村田省三 Hamilton ＝ Slutsky (1990)定理5の証明

(1)

《研究ノート》

Hamilton ＝ Slutsky (1990)定理 5 の証明

村田省三

Abstract

In this paper we consider the location and the curvature of isoprofit curve in duopoly games under some conditions on derivatives of profit functions. If profit functions of both firms are twice continuously differentiable and some other second order conditions over delivatives are fully satisfied, theorem 5 in Hamilton=Sltsky(1990) is still to be valid. Amir condition is not sufficient for the proof of therem 5．

Keywords: Amir Condition,Convexity of equiprofit curve,best reply curve,Cournot=Nash Equilibria

１はじめに

複占ゲームにおける手番形成問題については，

Hamilton

=

Slutsky

(1990) (以下では

H

＆

S

と略記する) による補題１から定理５にもとづき，一応の解答が与えられた。定理５では，両企業の最適反応曲線の傾きとパレート優位集合の位置関係によって各種の類別を示して，その類別ごとに起こりうるゲーム均衡を特定している。ところが，この定理５について，

Amir

(1995) (以下では

Amir

と略記する) による反例が提示された。また，利潤関数が相手戦略について単調であれば定理５は無矛盾であること（以下では

Amir

条件という）を示唆した。本稿では，

Amir

条件の効果を確認して，定理５

(2)

が無矛盾となるための十分条件を提示する。

２定理５

2.1 定理５の概要

定理５(

A

)：両企業の利潤関数は，ともに，自己の戦略について狭義準凹関数であるとする。また，同時手番均衡とシュタッケルベルグ均衡は（どちらの企業が先手であるとしても）純戦略で一意に存在しており，かつ相互に異なっているものとする^*1。このとき，最適反応曲線（連続）の傾きの符号が同一であれば，(1)どちらの最適反応曲線も（同時手番均衡にたいする）

パレート優位集合との交点をもたないときは同時手番がゲーム均衡になる。

(2)どちらの最適反応曲線も（同時手番均衡にたいする）パレート優位集合に入るときは多数のゲーム均衡がある。

(証明）同時手番の均衡は，両企業の最適反応曲線の交点で与えられるが，

この点よりパレート優位である領域（パレート優位集合）は，この交点を通過する両企業の等利潤線で囲まれる部分になる。ところで，この等利潤線は，

最適反応曲線を通過するとき，自己の戦略軸（横軸あるいは縦軸）にたいして平行となる性質があるから，結局，クールノー=ナッシュ均衡点を原点とする直交座標系を考えることができ，問題のパレート優位集合はこの直交座標系の４つの象限のいずれかひとつのみに完全に含まれることになる。したがって，かりに最適反応曲線がともに右下がりで，しかも，問題のパレート優位集合がこの直交座標系の第１象限あるいは第３象限にあるとすれば，両企業の最適反応曲線はパレート優位集合と接触することはない。一方，問題のパレート優位集合がこの直交座標系の第２象限あるいは第４象限にあるとすれば，両企業の最適反応曲線はパレート優位集合のなかを通過することに

*1 定理５の仮定が何であるかについて，かならずしも明確に記述されてはいないが，同論文の全体を通じての仮定群を想定することとして，定理５のなかに要約的に収録した。

(3)

なる。(証明終）

2.2 定理５の再証明

本節では，等利潤線の凹凸形状を確認する^*2。この確認ができれば，

H

＆

S

が想定していた状況であるかどうかが判定でき，定理５の主張は無矛盾となるかどうかを指摘できる^*3。これにより，

H

＆

S

定理５が成立しうるひとつの十分条件をあたえる補題１を提示する。そのなかで，

Amir

条件の効果が確認される。補題１では，まず，証明第１段で∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＜0 かつ

（∂²π(

x

,

y

)

∂

y

² ＞0)の場合，次に∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＜0 かつ（∂²π(

x

,

y

)

∂

y

² ＝0)の場合，次に証明第２段で（∂²π(

x

,

y

)

∂

y

² ＞ 0 ) かつ（∂²π(

x

,

y

)

∂

y

² ＞ 0 ) の場合，次に，

（∂²π(

x

,

y

)

∂

y

² ＞0)かつ(∂²π(

x

,

y

)

∂

y

² ＝0)の場合を検討して，等利潤線の凹凸形状を確認する^*4。

補題１ある企業の利潤関数π(

x

,

y

)は，(

x

,

y

)∈

R

²で定義された２回連続微分可能関数で，

R

²の全領域において以下の条件(1)，(2)および(3)を満たすものとする。ここで，自企業の戦略変数は第１変数(

x

)であり，相手戦略

*2 凸性の確認は，微分可能関数の場合，２次微分の符号判定によっておこなわれ，２×

２のヘッセ行列（∇²π(x,y)）が正定値行列であるかどうかを判定するのが常態である。

しかし，たとえば本稿の図６のようなグラフをもつ利潤関数では，関数の定義域を第１象限（正値領域）に限定できたとしても，なおエピグラフの凸性は成立しないことに注意すべきである。

