A
Dirichlet space
on
ends of
tree
and Dirichlet
forms with
a
nodeswise
orthogonal
property
東京理科大学理学部金子
宏
Hiroshi
KANEKO
Faculty
of
Science,
Tokyo
University of
Science
1.
木構造に付随する完全正規直交系と生成作用素
以図のような階層構造が備わった可算個の頂点からなる集合
$T=\{\cdots, a, b, c, \cdots\}$
を考える
:
$\wedge e_{\wedge}\bigwedge_{f}^{b} \wedge\wedge\wedge^{i}g\ovalbox{\tt\small REJECT}_{h}^{\mathcal{C}} \wedge\wedge\bigwedge_{jk}^{d}$
$::$
:
$::::::::$
:
$:$:
このとき
$T$
は
$T_{0}=\{\cdots, a, \cdots\},$
$T_{1}=\{\cdots, b, c, d, \cdots\},$
$T_{2}=\{\cdots, e, f, \cdots,j, k, \cdots\}$
のような共通部分をもなたい部分集合
$\{T_{m}|m\in \mathbb{Z}\}$
に分割される．ここで写像
$\pi$
:
$Tarrow T$
が
$y\in T$
に対して辺
“
–,,
によって
$y$
と結ばれる一段階浅い階層にある頂点
$x$
を対応させるもの
として定まる．例えば
$\pi(b)=a$
である．
3 進整数環
$\mathbb{Z}_{3}$に対応する木構造
$T_{\mathbb{Z}_{3}}$は
$B_{1/9}(00)\wedge B_{1/9}(10)\wedge B_{1/9}(20)\wedge B_{1/9}(01)\wedge B_{1/9}(11)\wedge B_{1/9}(21)\wedge B_{1/9}(02)\wedge B_{1/9}(12)\wedge B_{1/9}(22)\wedge$
構造
l
を
$arrow\hat {}\mathfrak{a}\hat{}\sim+$B7
$\grave{}$ar
$\backslash$0
す
a
るため
$B,1/3\{0,1,2$
やな
1/
9
を
省表略すす表る
–
$arrow Darrow\llcornerarrow$ii
をとにする
こ
よらうれたす
$\mathring{へ}-\nearrow_{\tau}\iota_{3}^{-}$進り
このようにすることで 3 進体
$\mathbb{Q}_{3}=\{.$
.
.
$a_{2}3^{2\underline{a_{-1}}}+a_{1}3+a_{0}+$
$3$
$+ \ldots\frac{a-m}{3^{m}}|a_{-m},$
$\cdots,$ $a_{-1},$
$a0,$
$a_{1},$
$a_{2}\cdots\in\{0,1,2\},$
$m\in \mathbb{Z}\}$
に付随
する木構造が次のように描かれる
:
ここで，
$\mathbb{Z}_{3}$は
$( \frac{0}{3})$によって表わされている．一般に，
$T$
に属する頂点の列
$\{a_{i}\}_{i-0}^{\infty}$
のうち各
$i$につ
いて
$\pi(a_{i+1})=a_{i}$
をみたすものを
$T$
の端点といいその全体を
$\Sigma^{+}$で記す事にする．より正確に
$\Sigma^{+}$を捕捉するためは，同値類を用いた概念付けが必要となる．つまり，上述の列
$\{a_{i}\}_{-0}^{\infty}$
と各
$i$
につぃ
て
$\pi(b_{i+1})=b_{i}$
をみたす
$T$
の頂点の列
$\{b_{i}\}_{i=0}^{\infty}$
が同値であるとは，ある整数
$k$
と
$+$
l-
$\delta$
大きい整数
$i$
について
$a_{i}=b_{i+k}$
がみたされることと定め，この同値類の全体を
$\Sigma^{+}$とおくことが必要である．
Example
$(p_{\grave{J}}\ovalbox{\tt\small REJECT} ffi\mathbb{Q}_{p} \#$こ
$fl\backslash \Re$す
$\epsilon*\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\grave{l}}\xi T_{\mathbb{Q}_{p}})$.
$p^{\backslash }\ovalbox{\tt\small REJECT}$ffi
$\mathbb{Q}_{p}$
#こお
$\iota y\epsilon p*$
の
$4\Phi$
を
$T_{\mathbb{Q}_{p}}$
とおき，
$\Leftrightarrow$ $\ovalbox{\tt\small REJECT} B$ $\iota$こつ
$V\supset$て
$\nearrow\backslash -J\triangleright\Re 1$」
$g\iota-g$
づくその
$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\backslash }\mathfrak{s}$」
$\mathbb{R}$を
$Vol(B)$ と
$\overline{arrow\vec{\frac{}{D}}}B$す．このとき
$B,$
$B’\in T_{\mathbb{Q}_{p}}$
どうしの
$\ovalbox{\tt\small REJECT} ff_{\backslash }$$B-B’$
を
$B\subset B’,pVol(B)=Vol(B’)$
あるいは
$B’\subset B,pVol(B’)=Vol(B)$
であるとき．
$B-B’$ と定める．
写像
$\pi$
が
$B\subset B’$
と
$pVol(B)=Vol(B’)$
をみたす球
$B’$
をとることにょり
$\pi(B)=B’$
として定ま
る
また
$\Sigma^{+}$と
$\mathbb{Q}_{p}$の間の同相写像が定まる．実際，端点
$\xi\in\Sigma^{+}$
が
$B_{0}\supsetneqq B_{1}\supsetneqq\cdots$
をみたす球の
列
$\{B_{0}, B_{1}, \cdots\}$
により定まるものであるとき，一点
$\{a\}\subset \mathbb{Q}_{p}$
が
$\{a\}=\bigcap_{i}B_{i}$
にょって与えられる．
すなわち
$\xi\mapsto a$
は
$\Sigma^{+}$から
$\mathbb{Q}_{p}$への全単写を与えるが，これは同相写像となってぃる．
$\bigwedge_{\wedge^{y}\wedge^{Z}}^{1}x \bigwedge_{\Sigma^{+}\Sigma^{+}}^{1_{+}}\Sigma_{x}$
