近似的な変形の扱いによる原子核質量公式

2009

2

12

球対称平均場模型と

近似的な変形の扱いによる原子核質量公式

福井大学大学院 物理工学専攻 原子核理論研究室

07780133

背景

存在が確認されている原子核 ： 『約

^3,000

原子核の性質

= ⇒

⁽

⁾

0 20 40 60 80 100 120

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Proton Number Z

Neutron Number N

Nuclide

2003

(G.Audi,A.H.Wapstra)

研究の目的

理論的な予測手段 『原子核の質量公式』

²

±

¯

質量公式 °

原子核の質量を

中性子の個数と陽子の個数の関数 として与えるもの

昔 − 式

現在 − プログラム

_Neutron

Proton

nucleus

原子核の結合エネルギー

1

⁽

⁾

^:

^8.0MeV

= ⇒

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

8

9

0 50 100 150 200 250 300

BE/A

Mass Number A

液滴模型

Weizs¨acker - Bethe

(1930

BE(N , Z) = Bvol + B surf + B sym + B C + B eo

体積項

B vol = a vol A

B surf = a surf A

B sym = a sym

(N − Z )

A Coulomb

B C = a C

Z

A

B eo =  



a

/ A

(偶偶核)

0 _(奇核)

− a

/ A

(奇奇核)

²

±

¯

５つのパラメータはフィッティングで決定 °

WB

平均誤差：約３.４

MeV

-15 -10 -5 0 5 10

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Mass Error (MeV)

Neutron Number N

-15 -10 -5 0 5 10

0 20 40 60 80 100 120

Mass Error (MeV)

Proton Number Z

原子核の魔法数 ：

2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

原子核の殻構造

®

­

©

独立粒子模型 ª

•

•

•

²

±

¯

j j

(1949

Mayer,Jensen)

スピン軌道力の重要性

スピン軌道結合ポテンシャルを導入 魔法数を説明

hω/2π 5

4

3

2

0 1

N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5

p

h s f

d g

p f

s d

p

s 0s1/2

0p3/2 0p1/2 0d5/2 1s1/2 0d3/2 0f7/2 1p3/2 0f5/2 1p1/2 0g9/2 1d5/2 0g7/2 0h11/2 2s1/2 1d3/2 1f7/2 0h9/2 0i13/2 2p3/2 1f5/2 2p1/2

2 8 20 28 50 82 126

(a) (b) (c)

(a)調和振動子型ポテンシャル (b)Woods-Saxon型ポテンシャル (c)スピン軌道結合ポテンシャルの導入

核

⁽

⁾

陽子数

(

)

−→

核の安定な形は必ずしも球形ではなく、楕円体の形になっている

Sphere

Prolate Shape Oblate Shape

KUTY

２０００年に小浦氏、宇野氏、橘氏、山田氏が発表

特徴：変形核を球形核の重畳と見る近似

メリット

変形核を考慮した計算時間

−→

−→

その差、約３桁

= ⇒

(

)

KUTY

KUTY

平均場模型として、

Woods-Saxon

⇓

U( r) = U

1 + exp { (r − R

) / a }

U_{0：ポテンシャルの深さ} R₀：核半径

a ：核表面のぼやけを表すパラメータ

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Energy U (MeV)

Radius r (fm) R0

本研究

自己無撞着 平均場で置き換える

= ⇒ Skyrme-Hartree-Fock

V

φ ^V

V0

=

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Energy U (MeV)

Radius r (fm)

Skyrme

核内核子間に働く有効相互作用の現象論的モデル

V

= 1 2

∑

i<j

v

密度依存２体力：

v

= t

(1 + x

P ˆ

) δ ( ~ r

− ~ r

) + t

2 (1 + x

P ˆ

)

( δ ( ~ r

− ~ r

) ˆ k

+ k ˆ

δ ( ~ r

− ~ r

) ) + t

(1 + x

P ˆ

) ~ k ˆ

2

· δ ( ~ r

− ~ r

) ~ k ˆ + t

6 (1 + x

P ˆ

) ρ

δ ( ~ r

− ~ r

)

+ iW

( ˆ σ ~

+ σ ~ ˆ

) · k ~ ˆ

× δ ( ~ r

− ~ r

) ~ k ˆ

Â

Á

¿

À

１

. δ

−→

２

^.

KUTY

1.

2.

E

重ね合わせの重み

W ( N

)

E

E

(N , Z) = ∑

N₁

W (N

)E

( N

, Z

) , Z

= Z N N

∑

N₁

W (N

) = 1 (規格化条件)

3.

