2種 類 の 情 報 が あ る場 合 の 価 格 の サ ー チ*

2種 類 の 情 報 が あ る場 合 の 価 格 の サ ー チ*

遠 藤 薫 長 尾 昭 哉

1.は じ め に

あ る 商 品 の 価 格 が 売 手 に よ っ て こ と な り,ど の 売 手 が ど ん な 価 格 で 売 っ て い る か が 買 手 に は わ か らな い と き 」 買 手 は 安 い 価 格 で 買 お う と し て 個 々 の 売 手 を た ず ね る で あ ろ う 。 こ の よ う な 価 格 の サ ー チ1)に お い て,あ る 売 手 が あ る価 格 で 売 っ て い る と い う こ と を 買 手 が 知 っ た と き,こ の 情 報 は こ れ に も と つ い て そ の 価 格 で 買 う か あ る い は 買 わ な い で 他 の 売 手 を さ が す か の い ず れ か の 行 動 を と る こ と が で き る の で あ る か ら,買 う と い う 行 動 に 直 接 役 だ て る こ と の で き る情 報 と い う こ と が で き る。

こ れ に 対 し て,売 手 全 体 の う ち の 一 部 分 の 売 手 に つ い て こ れ らの 個 々 の 売 手 が ど の 価 格 で 売 って い る か は わ か らな い が,あ る 価 格 の 売 手 は 何 人,他 の あ る 価 格 の 売 手 は 何 人 と い う よ う に 価 格 の 分 布 が 買 手 に 知 ら さ れ る な ら,こ の よ う な 一 部 分 の 売 手 の 価 格 の 分 布 と い う 情 報 は,買 う と い う行 動 に 間 接 的 に 役 だ て

る こ と の で き る 情 報 と い う こ と が で き る。 な ぜ な ら こ の 情 報 で は ど の 売 手 が ど の 価 格 で 売 って い る か は わ か ら な い の で,た だ ち に も っ と も 安 い 価 格 の 売 手 の

原 稿 受 領 日 ヱ984年4月28日'

*本 稿 は 日本 オ ペ レー シ ョ ンズ ・リサ ー チ 学 会 で 前 後 二 回 にわ た り発 表 され た もの に も と つ く(昭 和57年9月17日,於 慶 応 義 塾 大 学,昭 和58年10月27日,於 工 学 院 大学)。

発 表 に先 だ って 大 阪 大 学 坂 口実 教 授 か ら有 益 な 助 言 を い た だ いた 。 北 海 道 大学 関 口恭 毅 助 教 授 に は長 期 間 討 論 して い た だ い た 。 記 して 感 謝 の 意 を 表 しま す 。

1)価 格 の サ ーチ あ る い は ジ ョブ ・サ ー チ に つ い て リップ マ ン,マ ッ コ ール 〔1〕の サ ー ベ イ論 文 が あ る。

〔1〕

と こ ろに 行 って 買 う こ とは で きな いが,こ れ か ら売 手 を た ず ね るに あ た って 売 手 全 体 を サ ー チの 対 象 に した ほ うが よ いか,そ れ と も この 一 部 分 の売 手 だ け を サ ー チ の 対 象 に した ほ うが よ い か,い ず れ か 有利 な ほ うを 選 択 で き るか らで あ る。

この よ うに 行動 に 直接 役 だ て る こ との で き る情 報 と間 接 的 に 役だ て る ことの で き る情 報 とい う2種 類 の 情 報 を 買 手 が く りか え し求 め る こ とが で き る と き,

これ らの情 報 を ど の よ うに組 合 せ て 収集 して ゆ く とよ い か,あ るい は どの よ う な順 序 で収 集 して ゆ く とよ いか が本 稿 で の問 題 で あ る。

.情 報 収 集 に な ん の費 用 もか か らな い の で あ れ ば,あ るい は時 間的 な 余 裕 が 十 分 に あ る の で あれ ば,直 接 役 に た つ情 報 ば か りを求 め て い く こ とで 十 分 で あ り, あ え て 間 接 的 に役 にた つ情 報 を 求 め る必 要 はな い 。 本 稿 で は情 報 収 集 の 費用 に っ い て は考 え ず,情 報 収集 の た めの 時 間 的余 裕 が 情 報 を集 め る 回数 に反 映す る と考 え て,直 接 役 に立 つ 情 報 を得 る 回数 と間 接 的 に役 に たっ 情 報 を得 る回 数 の 和 が 最 大 限N回 に 制 約 され て いる 場 合 に最 適 な情 報 収 集 の しか た は ど うな るか を考 え る。

情 報 を 行 動 に直 接 役 にた っ 情 報 と間 接 的 に役 に たつ情 報 とに わ けて 考 え る こ ζ は マ ンハ イ ム 〔2〕に よ る。マ ンハ イ ム は 高 速道 路 の経 路 決 定 の た め に 粗 い 調

・査 か ら精 確 な調 査 に い た る何 段 階 か の 調 査 が お こな わ れ る こ と に注 目 した。 そ こで は 直接 役 に た つ情 報 も間 接 的 に 役 に たつ情 報 もす べ て 調 査 を お こな う こ と に よ り得 られ る。 本 稿 で は間 接 的 に 役 に た つ情 報 は何 らか の 機 関,団 体 あ る い は企 業 に よ り供 給 され る もの とす る。

2.モ デ'ル

買 手 が 個 々の 売 手 を たず ね る とき に,そ の 売 手 の 価 格 が どん な値 で あ るか は 事 前 に は わ か らな い。 そ こで 価 格 は買 手 に と って は確 率 変 数 で あ る とみ なす こ

し

とが で き,買 手 が個 々 の 売 手 を たず ねて 知 った値 は その 確 率 変 数の 実 現 値 で あ る と考 え る こ とが で き る。 こ こで 簡 単 化 の た め に買 手 は売 手 全 体 の価 格 の 分 布 を知 って い る と仮 定 す る。 これ よ り,価 格 を確 率 変 数Xで あ らわ した と き その

2種 類 の情 報 が あ る場 合 の価 格 の サ ー チ 3

確 率 分 布 は 既 知 で あ り未 知 パ ラ メ ー タ を含 まな い とす る こ とが で き る。 買 手 が 個 々の 売 手 を たず ね て 知 った 値 は確 率 変数Xの 実 現 値 で あ る と 考 え る こ とが で き,こ れ を κ で あ らわす 。

