高階偏導関数，微分 順序交換， 定理 演習問題１ 解答

熊本大学 数理科学総合教育

高階偏導関数，微分 順序交換， 定理 演習問題１ 解答

問

1. 2

変数関数

f (x, y) =

 



 

xy(x

²

− y

²

)

x

²

+ y

²

(x, y) ̸ = (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

対 ，以下 問 答 ．

(i) b ∈ R

^．

f

x

(0, b)

求 ．

（

Hint : b ̸ = 0

場合

f (x, b)

商 微分公式 使

x = 0

代入 求

，

b = 0

使 ． 偏微分係数 定義

f

x

(a, b) = lim

x→a

f (x, b) − f(a, b) x − a

求 ．）

解答

. x ̸ = 0

f (x, b) − f (0, b) x − 0 = 1

x ·

( xb(x

²

− b

²

) x

²

+ b

²

− 0

)

= b(x

²

− b

²

) x

²

+ b

²

→ {

0 (b = 0 )

− b (b ̸ = 0 ) = − b (x → 0).

f

x

(0, b) = − b.

(ii) f

xy

(0, 0)

求 ．（

Hint : f

xy

(0, 0)

定義 求 ．）

解答

. y ̸ = 0

f

_x

(0, y) − f

_x

(0, 0)

y − 0 = − y − 0

y = − 1 → − 1 (y → 0).

f

_xy

(0, 0) = (f

_x

)

_y

(0, 0) = − 1.

(iii) (i), (ii)

同様 ，

f

_yx

(0, 0)

求 ．

解答

.

詳細 省 ，実際

(i), (ii)

同様

f

_y

(a, 0) = a, f

_yx

(0, 0) = 1

．

注意

.

問題

f (x, y) f

_xy

= f

_yx 成立 例 ． ，

f

_xy（

f

_yx）

連続（例

C

²級関数 ） ，

f

_xy

= f

_yx 成立 ． 強 ，

(a, b)

近

f

x

, f

y

, f

xy 存在 ，

f

xy

(a, b)

連続 ，

f

yx

(a, b)

存在 ，

f

xy

(a, b) = f

yx

(a, b)

成立 知 ．

問

2. a, b ∈ R C

^{1 級 関数}

f(x, y)

^{対 ，}

(

a ∂

∂x + b ∂

∂y )

f(x, y) = a ∂f

∂x (x, y) + b ∂f

∂y (x, y)

定 ．

f (x, y) = x

²

+ e

^y

+ sin(x + y)

^{，以下 問 答 ．}

1

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(i) ( ∂

∂x − 2 ∂

∂y )

f (x, y)

求 ． 解答

.

∂f

∂x = 2x + cos(x + y), ∂f

∂y = e

^y

+ cos(x + y) (

，

∂

∂x − 2 ∂

∂y )

f (x, y) = ∂f

∂x (x, y) − 2 ∂f

∂y (x, y)

= (2x + cos(x + y)) − 2(e

^y

+ cos(x + y)) = 2x − 2e

^y

− cos(x + y).

(ii) (i)

求

2

変数関数

g(x, y)

．

( 3 ∂

∂x + ∂

∂y )

g(x, y)

求 ． 解答

.

∂g

∂x = 2 + sin(x + y), ∂g

∂y = − 2e

^y

+ sin(x + y) (

，

3 ∂

∂x + ∂

∂y )

g(x, y) = 3 ∂g

∂x (x, y) + ∂g

∂y (x, y)

= 3(2 + sin(x + y)) + ( − 2e

^y

+ sin(x + y)) = 6 − 2e

^y

+ 4 sin(x + y).

(iii) 3 ∂

²

f

∂x

²

− 5 ∂

²

f

∂x∂y − 2 ∂

²

f

∂y

^{2 求 ．}

解答

.

∂

²

f

∂x

²

= 2 − sin(x + y), ∂

²

f

∂y

²

= e

^y

− sin(x + y), ∂

²

f

∂x∂y = − sin(x + y)

，

3 ∂

²

f

∂x

²

− 5 ∂

²

f

∂x∂y − 2 ∂

²

f

∂y

²

= 3(2 − sin(x + y)) − 5( − sin(x + y)) − 2(e

^y

− sin(x + y))

= 6 − 2e

^y

+ 4 sin(x + y).

注意

.

問題 ，

∂

∂x , ∂

∂y

^{文字 考 形式的 展開（ 因数}

分解）

( 3 ∂

∂x + ∂

∂y ) ( ∂

∂x − 2 ∂

∂y )

= ( ∂

∂x ) (

3 ∂

∂x )

+ ( ∂

∂x ) ( ∂

∂y )

− (

2 ∂

∂y ) (

3 ∂

∂x )

− (

2 ∂

∂y ) ( ∂

∂y )

= 3 ∂

²

∂x

²

+ ∂

²

∂x∂y − 6 ∂

²

∂y∂x − 2 ∂

²

∂y

²

= 3 ∂

²

∂x

²

− 5 ∂

²

∂x∂y − 2 ∂

²

∂y

²

成立 関数

f (x, y)

例 述 ． 一般 ，対応 多項式

n

次以下，施

関数

C

ⁿ 級関数 ，上記 形式的 計算 可能 ． 可能 理由 本質 ，

C

² 級 関数

f

対 ，

∂

²

f

∂x∂y = ∂

²

f

∂y∂x

^{成 立 ．}

2