兀１−２一一郭１ 剛︲んと烟一一６﹈ 何ルル

−20−

グロアート積分の拡張

伊藤 惇・ 木村文雄α

（昭和61年10)131日受即）

GeneralizedGlauert'slntegralFormula

JunlTo, FumioKIMuRA,

︒︒■■■■■■■ローム︑ロロロロロロ■ロ■■■■■■■■■■■ロロロ■ロロロ■ロロロロロ︐ｑ▲■■■■■■︒■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ｒ︑Ｑ■■■■■■■■Ｐｕ■■■■■■一■■■■■■画■■■■■■■■■■■■

Glauert'sintegralformulaisgeneralized,inorder toapplytospecialaerofoil theory suchas base-vented hydrofoil. Fbr this purpose, modified Glauert's integral expressionisreducedto line integral of thecomplexfunction,which is evaluatedonthebasisofdeterminingtheorderofthepoleandfindingtheresidue ofthefunctionatthepole.

1． はじめに

１１トーｊＺｄ

叱一氾叱ｊ

β＋ ｄｊｊ１１泌

ｎ鮨一Ｚ坪 岬都が血Ｎ

の肘βＺく２

兀１−２一一郭１ 剛︲んと烟一一６﹈ 何ルル

一一

２と二一一

●勺■■▲ｅる

一一あ

Ｚで

(3)

I

翼理論の計算に現れる積分の種類には数多くのも のがあるが， その中に流体力学者グロアートにより 発見されたグロアート積分がある。著者らは卒研で

水中翼の計算を行っているうちに， グロアート積分 を拡張することが必要となり， これを試みた｡計算は いたって簡単で，本来は付録程度のものであるが，

資料として寄稿した。

(4)

I

2． 計算法

(5) ^▲■■■■■■■■■■ｒ９１回■■■■■■■■ロ

グロアートの積分は次式により与えられる')。

豚｡｡睾黒Frd6=癒鶚ヂ′

，Ⅲ=÷ん￨̲, Zn(Z+")(Z幸β）

とおくと，

(1)

dZ (6) 上式ではI cos6' ￨≦1であることからその適用範囲

は制限され，空洞現象や通気現象など特殊な翼理論 ではこれだけでは不十分である2) 。したがってこ こではグロアート積分を次のようにcosO'を含まな いかたちで新たに定義する。

n位の極 1位の極 1位の極

●●●●●●αＱ戸０−一

一一一一一一ＺＺＺ

’

cosn6 であり，

I=ﾉざ

−α1=‑a+f百百二 1

−β1=‑a+j ar二T

l al<1のときは

−α2=‑a+iJI =百す

−β2=‑a−ifI =5r

2. 2 a>1の場合

一αlがIZI=1の中にくるかどうj (a+1)>(a−1)

の中にくるかどうか

a+cos6 ７８１１ １１

2． 1 極

ここで定義した式を改めて書くと，

１１

！=魔：鶚

被積分関数の性質より

副０１０

d6 (2)’ I

を調べる。

潔川重防災工業 伽

秋田高専研究紀要第22号

、 P

巴

−2］−

グロアート積分の拡張

であるから，両辺に(a‑1)を掛ける。 (a‑1)は 正であるから

(a2‑1)>(a̲1)2 . ⑫

となる。両辺とも正であるから平方根をとると，

/ Z 7>a‑1 03

！ ｛( ま)｡‑(一六)｡)〕

＋ α1−β】

‐2ゞ7百二両{<一α')圃俳士)．̲(̲寺。

÷(一六)'） 剛

一α1=‑a+ｲ百瓦二 丁' 一戸1=‑aーｲ百首二̲Iであるから，

剛式は

＝2"2志=〒{い÷ｲ百両)｡

=a =7差了)｡}.=7言岩{(‑a÷11百冒三T)n

＋（

+(‑a+f Z=T )n}=毒ﾆﾃ(‑a÷原可)n

⑫ ゆえに，

！=了言差〒(‑aキイ百両)n (a>1)

2． 3 1>a>0の場合 Z2n+1

21=÷んZn(Z十α2)(Z十β"dZ

−÷{fz,̲!Tz千α2)(Z十β"dZZn

÷八￨̲1 Zn(Z半α2)(Zﾅβ"dZ}l @4)

また，次のZは円周上の極である。

Z=一α2=‑a+il T=百百 ^閲

Z=一戸2=‑a‑if I=百百 ^㈱

この場合はコーシーの主値をとる4) 。したがって第

1項の積分においては，

ゆえに

‑a+ｨ京二T>‑1 04

したがって−a!=‑a+f gz =『は￨ZI=1の中に

くる。結局, a>1の場合はZ=0, Z=−αlにおけ る留数を求めればよいことになる。

(6)式を次のように変形する。

Z2n+1

，[=÷んI‑1 Zn(Z+CZ,)(Z半βr7dZ

＝÷(fz,̲! (zM¥;tz÷β3dZZn

÷んl̲1 Zn(Zﾅα,)(Z幸βTrdZ}

Ua

第1項の積分においてはZ=一α，だけが極であるか ら

Res=lim−−L…L一（一α,)｡

#$! #｣E,(Z+",)(Z+",) "1−α】

第2項の積分においてはZ=0, Z=一α,が極である

から

0

Z+"

Res=lirn

Z−−al Z→−α1 Zn(Z+CZ,)(Z+"1)

1 叩

一

■■■■■■■■

(一α,)n("!−α,)

1

'i"=EJH'(n̲T)!^Z＝0

dn‑'[Zn/{Zn(Z+CZ,)(Z+",))]

uM

×

dZn‑l 一一一一 ^竺岫血峨

伽剛

︾

２２ｍ翅ｍｆ

●毛０︽↓●﹃Ⅱ冬↓勺■０ユワ色勺８８エワ竺一一一一

Ｓａ２Ｓ的

ｅ−ｅ−ＲかＲ奉

また，

dn l I

jZn{ (z+")tz+"]) )､‑')n‑'芸三澤

である3）から，

婚=gII(n ,)! (‑')"‑!豊三芳;

×{ (肌 )

（云:！)｡）

１１

第2項の積分においては l

与野=W(n=,)!