情 報 を得 る行 為 を実 験 とい う こ とに し,2種 類 の情 報 を得 るた め の次 の よ う な3種 類 の 実 験 を考 え る。 売 手 全 体 の 中 か ら ラ ンダ ム2)に1人 の 売 手 を と りだ

しそ の 売 手 の価 格 を知 る こ とを実 験Aと い う こ とにす る。 この実 験Aを お こな った 結 果 確 率 変 数Xの 一 つ の実 現 値 κ が得 られ る こ とに な る。 次 に売 手 全体 の 中 か らラ ンダ ム に と りだ され た ん人3)の 売 手 につ いて,そ れ らの売 手 の 価 格 の 分 布 を 知 る こ と を実 験Bと い う こ とにす る。 この とき買 手 に は ん人 の売 手 の うち の だ れ が どの 価 格 で 売 って い る か は知 らさ れ な い。 この こ とは確 率 変 数X と同 じ確 率 分 布 に した が うた が い に独 立 な ん個 の 確 率 変 数X1,X2,...,X々 の実 現 値 κ1,κ2,.,.,編が 得 られ た こ とに な るが,買 手 に と って は どの 売 手 が どの 価 格 か は わ か らな い の で,ん 個 の 実 現 値 の 分 布 を 作 り,そ れ を 確 率 分 布 にな お し て,買 手 は そ の確 率 分 布 を 知 った と い う こ とで あ る。実験Bは この よ うな 性 質 を もつ とす るの で んは2以 上 で な けれ ばな らな い。 次 に も しBで 得 られ た 一 部 分 の 売 手 に つ い て の価 格 の 分布 を 知 って,こ の 一 部 分 の 売 手 だ け を対 象 に サ ー チ した ほ う が,売 手 全体 を 対 象 に サ ー チす るよ り も有 利 で あ るな ら,一 部 分 の 売 手 だ け を対 象 に サ ー チ で き る もの とす る。 そ こで 実験Bで 知 っ た ん 人 の 売 手 か ら ラ ン ダ ム に1人 の 売 手 を と りだ して価 格 を 聞 くこ とを 実験Cと い う こ と にす る。 この と き,κ1,∬2,̲毎 の 中 の ど れ か一 つ が得 られ た こ とに な り,こ れ を κ̀で あ らわ す こ と にす る。 以 上 実 験A,B,Cの3種 類 の 実験 を 考 え る。

本 稿 で は 行 動 に間 接 的 に役 に たつ 情 報 が実 験Bを お こ な った よ うに して得 ら れ る と想 定 して い るが,一 般 的 に間 接 的 に役 に た つ情 報 が そ の よ うに して得 ら れ る とい う こ とで はな い4)。実 験Cは1人 の売 手 を ラ ンダ ム に と りだ す とい う 2)簡 単 化 の た め に,売 手 の と ころ に行 くの に要 す る 時 間 に 差 は な く,ま た 過 去 に買 っ た と きの 経 験 は役 に た た な い と仮 定 して,個 々 の 売 手 は 買 手 に よ って ラ ン ダ ム に選 ばれ る もの と想 定 す る。

3)簡 単化 の た め に,売 手 の 総 数 が 有 限 の と き は復 元 抽 出 の方 法 に よ りと りだ さ れ る と す る。

意 味 で 実 験Aと 同 じ性 質 を もつ が,サ ー チ の対 象 が 実 験Aで は売 手 全 体 で あ るの に 対 し,実 験Cで は実 験Bで と りだ さ れ た一 部 分 の 売 手 で あ ると い う点 で こ とな って い る。

実験Aあ る い は実 験Cに よ って ラ ンダ ム に選 ばれ た1人 の 売 手 か ら価 格 を 聞 い た と きに その 売 手 か ら買 わ な か った場 合,あ と に な って その 売 手 の と ころ に もど って 最 初 に聞 い た価 格 で 買 う こ と はで きな い とす る。 す な わ ち売 手 が価 格 を変 え る こ とが あ る,あ るい は 他 の 買 手 に売 って しま って もう売 る こ とがで き な い場 合 を 考 え る。 実 験Aあ るい はCの 結 果 に つ い て は リコ ール で きな い と い う こ と で あ る。 この とき売 手 全体 の価 格 の 分布 は変 化 しな い と仮 定す る。

実 験Bの 結 果 々人 の 売 手 の 価 格 の 分布 を得 るが,こ の 々人 の 売 手 を対 象 に 価格 を たず ね て ま わ る こ とは そ れ が連 続 して お こな わ れ るな らば 何 回 で も可能 で あ る とす る。 す な わ ち 実験Bの 結 果 に た い して 実験Cを 連続 的 に 適 用 す るな ら そ れ は 何 回 で も可能 で あ る と い う こ とで あ る。 しか しい った ん あ る実験Bの 結 果 が 有 利 で な い と判 断 して その あ とに 実験Aあ るい はBを お こな った とき に も との 実 験Bの 結 果 を対 象 に実 験Cを 適 用す る こ とは で き な い とす る。 原 則 と して 実 験Bの 結 果 も リ コー ルで き な い が,実 験Bで 得 られ た 一 部 分 の売 手 を 対 象 に集 中 的 に サ ー チす る こ とは か ま わ な い と い う こ とで あ る。 この とき もあ る実 験Bの 結 果 につ いて ん 人 の 個 々の 売 手 の 価 格 は変 化 す るか も しれ な いが, 々人 全体 の 価 格 の 分 布 は変 わ らな い とす る。

行 動 に 直 接 役 に たつ 情 報 を 得 る回 数 と間 接 的 に役 に た つ情 報 を 得 る回数 との 和 は最 大 限N回 と したの で(第 ユ節),実 験A,B,Cは あ わ せ て 最 大 限N回 ま で 可 能 とい う こ と に な る。 サ ーチ を お こな って い る あ る途 中 の段 階 で の残 りの 可 能 な実 験 回 数 を πで あ らわ す こ と にす る(0≦ π≦N)。 以 下 で は 安 い価 格 で買 お うとす る と きに,残 り η回 の 実 験 を,実 験 を止 め る こ と も含 め て 最 適 に お こ な った とき に 期 待 され る,買 う と きの 価 格 を導 く こ とにす る。

