して高さがの線で描いたものを線スペクトルと呼んでいる。

線スペクトルの例

|^��|

0 1 n

-1 2

-2 3 4

-3 -4 周期波では、正負の整数の n に対してのみ線が描ける。

また、正負の n に対するの値は通常等しく、

の関係がある。

ここで、ただし、は A の複素共役を意味する。

(16)

スペクトル

f(t) が電圧の場合、 A_n を電圧密度スペクトル、を電力密度スペクトル呼ぶ。

⟨^|^�^|²⟩⁼^⟨ ^� ^�^´ ^⟩⁼

⟨

^{�=− ∞}^∑^∞ ^�^�^�^{� �}^�^�^{�=− ∞}^∑^∞ ^�^´ ^�^�⁻^{� �}^�^�

⟩

⁼^{�=− ∞}^∑^∞ ^|^�^�^|²

⟨^|^�^|²⟩^=�₀²⁺¹

2 ∑

�=1

∞

(^�_�²⁺^�_�²)

従って、 b₀² は直流電力、は第 n 高調波の電力であり、周期波の電力は、

各調波の電力の和に等しい。

平均電力を計算すれば、

⟨^�^{� � �}⟩⁼{¹⁰^,^,^�^�⁼^≠ ⁰⁰ ^⟨^� ^{� �}¹^�^� ^{� �}^´ ²^�^⟩⁼

{

¹⁰^,^,^�^�¹¹^=�^≠ ^�²² ^{であるから}

また、 √^�^�²⁺^�^�²⁼²^|^�^�^|⁼²^|^�⁻^�^| ^{であるから、}

(17)

例

3.2.

2

対称方形波のフーリエ級数展開

� (�)=

{

⁻ ^�^� ^,^{, −}⁰^<^�^�^/^<^�^�0^/<^��<⁰ 0

これに , を用いて

� (�)=4 �

� (^sin^�⁰^�⁺¹3 sin 3 �₀�+1

5 sin 5�₀�+⋯)とフーリエ展開される。

0 E

−E

T/2

−T/2

−T T t

f(t)

�=2�

�₀

正と負の波形が同じ対称方形波には、直流成分および偶数次の高調波成分はない

|^��|

0 1 -1

-3 3 5 7

-7 -5 9

-9 n

周波数スペクトル対称方形波

(18)

スペクトルの広がり

周期波のもつエネルギーの大部分は基本波および低次の高調波に含まれる。

従って、基本波と低次の高調波によって波形の大まかな形が再現できるが、高次の高調波まで重ねていくと、次第にもとの波形に近付いていく。

� (�)=4�

� (^sin^�⁰^�⁺¹3 sin 3 �₀�+1

5 sin 5�₀�+⋯)

例 3.2.2 で求めたフーリエ級数展開式

は無限個の項を有するが、エネルギーの大部分は基本波 ( 約 80%) および低次の高調波に含まれる。

Ⅰ: 基本波のみの場合

Ⅱ: 基本波と第三高調波を重ねた場合

Ⅲ: 基本波、第三高調波および第五高調波を重ねた場合

(19)

スペクトルの広がり

25 次まで考慮 125 次まで考慮ギブスの角

しかし、不連続に変化する波形では、いくら高次の高調波まで重ねて行ったとしても、不連続点においてギブス (Gibbs) の角と呼ばれる現象が現れる。

f(t) が不連続 → フーリエ係数は次数 n に対して 1/n の割合で小さくなっていく

f’(t) が不連続 → フーリエ係数は次数 n に対して 1/n² の割合で小さくなっていく f^(m)(t) が不連続 → フーリエ係数は次数 n に対して 1/n^(m+1) の割合で小さくなっていく一般にフーリエ係数の値は、 n が大きくなるに従って小さくなるが、

ギブスの角は、不連続点から離れると急速に消滅するので、事実上は無視できる。

なめらかな波形ほど高調波成分は小さく、変化の激しい波形ほど大きくなる。

(20)

ひずみ波交流回路の計算

ω₀ 0 2ω₀ nω₀ ひずみ波或いは周期波での線形回路の励振

励振波形を部分振動成分 ( 直流、基本波、高調波 ) に分解し、それぞれに対する回路の定常解を求めて重ね合わせる

�(_�)= ∑

�=−∞

∞

�_��^{�� }⁰^�

回路の伝達関数を T(jω) とすれば、応答 ( 電流 ) は、

�(_�)₌ ∑

�=− ∞

∞

�_��^��⁰^�

ただし、

�_�=� ( ^{�� }0)^��

(21)

例

3.4.

1

+-

e(t) C

R

v_c RC 直列回路 ( 平滑回路 ) に全波整流電圧 e(t) を

印加した時、キャパシタの電圧 v_c(t) は、

�(�)= 4 �

�

{

¹²⁻^∑^�=1^∞ ^cos2⁴^�^��²⁻¹⁰^�

}

複素フーリエ級数で表すと、 a_n = 0 として

�(_�)=− 2 �

� ∑

�=− ∞

∞ 1

4 �²−1 �^�^{2� �}⁰^�

一方、伝達関数 T(jω) は、励振 Ee ^jωt に対する v_c(t) = V_ce ^jωt を求めて、

� ( � �)=�_�/�=1/(1+ � � ��)

直流入力電圧 2E/π に対しては、 T(0) =1 であるから、 2E/π が出力となり、

E

で与えられ、

2n 高調波入力電圧に対しては、

−2�/� 4�²−1

1

1+ �2� �₀�� が出力となる。従って、全ての出力を重ねて

�_�(_�)₌− 2�

� ∑

�=− ∞

∞ 1

4�²−1

1

1+ �2��₀�� ^�²^��⁰^� _{が得られる。}

全波整流電圧波形

(22)

例

3.4.

1

或いは、 b_n = A_n + A_-n, a_n = j(A_n − A_-n) によって書き直せば、

�₀=2�/�

�₂_�=− 2�/� 4 �²−1

2

1+(²^{� �}0��)²

�₂_�=− 2�/� 4�²−1

4� �₀��

1+(^{2� �}0 ��)² ^{となるから、}

tan∅=2��₀��

RC 直列回路のコンデンサ電圧 (E = 1, ω₀RC = 1 の時 )

元の波形 ( 全波整流波形 ) よりも少し直流に近くなっている

電気回路学Ⅱ ひずみ波交流