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(2) 宋 ・神谷 ・関 ・疋津 ・張:繰 返 し順変換 による多関節型ロボッ トの 逆運動学問題の解. 3.繰 返 し順 変 換 を 用 いた 多 関節 型 ロボ ッ トの 逆 運 動 学 問題 の解 3.1繰. 返 し順 変 換. 本 研 究 で提 案す る求解 の た めの アル ゴ リズム は非 常 に単純 なも の で あ り,基 本 的 に は6つ. の各関 節 をそれ ぞれ独 立 に微. 動 さ せ そ の 結 果 と して 得 ら れ る ロ ボ ッ トハ ン ドの 多 数 の位 置 とそ の 姿 勢 を 評 価 し,そ の 中 か ら 目標 と す る ロ ボ ッ トハ ン ド の 位 置 と姿 勢 に 最 も近 い 各 関 節 の 微 動 値 を 逐 次 洗 定 し て い く 手 法 で あ る.各. 関 節 に は{+△. φ,0,‑△. 動 を そ れ ぞ れ 独 立 に 与 え る こ とに な る.こ. φ}の3通. りの 微. の た め,こ. の微 動. 量 △ φ の 大 き さが 解 の 精 度 を 決 定 す る こ と に な る.な 研 究 で 提 案 す る 繰 返 し順 変 換 の 手 法 は,ロ. お,本. ボ ッ トに お け る順. 運 動 学 が 計 算 で き れ ば そ の 結 果 と して 逆 運 動 学 問 題 の 解 が 得 られ る こ とに な る た め,各. 種 の ア ー ム 構 造 を もっ ロボ ッ トに. 対 し て そ の 逆 運 動 学 問 題 の 解 を 求 め る こ と が で き る.本. 研究. で 提 案 す る繰 返 し順 変 換 を 用 い た ロボ ッ トの 逆 運 動 学 問 題 に 対 す る求 解 の ア ル ゴ リズ ム を 図2に 3.2ロ. 示 す.. ボ ッ トハ ン ドの 位 置 と 姿 勢 の 評 価. 目標 とす る ロ ボ ッ トハ ン ドお よ び 収 束 途 中 の ロ ボ ッ トハ ン ドの 位 置 と姿 勢 を ロ ボ ッ トベ ー ス座 標 系(ΣR)を 式(1),(2)に. 基 準 と して. 示 す よ うな 同 次 変 換 行 列 で表 す こ と とす る.. 〓 (1). こ の と き ロボ ッ トハ ン ドの 位 置 お よ び 姿 勢 の 評 価 は 式(3), (4)に 示 す よ うな評 価 関 数 に よ り評 価 で き る. ε=(XH‑Xo)2+(YH‑Yo)2+(ZH‑Zo)2(3). ハ ン ド姿 勢 の 評 価 関 数 ξ に お い て は,3つ. の 座 標 軸 の うち2軸. が 決 定 す れ ば 残 り1軸 は 一 意 的 に 決 定 さ れ る た め,2つ. の軸方. 向 に 関 す る 評 価 の み を 用 い て い る. 3.3計. 算 の高 効 率 化. 単 純 に 繰 返 し順 変 換 を 用 い た 求 解 の ア ル ゴ リ ズ ム を 構 築 し た とす る と,ロ. ボ ッ トの 自 由 度 数 が 大 き くな る に つ れ 順 運 動. 学 の 繰 返 し計 算 回 数 が 指 数 関 数 的 に 増 大 して く る.こ. のため. 実 用 性 の 観 点 か ら は 何 ら か の 工 夫 に よ り求 解 の た め の繰 返 し 計 算 の 回 数 を 減 少 させ る こ と が 求 め られ る.図2に. 示 す本研. 究 で 提 案 す る ア ル ゴ リズ ム で は,基 本 的 に ロ ボ ッ トの4〜6軸 で ハ ン ド姿 勢 を,ま. た1〜3軸. Fig,2. で ハ ン ド位 置 を 探 索 し,ロ ボ ッ. T1e. flowchalt. of repeatedly. direct kinematics. トハ ン ドの 位 置 と 姿 勢 の 評 価 を別 々 に 行 うこ とに よ り 計 算 の. こ とに よ り求 解 の た め の 繰 返 し計 算 の 回 数 を 減 少 させ な が ら. 高 効 率 化 を 図 る こ と を 基 本 と して い る.