売 手 全 体 の 中 か らラ ンダム に1人 の 売 手 を選 んで 価 格 を き い て 躍とい う値 で 4)こ の 点 で 本 稿 の モ デ ル が マ ンハ イ ム ・〔2〕の モ デ ル と 基 本 的 に ご と な る と こ ろが

る。

2種 類 の情報があ る場合の価格 のサーチ5

あ る こ とを 知 っ た と きに,あ と η回の サ 〒 チが 可 能 で あ る場 合,サ ー チ を止 め る こ と も含 め て 残 り η回 の サ ー チ を最 適 に お こ な った と き に得 られ る安 い価 格 の 期 待 値 を θ.(め で あ らわ す こ と にす る。す な わ ち 実 験Aを して κを 得 た と き に残 り%回 の 実験 が可 能 で あ る と き,そ れ らの 実験 を,実 験 を止 め る こ と も含 め て最 適 に お こな った と き得 られ る価 格 の 期待 値 が θ。(κ)であ る。 同 じよ うに して実 験Bの 結 果 絢,κ2,...,廠 を得 た と きに,残 り%回 の 実 験 を最 適 に お こな う こと に よ り得 られ る価 格 の 期 待 値 をg.(κ1,毎̲,κ の とす る。 そ して 実験C の 結 果 κ̀を得 た と き に残 り π 回 の 実 験 を 最 適 に お こな う こ とに よ り得 られ る 価 格 の 期 待 値 を ぬ,(κflκ1,κ2,̲,κの とす る。 これ ら三 つ の 期待 値 は次 の よ う に 計 算 され る。 以 下 で は価 格Xの 分 布 関 数 をF(の とす る。

最初 に6.(κ)は 実験Aの 結 果 の κ を知 った と ころ で残 り π回 の 実 験 が 可 能 な と き,最 適 に 実験 を お こな う こ とに よ り得 られ る 期 待価 格 で あ るが,こ れ は い ま知 った 価格 κ,この あ と最 初 に実 験Aを お こな い そ れ以 降 は最 適 に実 験 を お こな った と きの 期待 価 格,あ る い は この あ と最 初 に実 験Bを お こな い それ 以 降 は最 適 に 実験 を お こな った と きの 期 待 価 格 の いず れ か小 さ い ほ うを 選 ぶ こと に よ り決 定 さ れ る。最 初 に 実験Aを お こな い それ 以 降 は最 適 に実 験 を お こ な っ' た とき の 期 待価 格 を α。とす る と

・。一 ∫・炉1(ツ)4F(ツ)

と な る。 実 験Aを した と き得 られ る値 を 夕 と した と き,そ の あ と残 り π一1回 の 実 験 を最 適 に お こな う とき の期 待価 格 は θ炉1(ッ)と な る。 どの よ うな ッの 値 が 得 られ るか は前 も って わか らな い の で θ。.1(ッ)の期 待 値 を 求 め るの で あ る。

次 に最 初 に実 験Bを お こ な い そ れ 以 降 は最 適 に 実験 を お こな った と した と きの 期 待 価 格 を ∂。とす る と

∂。一 ∫̲∫ 魚 一1(ニソ1・…,二y舟)4F(夕1)̲4F(ツ ・)

と な る 。 考 え 方 は σ。の 場 合 と 同 じ で あ る。 以 上 よ り

一 一嘩 ^{(止 め る)(実験A)}

(実 験B)

(1)

と な る 。 た だ し η=1,...,N‑1の と き で あ る 。 η=0の と き は も う実 験 を お こ な う こ と が で き な い の で κ の 価 格 で 買 う しか な く,θo(κ)=κ と な る。 π=1>『の と き は サ ー チ を は じめ る と き で あ る が,必 ず 価 格 を た し か め て か ら買 う と仮 定 す る と 伽 と 伽 の う ち の 小 さ い ほ うの 実 験 を 選 択 す る と い う こ と に な る 。

次 にg.(κ1,̲,多 の は 実 験Bの 結 果 々 人 の 売 手 の 価 格 の 分 布 を 知 って 残 り η 回 の 実 験 が 可 能 な と き,最 適 に 実 験 を お こ な う こ と に よ り 得 ら れ る価 格 の 期 待 値 で あ る が,こ の 結 果 を も と に た だ ち に 買 う こ と は で き ず,実 験eを お こ な う か,そ れ と も こ の 結 果 を 捨 て て 実 験Aあ る い は 実 験Bを お こ な うか の い ず れ か 有 利 な ほ う を 選 択 す る こ と に よ り得 られ る 。 最 初 に 実 験Cを お こ な い,そ れ 以 降 は 残 り π一1回 の 実 験 を 最 適 に お こ な う こ と に よ り得 ら れ る価 格 の 期 待 値 を 砺(距1,̲,κ 々)と す る と

砺(・1・ …,・ ・)一 素 か 一1(鈎 レ1,…,・ ・)

と な る 。 κ1,̲,物 の 中 か ら ラ ン ダ ム に 一 つ が 選 ば れ る 確 率 は1魚 だ か らで あ る 。 最 初 にAを お こ な った と き と 実 験Bを お こ な っ た と き の 期 待 価 格 は 前 述 の よ う に σ。 と 〃。 で あ る か ら

一 尋

̲切i熱 ω

と な る 。 これ は 〃=1,2,̲,〃‑1の と き で あ る 。 実 験Bの 結 果 を 得 た と こ ろ で も う サ ー チ す る こ と が で き な い と,実 験Bの 結 果 は た だ ち に 買 う行 動 に つ な ぐ こ と が で き な い と い う想 定 か ら,買 え ず に 終?て し ま う こ と に な る 。こ の こ と を 避 け る よ う に す る た め"=0の と き は90@b…,∬ の=。 。 と お く こ と に す る ・

2種 類 の 情 報 が あ る場 合 の 価 格 の サ ー チ7

最 後 に 実 験Cの 結 果,∬1,...,筋 の 中 か らめ 一 つ で あ る 筋 を 得 て 残 り π回 の 実 験 が 可 能 な と き の 期 待 価 格 〃.伽1κ1,̲,κ 々)を 求 め る 。 こ の と き は 紛 の 価 格 で 買 う か,買 わ な い で 最 初 に 実 験Aあ る い はBを す る か,そ れ と も続 け て 実 験Cを す る か の い ず れ か が 可 能 な の で