$\wedge^{y} \wedge^{z}$
$:$: : :
$\eta$ $\zeta$ $:$: :
$\eta$ $\zeta$主な主張を述べるために次の記号を導入する:
$C^{m}(\Sigma^{+})=$
{
$y\in T_{m+1}$
により定まる各
$\Sigma_{y}^{+}$上で定数値をとる関数},
$\circ C(\Sigma_{x}^{+})=$
{
$\Sigma_{x}^{+}$の外で零となる関数}
ただし
$x\in T,$
$C_{x}=C(\Sigma_{x}^{+})\cap C^{m}(\Sigma^{+})$
ここで
$x\in T_{m},$
$C_{\pi^{k}(x)}^{x}=C_{\pi^{k}(x)}\cup\cdots\cup C_{x}$
によって張られる
$C_{\pi^{k}(x)}$
の線形部分空間，ここに
$k$
は正の整数．
さらに，
$\Sigma^{+}$を台とするラドン測度
$\mu$
があるとし
$L^{2}(\Sigma^{+};\mu)$
の完全正規直交系
$\Phi$で以下の二つの性
質を持つものがあるとする:
(i)
$\Phi_{x}=\{\varphi\in\Phi\cap C_{x}|(\varphi, 1_{\Sigma^{+}})_{L^{2}(\Sigma^{+};\mu)}=0\}$
について
$\#\Phi_{x}=\#\{y\in T|\pi(y)=x\}-1,$
(ii)
$\Phi=\bigcup_{x\in T}\Phi_{x},$
[1] では，直観的に把握しやすい Markov
過程が
Kolmogorov
の方程式を解く事によって得られるこ
とが見いだされており，そこで得られた
Markov
過程には
Dirichlet
$g$
とが
こだのされ
g
てで
$f\ovalbox{\tt\small REJECT}$りら
’
れそ確こ率で
1
得程らのれ
$19$ 作
素た
Markov過の程固有に関は
$l$
数族
Dirichlet
で
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$でえ
$\theta$
$>^{*}f\backslash 1\Re, す_{}9$
あら
$\epsilon$れ
$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\vee}$fi
$\Psi \mathfrak{H}$もれ
$T$
/
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$ -$\breve{}\check{}\grave{}\xi$えてら
$\breve{}\check{}$れ
$\gamma,Dirich1et$
上の
Dirichlet
間論を深化させる形での，理想境界上の
$\Phi g$
の
ffi
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$と
$\nabla 3$された
$\not\leqq\partial\ovalbox{\tt\small REJECT}_{-}k$の
$\ovalbox{\tt\small REJECT} ffl$Markov
$\grave{)}EEi\dot{>}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\infty}$できることが指摘され，推移確率に対す
$\epsilon\ovalbox{\tt\small REJECT}$(
$\mathbb{E}$などの
$\Re\Phi\ovalbox{\tt\small REJECT} M$
な
$\yen$
g
や，
$Xffl^{\backslash }k$
関数のディリクレ積分との対応性の議論など，ポテンシャ
’
$\triangleright$ -$\ovalbox{\tt\small REJECT} M$な
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$察を含める形でも研究がなさ
れている．この小論では，これらの既存の研究に倣い
$L^{2}(\Sigma^{+};\mu)$
上の
$iEF_{\backslash }^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}J$Dirichlet
空間
$\Phi\subset \mathcal{F}$
るをみこたのすとした場は，合の一般論を整備のし
分に岐点い毎に与えられた
Dirichlet
空問から間，
$(\mathcal{E},\mathcal{F}$
が
$Effl$
され
た枠を最大限生かしつつ，
Markov
過程を構成することを試みる．
2.
既存の仮定から導ける
Dirichlet
形式の性質
$\dot{を}\vee$
鰹簸撚れ
;
$\mu\epsilon$)
$\pi$
o4i
鱗
iCchxl,Oe
制懸轟鷺鼎編麗
$\{(\mathcal{E}_{x},C_{x})\}_{x\in T}$
との
$\Phi$
ff
$\grave{}$
以下では，
$\mathcal{E}(P_{x}u, 1_{\Sigma_{\pi^{\ell}(x)}^{+}})=0$
が各
$x\in T$
と非負整数
$\ell$
について成立するとする．
ただし，
$\pi^{0}$
は
$T$
上の恒等写像を表すとする．
以下の考察では
$\Sigma^{+}$上の局所可積分関数
$u$
に対して，
$\frac{1}{\mu(\Sigma_{x}^{+})}\int_{\Sigma_{x}^{+}}u(\eta)\mu(d\eta)$
を
$(u)_{\mu,x}$
で表す．
最初に前節の仮定に加えてこれらの条件をみたす
$L^{2}(\Sigma^{+};\mu)$
上の
Dirichlet
空間
$(\mathcal{E}, \mathcal{F})$が与えられて
Proof.
次のように対称な二次形式を定めれば良い
$\mathcal{E}_{x}(u, v)=\mathcal{E}(u, v)-(u)_{\mu,x}(v)_{\mu,x}\mathcal{E}(1_{\Sigma_{x}^{+}}, 1_{\Sigma_{x}^{+}})$
.
実際このとき，次の
3
っの条件が容易に検証される
:
(i)
$\mathcal{E}_{x}(u, u)\geq 0$
for
any
$u\in C_{x},$
(ii)
異なる
$y,$
$z\in T$
が $\pi(y)=\pi(z)=x$
を満たすとき
$\mathcal{E}_{x}(1_{\Sigma_{y}^{+}}, 1_{\Sigma_{z}^{+}})\leq 0,$
(iii)
$\Sigma_{x}^{+}$上で $v=1$
のとき全ての
$u\in C_{x}$
に対し
$\mathcal{E}(u, v)=0$
.
