2006 東北大学（理系）前期日程 問題
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１ 解答解説のページへ 連立不等式[ [\ ≦ [\≦の表す領域 ' を図示せよ。また曲線
\ D[ \D
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２ 解答解説のページへ 図 のような$% %& &' '$ $& である四
角形$%&'を考える。この四角形$%&'を$&で折り 図のように点 % & 'が平面3にのるように置く。 図 に 現 れ る 辺 &% と 辺 &' と が な す 角 をD
（D %&'）とし q＜D＜qとする。以下の問い に答えよ。
図において$から平面3に下ろした垂線が3と 交わる点を + とする。$+を&$ &% &'とDと で表せ。
$+の長さをDを用いて表せ。
+が図における△%&' の重心となるときの角度
Dを求めよ。
$
%
&
'
図
$
%
& '
+
3 D
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３ 解答解説のページへ ある商店街が次のようなくじを計画した。商店街の各商店は 円の買い物ごと の 枚の抽選券を客に配布しまた配布した抽選券 枚につき手数料 円をくじ を管理する組合に拠出する。客は抽選券の枚数と同じ回数のくじを引くことができる。 くじは個の球の入った袋をよくかきまぜて個取り出す方式で行われ 個の 球のうち 個だけが当たりとし取り出された球はそのつど袋に戻すことにする。そ して当たり球が出たならば 万円相当の景品がもらえ外れたならば景品は無いこ とにする。以下の問いに答えよ。
枚の抽選券を使ってくじを引く人がもらえる景品の相当額の期待値を求めよ。 それぞれが 枚の抽選券を使ってくじを引く客が 人いるとする。各人が 回
くじを引いたとき当たり外れの順序が完全に一致する確率を求めよ。ただし小 数点第位は四捨五入せよ。
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４ 解答解説のページへ [＞ において関数
[ [ [ VLQS
I を考える。関数 I[の導関数を Ic[と書く ことにし以下の問いに答えよ。
Icを求め[＞のときIc[＜であることを示せ。 Nが自然数のとき Ic N を求めよ。
Ic[ となる [ を値の大きいものから順に [ [ […とおく。Q≧ で ある自然数Qに対して Q＜[Q＜Qを示せ。
OLP Q
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５ 解答解説のページへ 次正方行列$%2を
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨
¨ ¨ © §
$
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨
¨ ¨ © §
%
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨
¨ ¨ © §
2
とする。以下の問いに答えよ。
以上の自然数Nに対して$%Nを求めよ。
すべての自然数PQに対して $P%Qおよび%Q$Pを求めよ。
等式$%; ;$% 2を満たす 次正方行列
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨
¨ ¨ © §
] ] ]
\ \ \
[ [ [
; を求め
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６ 解答解説のページへ 連立不等式≦[≦\≦が表す[\平面内の領域を'とする。またDを定数とし 不等式\≧[D[Dが表す [\ 平面内の領域を ( とする。以下の問いに答えよ。 'と(とが共有点をもつような実数Dの範囲を求めよ。
の範囲のDに対して'と(との共通部分の面積6Dを求めよ。 で求めた6Dの最大値を求めよ。
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１ 問題のページへ
領域' [ [\ ≦ [\≦より
[ \≦ \≦[
領域 ' を図示すると右図の網点部となる。ただし境 界は領域に含む。
また曲線[ \ D[\D に対して
[D \ ………＊
すると方程式＊は中心D 半径の円を表す。 右図より実数 D が最大となるのは円＊が領域 '
の境界線[\ に接するときなので
D D
D＞よりDの最大値は D である。
また実数 Dが最小となるのは円＊が領域 'の境 界線[\ に接するときなので
D D
D＜よりDの最小値は D である。
［解 説］
領域と最大・最小を組み合わせた問題です。円と直線円と円が接する条件の処理 がポイントです。
[ \
2
[ \
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２ 問題のページへ
[\を実数として&+ [&%\&'とおくと $+ [&%\&'&$となる。
ここで条件より &$ &% &'
FRV &% &$ &'
&$ q
D D FRV FRV
&'
&%
まず $+&% より[&%\&'&$&%
&% &$ &% &'
&% \
[
FRV
\ D
[ ………①
また $+&' より[&%\&'&$&'
&' &$ &'
&'
&% \
[ [FRVD \ ………②
①②より ¸
¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨
© §
FRV FRV
\ [
D D となり
¸ ¹ · ¨ © §
¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨
© §
¸ ¹ · ¨ © §
FRV
FRV
FRV
FRV
D D
D D
\
[
よって $+ FRVD&%FRVD&'&$
より[ \ FRVDなので
&% &' &$
$+ [ [ [[ [FRVD [[
FRVD[ [
FRV
FRV
D D
FRVFRVDD
よって $+ FRVFRVDD となる。
より&+ FRVD&%FRVD&'
+が△%&'の重心となるとき &+ &%&'なので
FRV
D FRVD
よって q＜D＜qからD q
［解 説］
冒頭の&+ [&%\&'がポイントとなります。なお連立方程式は係数に文字が
