コンビューダによる根軌跡自動描画法

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コンビューダによる根軌跡自動描画法

柳 原 昌 輝

Automaticrootlocusdrawingtechniquewithcomputer

masateru YANAGIWARA

（昭和46年10月30日受理）

但し，零点をZ,極をPﾑとした場合

、

P(S)="(S‑Z)………･……．．

i＝1

1． まえがき

自動制御系を設計するにあたり，注意を要することに その系が，安定になるか否かである。

一般に制御系が不安定であれば，設計した閉ループ系内 外の機器の破損，その他の危険を生ずる。

系が安定であるか否かを評価する方法として主なものは 1． 根軌跡法による安定判別

2． ナイキストの安定判別

4． フルヴィッツの安定判別

等があるが， ここでは，安定，不安定を主眼とするので はなく，従来までの角度条件より描くEVANSの方法 による根軌跡をコンピュータを利用することにより，全 く違った形で根軌跡を自動的に描くということを目的と している。

(2−2）

nl

q(s)="(s−P)………..….……(2‑3)

i＝1

で, n<mと表わされる。

（2−1）式より，閉ループ系の伝達関数つまり，一巡

伝達関数は次の様になる。

G(S)．H(S)=G(S)/(1+(G(S))………(2‑4)

=KP(S)/(q(S)+KP(S))･.･(2‑5) 即ち， （2−1）式と（2−5）式を比べた場合，閉ル ープ系の伝達関数の零点と開ループ系の伝達関数の零点 は同一である。従って，問題は，閉ループ系の伝達関数 の極がわかれば，閉ループ系の周波数特性も過渡特性も わかることになる。ところで，閉ループ系の伝達関数の 極というのは, P(s)‑l‑q(s)=0…･……･･ (2‑6) の根，即ち一巡伝達関数の特性方程式の根である。とこ ろが, P(s), q(s)の個々の零点がわかっていても(2

−6）式を解析的に解くということは非常に困難である ので，他の方法で求めようとしたのが根軌跡のそもそも

の意義である。つまり根軌跡とは，高次代数方程式の根 を直接求める方法に依存せず，図式的に閉ループ系の極

それで根軌跡の描き方は（2−1）式の開ループ伝達関

トして表わしたものが，開ループ伝達関数のケイン定数

根軌跡を描いて，周波数応答，過渡応答を知るというこ

とは，系の安定，不安定を知ることにほかならない。

2． 根軌跡法

周波数応答法においては，開ループ系の極，零点及び

点を問題とせず，正確なことは，周波数特性を求めると

ころまでしか行なわない。

過渡特性は，特にやっかいな精密計算をすれば別である

が，そうでないときは，いくつかの経験的，試行錯誤的 方法に依ってこれを推定する以外に方法はない。もし，

閉ループ系の極や零点がわかるならば周波数特性は，ボ ード線図を描くことにより知ることができる。すなわち 系の極と零点を知れば，系の周波数特性と過渡特性を同 時に知ることができる。根軌跡はこの要求に対する一つ

ループ伝達関数G(S)は, Sに関する多項式の比で表わ されるので次の様に表わせる。

G(S)=KP(S)/q(S)…･………･……．．…･･ (2‑1)

3． 根軌跡自動描画法の一般的解法

3． 1 解析

コンピューターによる根軌跡自動描画法 65

y=0 ･･………･…………･…･･ (3‑10)

の両式が求まる。 （3−9）式より，

y=gn(x) ……･…･･･…．．…………(3‑11) となり， （3−11）式が零点の存在しない一巡伝達関数 の根軌跡を示す式である。

（3−5）式と（3−8）式の両式より，ケインKを消

去すると

fK(x,y)=gK(X,y) ………･･･……(3‑12)

．．． y=j(x) ………(3‑13) の様に表わせる。

つまり， （3−7）式は実軸上の， （3−13）式は，そ

れ以外に存在する根軌跡を含む軌跡の式である。

両式は，根軌跡以外の部分も含んでいるので，何らかの 方法によって， どの部分が，求める根軌跡かどうかを，

判別しなければならない。従来の方法では,Kをパラメ ータとして，根軌跡を求めたものであるが，その場合，

根軌跡は，ケインKを0から無限大まで変化させる時の 軌跡であることに着目し,Kの正の部分が根軌跡となり 得，負の部分は軌跡にならない部分である。

即ち，ケインKにより，根軌跡が存在している部分と，

存在していない部分を，正負の符号により判別して，根

軌跡を求めようとしたものである。

図3−1 フィードバック制御系の基本 ブロック線図

図3−1の様に，ブロックダイヤグラムが与えられる

(S)は

G(S)H(S)=KZ(S‑Zi)/ IF(S‑Pi)