他. もそ れ ら の 位 置 お よ び 姿 勢 の 評 価 を 融 合 させ て い る.ロ. 方,本. ア ル ゴ リズ. ボッ. ム に お い て は ハ ン ド姿 勢 を 制 御 した そ の 直 後 の ハ ン ド位 置 と. トハ ン ドに お け る位 置 と 姿 勢 の 評 価 を 融 合 しな い 場 合 に は,. 繰 返 しの 中 で 得 られ て い る 前 回 の ハ ン ド位 置 と を 比 較 し,も. ロボ ッ トハ ン ドの 位 置 を 制 御 し た 時 に は ハ ン ドの 姿 勢 が 崩 れ,. し遠 ざ か っ て しま っ た 場 合 に は ハ ン ド姿 勢 を 前 回 に 戻 し,ハ. ま た ハ ン ド姿 勢 を 制 御 し た 時 に は ハ ン ドの位 置 が 崩 れ る と い. ン ド位 置 の 制 御 を優 先 させ る ア ル ゴ リ ズ ム を 加 え て い る .こ. っ た 無 限 ル ー プ を 形 成 し て し ま い 解 が 収 束 しな く な っ て し ま. の よ うな 本 研 究 で 提 案 す る 図2に. 示 す 繰 返 し順 変 換 の ア ル ゴ. リズ ム で は ロボ ッ トハ ン ドの 位 置 と姿 勢 の 評 価 を別 々 に 行 う. 972精. 密 工 学 会 誌Vol.67,No.6,2001. 〓(2) 〓=(H11‑ο11)2+(H21‑ο21)2+(H31‑ο31)2+(Hl2‑οl2)2+(H22‑ο22)2+(H32‑ο32)2(4). う,あ. る い は 解 が 発 散 し て しま う場 合 も あ っ た.こ. て ハ ン ドの 位 置 と姿 勢 の 評 価 を 図2に. れ に対 し. 示 す ア ル ゴ リズ ム の よ.
(3) 宋 ・神 谷 ・関 ・疋津 ・張:繰 返 し順変換 による多 関節型ロボッ トの逆運動学問題 の解. こ れ 以 降 は 目標 と す る ハ ン ド姿 勢 を保 ち つ つ ハ ン ドが 目標 と す る位 置 に 近 づ い て い く様 子 を 示 して い る.図3の お い て,単. 計 算例 に. 純 な 繰 返 し順 変 換 だ け を 用 い た 場 合 に は そ の 計 算. 回 数 は お よ そ3〓6通 り で あ る の に 対 し,図2に. 示 す ア ル ゴ リズ. ム を用 い た 場 合 に は そ の 計 算 回 数 は 約2×3〓3通 り に ま で 減 少 させ る こ と が で き る. ロ ボ ッ トア ー ム の 各 関 節 を 微 動 させ た と き,あ い て ハ ン ドの 運 動 が 得 られ な い,す. る方 向 にお. な わ ち ロボ ッ トの 持 っ 特. 異 姿 勢 に お い て は ハ ン ドの位 置 お よ び 姿 勢 の 評 価 を 行 う こ と が 困 難 で あ る4)こ とは 本 ア ル ゴ リズ ム に お い て も 当 然 考 え られ る こ と で あ る.従. っ て 多 関 節 型 ロ ボ ッ トに お け る特 異 姿 勢 近. 傍 で は 本 研 究 で 提 案 す る繰 返 し順 変 換 の 手 法 で あ っ て も解 が 求 ま り に く く な っ た り,ま た 解 を 特 定 す る こ と が で き な い 場 合 も あ り得 る の で 注 意 が 必 要 で あ る.な. お,こ. の 点 に 関 して. は順 運 動 学 の 繰 返 しの 中 で 作 成 で き る ヤ コ ビ 行 列 式 の 値 に よ り判 断 す る こ とが で き る. 4.ロ. ボ ッ トハ ン ドの 同 一 の 位 置 ・姿 勢 に 対 す る. 複 数 の ア ー ム 姿勢 とそ の 解 本 研 究 で 対 象 と して い る 手 首 部 に オ フ セ ッ トを 有 す る 多 関 節 型 ロ ボ ッ トに お い て も,PUMA型 ン ク 構 造 を 有 して い る た め,ロ. ロ ボ ッ トと基 本 的 に 同 じ リ ボ ッ トハ ン ドの 同 一 の 位 置 ・姿. 勢 に 対 して そ れ を 実 現 す る ア ー ム 姿 勢 と そ の 解 は 基 本 的 に8 組 存 在 し て い る2).