*3 補題１での条件を前提とすれば，H＆S(1990)定理５の証明は無矛盾となる。この他，

πxx＜0,πxy＜0,πyy＞0 という符号条件を，補題１より緩め，πx＝0 近傍で成立すればよいという条件に緩和しても，定理５証明は無矛盾になる。ただ，この場合，全域的な等利潤線形状確定は困難になる。

*4 凸性の確認は，微分可能関数の場合，２次微分の符号判定によっておこなわれ，２×

２のヘッセ行列（∇²π(x,y)）が正定値行列であるかどうかを判定するのが常態である。

しかし，たとえば外部経済タイプの利潤関数では，関数の定義域を第１象限（正値領域）

に限定できたとしても，なおエピグラフの凸性は成立しないことに注意すべきである。

(4)

変数は

y

である。

∂²π(

x

,

y

)

∂

x

² ＝

Const

＜0 (1)

∂²π(

x

,

y

)

∂

y

² ＝

Const

≧0 (2)

∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＝

Const

≠0 (3)

また，

∂π(

x

,

y

)

∂

x

＝0

∂π(

x

,

y

)

∂

y

＝0

を満たす(

x

,

y

)∈

R

²は各々ひとつの曲線を形成するものとし，交点は一意(

x

₀,

y

₀)であるとする。また，πx＝0 およびπy＝0 曲線のグラフは，任意の

x

∈

R

あるいは任意の

y

∈

R

にたいして存在するものとする。このとき，すべての等利潤線のグラフは，２本のπ＝πmin直線によって区分される

R

²の４領域いずれかひとつに完全に含まれ，πx＝0 ,πy＝0 曲線およびπ＝πmin直線で区分される各領域（最大８領域^*5）での等利潤線の凹凸を確定できる。なお，

(

x

₀,

y

₀)を通過する等利潤線は直線になる。この４領域のうち，πy＝0 ラインが通過しない領域（境界は含まない）において定義されたゲームは，(Amir 条件)^*6を満たしている。

証明証明の第１段 (１)〈∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＜0，∂²π(

x

,

y

)

∂

y

² ＞0,の場合〉

仮定により，πx＝0 は右下がりであり，πy＝0 は右上がりになる。この交点(

x

₀,

y

₀)では，仮定により，利潤は最適反応曲線（πx＝0 )上における最小

*5 凹凸変更ライン（πy＝0）が垂直となる場合，凹凸変更ライン（πy＝0）とπ＝πminラインは，しばしば一致する。

*6 Amir条件は，ある前提条件のもとで，以下の２条件と同値であることを証明できる。

(1) 自己の最適反応曲線上で利潤が単調である。

(2) 等利潤線の凹凸が逆転しない。

(5)

値(πmin)をとる。これには各種の証明が可能だが，たとえばπyy＞0から，πy

＝0 曲線より上側（縦軸を

y

とする）ではπy＞0が，下側ではπy＜0が成立することから証明できる。したがって，同交点から最適反応曲線上を遠ざかれば，利潤は単調に増加する。

仮定とπminの性質より，等利潤線(π＝πmin)は，最適反応曲線の両側に各々１本だけ存在する。また，２本のπ＝πmin曲線はπx＝0,πy＝0 の交点において交差する。

このとき，右上がりのπy＝0 曲線が，通過すべき領域が決まる。πy＝0 曲線はふたつのπmin曲線の中間を通過する。しかし，２本のπ＝πmin曲線によって４分される領域のうち，最適反応曲線が通過する領域を通過しない。

ところで，πx＝0 およびπy＝0 曲線の近傍での，局所的な，等利潤線凹凸は確定する。判定は，等利潤線上での微分より得られる，以下の１次導関数

（

y

′＝

dy

dx

）および２次導関数（

y

＝

d

²

y

dx

²）から可能である^*7。

y

′＝πx

−πy

y

＝πxx(πy)²−2πxyπxπy＋πyy(πx)²

−(πy)³

ところで，直線

y

＝

ax

＋

b

上での利潤関数の２次微係数は，πxx＋2πxy(

a

)