口
$L^{\backslash }\mathcal{A}-$
下では，異なる
$x,$
$y\in T$
に対する
$\phi_{\backslash }\in\Phi_{x},$$\psi\in\Phi$
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$こっt)
て
$\mathcal{E}(\phi, \psi)=0$
となるという既存の研究
に見られる直交性を仮定すると，跳躍測度
$J$
にどの 1 うな
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$f
$+$
tJl
$\grave{}\grave{}$ $\ovalbox{\tt\small REJECT}$-されることになるかをみる．
Proof.
最初に
$\pi(x)=\pi(y)$
をみたす異なる
$x,$
$y$
について
$J( \Sigma_{z}^{+}, \Sigma_{y}^{+})-\frac{\mu(\Sigma_{z}^{+})}{\mu(\Sigma_{x}^{+})}J(\Sigma_{x}^{+}, \Sigma_{y}^{+})=-\mathcal{E}(1_{\Sigma_{z}^{+-}}(1_{\Sigma_{z}^{+}})_{\mu,x}, 1_{\Sigma_{y}^{+}})$
が任意の
$-\pi(z)=x$
をみたす
$z\in T$
につぃて成立することに注目する．この定理の証明の基本方針
は，主張にあるような
$\mathcal{E}$に関する直交性を仮定すると，枝
$\Sigma_{x}^{+}$がらの分岐にょって枝
$\Sigma_{z}^{+}$が出現して
いる場合，上式左辺に見られるような
$\Sigma_{x}^{+}$がら
$\Sigma_{z}^{+}$への枝への置き換えにょる測度
$J$
の値の変化が
$\mu(\Sigma_{\ovalbox{\tt\small REJECT}^{)/}\not\in\S^{\Sigma_{x}^{+})}}$とどう関係づけられるがを特定すること．逆に，主張にあるような測度
$J$
の絶対連続
性を
$\epsilon$事により，上述の意味での
$\mathcal{E}$に関する直交性を導くことである．
最初に異なる
$x,$
$y\in T$
に対して，
$\varphi\in C_{x,0},$ $\psi\in C_{y,0}$
であるかぎり
$\mathcal{E}(\varphi, \psi)=0$
が成立すると仮定す
る．
$1_{\Sigma_{x}^{+}},$$1_{\Sigma_{y}^{+}}\in \mathcal{F}$であるので，
$\Sigma_{x}^{+}\cap\Sigma_{y}^{+}=\emptyset$
であれば，
$J(\Sigma_{x}^{+}, \Sigma_{y}^{+})=-\mathcal{E}(1_{\Sigma}+, 1_{\Sigma}+)$
となることは
容易に確認される．よって，我々のこれまでの仮定がら
$\pi(z)=x$
をみたす
$z$
につぃて導がれる等式
$\mathcal{E}(P_{x}1_{\Sigma_{z}^{+}}, 1_{\Sigma_{x}^{+}})=0$
と，
$\pi(x)=\pi(y)$
をみたす異なる
$x,$
$y$
[
こつぃて
$\frac{1}{+}1+-\frac{1}{+}1+\in C_{\pi(x),0}$
が言えることから
$\mathcal{E}(P_{x}1_{\Sigma_{z}^{+}}, 1_{\Sigma_{y}^{+}})=0$
が導ける．これにょり
$\mu(\Sigma_{x})\Sigma_{x} \mu(\Sigma_{y})\Sigma_{y}$
$J( \Sigma_{z}^{+}, \Sigma_{y}^{+})-\frac{\mu(\Sigma_{z}^{+})}{\mu(\Sigma_{x}^{+})}J(\Sigma_{x}^{+}, \Sigma_{y}^{+})=-\mathcal{E}(1_{\Sigma_{z}^{+-}}(1_{\Sigma_{z}^{+}})_{\mu,x}, 1_{\Sigma_{y}^{+}})$
$=-\mathcal{E}(P_{x}1_{\Sigma_{z}^{+}}, 1_{\Sigma_{y}^{+}})=0,$
が任意の
$\pi(z)=x$
をみたす
$z\in T$
について成立する．
この手順を繰り返すことで，
$\Sigma_{z’}^{+},\subset\Sigma_{x}^{+}$
である限り，
測度
$J(d\xi, d\eta)$
が直積測度
$\mu(d\xi)\mu(d\eta)$
に対して絶対連続となるように既存の研究では定式化され
ていたが，その密度関数が
$\eta,$$\zeta$を含む最小の枝
$\Sigma_{x}^{+}$$(すなわち \eta, \zeta\in\Sigma_{x}^{+} であり，\pi(y)=x$
ならば
$\eta\not\in\Sigma_{y}^{+}$
また
$\}$f
$\zeta\not\in\Sigma_{y}^{+}$
であることにより規定される枝
$\Sigma_{x}^{+}$)
上で定数となる関数として記述される
$arrow$も
$\vee$のと
$\}$g
$\breve{}\check{}$’
$\yen X\grave{}\grave{}$g
ず
$\grave{}$のし
$\lambda$も
$J\grave{}$’
$A\ovalbox{\tt\small REJECT}\grave{}\backslash *\theta\grave {}I\grave {}I\mathbb{R}$
4
$\delta$ら
$>^{Y}$れあて
$\epsilon$$t$
)
$\gamma,-$
と
$|\dot{f}\dot{t})\dot{x}$のな
$\not\in$t
$]$g
と
$\theta^{*}1\overline{/T\backslash }$ $\bigotimes_{\vee,\iota 1^{\vee}う}$すとで
$\epsilon$あと
$\epsilon\breve{}\check{}$.