一 騰 一灘 ⑧

づ

と な る 。 こ こ で π=1,2,̲,1》‑1で あ り,π=0の と き は 編(κゴ1κ1,̲,κの=鈎 と な る 。

実 験A,B,Cあ わ せ て 最 大 限 亙 回 の 実 験 が 可 能 で あ る と き,ど の よ う に 実 験 を 選 択 す る と 買 う と き の 価 格 が も っ と も低 い と 期 待 さ れ る か は(1),(2),(3) の 連 立 方 程 式 を ト リ ー で 表 現 して バ ッ ク ワ ー ドに解 い て い く こ と に よ り求 め ら れ る 。 ま た 最 適 に 選 択 さ れ た 実 験 の 満 た す べ き 性 質 は こ の 連 立 方 程 式 を 検 討 す る こ と に よ り 導 か れ る。

3.最 適 な サ ー チ に み ら れ る い く つ か の 特 徴

最 初 に 可 能 な 実験 回数 の 多 い ほ うが 少 な い 場 合 よ り不 利 に な る こ とは な い と い う ま った く明 らか な こ とを確 か め て お く。 以 下 で は残 り 露回 の 実験 が可 能 で あ る と きに 最初 に実 験Aを お こな った と きの 期待 価 格o。 と最 初 に実験Bを お こな った と きの 期待 価 格 ∂。の うち の 小 さい ほ うを3。 と あ らわす こ とにす る。

す な わ ち

ε蕗=min(σ",∂")

と お く。 こ の と き 次 の 補 題 が 成 り た つ 。

補 題3。+1≦3。 π=1,2,̲,1》‑1

〔証 明〕 残 り%+1回 の実 験 が 可能 で あ る と き に最 初 に実 験Aを お こ な った と きの 期 待 価 格 α。+1は(1)を 用 い る と

砺.1‑∫ 砺 ω4か ω 一 ∫mi・(∬ ,oπ,∂ π)4Fω 一 ∫mi・(%・ 。)4Fω

一 ∫mi・(万 一3π,0)4Fω ・ ・。

と な る 。 こ れ よ り

(4)

σ"+1≦5π

を 得 る。 同 様 に し て(2)よ り

∂。+1‑∫̲∫ 幽(・1,̲,・ 、)4戸(・1)̲4Fω

一 ∫̲∫mi・{・ 。,∂。,・。(・1,…,・ 、)}脚1)...4F(・ 、) 一 ∫̲∫mi・{・ 。,・。(・1,..。 ・、)}4Fω...4F(・ 、)

≦ ∫̲∫ 砺4F(・1)..濯 ω

=3 π

(5)

(6)

を 得 る 。 不 等 号 が 成 り た つ の は 実 現 値 κ1,̲,編 に 依 存 して,一 度 で も ・.(κ1,

̲,編)が3.よ り小 さ い こ と が あ る 場 合 で あ る 。 ま た 実 験Bを お こ な っ て 苅, ...,編 を 得 て 残 り π 回 の 実 験 が 可 能 な と き,、最 初 に 実 験Aあ る い はBを お こ な って 得 られ る 期 待 価 格 α.あ る い は6.は こ の κ1,̲,筋 に は 依 存 しな い の で, 8。 もこ れ に 依 存 しな い こ と に な り最 後 の 等 式 を 得 る 。 以 上 よ り

舟 西"+1≦ ε" (7)

を 得 る 。 し た が って,(5),(7)を 用 い る と

3π+1=min(α π+1,∂ πの

≦3π

●

と な る 。(証 明 終)'

2種 類 の 情 報 が あ る場 合 の価 格 の サ ー チ 9

売 手 全 体 の 中 か ら ラ ンダ ム に選 ば れ た 々人 の 売 手 の価 格 の分 布 を知 った と き, そ れ らの 売 手 を対 象 に,連 続 的 に で あ れ ば何 回 で もサ ー チす る ことが で き る と 想 定 して い る が,も しそ れ が で きず に ユ回 しか サ ー チ で き な い と い う こ とで あ れ ば,こ の よ うに ん人 の 売 手 の価 格 の 分 布 を知 る と い う こ とを あえ て お こな う 必 要 は な くな る。 この こと は 次 の 命題1で 示 され る。

命 題1実 験Bの 結 果 に 実 験Cを1回 しか 適 用 で き な い と き は

σ。≦ ∂π π躍1,2,̲,〃

が 成 り た つ 。

〔証 明 〕(i)η=1の と き 。61は 残 り1回 の 実 験 が 可 能 で あ る と き に,そ れ に 実 験Bを あ て た と き の 期 待 価 格 で あ る。 実 験Bを 最 後 に 用 い る こ と は 避 け る と し た の で

δ1=。。

と お か れ る こ と に な る。 一 方

・・一 ∫・。ω4Fω 一 レ4Fω

と な り,こ れ は 価 格 の 確 率 分 布 の 期 待 値(存 在 を 仮 定 す る)で あ る か ら

σ1≦あ

を 得 る 。

(ii)η=2,3,...,1vの と き 。 実 験Bの 結 果 に 対 して 実 験cを1回 しか 適 用 で き な い と い う こ と は(3)に お い て 実 験Cの 項 が な い と い う こ とで あ る 。 こ の と き 補 題 の 証 明 の 中 の(4)と 同 じ よ う に

・。一 ∫mi・(・ 一 ・。.1,・)4F(・)・ ・。.1, (8) (6)と 同 じ よ う に

6。 一 ∫ … ∫mi・{・ 。.1,・ 。‑1(・1,…,・ 、)}4F(・1) ...4Fω

と 書 く こ と が で き る が,(g)の 中 の0。‑1(嗣1,̲,κ の は 次 の よ う に な る 。

砺 一1(・1・… …)一 素 毒

1妬 ・(・・1・1,...,・ 、) 一 素 毒

lm・ ・(侮,σ 。.2,∂ 。.2) 一 素 ゑm・ ・幅 一、).