図4に8組 ム を 示 す と 同 時 に 図4の 解 の 一 例 を 図5に. の 解 を求 め る た め の ア ル ゴ リズ. ア ル ゴ リズ ム を 用 い て 求 め た8組. 示 す,図4に. の. 示 す ア ル ゴ リズ ム に お い て は. 陽 に 逆 運 動 学 の 解 が 求 め られ るPUMA型. ロ ボ ッ トの8組. 基 本 ど して 解 の 探 索 を 行 っ て い る.す. な わ ち,ま. 首 部 の オ フセ ッ トを0と. に求 め られ る逆 運 動 学. して 与 え,陽. の解 を. ず 最初 に手. の 解 を 初 期 値 とす る.こ れ よ りオ フ セ ッ トLd(≠0)を 与 え それ 以 降 は 繰 返 し順 変 換 で あ る図2の. ア ル ゴ リズ ム を 用 い て そ れ. ぞ れ の 逆 運 動 学 に お け る解 を 求 め て い る 、 第2,4,6,8番 の解 に つ い て は,手. 首 部 の オ フ セ ッ トを0と. 目. して 与 え る こ と. に よ りハ ン ドの もつ 幾 何 学 的 関係 を 用 い て θ4,θ5,θ6に関 す る も う一つ の 解 を求 め る.そ. し て そ の 解 を 初 期 値 と し てLd(≠0). を 与 え,繰 返 し順 変 換 に よ り収 束 させ た 解 で あ る.第3と. 第7. 番 目の 解 は 同 じ く ア ー ム 部 の 幾 何 学 的 関 係 よ り θ2と θ3に関 す る も う一 つ の 解 を求 め,そ. の 解 を初 期 値 と して 繰 返 し順 変 換. を 用 い て 収 束 させ た 解 で あ る.第5番. 目 の 解 はθ1と θ2に関 す. る も う一 つ の 解 を初 期 値 と して 繰 返 し順 変 換 を 用 い て 収 束 さ せ た 解 で あ る. 上 述 の よ う に ロ ボ ッ トハ ン ドの 同 一 の 位 置 ・姿 勢 に 対 し て そ れ を 実 現 す る 別 の ア ー ム 姿 勢 を 求 め る こ とは,と ボ ッ トの 作 業 軌 道 の 生 成 に お い て,ア. りわ け ロ. ー ム の各 関節 の 可動範. 囲 か ら 受 け る 運 動 範 囲 の 拘 束 を 回 避 した 作 業 計 画,あ. るい は. ア ー ム 部 と障 害 物 と の 間 に 干 渉 が あ る 場 合 に お い て 障 害 物 を 避 け た 作 業 計 画 を 与 え られ る こ と に な る. Fig.3. The. example. of an convergence. in ananswer. う に 融 合 す る こ と に よ り安 定 した 収 束 解 が 得 られ る よ うに な っ た,ま. 5.繰. 返 し順 変 換 の 中 で 得 ら れ る ヤ コ ビ 行 列 の 計 算. た こ の こ と は ロ ボ ッ トハ ン ドの 位 置 と姿 勢 を さ ま ざ. ま に変 化 させ 非 常 に 多 く の 計 算 例 を 用 い て 確 認 した.図 ・2の ア ル ゴ リズ ム を 用 い て 得 た 解 の 一 収 束 例 を 図3に ロボ ッ トの 初 期 位 置 ・姿 勢 で あ り,F点 位 置 ・姿 勢 で あ る,A点. 示 す.A点. が. が 目標 とす る ハ ン ドの. か らス タ ー ト し,B点. にお いて まず ロ. ボ ッ トハ ン ドの 姿 勢 が ほ ぼ 目標 とす る 姿 勢 に 収 束 で き て い る.. 繰 返 し順 変 換 に お い て は ロ ボ ッ トの 各 関 節 に 微 小 移 動 量 を 与 え,そ. の 結 果 と して 得 られ る ロ ボ ッ トハ ン ドの 位 置 と姿 勢. を 評 価 して い る.こ. の た め 各 関 節 の微 動 に よ っ て ハ ン ドの 位. 置 お よ び 姿 勢 が ど の よ うに 変 化 し た か を 計 算 す れ ば ヤ コ ビ行 列 が 求 ま る こ と に な る.ヤ コ ビ行 列J,を. 式(5)に 示 す よ う に ロ. 精 密 工 学 会Vol.67,No.6,2001. 973.