ろ
}
$\check {}J$,
の
$\Supset$m
そ
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$の
$|$よ
$\breve{}\acute{}$g
うづな
$71\ovalbox{\tt\small REJECT}|_{\llcorner\#}き^{}\backslash , よ^{}-$り
$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{V\supset ク\check{7}\cross の}^{を\mathbb{R}\not\in す\epsilon}\backslash$
$Hunt\otimes E$
の
$Rh$
の
$f\sim$
な
$mff^{\grave{1}}\theta\#\mathbb{R}$
の
$ffl7\backslash 1\ovalbox{\tt\small REJECT}\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$あ
$\epsilon.\not\cong ff_{\backslash },1^{\backslash }\lambda\uparrow$の
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$め
#
$\not\in$のを
1
$\breve{}\check {}D\Re$も
$\grave{}$i
つ
r
$|$iyc
よ
$\epsilon$h
le
$7^{\cdot}D$う
t
$\ovalbox{\tt\small REJECT} W$な
,/#L5
のの
$(\Sigma\Re n+\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathbb{H}.E\ovalbox{\tt\small REJECT}’\cdot \mathbb{E}\mu)\downarrow$みの
E
の
$\mathfrak{B}T\acute{}$-さ
$D\grave{}$i
カ
$\theta$rl
$\supset$’si7
$\theta$cQhi
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$
1
わ
et
$\breve{}$なな
$\not\leqq\iotaarrow\check{}$?]
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$と
$\breve{}\check{}$(
を
$\mathcal{E}$と’
$\downarrow\ovalbox{\tt\small REJECT} A\acute{}\grave {}\mathcal{F}JT$
)[4
のの
]
$ffl で^{}\backslash \pi\backslash$へ
$\epsilon_{\Xi}^{-の}$
-
と
$\#\S$
の
$\ovalbox{\tt\small REJECT} E\ovalbox{\tt\small REJECT}’\cdot$よ
$\mathfrak{o}1F\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\grave{I}}\not\in$
の
$\Re\dot{x}\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT} x}_{\epsilon\ovalbox{\tt\small REJECT}}^{R}$るょでもう
のでもあるので，その示し方についてはここでは触れないこととする．
3.
各分岐点ことに与えられた
Dirichlet
形式からの
$\Sigma^{+}$上の
Dirichlet
空間の構成
$\Leftrightarrow a\lambda$
:
$\overline{T}arrow[0, \infty)$
を
$\lim_{narrow\infty}\max\{\lambda(\nu)|\nu\in N(\delta_{n})\}=0$
カ
1
みたされ
$\epsilon$よう
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$ことる．ここ
で，
$\{\delta_{n}\}I\ovalbox{\tt\small REJECT}\delta 0\in\tau_{0}\delta>$
つ，
$8B\#_{\backslash \backslash }\mathscr{X}n\ovalbox{\tt\small REJECT}$こ
$\mathfrak{A}\backslash$して
$\pi(\delta_{n})=\delta_{n+1}$
をみたす
$T$
の
ff
$g$
)
$\not\in p$
」であ
り，
$N(x)=\{x\}\cross\{1, \ldots, n(x)\}$
にょり
$\overline{T}=\bigcup_{x\in}-N(x)$
と
$\not\in$めて
$)\epsilon$
.
ここで
$iE\Re\ovalbox{\tt\small REJECT} X\#_{\backslash }\Phi$$\#f$
$\Phi_{x}=\{\varphi_{\nu}|\nu\in N(x)\}$
なる記述を許容することを
$g_{\iota 1}$
出しつつ．
$\{\varphi_{\nu}\}$
によって張られる部分空間
$E_{\nu}$
への
$L^{2}(\Sigma^{+};\mu)$
内の直交射影を
$P_{\nu}$
によって表すと
$\mathcal{E}_{x}(u, v)=\sum_{\nu\in N(x)}\lambda(\nu)(P_{\nu}u, P_{\nu}v)_{L^{2}(\Sigma^{+};\mu)},$
#ま
$L^{2}(\Sigma^{+}$
;
$H_{x}$
による
$\ovalbox{\tt\small REJECT}\mu_{\overline{/T\backslash }}$をを定もつ
$\mathfrak{g}D$#
$\breve{}\acute{}$ir
も
ic
つ
hl
$\lambda$e
$\grave{}$ft
$\pi$
%
$\grave{}$,—
次形式るで
$\check{}$あとるが．分定かる域をこ
$C$
の
$\acute{fT}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\vee}$制列限表示るを正と確
x
に述
v
へ
).
る
$IJ$
実と対任称行列
$\psi\in C_{x}$
に対して
$H_{x}^{\mu}(\begin{array}{l}|\psi|\end{array})=-(\begin{array}{l}|\varphi_{x,1}|\end{array})\lambda(x, 1)(\varphi_{x,1}, \psi)_{L^{2}(;\mu)}\Sigma^{+}-(\begin{array}{l}|\varphi_{x,2}|\end{array})\lambda(x, 2)(\varphi_{x,2}, \psi)_{L^{2}(\Sigma^{+};\mu)}$
-.
. .
$-(\begin{array}{l}|\varphi_{x,n(x)}|\end{array})\lambda(x, n(x))(\varphi_{x,n(x)}, \psi)_{L^{2}(\Sigma^{+};\mu)}$
をみたす行列
$(H_{x}^{\mu})_{x_{i},x_{j}}=((H_{x})_{xx_{j}}:,\mu(\Sigma_{x_{j}}^{+}))$
が
$H_{x}$
に左式の意味での荷重
$\mu$
を与えることによって
得られるが，この行列により
$\mathcal{E}_{x}(u, v)=-(u, H_{x}^{\mu}v)_{L^{2}(\Sigma^{+};\mu)}$
なる表示が可能となるということであ
る
ここに設定した環境下では，
$H_{x}$
}
$X \sum_{=1}^{n(x)+1}(H_{x})_{x\prime,x_{j}}\mu(\Sigma_{x_{j}}^{+})=0$
をみたす非正定値対称行列で
あることと，
$H_{x}$
は対角成分のみに負の
$a4$
をもつものであることが含意される．
この節では，いわば各分岐点ごとのランダムネスを記述する族
$\{(\mathcal{E}_{x}, C_{x})\}_{x\in T}$
に基づいて
Hunt
過程
$+ \sum_{y\in T_{n+1},\pi(y)=\delta_{n}}(\mathcal{E}_{y}(u, v)+\cdots$
(1)
$+ \sum_{y"\in T_{m-1},\pi(y")=y’}(\mathcal{E}_{y"}(u, v)+\sum_{y"’\in T_{m},\pi(y"’)=y"}\mathcal{E}_{y"’}(u, v))\cdots)$
を
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\lambda$す
$\epsilon$.
