x3 −4x 上の x = −1 の点における接 線と
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(2) ⑴. 接線が通る点を求める. まず x = −1 のときの f (x) = x3 −4x の y 座 標を求める。. x = −1 を代入して f (−1) = (−1)3 −4×(−1) = 3 より 接線は (−1, 3) を通る gbb60166. プレ高数学科.
(3) ⑵. 接線の傾きを求める. 次に、いま求めた点 (−1, 3) での、接線の傾きを 求める。. f (x) = x3 −4x を微分すると f 0(x) = 3x2 −4 となるので、x = −1 を代入すると f 0(−1) = 3×(−1)2 −4 = −1 となるから 接線の傾きは −1 gbb60166. プレ高数学科.
(4) ⑶ だから公式 y − して. 接線はこうなる. 通る点の y 座標. y −3 y −3 y −3 y. = = = =. (. = 傾き x− ( ) −1 x−(−1) ( ) − x +1 −x−1 −x+2. gbb60166. プレ高数学科. ). 通る点の x 座標. に代入.
(5) ⑷. f (x) と接線. の交点を求める. よって f (x) = x3 −4x と接線 y = −x+2 と の交点の x 座標は. x3 −4x = −x+2 を解けばよい。左辺にまとめると次の式になる。. x3 −3x−2 = 0 gbb60166. プレ高数学科.
(6) ⑷. f (x) と接線. の交点を求める. x = −1 で接するということは (x+1)2 で割り 切れるはずである。. (x+1)2 = x2 +2x+1 だから、わり算すると. gbb60166. プレ高数学科.
(7) わり算する. x −2 −3x−2 x2 +2x+1 ) x3 x3 +2x2 + x −2x2 −4x−2 −2x2 −4x−2 0 gbb60166. プレ高数学科.
(8) ⑷. f (x) と接線. の交点を求める. よって交点の x 座標は. x3 −3x−2 = 0 (x+1)2(x−2) = 0 x = −1, 2 となる. gbb60166. プレ高数学科.
(9) こんな図になります. y = − x + 2. −1. 2. f (x) = x3 −4x. gbb60166. プレ高数学科.
(10) ⑸. この式を計算すれば答だ！. 積分する区間は −1 から 2 までで、この区間では y = −x+2 が上で、f (x) = x3 −4x が下なの で、公式. ∫. 範囲の上. (上の式 − 下の式)dx 範囲の下. に当てはめて gbb60166. プレ高数学科.
(11) ⑸. ∫. 2( −1. この式を計算すれば答だ！. ). (−x+2)−(x −4x) dx 3. を計算すれば良い。. gbb60166. プレ高数学科.
(12) ∫ ∫. ひたすら計算 2( −1. 2(. = [ =. −1. −. ). (−x+2)−(x3 −4x) dx ). −x +3x+2 dx 3. 1 4. x4 +. 3 2. gbb60166. ]2 x2 +2x −1 プレ高数学科.
(13) ひたすら計算. [ −. = ( =. 1 4 1. 4. x +. 3 2. ]2 x2 +2x −1. 3. ). − ×2 + ×22 +2×2 2 (4 ) 1 3 − − ×(−1)4 + ×(−1)2 +2×(−1) 4 2 4. gbb60166. プレ高数学科.
(14) (. ひたすら計算. 1. 3. ). − ×24 + ×22 +2×2 2 ) (4 3 1 − − ×(−1)4 + ×(−1)2 +2×(−1) 4 2 ( ) 1 3 = (−4+6+4)− − + −2 4 2 =. gbb60166. プレ高数学科.
(15) ひたすら計算. ( = (−4+6+4)− − = 6+ = 8+. 1 4 1 4. − −. 3 2 3. 1 4. +2. 2. gbb60166. プレ高数学科. +. 3 2. ) −2.
(16) これが答え. = 8+ = =. 32 4 27. 1. −. 4 +. 1 4. 3 2 −. 6 4. 4. gbb60166. プレ高数学科.
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