＋πyy(

a

)²であり，

πxx＋2πxy(

a

)＋πyy(

a

)²＝0 (4) となる

a

は，仮定によりたかだか２個である。この（4）によって決まる

a

の方向では利潤関数２次微係数は常にゼロであり，利潤関数１次微係数は一定となる。また，

a

以外の方向では，利潤関数２次微係数はゼロにならない。したがって，あらゆる等利潤線上では，凸から凹への（または逆の）形

*7 上を検討する場合には，以下の形式が有用である。

dx dy＝πy

πx

d²x

dx²＝πyy(πx)²−2πxyπxπy＋πxx(πy)²

−(πx)³

(6)

状変化は起こらない。仮に，等利潤線の凹凸形状に逆転変化が起こったとすると，その適当な近傍で，傾きが

a

以外の方向での切断面を考えれば，ただちに矛盾を導ける。すると，あらゆる等利潤線凹凸は逆転しないことが分かる。

一方，等利潤線πminによって４分されている各領域内部にある等利潤線は，別領域にまたがることはない。したがって，交点(

x

₀,

y

₀)からスタートして，

a

方向へ移動するとき，利潤関数（２次微係数ゼロ）は，狭義単調増加もしくは狭義単調減少となることはできず，定数値となる。というのは，

単調増加とすると，これと同一の傾き（

a

）であればいたるところ単調増加となり，矛盾である^*8。単調減少を仮定しても同様に矛盾する。かくして，

交点(

x

₀,

y

₀)からスタートして，

a

方向へ移動するとき，利潤は一定であり，

ひとつの等利潤線を形成する。つまり，この方向では，π＝πminは直線である。

証明の第１段 (２)〈∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＜0，∂²π(

x

,

y

)

∂

y

² ＝0 の場合〉

この場合，補題の仮定により，πy＝0 曲線は，横軸に垂直な直線以外ではありえない。垂直でなければ，πy＝0 曲線より下（または上）領域でπy＝ 0 になるはずであるが，同時に別の仮定（πxy＜0）によれば，その領域でπy

＜0となり矛盾するからである。

仮定πyy＝0 より，この垂直なπy＝0 曲線上では利潤一定であり，これがひとつの等利潤線π＝πminとなる。もう一方の等利潤線π＝πminについては，

（4）より方向（

a

）が決まる。

その他は，第１段の証明方法と同様である。したがって，各領域での等利潤線凹凸が確定する。

証明の第２段 (１)〈∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＞0，∂²π(

x

,

y

)

∂

y

² ＞0,の場合〉

*8 例えば，π(x, y)＝(10−2(x＋y))x−2x の場合，この傾き（a）はa＝−1 である。このとき，直線y＝−x＋b上（bは定数）における，利潤関数は，π(x, y)＝(8−2b)x となる。

b＝４で，利潤は定数値（ゼロ）となる。

(7)

仮定により，πx＝0 は右上がりであり，πy＝0 は右下がりになる。この点が証明第１段(1)と異なる。また，πx＝0,πy＝0 の交点において交差する2本の等利潤線（π＝πmin）は，最適反応曲線（πx＝0 ）の左右両側に各々1本があり，πy＝0 曲線の上下両側に各々１本通過している。その他の証明方法は形式的に同様である。

証明の第２段 (２)〈∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＞0，∂²π(

x

,

y

)

∂

y

² ＝0 の場合〉

この場合も，πy＝0 曲線は，横軸に垂直な直線になる。垂直でなければ，

πy＝0 曲線より下（または上）領域でπy＝0 になるはずだが，別の仮定（πxy

＞0）によれば，その領域でπy＞0 となるためである。以下の証明は，形式的に第１段と同様である。

なお，命題の後半（

Amir

条件）の成立は，証明するまでもなく自明。■

定理５を証明しうる可能性のある符号の組合せとしては，以下の４つがある。ただし，後半の二つは経済学的な理由から排除されるであろう。

∂²π

∂

x

²＜0，∂²π

∂

y

²≧0 および∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＜0 右下がり最適反応曲線(補題１)

∂²π

∂

x

²＜0，∂²π

∂

y

²≧0 および∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＞0 右上がり最適反応曲線(補題１)

∂²π

∂

x

²＞0，∂²π

∂

y

²＜0 および∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＜0 右上がり最適反応曲線

∂²π

∂

x

²＞0，∂²π

∂

y

²＜0 および∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＞0 右下がり最適反応曲線

Amir

条件は，最適反応曲線上（πx＝0）近傍において等利潤線凹凸が不変であることを主張している。

定理２補題１の条件が成立しているとする。このとき，２本の等利潤線π1

＝π1minによる

R

²の４区分領域のうちのひとつと，同様に２本の等利潤線 π2＝π2minによる

R

² の４区分領域のひとつの，共通領域で定義されたゲームが，その領域内部にクールノー=ナッシュ均衡点および２種類のシュタッ

(8)