この
$x\backslash i\varphi_{\backslash -A}^{-\grave{P}f,\nearrow\pi\#f\mathcal{E}_{\delta}^{m}}(u, v)=\mathcal{E}_{\delta_{n}}^{m+1}(u, v)$
カ
$\grave{\grave{1}}u,$$v\in C^{m}(\Sigma^{+})$
$\iota$こつ
t)
て
$X2\backslash$
すると
4]
う
$g\Re$
で
$E_{\square }^{\wedge}M$
である．
Dirichlet
$\pi_{\nearrow/}g\{(\mathcal{E}_{x},\mathcal{C}_{x})\}_{x\in\tau}$
の
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$を 4 て
$R\mathbb{R}$
させた
Hunt
$\grave{)}EE$
を
$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$す
$\epsilon$た
めには
$narrow\infty$
とする必要があるが，この手続きの有効性を保障する条件を写像
$\lambda$と測度
$\mu$
にょって
分かりやすく与えるために，以下の式にょつて与えられる関数族
$\{I^{(m)}\}_{m\in \mathbb{Z}}$
を導入する
:
$I^{(m)}(y, z)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}((H_{[y,z]})_{y,z}-\sum_{i=1^{\overline{\lambda}(\pi^{:}([y,z]))(\frac{1}{\mu(\Sigma_{\pi^{i-1}([y,z|)}^{+})}-\frac{1}{\mu(\Sigma^{+})\pi^{i}([y,z])}))}}^{\infty} if y, z\in T_{m+1},\frac{1}{2}(\frac{\overline{\lambda}([y,z])}{\mu(\Sigma_{[y,z]}^{+})}-\sum_{i=1}^{\infty}\overline{\lambda}(\pi^{i}([y,z]))(\frac{1}{\mu(\Sigma^{+}),\pi^{i-1}([y,z])}-\frac{1}{\mu(\Sigma^{+}),\pi^{i}([y,z])})) if y, z\in T_{m+\ell}for some \ell\leq 0,0\end{array}$
otherwise
ここで，
$[y, z]$
は
$\Sigma_{y}^{+},$$\Sigma_{z}^{+}\subset\Sigma_{x}^{+}$
をみたす最小の枝
$\Sigma_{x}^{+}$を定める
$x$
,
すなわちこの包含関係をみたし，
$\pi(w)=x$
なる
$w$
については
$\Sigma_{y}^{+},$$\Sigma_{z}^{+}\subset\Sigma_{w}^{+}$
とはならないような
$x\in T$
として定義されている．以下
でと
$\ovalbox{\tt\small REJECT} f,$こして
,
$\epsilon$れ
y
$\grave{}$z
らのの
$\pi\ovalbox{\tt\small REJECT}$j
$\delta\grave{\grave{\supset}}|\supset$ずれも
$\downarrow R\ovalbox{\tt\small REJECT}*$
の
$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathscr{X}\ovalbox{\tt\small REJECT} f\mathcal{D}_{T}$
$し^{}=,$
{
$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{x_{の}y}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{を R ら}^{\in T\cross}$な
TVl,
$\pi$
よ
(x
う
)#
$\llcorner\check{}$–
$\not\in\pi$ま
(y
っ
),
て
x
$t)\neq$
る
y}
とで
$\varpi\not\in\not\in\ovalbox{\tt\small REJECT}$すさるれ．
$L^{\backslash }AT$て
)
のる
$arrow\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\wedge}$も
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$の
展開の中でこの条件記述に間接的な関ゎりをみせる Dirichlet
形式
$\sum_{\nu\in N(x)}\overline{\lambda}(x)(P_{\nu}u, P_{\nu}v)_{L^{2}(\Sigma^{+};\mu)}$
を
$\overline{\lambda}(x)=\max_{\nu\in N(x)}\lambda(\nu)$
にょって定まるものとして同時並行的に導入し，それを
$\overline{\mathcal{E}}_{x}(u, v)$
にょっ
て表す．これに対応する形でさらに
$\mathcal{D}_{T}$で定義された関数列の族
$\{I_{k}^{(m)}|m\in \mathbb{Z}, k=1,2, \cdots\}$
を
$I_{k}^{(m)}(y, z)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}((H_{[y,z]})_{y,z}-\sum_{i=1}^{k}\overline{\lambda}(\pi^{i}([y,z]))(\frac{1}{\mu(\Sigma_{\pi^{i-1}([y,z])}^{+})}-\frac{1}{\mu(\Sigma_{\pi^{i}([y,z])}^{+})})) if y, z\in T_{m+1},\frac{1}{2}(\frac{\overline{\lambda}([y,z])}{\mu(\Sigma_{[y,z]}^{+})}-\sum_{i=1}^{k}\overline{\lambda}(\pi^{i}([y,z]))(\frac{1}{\mu(\Sigma^{+}),\pi^{i-1}([y,z])}-\frac{1}{\mu(\Sigma_{\pi^{i}([y,z])}^{+})})) if y, z\in T_{m+\ell} forsome 1-k\leq\ell\leq 0,0\end{array}$
otherwise
によって定めると，上に課した
$I^{(m)}$
に関する非負実数値条件のもとではこれも非負値間数列の族と
$t$
ることがわかる．
最初に，個々の
$\mathcal{E}_{\delta_{n}}^{m}$が
Dirichlet
形式であることを検証するために，
Proposition
1 の
(1)
がら
(3)
の条件を
$\mathcal{E}_{x}$の代わりに
$\mathcal{E}_{\delta_{n}}^{m}$に置き換えて示す必要がある．
(1)
につぃては，対称
$=$
次形式の値が
$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\vec{\prime}}n\ovalbox{\tt\small REJECT}\#-^{J}|*$