(4) 〓(6). 宋 ・神谷 ・関 ・疋津 ・張:繰返 し順変換による多関節 型ロボットの逆運動 学問 題の解. Fig.5. Anexample. of 8 answers(△φ=0,1°). 〓(5) こ こ で あ る 姿 勢 に お け る ロ ボ ッ トハ ン ドの 同 次 変 換 行 列 を 式(6)と し,い わ ゆ る 繰 り返 し. 変 換 の 中 で 得 られ る第1軸. θ1. の み 微 動△θ1を与 え た(dθ1=△θ1,dθ2=dθ3=dθ4=dθ5=dθ6=0)と き の ハ ン ドの 同 次 変 換 行 列 を式(7)と す る,,. Fig.4. The. flowchart. of searching. ポ ッ トの 各 関 節 の 角 速 度 ベ ク トル9と. 8 answers. ベ ー ス 座 標 系(ΣR)に 対. す る ハ ン ドの 移 動 速 度 ベ ク トルRPEお よ び 角 速 度 ベ ク トル xw eと の 間 の 関係 と して 表 現 す る こ と とす る.. 〓(7). 974精. 密 工 学 会 誌Vol.67,No.6,2001.
(5) 〓(8) 〓(9) 〓(10) 2389. 宋 ・神谷 ・関 ・疋津 ・張:繰 返 し順変換によ る多関節型ロボ ットの逆運 動学問題の解. 行 列 の 一例 を 図6に. 示 す.det(Jy)=0.00の. 方 は ロボ ッ トの 特. 異 姿 勢 に お け る ヤ コ ビ行 列 の 一 例 で あ る. 6.結. 言. 本 研 究 で は繰 返 し順 変 換 の 手 法 を 用 い て 多 関 節 型 ロボ ッ ト ア ー ム の 逆 運 動 学 問 題 に 対 す る 求 解 の ア ル ゴ リズ ム を 検 討 し た.本. 研 究 を通 して得 られ た 結 論 を ま とめ 以 下 に 述 べ る.. (1)手 首 部 に オ フ セ ッ トを 有 し,逆 運 動 学 を 陽 に 解 く こ とが で き な い 構 造 の 多 関 節 型 ロ ボ ッ トア ー ム に つ い て 逆 運 動 学 問 題 で あ る ロ ボ ッ トの 各 関 節 角 度 を 求 め る ア ル ゴ リズ ム を 提 案 した. (2)ロ ボッ トハ ン ドの 位 置 と 姿 勢 の そ れ ぞ れ の 誤 差 評 価 を 別 々 に行 う ア ル ゴ リズ ム と す る こ と に よ り繰 返 し計 算 の 高 効 率 化 を 可 能 に した. (3)ロ ボ ッ トハ ン ドの 同 一 の 位 置 ・姿 勢 を満 足 す る 複 数 の ア ー ム 姿 勢 と そ の解 を 見 い 出 す ア ル ゴ リ ズ ム を 提 案 し た , (4)繰 返 し順 変 換 を 計 算 し て い る 中 で お の ず と ヤ コ ビ行 列 が 計 算 で き る こ と を 示 した. (5)ロ ボ ッ トハ ン ドの 同 一 の 位 置 ・ 姿 勢 に 対 して そ れ を実 現 す る 別 の アー ム 姿 勢 を 求 め る こ と は,ア. ー ムの 各関節 が. も つ 可 動 範 囲 に よ り与 え られ る拘 束 の 回 避,あ る い は ア ー ム 部 と 障 害 物 との 干 渉 を 避 け た 軌 道 生 成 に お い て 有 益 で あ る.. 謝 最 後 に,本. 辞. 研 究 の 遂行 に ご協 力 い ただ いた 金 沢大 学 工学 部. 野 村 久 直 氏 に感 謝 申 し上 げ ま す.ま ッ クFAロ. た 本 研 究 の 一 部 は フ ァチ. ボ ッ ト財 団 の 助 成 に よ っ て行 わ れ た こ と を付 記 し感. 謝 申 し上 げ ま す.. 参. こ の と き 式(6)と 式(7)を 用 い て ハ ン ドの移 動 速 度 が. の よ う に,ま 係. た,力. 学 に お い て 一 般 に 用 い られ るν=ωxrの 関. 考. 文. 献. 1)(株)不 二越:産 業 用 ロ ボ ッ トカ タ ロ グ,(1998). 2)吉 川 恒 夫:ロ ボ ッ ト制 御 基 礎 論,コ ロ ナ 社,(1995). 