入っていたので行列を用いて解いています。
$
%
& '
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３ 問題のページへ
≦N≦として回引いてN回当たる確率3Nは
N N
N N
3 &
よって景品の相当額の期待値(は
¦
N N 3N
(
¦
&
N
N N
N
N
¦
&
N
N N
N
¦
&
N
N N
N
回くじを引いたとき人がともに当たりまたは外れの確率Tは
T
ここで
u
D とおくと＜D＜となり回くじを引いたと
き当たり外れの順序が一致する確率は
&
D D D
T
さて
& D＜u からTの小数第 位までは
を展開した値によって決定するので
&
&
&
uuuu
よって Tの小数第位まではu よりT≒となる。
抽選券を [ 枚配布したとすると景品の相当額の期待値は と同様にして [
円となるのでくじに要する経費は[円となる。 またくじ管理組合に拠出された手数料は[円なので条件より
[
[
≧ [≧
よって商店街の商品売り上げ目標はu 万円以上である。
［解 説］
では数 & の知識を前提としない解法をとり組合せの公式NQ&N QQ&Nと二
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４ 問題のページへ
I[ [VLQS[ に対し
[ [ [[ [ [ [
[ VLQS FRVS S VLQS S FRVS
c
I から
FRV VLQ
c S S S
I
また
[[ [
[ [ [ [ [ [
[ FRVS S S FRVS SVLQS S S VLQS
cc
I ………①
ここで[＞のとき＜S[＜Sから Icc[＜となり
c
c I
I [ ＜
より Ic N VLQNSNSFRVNS NSN NNS
まずからIc[ となる[の最大の値はより [ である。
次に ＜[≦ のときS≦S[＜SからIcc[＜でありこの区間で Ic[は単調 減少をするので [＜となる。
さてN≧のとき①からIcc N となりより
NS NS＞
N N
c
I ………②
またQ≧のとき Q＜[＜QにおいてQS＜S[＜QS から L Qが偶数のとき Icc[＞
LL Qが奇数のとき Icc[＜
よって区間Q＜[＜Qにおいて Ic[は単調増加または単調減少であり② からこの区間内に Ic[ となる[がただつ存在する。
以上より ＜[＜ ＜[＜…となるので Q＜[Q＜Qである。
よりQ→∞のときQo Qoから[Q oとなり合わせて
Q Q
Q
Q [ [ [
[ VLQ S ≦
I
したがって OLPof Q
Q I [
［解 説］
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５ 問題のページへ
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § %
$ から
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § $ % ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § $ % $ % $ %
これよりN≧のとき$%N $%と予測できこの予測が正しいこと を数学的帰納法を用いて証明する。
L N のとき 明らかに成立する。
LL N Oのとき $%O $%と仮定する。
$% O $% $% $% $%
LLLより
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © §
$ % N $ % である。
$ $ ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © §
より帰納的に$P $である。
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § $% 2 $% ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © §
以上より Q のとき$P%Q $%
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © §
Q≧のとき$P%Q 2
また
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以上より Q のとき%Q$P %$
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © §
Q≧のとき%Q$P 2
$%; ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ] \ ] \ ] \ \ \ \ ] ] ] \ \ \ [ [ [ 2 ; % $
なので \ \ \ ] ] ] となりこのとき
$ % ; ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § [ [ [ [ [ [
さらに ;$% 2なので [ [ である。
以上より
¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § [
; （[は任意の数）
［解 説］
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６ 問題のページへ
'≦[≦ \≧ ( \≧[ D[Dに対して領域(の境界線は
D[ D [ D [ D
[
\ ………＊
まずD≦のときは領域'と(は明らかに共有点をも たない。
そこでD＞ のとき' と ( とが共有点をもつ条件は ＊と[ 軸の交点が[ D DよりD≦ かつD≧ であ る。よって ≦D≦となる。
L D≦
≦D≦のとき³
D [ D[ D G[D
6
>
[ D [ D [@
D
DDD DD
D D D
LL ≦D ≦D≦のとき
³
D D [ D[ D G[
6
>
@
D [ D [ D
[
DDDDD
D D D
L ≦D≦のとき
c D D D
6 DD
右表より 6Dは単調に増加する。
LL ≦D≦のとき
c D D D
6
DD
D
6 の増減は右表のようになる。 LLLより 6Dの最大値は
6
［解 説］
頻出の放物線と面積の問題です。領域で味付けがしてありますが。
D …
D
6c ＋
D
6
D … …
D
6c ＋ −
D
6
2 [
\