E

E

E ¯

E

重ね合わせの重み

W

核子１個増える

−→

球体から余分な所を削り落とし 、各準位の所が露出した立体角

W(N

)

W ( N

) = − 1

4 π · d Ω

(r

(N

))

dN

変形度

α 2

r( θ ) = R ₀

λ [1 + α 2 P ₂ (cos θ )]

球体の半径

R ₀ ( Z , N)

λ

変形のパラメータ

α 2

Legendre

P ₂ (cos θ )

= ⇒

10 5 0 5 10

10 5 0 5 10

Sphere Deformation

minor axis (fm)

major axis (fm)

R

r( θ )

Z=68 N=98 [Er] α

=0.2

重み

W

N ₁ , Z ₁

N ₁ =

( r ₁ R ₀

) 3

N , Z ₁ =

( r ₁ R ₀

) 3

Z

半径

r ₁ ⇐⇒ N ₁

Z ₁

R ₀ ⇐⇒ N

Z

重ね合わせの重み

W

W( N ₁ ) = 1 4 π

[

Ω im (r _im (N ₁ − 1

2 )) − Ω im (r _im (N ₁ + 1 2 ))

]

中間形状⁽

ⁱ

^m

Ω im

r _im > r ₁

= ⇒

Ω im =  



4 π (1 − cos θ ) 1 − h cos θ

( _r

r

) ₂

( Prolate)

4 π cos θ 1 − h(1 − cos θ )

( _r

r

) ₂

( Oblate)

Â

Á

¿

À

各値を求めるプロセス

N ₁ −→ r _im −→θ−→ r

r

r

Z = 68 , N = 98

W

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

α

= 0.2 (Prolate Shape) α

=−0.2 (Oblate Shape)

Neutron Number N

Weight W(N

)

N

平均変形エネルギー

E ¯ _def

変形に依存する巨視的エネルギー

²

±

¯

変形を抑える働き °

E ¯ _def = ∆ E _s + ∆ E _C + ∆ E _prl

表面エネルギー

∆ E _s = ² ₅ α ²

2 (a _s A ^{2 / 3} − a _sI (N − Z ) ² A ^{− 4 / 3} ) Coulomb

∆ E _C = − ¹ ₅ α ²

2 a _C Z ² A ^{− 1 / 3}

Prolate

∆ E _prl = − C _prl1 α 2 A ^{2 / 3} exp[ − C _prl2 α ²

2 ]

全殻エネルギー

E _sh

E _sh ( N , Z ) = min

α2

[ E _in ( N , Z ) + E ¯ _def (N , Z ) ]

固有殻エネルギー

E _in

E ¯ _def −→

²

±

¯

最小 °

⇓

E

(N , Z ) = ∑

N₁

W ( N

) [{

E

(N

, Z

) − E

(N

, Z

) }

− {

E

(N , Z ) − E

(N , Z ) }]

E

( N , Z )

E

( N , Z ) E

( N , Z)

WB

E _mf ( N , Z) − E _g ( N , Z) = ⇒

核の全エネルギー

E _tot

E

( N , Z) = E

(N , Z) + E

(N , Z) + E

(N , Z)

E

Z = 68 , N = 98

-1348 -1346 -1344 -1342 -1340 -1338 -1336 -1334 -1332

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Energy Etot (MeV)

α

Oblate Prolate

新しい質量公式

M( N , Z ) = Nm _n + Z m _p + E _tot ( N , Z )

中性子質量

m _n = 939 . 5652 MeV

m _p = 938 . 2720 MeV

球対称平均場計算値と実験値の比較

核種：２

^,

^Skyrme

SIII

²

±

¯

RMS

^5.06MeV

^WB

^3.4MeV

新しい質量公式の値と実験値の比較

²

±

¯

RMS

1.60MeV

= ⇒

まとめ

G.Audi、A.H.Wapstra

1,140

RMS

● 球対称平均場計算^{(既存の相互作用SkyrmeSIII力を用いた)}

= ⇒

^.

^MeV

●

Weizs¨acker - Bethe

= ⇒

^.

^MeV

● 変形を取り入れた平均場計算^(SkyrmeSIII)

= ⇒

^.

^MeV

● 今回の新公式^{(球形SkyrmeSIII,変形の近似的扱い,1パラメータを最適化)}

= ⇒

^.

^MeV

●

KUTY

= ⇒

^.

^MeV

今後の課題

1.

^RMS

^KUTY

2.

『相対論的平均場模型』とも組み合わせる。

付録１：中間形状

(intermediary-shape)

仮想的中間形状を導入 座標変換：

r −→ r _im

 





dr _im = {

1 − h [

1 − ^Ω

_{4 π} ^(r) ]}

dr Ω im (r _im ) r ²

im dr _im = Ω oc (r)r ² dr

パラメータ

h

Ω

中間形状の占有立体角

Ω

r _im ( θ ) = R _min +

∫ _θ

θ

dr _im

dr · dr

d θ d θ

付録２：

KUTY

r( θ ) = R ₀ λ

[ 1 + α 2 P ₂ (cos θ ) + α 4 P ₄ (cos θ ) + α 6 P ₆ (cos θ ) ]

変形のパラメータ

α 2 , α 4 , α 6

2i

Legendre

P _2i (cos θ )

付録３：

^Prolate

[

]

1.

2.

3. 16

¹⁶

4.