G(S)H(S)=K〃(S‑Zi)／野(S‑Pi)……3(‑1)

i＝1 i＝1

（但し n<m)

で与えられる。 （3−1）式の特性方程式は，恒等的に P(S)と置いて，

P(S)=1+G(S)H(S)=0……．．……･…(3‑2) そもそも根軌跡は，特性方程式のKの値を変化させるこ

とにより, Sが根となる連続的な軌跡として描かれるも

のであるから, Sの値つまり，特性方程式の根がわかれ ばよいのである。

そこで, S=x+jy (j=I/‑1) と置くことにより根

以上より （3−2）式は

P(x,y,K)=1+G(x,y,K) ．H(x,y,K)

=f(x,y,k)+jg(x,y,K)=0

……（3−3）

（3−3）式より実数部は

f(x,y,K)=0………．．…･ (3‑4)

となり，ケインKを求めると，

K=fK(x,y) ,.…･……･…………..……(3‑5) となり， xとyの関数として表わされる。

同様にして，虚数部は，

g(x,y,K)=0 ..……･………(3‑6) y=0 ･･…･………(3‑7) の両式が求まる。

（3−7）式は，実軸上に存在する軌跡の式である。

（3−6）式よりケインKを計算すると，

K=gK(x,y) ………(3‑8)

数に零点が存在する場合である。

零点が伝達関数に存在しない場合，

g(x,y)=0 ………(3‑9)

骨

3

3．2eainKによる根軌跡の判別 3．2． 1軌跡が実軸上に存在する場合

実軸上に軌跡が存在する場合のgainKの値は, (3

−5）式にy=0を代入して得られる。その時のKの値 をKYOとすると

KYO=fo(x) ………(3‑14)

そこでこのKYOより根軌跡の存在を判別する。

KYO>0 ; 根軌跡は存在する。

KYO>0 ; 根軌跡は存在しない。

KYO=0 ; xの値は極となる。

KYO=土一； xの値は零点となる。

P

3．2．2 軌跡が実軸上以外に存在する場合

（3−13）式のy='(x)が実軸上以外に存在する軌跡

の式である。前者と同様根軌跡でない部分を含んでいる のでKの値の正負により判別する。

この時のKの値は（3−5）， （3−8）式より求められ

る。

K>0 ;根軌跡は存在する。

K<0 ; 根軌跡は存在しない。

K=0 ; 共役な複素平面上の点x±jyは，極とな

罪

66

柳 原

となる。

輝

日日

く。これは，虚蝕を切る点であるから，ケイルKの式に x=0を代入したものになる。この値をKXOとすると

KXO=fxo(y)

となり， yの永の関数となる。

3．2．3 系の安定限界値のK

系の安定限界値を知るということは，制御系の設計並

びに，系の補償に関し，非常に重要なこととなってく る。即ち，ケインKの変化範囲が分っていれば，系の安

3．2．4 根軌跡描画のフローチャート

−般的な場合のフローチャートを，図3−2に示す。

oフローチャート中の， (1)〜(8)の説明

特性方程式

1+G(S)H(S)=0

S=x+jy

f(x,y,k)+jg(x,y,k)=0

蓬

這毛

実数部

k=fk(x,y) (x,y)

k=gk(x,y)

g(x,y)=01

KXO

=fx｡(y)

Ｏｊ

Ｙノ〆

y=g｡(x)

y=j(x)

垂

(4) （5） （6）

(1) （2） （3）

(8)

XYプロッタ

XYプロッタ

図3−2 根軌跡描画のフローチ ヤ− ト

コンピユータによる根軌跡自動描画法

安定限界のケインKの値。

実軸上の根軌跡のケインKの値。

実軸上以外の根軌跡のケインKの値。

実軸上以外の根軌跡の式。

実軸上以外の根軌跡のケインKの値。

実軸上の根軌跡の式。

実軸上以外の根軌跡の式。

実軸上の根軌跡の式。

H(S)を(4‑8)式の様に与える。

G(S)H(S)=K(S+2)/(S2+2S+2)…(4−8)

特性方程式は（4−9）式の様になる。

S2+(2+K)S+2(1+K)=0………(4‑9)

（4−9）式に, S=x+jyを代入すると，

x2+2x+2‑y2+K(x+2)

+jy(2x+2+K)=0………… (4‑10) 実数部より，

K=‑(X2+2x+2‑y2)/(x+2)……(4‑11)

（4−11）式から，計算の結果求められるK=0の点，

つまり,x=‑1 , y=±1 (S=−1±j)が，極の座標 となる。同様に，零点は,K=:±｡。になる点であるか ら，

x＝−2 ･…………･………･ (4‑13)