3)多 田 政 忠:力 学 概 説,学 術 図 書,(1970). 4)内 山 勝:人 工 の 手 の運 動 制 御 に 関 す る 研 究(第1報,特 異点 を 考 慮 し た 協 調 運 動 の 計 算),日 本 機 械 学 会 論 文 集,45,391, C(1979)314. 5)神 谷 好 承,久 保 哲 也,青 柳 誠 司,岡 部 佐 規 一:繰 り返 し順変 換 に よ る ロ ボ ッ トの 運 動 制 御,口 本 機 械 論 文 集,59,564,0(1993) .. 6)W.. より. A. Wolovich Kinematics,. 7)大. 須 賀 公 一,川 Kinematicsに. et. a1.:. A Computational. Technique. for. Inverse. Proc. 23rd IEEEE CDC,(1986)1359. 村 貞 夫,小. 野 敏 郎:マ. つ い て,第9回Dynamical. ニ ピ ュ レ ー タ のInverse ystem. Theoryシ. ン ポ. ジ ウ ム 資 料,(1986)35. 8)小. 金 澤 鋼 一:冗. 長 な 自 由 度 を 有 す る マ ニ ピ ュ レ ー タ の 逆 運 動 学. の 高 速 か つ 安 定 な 解 法,日. 9) が 得 られ る.式(9)を 第1軸. 整 理 し,下. 式(10)を 計 算 す る こ とに よ り. の み 微 動 させ た と き の ロ ボ ッ トハ ン ドの べ 一 ス 座 標 系. 10). に 対 す る 角 速 度 が 得 られ る. 11). 12) 式(8)と 式(10)よ りヤ コ ビ行 列 中 の 第1列 こ とに な る.第2〜6軸. 目の 要 素 が 求 ま っ た. に つ い て もそ れ ぞ れ の 関 節 に つ い て 同. 様 の微 動 を 与 え る こ と に よ りヤ コ ビ行 列 中 の す べ て の 要 素 が 計 算 で き る こ とに な る.以. 13). 本 ロ ボ ッ ト学 会 誌,16,51(1998)721.. D.E. Whitney: Resolved Motion Rate Control of Manipulators and Human Prostheses, IEEE Trans. Man-Machine Systems, 10, 47, (1969) 53. C.W. Wampler: Manipulator Inverse Kinematics Solutions Based on Vector Formulations and Damped Least-squares Methods, IEEE Trans. System, Man and Cybern., SMC-16. 1, (1986) 93. Y. Nakamura and H. Hanafusa: Inverse Kinematic Solutions with Singularity Robustness for Robot Manipulator Control, J. Dynamic System, Mes. , and Contr. , 108, (1986) 163. R.V.Mayorga,N.Milano and A. K.C.Wong: A Fast Procedure for Manipulator Inverse Kinematics Computation and Singularity Prevention, J. Robotic Systems, 10, 1, (1993) 45.. K.L.Doty,C.Melchiorri and C.Bonivento: A Theory of Generalized Inverse Applied to Robotics, Int. J. Robotics Res.. 12, 1. (1993) 1.. 上 の 操 作 に よ っ て 得 られ た ヤ コ ビ 精 密 工 学 会 誌Vol.67,No.6,2001. 975.
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