(9)

(10)

な お η=2の と き ∂2は 残 り 乞回 の 実 験 が 可 能 な と き に 最 初 に 実 験Bを お こ な っ た と き の 期 待 価 格 を あ ら わ す 。 こ の と き01(κ1,...,∬ の は 実 験Bの 次 に 実 験C を お こ な っ た と き の 実 験Cに と も な う期 待 価 格 を あ ら わ す 。 この あ と 実 験 は で き な い の で π=2の と き(10)の3。.2,す な わ ち30は 存 在 し な い こ と に な り, 紛 だ け が 残 る 。 しか し εoを無 限 大 と お け ば 必 ず κ∫が 残 る こ と に な る の で30を そ の よ う に 考 え る 。31=min(σ1,∂1)=の;E(X)で あ る か ら 〔E(X)は 確 挙 変 数xの 期 待 値 で 存 在 す る と仮 定 す る〕,31く30と な る 。 この こ と と補 題 か ら

ε"+1≦3π π=0,1,̲,N‑1

と な る 。

こ の と き ・(9)は

砺 一 ∫… ∫m・・{砺 一1,1≦

1m・ ・幅 ・・)}・F(・1)… ・F(・ 、)

≧ ∫… ∫m・・{靹 藁m・ ・(貌,3π 一1)}・F(・1λ ..・F(・、)

‑! … ∫m・・{嚇

lm・ ・(κ̀一ε"̲工,0)}・F(・1エ..・Fω ・ 靹

2種 類 の 情 報 が あ る場 合 の 価 格 の サ ー チ 11

一 ∫… ∫捻m・ ・(一 一1,・)・F(・1)… ・F(・ ・)・靹

一去毒 」 酬 ・一醇1 ,・)漁)・ 砺一1

一 ∫mi・(劣 一 ε"‑LO)4Fω ・ 砺.1

と な る。 最 後 の 式 は(8)に よ り σ.に 等 し い の で5.≧ σ.と な る。(証 明 終)

この こ とか らサ ーチ の 回 数 が 高 々2回 と限 られ て い る とき は(1》=2),あ え て 一 部 分 の売 手 の 価 格 の 分 布 を聞 いて み る必 要 は ま った くな く,売 手 全体 をサ ー チ の対 象 に す る こ とで 十 分 で あ る こ とが わか る。 す な わ ちN=2の とき は最 初 に実 験Aを して 買 うか,2回 続 け て実 験Aを したあ と に買 うかの いず れ か が お こな われ る こ と に な る。 サ ー チ を3回 以 上 して よ い と き は,売 手 全 体 の 中 か ら一 部 分 の 売 手 を と りだ して み る こ とが 有 利 とな る こ とが あ る。 有 利 とな るか ど う か は売 手 全 体 の 価 格 の 分 布 と最 大 限 可 能 なサ ー チ回 数 に依 存 す る。

補 題 お よ び命 題1の よ うに して 得 られ た結 論 は,価 格 の 分 布 につ いて 想 定 さ れ た確 率 分 布 が期 待 値 を もつ よ うな もの で あ れ ば,い か な る確 率 分 布 に つ い て も成 り たつ 。 以 下 セ は最 適 な サ ーチ にみ られ る特徴 を さ らに明 らか にす るた め に 確 率 分 布 を特 定 の もの に 限 定す る。

売 手 は α(>0)の 価 格 で売 って い るか β(〉α)の 価 格 で 売 って い る とす る。

α の 価 格 で 売 って い る売 手 の 割 合 は ρ(0〈ρ<1)で あ り,β の 価 格 で売 って い る売 手 の 割 合 は1一 ρ で あ る とす る。 売 手 全体 の 中 か ら ラ ンダ ムに選 ばれ た ん '入の売 手 の 価 格 の 分 布 を知 る とい う こ とは

,実 験Bで 得 られ た結 果 で あ る κ1,

∬2,̲,編 につ い て,こ の 各 々 は α か β の いず れか で あ るの で,こ れ らの ん個 の うち 何個 が αで あ り,何 個 が β で あ るか を知 る こ とで あ る。々個 の うち 銘個 が α で あ る状 態(々 個 の うち ん一%個 は β.であ る状 態)を κ.で あ らわす こ と にす る。%は0か ら ん ま で の値 を と り うる。

この とき,残 りの 可 能 な実 験 回 数 が η の とき に実 験Aあ るい はBの うち有

5

利 な ほ う を 最 初 に お こ な う と き の 期 待 価 格3。 は 安 い ほ う の 価 格 α よ り も 大 き く,高 い ほ う の 価 格 β よ り も小 さ い 。 実 験Cを 最 初 に お こ な っ'たと き も 同 じ よ う に な る が,こ の と き の 期 待 価 格6。(κ1,...,κη)をK。 の 記 号 を 用 い て0。(κ の と 表 わ す こ と に す る と,こ れ は π二 ん の と き,す な わ ち 実 験Bあ 結 果 す べ て の 売 手 の 価 格 が 安 い ほ うの 価 格 α で あ っ た と き は,α に 等 し く な り,π=0の と き, す な わ ち 々 人 す べ て が 高 い ほ う の 価 格 β で 売 っ て い る と き は,実 験Cが 最 後 で あ る 場 合,す な わ ち π=1で あ る場 合,に か ぎ わ β に 等 し くな る。 この こ と は 次 の 命 題2の よ う に 確 か め る こ と が で き る 。 そ こ で は,価 格 が α と β(〉 α) の 二 っ だ け の と き は σ。,∂。,o。(κ。)が 次 の よ う に 簡 単 に 表 わ さ れ る ζ と を 用 い る 。

最 初 に,%;2,3,...,2Vに つ い て

o。‑min(α,σ 。一 エ,∂ 。‑1)ρ+min(β,θ 。‑1,∂ 。.1)(1一 ρ)

と な る が,α ≦ε炉1,α 。弓 ≦ β で あ る こ と は 明 ら か で あ る か ら

σ餌=α ρ+3".1(1一 ρ) (11)

と な る 。 次 に 価 格 が α で あ る 確 率 が ρ で あ り,β で あ る 確 率 が1一 ρ で あ る こ

・と を 確 率 関 数 ρ(幻 で 表 わ す こ と に す る と,π=2,3,̲,ノVに つ い て

∂。=Σ̲Σ9。‑1(κ1,̲,物)ρ(κ1)̲ρ(筋)