カ
$\grave{\grave{>}}$
あ
$\epsilon\ovalbox{\tt\small REJECT}\iota_{\llcorner}^{\vee}$する
$\dot{\epsilon}.$と
$->$
と
$を_{}\overline{/T\backslash }\llcorner$すろ
)
$A$
で
$\grave{}\backslash$ $\ovalbox{\tt\small REJECT},$ $\hslash\grave{\grave{\}}}$あ
$\epsilon(3)$
を
$\overline{\nearrow T\backslash }$すそ
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$れ
$\grave{}$
$t’\cdot\#X\acute{\uparrow\tau}F^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}J\ovalbox{\tt\smallREJECT}$
して
$\ovalbox{\tt\small REJECT} X$$(H_{[y,z]})_{y,z}$
の
$X\grave{}\iota$g
$\Re\partial$
を
$\mathfrak{N}$う
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$と
ff
せて，
$A_{\vec{\hat{\vec{\mathfrak{o}}}}}^{-}B\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathscr{X}F^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}J$#こ
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$す
$\epsilon\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathscr{X}$の
$y=z$
#こ
$r_{\backslash }\backslash \ovalbox{\tt\small REJECT}$}
$\epsilon\ovalbox{\tt\small REJECT}$を
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$う，
$X\grave{}\backslash \not\cong$カ
$\grave{\grave{>}}$でてくる
1 色
$\Sigma$を
$\Re \mathbb{L}$
に
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$れる
$8ffl\#f[y, z]$
にのみ
$\alpha$
#
し，
$[y, z]=\pi()=\pi$
る異なる
$y,$
$z$
の取り方に依存しない．このことは，
まさに後の出の
Remark
で扱う
$\beta_{FX\backslash i\S k^{z}A_{\theta\grave{\grave{>}}\lceil\overline{\iota r}]\ovalbox{\tt\small REJECT}}^{を\not\cong\underline{\ovalbox{\tt\small REJECT}}す}}$であるよ
$\prime$)
な行列の対角成分の値設定と合致した扱い方をすれば解決することを示している．これは
注意深い考察により
[4]
からの咀明も可能な事柄であるため，ここからは
(2) を示すための芳法の概
異なる
$\Sigma^{+}$の点の組
$\eta,$
$\zeta$に対し，
$T$
の異なる点の組
$(y, z)$
で
$\eta\in\Sigma_{y}^{+},$
$\zeta\in\Sigma_{z}^{+},$
$\pi(y)=\pi(z)$
なるもの
を
$\Pi(\eta, \zeta)$
と記す．
このとき，
$u,$
$v\in C_{\pi(x)}^{x}$
に対して
$F_{1}^{(u,v)}( \eta, \zeta)=\frac{1}{2}(H_{[\Pi(\eta,\zeta)]}(\Pi(\eta, \zeta))-(\frac{\overline{\lambda}(\pi([y,z]))}{\mu(\Sigma_{[y,z]}^{+})}-\frac{\overline{\lambda}(\pi([y,z]))}{\mu(\Sigma_{\pi([y,z])}^{+})}))(u(\eta)-u(\zeta))(v(\eta)-v(\zeta))$
.
とおく．この関数の有効性を
$x\in T_{0}$
を選びつつ一言で言うと，
$F_{1}^{(u,v)}(\eta, \zeta)=I_{1}^{(0)}(\Pi(\eta, \zeta))(u(\eta)-$
$u(\zeta))(v(\eta)-v(\zeta))$
とおくことにより，
$\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}$に関する
(2)
の検証のために関数
$I_{1}^{(0)}$
の非負性を生か
すことができるのである．実際，最初に対称二次形式
$\tilde{\mathcal{E}}_{\pi(x)}^{x}(u, v)=\mathcal{E}_{x}(u, v)+\overline{\mathcal{E}}_{\pi(x)}(u, v)$
について
の表現
$\tilde{\mathcal{E}}_{\pi(x)}^{x}(u, v)=\int_{\Sigma_{\pi(x)}^{+}}\int_{\Sigma_{\pi\langle x)}^{+}}F_{1}^{(u,v)}(\eta, \zeta)\mu(d\eta)\mu(d\zeta)$
が得られることに注目できる．この等式自体は，
$\int\int_{\Sigma_{x}^{+}\cross(\Sigma_{\pi(x)}^{+}\backslash \Sigma_{x}^{+})}F_{1}^{(\varphi_{\nu},v)}(\xi, \eta)\mu(d\xi)\mu(d\eta)=\frac{1}{2}\sum_{(y\in S+\pi(x))\backslash \{x\}}\frac{\overline{\lambda}([x,y])}{\mu(\Sigma_{[x,y]}^{+})}(\varphi_{\nu}, v)_{L^{2}(\Sigma^{+};\mu)}\mu(\Sigma_{y}^{+})$
$= \frac{1}{2}(\overline{\lambda}(\pi(x))-\frac{\overline{\lambda}(\pi(x))}{\mu(\Sigma_{\pi(x)}^{+})}\mu(\Sigma_{x}^{+}))(\varphi_{\nu}, v)_{L^{2}(\Sigma^{+};\mu)}$
が任意の
$\varphi_{\nu}\in\Phi_{x}$
について言えることなどからわかる．
$\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}$に関する
(2)
の検証に話を戻
すと，異なる
$T$
の点
$z,$
$z’$
で
$\pi(z)=\pi(z’)=x$
を満たすものについては，
$I_{1}^{(0)}$
の非負性より