ケルベルグ均衡点をすべて含むならば，そのゲームについては

Hamilton

=

Slutsky

(1990) 定理５が成立する^*9。あるいは，両企業にとって，相手戦略に関する偏微係数がゼロとならないような共通領域で定義されたゲームが，

その領域内部にクールノー=ナッシュ均衡点および２種類のシュタッケルベルグ均衡点をすべて含むならば，をもつならば，そのゲームについては

Hamilton

=

Slutsky

(1990) 定理５が成立する。

証明補題１および

Hamilton

=

Slutsky

(1990) 定理５の証明により自明 ■

補題の前提のうち，二つの曲線（∂π

∂

x

＝0 および∂π

∂

y

＝0）の交点一意性は分析単純化のためである^*10。一方，（∂²π

∂

x

²＜0）という前提は，利潤最大化問題が可解であるという方向からの要請である。これにたいして，２番目の前提（∂²π

∂

y

²＞0）は，これ単独では当然の仮定とはいえない。ただし，ふたつの条件（∂²π

∂

x

²＜0 および∂²π

∂

y

²＜0）の同時成立は円形等利潤線の場合をその典型として，

H

＆

S

定理５にとっての矛盾を引き起こしやすいため，除外しなければならない^*11。なお，∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

の正負については，負値を前提したが，正値でも補題１の証明手順そのものに相違はない。最適反応曲線

*9 Amir反例および外部経済反例については，自己の最適反応曲線上での利潤単調性によっても除外することができている。

なお，補題条件が満たされれば，π＝πmin以外のすべての等利潤線は，方向（a）の直線と一度出会えば，その後ふたたび出会うことはない。

*10 これら２曲線が複数の交点をもつ場合には，相手戦略についての単調性条件を満たす領域についての分類が煩雑になる。ここでいう単調性条件とは，Amir条件のことである。

*11 この補題における前提の必要性については，たとえば，∂²π(x,y)

∂x² ＜0 かつ∂²π(x,y)

∂y²

＜0 の組合せを仮定する場合には，次のような利潤関数を排除できないことに注意すべきである。

π(x, y)＝−x²−y²＋α

ゲームの定義域を第1 象限（軸上を含む）とすれば，この利潤関数はAmir条件を満たすが，このような利潤関数の特質こそがAmir反例の本質であって，多少の係数変更等によって，容易にH＆S(1990)定理５に矛盾を引き起こすことを確認できる。

なお，∂²π

∂y²＝0 の場合，曲線（∂π

∂y＝0）は，横軸に垂直な直線になる。通常の数量戦略複占ゲームのケースである。

(9)

（∂π

∂

x

＝0）が右上がりであれば，∂²π(

x

,

y

)

∂

x

∂

y

＞0 となるが，これは価格戦略ゲームでは特徴的なものである。なお，πxx＜を前提とするとき，

Amir

条件は，最適反応曲線上（πx＝0）近傍において等利潤線凹凸が不変であることを主張している。

３おわりに

本稿では，

Hamilton

=

Slutsky

(1990) の定理５に新しい証明を与えて，ゲームの定義領域の全域で

Amir

条件が満たされるだけでは，

H

＆

S

(1990)定理５が想定していた状況を生み出しえないことを確認した。ただ，

H

＆

S

定理５成立の必要十分条件が何であるかは未解決のままであるともいえる。だが，

２回連続微分可能関数の解析的性質を利用する方向でこの問題を考えるならば，そして経済学的に有意味な関数形を想定するならば，おそらくは本稿条件が必要十分条件にきわめて近いものになっていると考えられる。本稿で採用した，２次微分係数の符号と最適反応曲線の傾きの組合せに関する前提，

若しくは，相手戦略についての（ゲーム定義域内における）単調性のうち，

どのひとつの仮定を除いても，そこには

H

＆

S

定理５に抵触する反例を構築できるか，あるいは，経済学的に許容されにくい特徴が出現すると予想される。

とはいえ，本稿における前提条件は，別の形式によって表現される可能性は少なからずあるといわねばならない。これについては，たとえば，∂²π

∂

x

²

＞0 という条件と曲線（∂π

∂

x

＝0）が右下がりという条件から，∂²π

∂

x

∂

y

＜0 が得られることなどの相互関連性があることなどを指摘できる。本稿における仮定表現が定理５の正しい証明にとって必要最小限かつ端的な形式になっていることを願う。

(10)

参考文献

[1] Amir,R.(1995). Endogenous Timing Two-Player Games:A Counter Example Games and Economic Behavior．

[2]Hamilton,J.and S.Slutsky.(1990). Endogenious Timing in Duopoly Games:Stackel- berg or Cournot Equilibria, Games and Economic Behavior.2.29‑46．

[3] 村田省三(2008).「外部経済と複占ゲームの均衡」応用経済学研究第２巻．30‑43.