κ1∫ 々

7壽 。m・・{砺 一1,砺 一・ 砺 一1(κ 銘)}㈲ グ(1一 ρ)・一・

一 ￡

。m・・{砺 一1・砺 一1(1(μ)}(1)〆(1一 ρ)∵(12), と な る 。 そ し て π=2,3,̲,ハ1に つ い て

砺(κ 謬)一髪・+㌣m・ ・{砺一一(乱)}

と な る 。

(13)

2種 類 の情軸が ある場合の価格の サーチ

命 題2π=1,2}...,!V‑1に つ い て

α<3。 〈 β

μ 〈o。(κ 。)〈 βz6;1,2,…,々‑1 0"(κ 盈)=α

'

が 成 り た ち,炉0の と き は

α 〈o。(κo)=3π̲1〈 β"=2,3,...,"‑1 61(Ko);β

と な る 。'

(証 明)π=1の と き

31=min(σ1,∂1)

=min{α ρ+β(1一 ρ) ,。 。}

=α カ十 β(1一 ρ)

(14) (15) (16)

(17) (18)

13

と な る の で,α<β,0・ ζρ 〈1と 仮 定 し て い た こ と よ り,α く31<β と な う 。 ま た 露=1の と き,π=1,2,̲,彦 一1に つ い て

'

・1(κ露)一髪・+≒%β

と な る の で α 〈01(κ 。)〈 β と な る 。

こ こ で η≧2で あ る よ う な η に つ い て α く3"‑1〈 β,お よ び α 〈o炉!(Kの く β を 仮 定 す る と,(11)の

砺;α ρ+3π 一1(1一 ρ)

よ り α<σ 。〈 β を 得 る 。・次 に(12)よ り

あ 一 臨m・ ・{亀 一1,砺 一1(κ露)}(髪)が(1一 ρ)肋

〉 毒。・㈲ が(1一 ρ)・昭

=α{ρ+(1=ρ)P+(ゐ 一の

=α

と な り,同 じ よ う に し て ∂。く β と な る。 こ れ よ り α〈∂。<β と な る の で,.す で に 得 ら れ た α〈 砺 く β と あ わ せ て α〈 ε。〈 β を 得 る 。 さ らに(13)よ り

砺(κ ・)一髪・+㌢m・ ・{砺一1,砺 一、(瓦)}

で あ るか ら,%≠0,々 の と き α<6.(κ 。)<β を得 る。 これ で(14)と(15)が 得 られ た こと にな る。%=ん の とき(16)が 成 り た?こ とは 々人 の売 手 の 価 格 がす べ て α で あ る こ とか ら明 らかで あ る。 π=0の と き(17)と(18)が 成 りたっ こ .とも ん 人 の 売 手 の 価 格 がす べ て 高 い ほ うの 価 格 β で あ る こ とか ら明 らか で あ

る。(証 明終) ,』 ・ ・

売 手 全 体 の うち 安 い揖 うの 価 格 α で売 って い る売 手 め 割 合 ρ に対 して,実 験Bで 得 られ た た人 の 売 手 の うち 安 い ほ うの 価 格 α で売 って い る売 手 の 割合 π矯 の ほ うが大 きい か小 さ いか に よ って,こ の 実 験Bの あ と に実験Cを した

ほ うが よ い か,そ れ と も この 実験Bの 結 果 を 捨 て て あ らため て 実験Aあ るい はBめ いず れ か を した ほ うが よ い か につ い て は 少 く と も次 の こ とが い え る。 す な わ ち実 験Bで 得 られ た 々人 の うち安 い ほ うの 価 格 α で 売 って い る売 手 の 割 合 π樒 が,売 手 全 体 の うち α の価 格 で売 って い る売 手 の 割 合 ρ よ り も小 さ い な らば,々 人 の 売 手 を対 象 に サ ー チす るよ り も売 手 全 体 を対 象 に サ ー チ した ほ

うが 有 利 で あ る。 この こ とは次 の 命 題3で 示 さ れ る。

命 題3ρ 〉%焼 な ら ば,π=『1,2,̲,N‑1に つ い て

ε"<oπ(1(π)%=0,1,̲,々‑1

が 成 り た つ 。

(19)

2種 類 の 情 報 が あ る場 合 の 価格 の サ ー チ15

(証 明)

・一 ・ の と き,・ 一 工 な ら ば 命 題2の(14)と(18)か ら 』(19)の 卿 た つ ・ と が あ き ら か で あ る 。%=0で π≧2の と き は,(11)と 命 題2の(17)か ら

oπ=α ρ+3π 一i(1一 ρ)

=α ρ+6"(κo)(1一 ρ)

<o。(κo)

と な る の で,

3"=min(σ π,∂")

<o。(κo)

と な り,や は り(19)が 成 り た つ 。

次 に%=1,2〜̲,ん 一1の 場 合 で あ る 。F1(bと き

31=min(α1,∂1)

=σ1

=α ρ+β(1一 ρ)

・1(K解)一 髪・+㌣1β で あ る か ら

・・一 ・1(K銘)一 ・(ρ一髪)・ β(髪一 ρ)

一(β 一 ・)(髪 一 ρ)

と な る 。 α〈 β で あ る か ら%矯 く ρ の と き

Sl<Ol(K・)露=1,孕 ・… ・ 々‑1

と な る 。 π ≧2で あ る よ う な π に つ い て,%緬 く ρ の と き に επ.1<cπ 。1(κ%)π=1,2,̲,々‑1

を 仮 定 す る 。馳こ の と き(11)と(13)よ り

砺 一 砺(κ 部)一 晦 一1(1一 ρ)一 髪 α 一 穿m・ ・{亀 一1・砺 一1(飾)}

一 ・(ρ一髪)・ 砺 一1(髪一 ρ)

一(・・一「 の(髪 一 ρ)

と な る の で,命 題2の(14)と,こ こ で の 条 件 で あ る%魚 く ρ よ り

ση一 〇π(κμ)〈0

と な る。 こ う して

3。=min(σ 。,∂。)

<o"(κ 。)π=1,2∴.,々‑1

を 得 る 。(証 明 終)