$\tilde{\mathcal{E}}_{\pi(x)}^{x}(1_{\Sigma_{z}^{+}}, 1_{\Sigma}+z’)\leq 0$
であるが，この不等式と
$\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}(u, v)=\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}(u-(u)_{\mu,x}+(u)_{\mu,x}, v-(v)_{\mu,x}+(v)_{\mu,x})$
$=\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}(u-(u)_{\mu,x}, v-(v)_{\mu,x})+\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}(u-(u)_{\mu,x}, (v)_{\mu,x})$
$+\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}(v-(v)_{\mu,x}, (u)_{\mu,x})+\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}((u)_{\mu,x}, (v)_{\mu,x})$
$=\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}((u)_{\mu,x}, (v)_{\mu,x})+\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}(u-(u)_{\mu,x}, v-(v)_{\mu,x})$
$=\mathcal{E}_{\pi(x)}((u)_{\mu,x}, (v)_{\mu,x})+\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}(u-(u)_{\mu,x}, v-(v)_{\mu,x})$
$=\mathcal{E}_{\pi(x)}((u)_{\mu,x}, (v)_{\mu,x})+\mathcal{E}_{x}(u, v)$
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$
こおいて
$u=1_{\Sigma_{z}^{+}},$ $v=1_{\Sigma_{z}^{+}}$
,
とおいて得られる式との組み合わせにより
$\mathcal{E}_{\pi(x)}^{x}(1_{\Sigma_{z}^{+}}, 1_{\Sigma^{+}})z’\leq$
$\overline{\mathcal{E}}_{\pi(x)}((1_{\Sigma_{z}^{+}})_{\mu,x}, (1_{\Sigma_{z}^{+}},$
$)_{\mu,x})+\mathcal{E}_{x}(1_{\Sigma_{z}^{+}}, 1_{\Sigma_{z}^{+}},)=\tilde{\mathcal{E}}_{\pi(x)}^{x}(1_{\Sigma_{z}^{+}}, 1_{\Sigma_{z}^{+}},$
$)\leq 0$
が導かれるのである．記号
$(u)_{\mu,x}$
については引き続き
$($ – $\mu$(
$\Sigma$lx
$+$
)
$\int\Sigma$
x
$+$
u
$(\eta$
$)$$\mu$
(d
$\eta$)
$)$l
$\Sigma$
よを表すために用いているが，上述の議論では，
$u\in C_{x}$
に対して
$P_{x}u=u-(u)_{\mu,x}$
Remark.
[4]
においては，各
$x\in T$
について，行列
$(H_{[y,x]})_{y,z}$
が
$\pi(y)=\pi(z)=x$ をみた
す異なる
$y,$
$z$
に対して
$(H_{[y,x]})_{y,z}= \frac{\lambda(x)}{(\Sigma^{+})}$
にょって与えられる場合が扱ゎれてぃるが，こ
れは我
$*\vee$の設定と整合的であることを
$\mu\Rearrow\Re\hat{}arrow$x
することができる．これは一般的にも同様に検証
できることなので，ここでは
$\mu(\Sigma_{x}^{+})=1$
がみたされ，かつ
$\pi^{-1}(\{x\})$
が
3
点集合
$\{y, z, w\}$
と
なる特別な場合の検証方法を述べる．正の実数
$\alpha=\mu(\Sigma^{+}),$ $\beta=\mu(\Sigma^{+}),$ $\gamma=\mu(\Sigma^{+})$
を
$\ovalbox{\tt\small REJECT}\lambda$し，ベクトルの成分を
$y,$
$z,$ $w$
に対応する順番で上がら書き並べることにすると
$\varphi_{x,1^{w}}=\varphi_{x}=$
$\frac{1}{\sqrt{\alpha(\beta+\gamma)}}(\begin{array}{l}\beta+\gamma-\alpha-\alpha\end{array}),$$\varphi_{x,2}=\frac{1}{\sqrt{(\beta+\gamma)\beta\gamma}}(\begin{array}{l}0-\gamma\beta\end{array})$
を
$C_{0,x}$
の基底としてとることができるが，後
者のベクトルは
$\varphi_{2}=\frac{1}{\sqrt{\beta(\alpha+\gamma)}}(\begin{array}{l}-\beta\alpha+\gamma-\beta\end{array}),$
$\varphi_{3}=\frac{1}{\sqrt{\gamma(\alpha+\beta)}}(\begin{array}{l}-\gamma-\gamma\beta+\alpha\end{array})$
の一次結合で表され
る．行列
$H_{x}=\lambda(x)(\begin{array}{lll}- 1 11 - 11 1 -\end{array})$
につぃては直接計算にょり
$H_{x}^{\mu}\varphi_{i}=\lambda(x)\varphi_{i}(i=1,2,3)\theta\grave{\grave{1}};\Re z\}$
す
$\epsilon$こと
$f_{J^{1}}$ら
$H_{x}^{\mu}(\begin{array}{l}|\psi|\end{array})=-(\begin{array}{l}|\varphi_{x,1}|\end{array})\lambda(x)(\varphi_{x,1}, \psi)_{L^{2}(;\mu)}\Sigma+-(\begin{array}{l}|\varphi_{x,2}|\end{array})\lambda(x)(\varphi_{x,2}, \psi)_{L^{2}(\Sigma^{+};\mu)}$
$\delta\grave{\grave{>}}\not\in\ovalbox{\tt\small REJECT}$
の
$\psi\in C_{x}\iota^{\vee}$
. つ
$V\supset$て
$\Re$
-$\infty\grave{}\angle$
すること
$\theta\grave{\grave{>}}\ovalbox{\tt\small REJECT}\hslash>$れる．
次の主張では，記号
$(u)_{\mu,x}$
で再び
$( \frac{1}{\mu(\Sigma_{x}^{+})}\int_{\Sigma_{x}^{+}}u(\eta)\mu(d\eta))$
を表すことにする．
Theorem 3.