(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， （6)は，伝達関数に零点が，存在 する場合。

(1)， (2)， (3)， (7)， （8)は，伝達関数に零点が，存在しな

勝

い場合。

4． 1 例題 1

一巡伝達関数に，零点を含まないもので,G(S)H(S)を

（4−1）式の様に与える。

G(S)H(S)=K/S(S+6)(S+10)………(4‑1)

特性方程式は（4−2）式の様になる。

S3+16S2+60S+K=0 ………･…･…･ (4‑2)

（4−2）式に, S=x+jyを代入すると，

x3+16x2+60x‑3xy2‑16y2+K

+jy(3x2+32x+60‑y2)=0…(4‑3)

実数部より，

K=‑(x3+16x2+60x‑3xy2.‑16y2)……(4‑4)

KYO=一x(x.+6)(x+10) …………(4‑5)

虚数部より，

y(3x2+32x+60‑y2)=0

．．.y=0 ……･…………･…． (4‑6)

２

START

X,YP,

YNの

I=1, 2,

X(I)=‑12.025+1/40.0 KYOの計算

一一一

R※の計算

＜ R: 0

N(I), K

y＝±1/3x2+32x+60 ………(4‑7)

YP(I), YN(I), K o実軸上に存在する根軌跡

（4−6）式は，実軸全体を表わしているが,KYOが

正の値をとる部分が，根軌跡である。つまり, x=‑6か

ら, x=‑10までの区間以外が根軌跡である。

；︾

X(I), YP(1), YN(I), K

KYOの印刷

, YN(I), K )印刷

骸

o実軸以外に存在する根軌跡

（4−7）式が，実軸以外の軌跡であって， （4−4）

式のKが正ならば，それは根軌跡であり，実軸に対して 対称となる。

図4−1は，以上のフローチャート，図4−2は，根 軌跡である。

ー■■■■■一一 ,

XYプロッタで描画させる

STOP

※RはYPのV−の中の式

図4−1 例題1の根軌跡描画のフローチャート

一巡云達関数に，零点が含まれている場合で, G(S)

輝

柳 原

日日

68

START

X, YP,

DIMENSIONをとる

I=二1, 2,…｡｡……．、

X(I)=‑4.025+1/40.0

三二二

X(I) :‑2.0

６

− ６

一一

Ｋ

Ｏ キ｜獺

KYOの計算 ^｡

R※の計算

エ

I

＜

R: 0 ー≧

N(1), K

YP(I), YN(I), K

の計算

X(I), YP(I), YN(I), K, KYOの印刷一

YN(1), K,

印刷 一

図4‑2 XYプロッタで描いた例題lの根軌跡

虚数部より，

y(2x+2+K)=0

． ．

y=0 ………(4‑14) K=‑2(x+1) ..………･…………(4‑15)

（4−11）式と（4−15）式より,Kを消去して，

y＝±､/‑x2‑4x‑2 ………(4‑16)

XYプロッタで描画させる

STOP

※RはYPのへ/−の中の式

図4−3例題2の根軌跡描画のフローチャート

X

o実軸上に存在する根軌跡

（4−12）式のKYOが正の値をとる部分が，根軌跡 となる。

。実軸以外に存在する根軌跡

（4−16）式の軌跡上で， （4−15）式のKの値が正

となる部分が根軌跡となる。

図4−3は，以上のフローチャート，図4−4は，

XYプロッタで，求められた根軌跡である。

盛

5． あとがき

根軌跡の自動描画は，成功し，その結果を従来のEv

図4‑4 XYプロッタで描いた例題2の根軌跡

コンピュータによる根軌跡描画法 ⁶⁹ ansの方法（角度条件）により確かめた所，ほとんど，

誤差がないことが分った。しかし，根軌跡の存在の有無 は,Kの値（符号）に頼らなければならないので，今後 は，プログラムを検討し，根軌跡の存在の有無は,Kの 値（符号）に頼ることなく，叉，伝達関数の極，零点が

分ればただちに描画できる一般的描画プログラムを検討 してゑたい。さらに，根軌跡による系の改善その他，設 計も，検討したい。

最後に，本研究を行なうにあたり，終始御指導を賜っ た秋田大学鉱山学部渡部倫寧助教授に心から感謝申し上

げます。又この研究に協力された当時卒業研究学生桑原

礼申し上げます。

なお計算処理及びXYプロッタによる描画は，秋田大

献

;AutomaticControlSystems, 文 献

BenjaminC，Kuo ;Automal SecondEdition, 329, 1967

桑原；秋田工業高専卒業研究報告， 1971