この 命 題3は 実 験Bで と りだ す 売 手 の 数 ん が2以 上 で あ る な らどん な値 で もよ か った。 この売 手 の数 々が ち ょ うど2で あ る と きは さ らに次 の こ とが い え る。 す な わ ち,売 手 の 価 格 が α か β(〉α)の ど ち らか で あ る と した と き,売 手 全 体 の う ち安 い ほ うの 価 格 α で 売 る売 手 の 割 合 が1/2よ り小 の と きは,も し 実 験Bで 得 られ た2人(ん=2)の 売 手 の う ち1人 が α の 価 格 で1人 が β の価 格 な らば,こ の2人 の 売 手 を 対 象 に サ ー チ した ほ うが よ い と い う ことで あ る。

ただ しこの ザ ー チ は復 元 抽 出 に よ る とす る。 この こ と は次 の 命 題4の(22)で 示 さ れ る 。

命 題4々‑2の と き,η=1,2,:..,2V‑1に っ い て

砺 ・ 砺(α,β)ρ ・ 者 ・ (20)

2種 類の情報が ある場合 の価格のサ ーチ17

砺 一 砺(α,β)ρ 一 圭 ・ ・(21)

3・〉 σ・(α・β)カ 〈 互(22)1

(証 明)(i)命 逡3に お い て ん=2,%=1と し た と き が(20)で あ る か ら証 明 は す で に お こ な わ れ て い る こ と に な る 。

(ii)π=1の と き ∂F。 。 と お く の で

ε1=min(σ1,∂1)

;01

=α ρ+β(1一 ρ)

とな るrん;2の 実験Bの 結 果 が 価 格 αの 売 手 と価 格 βの 売 手 で あ った ≧ き, この 結 果 に実 験Cを お こな った と きの 期 待 価 格 は

・1(α,β)一 毒α+圭 β

で あ る6し た が っ て

・「 ・1(・・ β)一 ・(カー毒)・ β(圭・ ∂

一(β 一 ・)G一 ρ)・

と な る 。 β 〉 α で あ る か ら,ρ=1/2の と き

31=61(α,β)

と な り,ρ<1/2の と き

ε1〜・Ol(α,β)

と な る 。

(イ)'こ こ で 〆1/2の と き,η ≧2で あ る 〃 に つ い て ε。‑1>o。‑1(α,β)を 仮 定 す る 。 命 題2の(15)か ら σ。‑1(α,β)〉 α で あ る こ と も 用 い る と 次 の よ う に な る 。

・晶(姻 一 αρ… 一・(レ ρ)一 者結m・ ・{・・‑1,・・‑1(畝 β)}

一 ・(1クー百)… 一'・(1一ρ)一圭・…(・,β)

・ ・(ρ一 者)…‑1(畝 β)(去 一 ρ)

{・・一・(・,β)一 ・}(圭 一 ρ)

>0

∂π一 〇π(α,β)=α ρ2+2min{3π 一1,6"‑1(α,β)}ρ(1一 ρ)

…‑1(1一 ρ)・ 一 者 ・ 一 麦m・ ・{・,‑1・ ・‑1(・,β)}

=α ρ2+20

π̲1(σ,β)ρ(1‑1))+ε π̲1(1一 力)2

造 飴 歩 一・@β)

・ ・(ρ・一圭)… 一・(・,β)〈・ρ(1一 ρ)・(1一 ρ)・‑1}

一 ・(ρ・一者)… 一如 〉(一ρ・+壱)

一(ρ・一壱){α 一6π一1(・,β)}

>0.

「し た が っ て 3"=min(σ%,6π)

〉 砺(α,β)

2種 類 の情 報 が あ る場 合 の価 格 の サ ー チ19

を 得 る 。 こ れ で(22)が 証 明 さ れ た 。'

(ロ)ρ;1/2の と き,π ≧2で あ る π に つ い て3。‑1=o。‑1(α,β)を 仮 定 す る。

こ の と き(イ)の 計 算 と 同 じ よ う に して

砺 蝋 ・・ β)吻 煽 〈1一ρ)一者暢 靹

=0層

隔 一 砺(α,β)一 ・(ρ・一圭)煽(硫 β)(一 ρ・+毒)

一(ρ・一壱){面1(・ ,β)}

>0

と な る 。 し た が っ て α。=o。(α,β)<∂ 。 と な る か ら

3。=min(σ π,∂ π)

=α"

=oπ(α ,β)"

を 得 る 。 こ れ で(21)が 証 明 さ れ た 。(証 明 終)

この 命題4を 用 い る と,残 り η一1回 の 実 験 が 可 能 な とき に実 験Bが 選 択 さ れ る な らば,残 り%回 の 実験 が 可 能 な と き に も実験Bが 選 択 され る こ とを確 か め る こ とが で き る。 この こ とは 次 の 命 題5で 示 され る。ただ し価 格 は α と β(〉

α)の 二 つ だ け で あ り,実 験Bで と りだ す ことの で き る売 手 の数 々は2で あ る。

命 題5ρ<1/2の と き,η=4,5,̲,ハ1に つ い て6。‑1<α 。‑1な ら ば う.〈 σ.

で あ る 。

(証 明)(11)お よ び 命 題4の(22)か ら

'

σ。冨 ⑫+3。‑1(1一 ρ)

∂";α ρ2+20π̲1(α,β)ρ(1一 力)+3"‑1(1一 ρ)2

r

とな るの で

・。一 ∂。一 α ρ(1一 ρ)‑2・ ・‑1(α ・ β)ρ(1一 ρ!+・ ・‑1(1一 ρ)ρ

=ρ(1一 ρ){α 一20π ̲1(α,β)+3"‑1}

と な る 。 α 一20。.1(α,β)+3。‑1を'π 一1と お く と,命 題4の(22)よ り

'"̲1=(ヒ ー20π̲1(α,β)+3η 一1

一 ・一 ・奄 ・+岩 砺 一・(α,β)}・ 靹

=5π 一「6。‑2(α,β)

と な る 。 α。一 ∂。 が 正 か 負 か は,ρ(1一 ρ)が 正 で あ る の で .'。‑1が 正 か 負 か と 同 じ で あ る 。 そ こ で 以 下 で は ζ炉1に つ い て み て い く 。

(i)〃;4の と き 。 仮 定 よ り63<α3な の と 命 題4の(22)を 用 い る こ と に よ り '、‑3,一 ・、(α,β)

=63‑02(α ,β)

=α ρ2+202(α

,β)ρ(1一 ρ)+32(1一 ρ)2‑62(α,β) 竃1)2{α 一202(α

,β)+32}+ρ{202(α,ρ)‑232}+s2‑02(α,β)