$\{I^{(m)}\}_{m\in \mathbb{Z}}$
に属する各関数が非負実数値をとるものとして定まるならば，正則な
$L(\Sigma^{+};\mu)$
上の
Dirichlet
空間
$(\mathcal{E}, \mathcal{F})$が各
$x\in T$
に対して
$\mathcal{E}_{x}(u, v)=\mathcal{E}(u, v)-(u)_{\mu,x}(v)_{\mu,x}\mathcal{E}(1_{\Sigma_{x}^{+}}, 1_{\Sigma_{x}^{+}})$
なる性質が備わるものとして構成される．ただし，上記条件に於いて
$u,$
$vl$
よ
$C_{x}$
の任意の要素である．
$\overline{\mathcal{E}}_{\delta_{n}}^{m}(u, v)=\overline{\mathcal{E}}_{\delta_{n}}(u, v)$
$+ \sum_{y\in T_{n+1},\pi(y)=\delta_{n}}(\overline{\mathcal{E}}_{y}(u, v)+\cdots$
(2)
に対して，
$\lim_{narrow\infty}\overline{\mathcal{E}}_{\delta_{n}}^{m}(1_{\Sigma_{x}^{+}},1_{\Sigma_{x}^{+}})<\infty$
が導かれれば良い．このために
$k=n+m$
とおき，
$\overline{I}_{k}^{(m)}(y, z)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}(^{\Delta_{\Sigma_{[y}}}\overline{\lambda}\lfloor y,\neq_{z)}^{z})-\sum_{i=1}^{k}\overline{\lambda}(\pi^{i}([y,z]))(\frac{1}{\mu(\Sigma_{\pi^{l-1}([y,z])}^{+})}-\frac{1}{\mu(\Sigma^{+}),\pi:(1y,zJ)})) if y, z\in T_{m+1},\frac{1}{2}(_{\mu()}^{\overline{\lrcorner}_{\mp}\lrcorner zL}\lambda(\Sigma_{ly,z1}y,-\sum_{i=1}^{k-\ell-1}\overline{\lambda}(\pi^{i}([y,z]))(\frac{1}{\mu(\Sigma^{+}-1),\pi:([y,z])}-\frac{1}{\mu(\Sigma^{+}),\pi^{l}((y,zJ)})) if y,z\in T_{m+\ell} forsome 1-k\leq\ell\leq 0,0 otherwise\end{array}$
を用いて，
$\overline{F}_{k}^{(u,v)}(\eta, \zeta)=\overline{I}_{k}^{(m)}(\Pi(\eta, \zeta)(u(\eta)-u(\zeta))(v(\eta)-v(\zeta))$
と定めれば，このとき，
$\overline{\mathcal{E}}_{\delta_{n}}^{m}(1_{\Sigma_{x}^{+}}, 1_{\Sigma_{x}^{+}})=2\sum_{i=1}^{k}\int\int_{\Sigma_{x}^{+}\cross(\Sigma_{\pi^{*}(x)}^{+}\backslash \Sigma_{\pi^{l-1_{(x)}}}^{+})}\overline{F}_{k}^{(1_{\Sigma_{x}},1_{\Sigma_{x}})}(\xi, \eta)\mu(d\xi)\mu(d\eta)++$
$= \mu(\Sigma_{x}^{+})\{\frac{\overline{\lambda}(\pi(x))}{\mu(\Sigma_{\pi(x)}^{+})}+\sum_{\ell=2}^{k}\overline{\lambda}(\pi^{\ell}(x))(\frac{1}{\mu(\Sigma_{\pi^{\ell-1}(x)}^{+})}-\frac{1}{\mu(\Sigma_{\pi^{\ell}(x)}^{+})})\}$
である．これらの考察により，
$I^{(m)}$
が実数値関数であることから
$\lim_{narrow\infty}\overline{\mathcal{E}}_{\delta_{n}}^{m}(1_{\Sigma_{x}^{+}},1_{\Sigma_{x}^{+}})<\infty$
が導
敲も
$XE$
と
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$な
$\mathfrak{k}$
軸綿に
$\mp$
$\ovalbox{\tt\small REJECT}\Leftrightarrow\Re\pi$]
轟鼎
)#j
鎌
$\tilde{}\grave{}\Re\Phi$
で
$\subset$の
$\mathcal{F}\ovalbox{\tt\small REJECT}$n
ぷ
$\Re\epsilon$わ
$\gamma\breve{}*$っめそ礫難
困難ではない
口
Example.
各頂点
$x$
に単一の固有値
$\overline{\lambda}(x)$のみが付随し，
$\mathcal{D}_{T}$上の関数
$\frac{1}{2}(\frac{\overline{\lambda}([y,z])}{\mu(\Sigma_{[y,z]}^{+})}-\sum_{i=1}^{\infty}\overline{\lambda}(\pi^{:}([y,z]))(\frac{1}{\mu(\Sigma^{+}),\pi^{l-1}(|y,zJ)}-\frac{1}{\mu(\Sigma^{+}),\pi^{l}(|y,z|)}))$
$\mathscr{X}$カ
$\iota\breve{}\check{}$l
$\not\equiv$j
を
$E\ovalbox{\tt\small REJECT}\Re$の
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$てされ
$V$を
)
$\epsilon\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\square }^{A}\epsilon\Re\Re$
と
$\epsilon\ovalbox{\tt\small REJECT}$カ
$A$
と
$\square$l
$\grave{}\grave{}$あしをて
$\epsilon\yen$ffi
$\lambda$え
$\overline{\epsilon}\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow\vee\vee\epsilon$
で
$\check{}\yen\theta$c
れ
$\supset\theta$a
で
$\ovalbox{\tt\small REJECT} X$さき
$\lambda$-れ
$\epsilon$(x.
て
)
$\theta’\overline{\lambda}\iota_{\vee , そ-}^{1})\epsilon\ovalbox{\tt\small REJECT}$で
x
$)A,\square >\epsilon|$f-$\lambda$
Ex(
$\pi H\in$,
$\grave{}$(xTx))#
$|\breve{}\acute{}\breve{}\acute{}$を
$\grave{}\grave{}$g5
8
$\Re$
x
すさ
$\in$れる
Taf
$\breve{}\tilde{}$ $\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\breve{}\check{}$お
$\Re$
の
$\iota$の
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$l
てみ
$r_{\dot{の^{}\wedge}}g\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}^{f\underline{ま}}}^{\dot{\theta\dot{>}}}\prime$
すと
つ
f
$\breve{}\acute{}$き
な
$と^{}\backslash \ovalbox{\tt\small REJECT}’\cdot T^{\backslash }$