×

{(‑士)｡‑(一六)｡） 卿

1

=＝二

α2−β2

Zn）'』（βn−c

rZ． . （一fX ）l （β、−の

淵*Uf

−22−

伊藤 惇・木村文雄

Z=ーα3=i, Z=−β3=‑iは円周上の極であるか ら， 2． 3の場合と同様に計算すると，

2 【＝等{(‑α3)｡‐(‑β3)｡｝

跨妄郷2Zn(Z+cZ2)(Z+"2)

1 GD

（一戸2)n(CZ2−β2) したがって， 1/2を考慮して，

昨÷M〔告{号釜寺澤書;）

！ ｛(‑士》 一(‑士)｡）

＋α2−β2

＋昔{ (̲α2)｡(β2‑α2)÷(‑戸2).(α2‑β2))〕1

‐"{7;姜睾デﾅ潟｡ (̲α,)｡(ルα,）

手{(1)｡‐(‑1 )｡｝

一 一

ゆえに， I

会{(1)｡‑(‑! )｡｝

I=

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ｒＯ■ｈ■■■■■■ロＬ■■ご■■■■■■■■ロ■■■■■■■■■■■１日■■■■■画■■■■■一

|41)

4 D b ／ 泪

したがって

！={21)黒隙丁｡

(a=0) 2． 5 0>a>‑1

a＝−a'と置く。

！‑だ器詮Fd6

=‑Jご釜鶚d6

f(Zn+Z n) dZ

21=‑劣小! a'‑f(Z÷Z 1) iZ

l

（一β2)n(CZ2−βZr}

ー

1

カ．‑(‑戸恩)。

＝元．β2−α2｛( α2)n+(̲

（42 奇数）

２６１

吋

︾

Ｉｌ

︑日ノハ乙１−叱冗α

２βく

一一Ｉ２

I

０Ⅱ■■■Ｉ■■■■■■１１召■■■Ｉ■■■■■■Ⅱ■■■１︑■■■■■９︐０■Ｉ■■■■■Ⅱ■■■Ⅱ！︲ｐ０ＩＩ１ｉ０ｌｌｐ︲ｌ■■■■日■■■■Ｉ■■■■ＩＩＩｌｌ１㈹１１■Ⅱ１１■■■ⅡⅡ０︐︲０１︐１１１Ｂ■１０口Ｕ

( α2)n̲(一β2)。

一一一Zr{("2"2)n+1}_β2−α2

−α2=‑a+il I=百玩一β2=

るから式倒は， ワ赤

β2−α2 、 、− ' z′ ， ＝』 （α2"2)n ^鯛）"ﾊ〃 ^(43）

‑cz2=‑a+il I=百玩一β2=‑a‑i ,/ i=‑冒すであ

るから式倒は， 2兀

mT=F{(−α2)n‑(‑β2)n}

ここで

−α2=cos7"+isin7"=ei7 則

一β2=COSγ−isin7=e‑i7 閥 とすると，

（−α2)n==einr =cosnr+isinnr ㈱

（‑β2)n=e‑in7=cosnr+isinnr 剛 ゆえに，

21= 2元

2ij F扉{(cosn7･+isinn7")

，雁i差芸γ,測

‑(cosnγ−isinnr)}=‑

ゆえに，

Zn+Z‑n

＝‑÷ルー!万百三ｱ三丁dZ

Z2n+1

＝‑制zI̲, Zn(Z+"4)(Z千β"dZ M

ここに，

Z=一α4=a'+ifl=g7W: 1位の極 Z=一β4==a'一ifF互万: 1位の極

Z=0 : n位の極

であり, Z=一a4,Z=一β4は円周上の極である。

したがって2．3と同様に

‐2!=言了差言汚{( cz4)n‑L"4)n} (45)

−α4=COSr+iSinr=e､jγ

−β4=COSγ一isin7"=e‑ir

（一α4)n=ein7=COSn7+iSinn7

（−β4)n=e‑inr=COSnγ一isinnr 以上の関係を用いると式(45)は，

ｊ９

ｌ

ｎａｔ

ｎく

︑

●や■０︽Ｓ

兀同き

｜｜とγｊのｎｎＯＯ甑ン一一羽ａ辱い４元

一一Ｉ２

dZ (4I1

■■ 呂二

■

F−

−23−

グロアート積分の拡張

3． むすび

グロアート積分に含まれる定数の値の制限をとり はずし，より一般的な公式を作成した。 a<‑1の 場合も同様に計算できると思われるが，当面必要と

しないのでまだ行っていない。なお本計算には電気 工学科5期生の三浦芳夫君の助力力§あった。ここに 謝意を表する。

参考文献

1)H. Glauert, TheElement ofAerofoil andAirscrewTheory,CambridgeUni‑

versityPIEss, I̲pndon, 1948.

2）伊藤，正面部分空洞翼形の線形解析，秋田高専 研究紀要，第19号，昭和59年2月, pp.9‑15.

伊藤・木村，通気翼形の線形解析，秋田高専研 究紀要，第22号，昭和62年2月, pp. 13‑19.

3）森川ほか，数学公式Ⅲ，岩波書店．

4)L. C.Woods, TheTheoryofSubsonic 図1 積分路

く

侭咋

犀川施

唇郡作ａ

一一γ

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University Cambridge

Plane Flow, Press.

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昭和62年2月

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