=ρ2{α 一2・ ・(α

,β)+3、}+{・2(α,β)‑52}(2ρ 一 ユ)』

一 ρ・セ ー ・[11互α+互Ol(α

・ β)]…}・{・ ・(・,β)一 ・・}(・ ρ一1) 一 ρ2{・、一 ・1(α,β)}+{・1(α,β)一 ・、}(%‑1)

.と な る 。 こ こ で 第1項 に つ い て は 命 題1を 応 用 し て,32=min(α2,う2)=α2よ り 1‑

32『01(α ・ β)=σ2一 百(α+β)

と な る 。 こ の と き 『 σ2=α ρ+σ!(1一 ヵ)

;α ρ+{α ρ+β(1一 力)}(1一 力)

馳

・篇 α ρ+α ρ(1一 ρ)+β(1一 ρ)2

;2α ρ一 αρ2+β 一2β ρ+β ρ2

2種 類 の情 報 が あ る場合 の価 格 の サ ー チ ²¹

=(β 一 α)ρ2‑2(β 一 α)ρ+β

■

=(β 一 α)ρ(ρ一2)+β

で あ る か ら

・・一 ・1(α,β)一(β 一 ・)ρ(ρ 一 ・)・ 者(β 一 ・)

一(β 一 α)(ρ ・一 ・ρ・ 者) ,

と な り,こ れ は 〆1‑(V2/2)〈1/2の と き に 正 と な る 。

第 ・2項 に つ い て は 命 題4の(22)と ρ〈1/2よ り 正 に な る 。 し た が っ て'3>0 と な り,σ4>∂4̀と な る 。

(ii)π ≧4で あ る π に つ い て σ.〉 ∂.,同 じ こ と で あ る が,'。‑1>oが 成 り た っ と 仮 定 す る 。 こ の と き3。=min(α 。,∂。)=∂.よ り

'π=3詔 一 〇π̲1(α,β)

=・∂η一 〇π̲1(α,β)

一 α ρ2+20

π̲i(α,β)カ(1一 ρ)+3%̲1(1一 ρ)2‑6銘 一1(α,β)

=ρ2{α 一20"̲1(α ,β)+3π̲1}+2{6π̲1(α,β)一 ε"‑1}ρ

+3π̲1‑o"̲1(α,β)

一 ρ・{・一 ・[麦 ・+参 砺 一・(砿 β)]・ 砺 一・}・{砺 一1(砥 β)一 飾 一1}(・ ρ一1)

=ρ2{3

π̲!‑o"̲2(α,β)}十{o"̲1(α,β)‑3"̲1}(2ρ 一1) 一'。 .1ρ2+{o。.1(α,β)‑3。‑1}(2ρ 一1)

を 得 る 。 仮 定 よ り ≠。‑1>0で あ り,第2項 に つ い て は 命 題4の(22)と 〆1/2 よ り正 と な る の で ち>0,し た が っ て σ。+王〉 ∂。+1を 得 る。(証 明 終)

この こ とか ら,価 格 が α と β の 二 つ だ けで あ り,実 験Bで と りだ す こ との で き る売 手 の数 々が2の 場 合,実 験 の 選 択 に つ い て 一 貫 性 の あ る ζ とが 確 か め られ た。 た とえ ば 実験B誉 した が よ い結 果 が 得 られ な か った と考 えて 次 に実 験

22 商 学 討 究 第35巻 第1号

Aを したが,ま たよ い結 果 が 得 られ な か った と考 え て 次 は実験Bを 選 択 す る と い う こ どは,本 稿 の よ うな モ デ ル にお いて は合 理 的 で な い と い う こ とで あ る。

4.数 値 例

価 格 が α か β(〉α)で あ り,実 験Bで'と りだ す 売 手 の 数 々 が2の と き,安 い ほ う の 価 格 α で 売 って い る売 手 の 割 合 ヵ が ど の よ う な 値 で あ れ ば 買 手 は 実 験Bを 用 い る こ と に な る で あ ろ う か 。 可 能 な 総 実 験 回 数1Vが3の と き の ト リ

リ ー が 図1に 示 さ れ て い る 。 そ れ を 用 い て 計 算 す る と,1ゾ ニ3の と き ヵく1‑

(〜/2/2)な ら ば 最 初 の 実 験 は 実 験Aよ り も 実 験Bの ほ う が 有 利 で あ る と な る 。 ハ1=4の と き は さ ら に 大 き な ト リ ー を 書 か ね ば な ら な い が,ヵ<.3994ー な ら 最 初 の 実 験 は 実 験Bが 有 利 と 計 算 さ れ る 。

剛 ♪・静 一・ の と きの ト リー(A,・, Cは 実 験 を 表 わ し,α,β は その 結 果 と して の 価 格 を 表 わ す 。)『、

2種 類 の 情 報 が あ る場 合 の 価格 の サ ー チ 23

5.結 び

行 動 に直 接 役 に たつ 情 報 と間 接 的 に 役 に たつ 情 報 とい う2種 類 の情 報 の も と で の 価 格 の サ ー チ に つ い て 考 察 した 。価 格 が α と β の 二 つ の と きで,実 験B で と りだ す こ との で き る売 手 の 数 が2の と き,最 適 な情 報 収 集 過 程 に お いて は 実 験A,Bの 選 択 に一 貫性 が あ るこ とが 確 か め られ た。 ま た売 手 全体 の う ち,安 い ほ うの価 格 α で 売 る売 手 の割 合 ク が小 さ い とき は,最 初 に実 験Aを す る よ り も実験Bを した ほ うが有 利 で あ る と判 断 さ れ る。 ρが ど の程 度 小 さ けれ ば よ いか は,最 大 限 可 能 な総 実験 回数 亙 に依 存 す る5

参 考 文 献

[1]Lippman,S.A.andJ.J.McCall,"TheEconomicsofJobSearch:A

Survey(Part1),"動oπom  ごol臨 ⑳̀rッ,Vo1.14,No.2,1976,pp.155‑189.

[2]Manheim,M.L.,H̀erαrcん̀cαZSレ し ωc臨re,Aルfod￠Zq〆Dθ8Zgπ α認

PZα ππ̀πgProcessθs,TheM.1.T.Press,1966.